黄金分割0.618的来历
为什么是0.618(1)
则另一边为（100-2 x ）米
若S=600
m
2
25 5 13
，
则有 x (100-2 x )=600 ， 即
解得
x1 =25+5
2
13，
x2=25-5 13
x- 50 x +300=0
50-1≤50，即x≥25 ∴
例题赏析 1
如图2-8,某海军基地位于点A处,在其正南方向200海里处有一 重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位 于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小 岛D的正南方向.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给 船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送 A 北 达军舰. (1) 小岛D和小岛F相距多少海里? (2) 已知军舰的速度是补给船的2 倍,军舰在由B到C的途中与补给船 相遇于E处,那么相遇时补给船航行 了多少海里?(结果精确到0.1海里, 其中 6 2.449 )
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶 的宽与长之比也接近0.618; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央， 而总是站在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于 0.618的位置才是最佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人 看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管 其大小，如对于、8开、16开、32开等，都仍然 是近似的黄金矩形。
2.5
为什么是0.618(1)
数学美的魅力
无处不闪耀光辉的黄金分割
建筑 艺术 生活
你知道黄金比的近似值0.618是怎样求出来的吗
探寻0.618的由来
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 那么点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
生活中的黄金分割
生活中的黄金分割3公元前５世纪，古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯，通过长时间研究铁锤和铁砧的尺寸发现它们之间存在着和谐的比例关系，即１ ０．６１８的比例最为优美。
德国美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。
此律的意思是：整体与较大部分之比等于较大部分与较小部分之比（即０．６１８：１＝０．３８２：０．６１８）。
０．６１８是黄金分割律的比值，它被认为是最美的数值，具有很高的美学价值。
人是自然界长期发展的产物，人体美在自然美中具有最强的完整性。
英国大诗人莎士比亚在《哈姆雷特》中赞颂道：“人类是一件多么了不得的杰作！……宇宙的精华、万物的灵长”。
其实，莎士比亚也许不知道，人体相关各部分之间是符合黄金分割率的，肚脐是黄金分割线的黄金点。
在躯干部分，乳房位置的上下长度比；咽喉至头顶和至肚脐之比；膝盖至脚后跟和至肚脐之比等，都是黄金分割数０．６１８的近似数。
如果人体上述部分比例均符合黄金律的话，就显得协调匀称。
古希腊断臂维纳斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼达，其体型结构比例完全符合黄金律，美妙绝伦。
科学家和艺术家普遍认为，黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。
在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩；而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。
古代雅典的巴特农神殿，当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。
在日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为０．６１８，你会因此比例协调而赏心悦目。
甚至连火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守０．６１８比值。
在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的０．６１８之处；二胡要获得最佳音色，其“千斤”则须放在琴弦长度的０．６１８处。
最有趣的是，在消费领域中也可妙用０．６１８这个“黄金数”，获得“物美价廉”的效果。
谜一般的0.618黄金分割的来历-文档资料
谜一般的0.618——黄金分割的来历有一个在经济生活、科学研究中都很有用的数——0.618，由它决定了一种最优化方法。
使用它，人们节约了大量的时间、财力和物力，当人们探讨它的来历时才发现它竟是一种纯数学思考的产物！纯数学思考的产物怎么会那么符合实际？这就是这个数中所包含的一个美丽的谜语。
欧多克斯的“中外比”欧多克斯是公元前4世纪的希腊数学家，他曾研究过大量的比例问题，并创造了比例论。
在研究比例的过程中，有一次提出这样一个问题：能否将一条线段分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分的比例中项？他通过研究发现，可以将一已知线段分为两段，使之满足长线段与短线段之比等于全线段与长线段之比，即长线段为全线段与短线段的比例中项。
若设已知线段为AB，点C将AB 分割成AC、BC，AC＞BC，且AC^2=AB·CB，那么分点C就是线段AB的黄金分割点．于是，欧多克斯将这种比专称为“中外比”。
在数学史上，是欧多克斯首先提出的中外比，不过希腊人发现中外比要更早一些。
神秘的毕达哥拉斯学派曾以五角星形为其标志，五角星形的作图中就包含着中外比。
雅典的巴特农神殿是古希腊的一大杰作，这座建造于公元前5世纪的神殿的宽与高之比就恰恰符合中外比。
中外比后来被世人通称为“黄金分割”，虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯，但是，它究竟起源于何时、何故呢？黄金分割的起源人们认为，黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关——特别是由五角星形作图的需要引起的。
五角星形是一种很耐人寻味的图案，世界许多国家国旗上的“星”都画成五角形。
现今有将近40个国家（如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等）的国旗上有五角星。
为什么是五角而不是其他数目的角？也许是古代留下来的习惯。
五角星形的起源甚早，现在发现最早的五角星形图案是在幼发拉底河下游马鲁克地方（现属伊拉克）发现的一块公元前3200年左右制成的泥板上。
古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星形作为他们的徽章或标志，称之为“健康”。
为什么是0.618(1)
∴ DE2 DF 2 EF 2 ，x2 1002 (300 2x)2
x1
200
100 3
6
x2
200
100 3
6
C
FE B 10
∴DF=100，EF=300—2x 在Rt∆DEF中，
∴ DE2 DF 2 EF 2 ，x2 1002 (300 2x)2
x1
200
100 3
6 (不合题意，
点Q在AB上，且使∆PBQ的面积为 8cm2，由题意得（6-x）·2x÷2=8 解得x1=2，x2=4。 因为经过2秒,点 P在离C点1×2=2cm处,点Q在离B点 2×2=4cm处; 经过4秒,点P在离C点 1×4=4cm处,点Q在离B点2×4=8cm 处,都符合要求,所以此问有两解.
5
（2）设ys后P移到BA上，且AP=（14－y）cm
12
2、如图所示，等腰Rt∆ABC的
Q
直角边AB=2，点P、Q分别从A
、C两点同时出发，以相同速度
C
做直线运动，已知点P沿射线
AB运动，点Q沿BC的延长线运
D
动，PQ与直线AC相交于点D。
（ 值1时），设SAPCPQ的长14为SxA，BC当？x为何
E
A
P
B Q
（2）作PE⊥ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC于点E，当点P、Q运动时，
4
[例1] 如图所示，∆ABC中，∠B=90º，点P从C点开始沿 CB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BA向A 点以2cm/s的速度移动。（1）如果P、Q分别从C、B同时 出发，经几秒钟，∆PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P 、Q分别从C、B同时出发，并且P到B后又继续在BA边上 前进，Q到A点后又在AC边上前进，经几秒钟，使∆PAQ 的面积等于12.6cm2？解：（1）设经过xs，点P在CB上，
黄金比例
黄金比例一。
概念黄金比例是指事物各部分之间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1÷0.618≈1.618，(1-0.618)÷0.618≈0.618，上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金比例。
二．发现据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来。
被应用在很多领域，后来很多人专门研究过，在金字塔建成1000年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在。
只是不知这个谜底。
三．美学应用它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧。
以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。
正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。
人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。
艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。
人体美学中的黄金分割画家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。
生活中的0.618
生活中的0.618公元前５世纪，古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯，通过长时间研究铁锤和铁砧的尺寸发现它们之间存在着和谐的比例关系，即１ ０．６１８的比例最为优美。
德国美学家泽辛把这一比例称为黄金分割律。
此律的意思是：整体与较大部分之比等于较大部分与较小部分之比（即０．６１８：１＝０．３８２：０．６１８）。
０．６１８是黄金分割律的比值，它被认为是最美的数值，具有很高的美学价值。
在我们生活环境中，门、窗、桌子、箱子、书本之类的物体，它们的长度与宽度之比近似0.618，就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。
人体相关各部分之间是符合黄金分割率的,肚脐是黄金分割线的黄金点。
我国成年人躯干的高度平均为586毫米、肩宽的平均数为362毫米,两者之比符合黄金律。
在躯干部分,乳房位置的上下长度比;在全身,肚脐上下的长度比;咽喉至头顶和至肚脐之比;膝盖至脚后跟和至肚脐之比等,都是黄金分割数0.618的近似数。
如果人体上述部分比例均符合黄金律的话,就显得协调匀称。
古希腊断臂维纳斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼达，其体型结构比例完全符合黄金律，美妙绝伦。
科学家和艺术家普遍认为，黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。
在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩；而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。
古代雅典的巴特农神殿，当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。
生活中用的纸为黄金长方形，在长方形中宽与长的比例在5:8左右会更美更好看，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于、8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金长方形。
向日葵的美在于21条左旋，13条右旋，13与21的比恰好是0.618，此外，向日葵的花盘外缘有两种不同形状的小花，即管状花和舌状花，它们的数目分别是55和89，它们的比值也恰好是0.618。
黄金分割法-0.618法
0
1-x
x
1Leabharlann 0 2x-1x-1x
(1-x)/1=(2x-1)/x,即x2+x-1=0,得x≈0.618. 这就是黄金 分割常数。
黄金分割常数用ω表示，我们常常取近似值，记作ω=0.618
怎样用黄金分割常数来缩小因素范围[a,b]，从而找到最佳点呢? 这是我们今天要解决的问题.
黄金分割法---0.618法
0.618n-1≤0.05
则 n≥
.
lg0.05 +1≈7.22 lg0.618
.
所以,只要安排8次试验,就可以使精度达到0.05.
精度计算公式:
n≥
.
lgδ +1 lg0.618
.
其中,δ为精度.
小结: 1、黄金分割法适应于目标函数为单峰的情形. 2、第一个实验点确定在因素范围的0.618处. 3、后续实验点用“加两头，减中间”的方法来确 定.
黄金分割法—0.618法
1974年，数学家华罗庚(左3)在农村推广优选法
什么是线段的黄金分割点？
A C B
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，若AC2=BC×AB， 如图，
则称点C为线段AB的黄金分割点。
线段AC与AB的比值是多少?
A C B
设线段AC=x,为了计算方便,不妨设AB=1.
不难得出:x2+x-1=0 解之:x≈0.618
尽快的找到最佳点的两个原则是什么？
（1）每次要进行比较的两个试验点，应关于相应试验区间的中 心对称；（2）每次舍去的区间占舍去前的区间长度的比例数应 为相同。 • 根据上面的两个原则: (b-x1)/(b-a)=(x1-x2)/(x1-a)
a
黄金分割率及其高级应用
黄⾦分割率及其⾼级应⽤黄⾦分割率及其⾼级应⽤黄⾦分割率及其⾼级应⽤ zt⼀、黄⾦分割率的由来黄⾦分割率 0.618033988..., 是⼀个充满⽆穷魔⼒的的⽆理数. 它不但在数学中扮演着神奇的⾓⾊,⽽且在建筑,美学, 艺术、军事, ⾳乐, 甚⾄在投机领域都可以找到这个神奇数字的存在.四千年前,古埃及⼈把黄⾦分割⽤在⼤⾦字塔的建造上. 两千三百年前, 古希腊数学家欧⼏理德第⼀次⽤⼏何的⽅法给出黄⾦分割率的计算. ⽶开朗基罗、达.芬奇把黄⾦分割融会于他们的绘画与雕塑，在贝多芬, 莫扎特,巴赫的⾳乐⾥流动着黄⾦分割的完美和谐（关于黄⾦分割的更多实例，可以参见附录⾥⾯搜集的各⽅⾯报道。
）。
早在古希腊⼈们就注意到⼀个“神秘”数字。
假定有⼀个数φ，它有如下有趣的数学关系： φ^2 - φ^1 -φ^0 =0 即：φ^2 -φ -1 =0 解这个⽅程，有两个解： (1 + √5) / 2 = 1.6180339887... (1 - √5) / 2 = - 0.6180339887...注意这两个数的⼩数部分是完全相同的。
正数解被称为黄⾦数或黄⾦分割率，通常⽤φ表⽰。
这是⼀个⽆理数(⼩数⽆限不循环，没法⽤分数来表⽰)，⽽且是最⽆理的⽆理数。
我们暂且从遥远的历史长河中回到现代投机市场，黄⾦分割在投机领域⾥第⼀次正式登台亮相，是在艾略特的波浪理论⾥。
虽然本⼈并不推崇波浪理论，但不得不承认，该理论是⼀座投机领域中的丰碑。
⼆、黄⾦分割率的理论基础艾略特在其波浪理论⾥，并没有给出使⽤黄⾦分割率和神奇数字的理论基础；这可能是因为局限于那个时代的科学发展⽔平，虽然他在股市⾥观察到⽐⽐皆是的例⼦。
由于黄⾦分割率和神密数字⼀直没有理论作为依据，所以有⼈批评是迷信，是巧合；本⼈不敢苟同这种观点；并且尝试着利⽤我⼀点⼉浅薄的理科知识，来给黄⾦分割率找个基础。
在附录⾥⾯的⼀篇科学报道⾥我们看到：“这个实验结果让我们马上想到，植物中斐波纳契数花样的发⽣可能也是由于同样的原因：即在⼀定形状的范围内如何让应⼒引起的应变能最⼩（能量最⼩是物理学中的基本原理，最通俗的例⼦是⽔总是往低处流）。
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黄金分割0.618的来历
有一个在经济生活、科学研究中都很有用的数
——0.618，由它决定了一种最优化方法。
使用它，人们节约了大量的时间、财力和物力，当人们探讨它的来历时才发现它竟是一种纯数学思考的产物!纯数学思考的产物怎么会那么符合实际?这就是这个数中所包含的一个美丽的谜语。
欧多克斯的“中外比”
欧多克斯是公元前4世纪的希腊数学家，他曾研究过大量的比例问题，并创造了比例论。
在研究比例的过程中，有一次提出这样一个问题：能否将一条线段分为不相等的两部分，使较长部分为原线段和较短部分的比例中项?
他通过研究发现，可以将一已知线段分为两段，使之满足长线段与短线段之比等于全线段与长线段之比，即长线段为全线段与短线段的比例中项。
若设已知线段为AB，点C将AB分割成AC、BC，AC>BC，且AC^2=AB·CB，那么分点C就是线段AB的黄金分割点.
于是，欧多克斯将这种比专称为“中外比”。
在数学史上，是欧多克斯首先提出的中外比，不过希腊人发现中外比要更早一些。
神秘的毕达哥拉斯学派曾以五角星形为其标志，五角星形的作图中就包含着中外比。
雅典的巴特农神殿是古希腊的一大杰作，这座建造于公元前5世纪的神殿的宽与高之比就恰恰符合中外比。
中外比后来被世人通称为“黄金分割”，虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯，但是，它究竟起源于何时、何故呢?
黄金分割的起源
人们认为，黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关——特别是由五角星形作图的需要引起的。
五角星形是一种很耐人寻味的图案，世界许多国家国旗上的“星”都画成五角形。
现今有将近40个国家(如中国、美国、朝鲜、土耳其、古巴等等)的国旗上有五角星。
为什么是五角而不是其他数目的角?也许是古代留下来的习惯。
五角星形的起源甚早，现在发现最早的五角星形图案是在幼发拉底河下游马鲁克地方(现属伊拉克)发现的一块公元
前3200年左右制成的泥板上。
古希腊的毕达哥拉斯学派用五角星形作为他们的徽章或标志，称之为“健康”。
可以认为毕达哥拉斯已熟知五角星形的作法，由此可知他已掌握了黄金分割的方法。
现在人一般认为，黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。
系统论述黄金分割的最早记载是欧几里得的《几何原本》，在该书第四卷中记述了用黄金分割作五边形、十边形的的问题，在第二卷第11节中详细讲了黄金分割的计算方法，其中写道：“以点H按中末比截线段AB，使AB∶AH=AH∶HB”将这一式子计算一下：设AB=1，AH=x，则上面等式18，点H
是AB的黄金分割点，0.618叫做“黄金数”。
在《几何原本》中把它称为“中末比”。
直到文艺复兴时期，人们重新发现了古希腊数学，并且发现这种比例广泛存在于许多图形的自然结构之中，因而高度推崇中末比的奇妙性质和用途。
意大利数学家帕乔利称中末比为“神圣比例”;德国天文学家开普勒称中末比为“比例分割”，并认为勾股定理“好比黄金”，中末比“堪称珠玉”。
最早在著作中使用“黄金分割”这一名称的是德国数学家M·欧姆，他是发现电学的欧姆定律的G·S·欧姆的弟弟。
他在自己的著作《纯粹初等数学》(第二版，1835)中用了德文字：“dergoldeneschnitt(黄金分割)”来表述中末比，以后，这一称呼才逐渐流行起来。
黄金分割与“兔子问题”
斐波那契是13世纪欧洲著名的数学家，他是意大利人。
1202年出版的他的著作《算盘书》向欧洲人介绍了东方数学。
这部书1228年修订本中引入了一个“兔子问题”。
该题要求计算由一对兔子开始，一年后能繁殖多少对兔子。
题中假定，一对兔子每一个月可以生一对小兔，而小兔出生的第二个月就能生新的小兔，这样开始时是一对，一月后成为2对，两月后3对，三个月后5对，……每个月的兔子对数排成一个数列：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，……
叫“斐波那契数列”，其构造是从第3项起，每一项是前两项之和，即：fn=fn-1+fn-2(n≥3)，fn表示第n项。
如果用G表示黄金分割数，这些比值越来越接近G，事实上，以G为极限。
这一有趣的性质非常奇特：由两个完全不同的数学领域来的问题得出了共同的结果。
两者之间神奇的联系，使黄金分割更具神秘感和迷人的魅力。
黄金分割的启示
随着社会的发展，人们发现黄金分割在自然和社会中有着极其广泛的应用。
例如，优选法中有两种方法与黄金分割就有关。
其一就是本文开始时指出的“0.618法”，它是美国数学家基弗于1953年提出的一种优选法，从1970年开始在我国推广，取得很好的经济效益。
在现代最优化理论中，它能使我们用较少的实验找到合适的工艺条件和合理的配方。
虽然G是一个无理数，0.168是它的一个近似值，但在实际中使用已足够精确。
其二是分数法，它取的也是G的近似值，但不是0.618而是G的连分数展开式的渐近分数，也就是采用某一个“斐波那契数列”分数。
黄金分割运用也表现出数学发展的一个规律。
它表明研究和发展数学理论是十分重要的。
纯理论的发展对实践的作用也许不是直接的，但它所揭示的自然规律必将指导人们的社会实践。
因此一方面我们遇到问题应该寻找数学方法解决，
另一方面，我们也应为纯数学理论开辟应用领域。
此外，对“黄金分割”的神秘性附会的现象也是存在的。
比如黄金分割与“美”的关系，有人说：用黄金分割所得的两段作边的矩形(即两边之比=G的矩形)是最美的。
这是没有充分根据的，专家在做社会调查中也否定了这一结论。
因此“黄金矩形最美”的结论是不确定的。
由此推出的许多推测自然也是不可靠的。
又比如说，人体的各部分长度(如从头顶到肚脐，由肚脐到脚跟)的比合于黄金分割比例才是最美的;建筑物的各部分的比例合乎黄金比例才是最美的等等。
这些说法多半是牵强附会。
还有说乐器弦长的比等于黄金比，弹奏出的声音就和谐悦耳，也是一种误解，实际上，调和乐音的弦长必须成简单比，而黄金比是一个无理数!。