含参数的一元二次不等式的解法举例
含参数的一元二次不等式例题
含参数的一元二次不等式例题例题 1解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。
解析：对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。
当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。
例题 2解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。
解析：当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。
当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。
若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。
当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
含参数的一元二次不等式
含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;
例1 解不等式：()0122>+++x a ax
例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax
分析 因为0≠a
，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；
例3 解不等式042>++ax x
分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122
三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即
212121,,x x x x x x <=<；
例5 解不等式)0( 01)1(2≠<++
-a x a a x 例6 解不等式06522>+-a
ax x ，0≠a
练习、（1）解关于x 的不等式：.0)2(2
>+-+a x a x （2）解关于x 的不等式：.01)1(2
<++-x a ax （3）解关于x 的不等式：.012
<-+ax ax。
含参数的一元二次不等式的解法高中数学
含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。
当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。
本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。
首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。
我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。
步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。
若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。
若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。
步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。
对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。
2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
含参一元二次不等式的解法
变式3： 设不等式mx 2 x m 1 0对于满足 | m | 2的一切
2
m值都成立，则x的取值范围。
ax 5 例3.已知关于x的不等式 2 0的解集为 M x a (1) 当a 4 时，求集合 M ; (2)若3 M , 且 5 M , 求实数a的取值范围。 5 x 4x 5 4 0 解： (1) a 4 时，得 2 0, ( x 2)( x 2) x 4
2
ax 2. 1的解集为{x | x 1或x 2}, 求a. x 1
例 2： 已知关于x的不等式(k 2 4k 5) x 2 4(1 k ) x 3 0 的解集为R, 求实数k的取值范围。
变式1：解集为空集 2 x 2 2mx m 变式2：如果不等式 1对一切x R都成立， 2 4x 6x 3 则实数m的取值范围是
5 3a 5 解： (2) 3 M , 0, a 9 或 a 3 9a 5a 5 5 M , 25 a 0或 0, 25 a 即 (a 1)(a 25) 0, 1 a 25 5 综上，a 的取值范围是a | a 或a 9 a | 1 a 25 3 5 a | 1 a 或 9 a 25 3
例1、解不等式 (1)2 x ax 2 0;
2
（2）ax ( a 2) x 2 0
2
练习：解不等式
x (a a ) x a 0
2 2 3
练习 1. 已知不等式ax bx c 0的解集为
2
{x | x }, 其中 0, 求不等式 cx bx a 0的解集.
5 故 x 2, 或 x 2 4
含参数的一元二次不等式
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
含参数的一元二次不等式的解法
2、上述不等式所对应的一元二次方程的特征是什么？ 二次项前面没有参数、可因式分解
3、若将条件a>1去掉，该不等式如何求解？
分类讨论，比较两根a与1的大小关系
引导探究 变式训练：
1、解关于x的不等式 x2-ax - (a+1) >0
2、解关于x的不等式 ax2-(a+1)x+1>0
数学思想：分类讨论思想
当堂练习（10分钟）
基础题1.解关于x的不等式：x2 + 5ax + 6a2 > 0
2.解关于x的不等式：ax2 + (6a+1)x + 6 > 0
探究题： 已知常数 a R, 解关于x的不等式： ax2 2x a 0
当堂诊学（10分钟）
请同学们根据下面提供的答案自我订正：
思考：
{x x 5 或x 6}
2
R
{x 2 x 1}
3
2
1、解一元二次不等式时要考虑哪些要素？
2、若对于一个一元二次不等式中项的系数含有参数，
该如何解决呢？
解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
引导探究 解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
探究： 1、解一元二次不等式应考虑它的哪些要素？
当a <0时，解集为：{x︱x> －3a或x< －2a};
1：
当a =0时，解集为： {x︱x∈R且x≠0};
当a >0时，解集为：{x︱x> －2a或x< －3a}.
1.当a
0时，解集为x
6
含参数的一元二次不等式
-a
1 (-a)
-a
(1)-a<1（2） -a=1 (3)-a>1
例2
解不等式ax +(a-1)x-1>0(a R)
2
二次项含有参数应如何求解？
考点
含参数的一元二次不等式
y x y
x1
O
x2
x1
O
x2
ห้องสมุดไป่ตู้
x
解不等式ax2 +(a-1)x-1>0(a R)
2
,
显然
x1 x 2
a a 2 16 x2 2
∴原不等式的解集为：
a a 2 16 a a 2 16 x x 或 x 〈 2 2
成果验收
课堂练习：
若不等式（ 1-a)x2 4 x 6 0的解集是{-3<x<1}, 求实数a的值.
mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时，1-2x<0, 1 即当x> 时，不等式恒成立,不满足题意； 2 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即
m 0 , 则m无解. 4 4m(1 m) 0
例1 不等式ax2 +（a-1）x+ a-1＜0对所有实数x∈R 都成立，求a的取值范围.
分析：开口向下，且与x轴无交点 。 解：由题目条件知： (1) a ＜ 0，且△ ＜ 0. 因此a ＜ -1/3。 （2）a = 0时，不等式为-x-1 ＜0 不符合题意。 1 a | a 综上所述：a的取值范围是 3
含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式例1.解关于x 的不等式2(1)0x a x a +--<.【解】易知原不等式可化为()(1)0x a x -+<,其对就方程的两根为1,a -,所以(1)当1a =-时,则不等式2(1)0x +<, 则x ∈∅;(2)当1a <-时,则不等式的解集为(,1)x a ∈-;(3)当1a >-时,则不等式的解集为(1,)x a ∈-.例2.解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R ---<∈.【解】(1)当0a =时,不等式可化为10x -<,即1x <;(2)当0a ≠时,不等式可化为(1)(1)0ax x +-<,其对应方程两根为11,a -,所以 ①当0a >时,显然101a -<<,所以原不等式的解为1(,1)x a ∈-; 当0a <时,有10a->,所以, ②当1a =-时,11a-=,原不等式可化为2(1)0x --<,其解为1x ≠; ③当10a -<<时,有11a ->,则不等式的解为1(,1)(,)x a∈-∞-+∞ ; ④当1a <-时,有11a -<,则不等式的解为1(,)(1,)x a∈-∞-+∞ ; 综上(1)(2)可知,原不等式的解集为:(按a 从小到大的顺序排列,且能并取了并集)①当1a <-时,有1(,)(1,)x a∈-∞-+∞ ; ②当10a -≤<时,有1(,1)(,)x a∈-∞-+∞ ; ③当0a =时,有(,1)x ∈-∞;④当0a >时,有1(,1)x a∈-. 例3.解关于x 的不等式220ax x a -+<.【解】(1)当0a =时,原等式可化为20x -<,即有0x >;(2)当0a ≠时,不等式对应方程的24(1)a ∆=-,所以,1)当0∆<,即1a >或1a <-时,有①当1a >时,不等式的解为x ∈∅;②当1a <-时,不等式的解为x R ∈;2)当0∆=,即1a =±时,有③当1a =时,不等式的解为x ∈∅;④当1a =-时,不等式的解为1x ≠-;3)当0∆>,即10a -<<或01a <<时,对应方程的两根为x =所以⑤当01a <<时,,故不等式的解为;⑥当10a -<<时,,故不等式的解为:()x ∈-∞+∞ . 综上(1)、(2)可知原不等式的解集为:(按a 从小到大的顺序排列,且能并取了并集) ①当1a <-时,有x R ∈;②当10a -≤<时,有()x ∈-∞+∞ ; ③当0a =时,有(0,)x ∈+∞;④当01a <<时有x ∈; ⑤当1a ≥时,有x ∈∅.〖小结〗一般地,关于x 的不等式2()()()0(0)p a x q a x r a ⋅+⋅+>≤(其中(),(),()p a q a r a 都是关于a 的简单多项式)的解法———分类讨论法,过程如下:(1)首先,讨论二次项系数()p a 符号(等于0优先);(2)其次,当()0p a ≠时,对应方程因式分解或讨论其判别式∆的符号(0,0∆<∆=优先);(3)再次,当0∆>时,讨论对应方程两根12(),()x a x a 的大小.(4)最后,按参数a 从小到大的顺序将不等式的解集分别陈述总结,能合并则合并起来. 〖巩固练习〗1.解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<.【解】(1)当0a =时,不等式为10x -+<,得1x >;(2)当0a ≠时,不等式可化为(1)(1)0ax x --<,其对应方程两根为1,1a; ①当0a <时,显然101a <<,则不等式的解为1x >或1x a<; ②当0a >时,1)当1a =时,不等式为2(1)0x -<,即x ∈∅;2)当01a <<时,11a >,则不等式的解为11x a<<; 3)当1a >时,11a <,则不等式的解为11x a<<. 综上可知,不等式的解集为①当0a <时,1(,)(1,)x a∈-∞+∞ ; ②当0a =时,(1,)x ∈+∞;③当01a <<时,1(1,)x a∈; ④当1a =时,x ∈∅;⑤当1a >时,1(,1)x a∈. 2.解不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-. 【解】原不等式可化为(1)(2)0[(1)(2)](2)02a x a a x a x x --->⇔---->- 由于1a ≠,故其对应的方程两根为212,111a a a -=---,所以 (1)当1a >时,显然11121a -<<-,故不等式的解为2{|,2}1a x x x a -<>-或; (2)当1a <时,所以①当0a =时,有221a a -=-,故不等式2(2)0x -->的解为x ∈∅; ②当01a <<时,有221a a ->-,故不等式的解为2{|2}1a x x a -<<-; ③当0a <时,有221a a -<-,故不等式的解为2{|2}1a x x a -<<-; 综上(1)、(2)可知,原不等式的解为:①当0a <时,有2{|2}1a x x a -<<-;②当0a =时,有x ∈∅; ③当01a <<时,有2{|2}1a x x a -<<-;④当1a >时,有2{|,2}1a x x x a -<>-或.。
含参数的一元二次不等式的解法
小结：
1.含参数的一元二次不等式解法，通常情况 下均分类讨论，分类主要依据因素： （1）二次项系数; （2）△; (3)两根大小。 2.分类讨论思想，数形结合思想，转化化归 思想。
作业：
P87，B组1、2.
谢谢光临指导
例2.
解关于x的不等式 解关于 的不等式. 的不等式 x2- (2m+1)x+m2+m<0.
解：方程x2- (2m+1)x+m2+m=0解集为 x1=m,x2=m+1,且m<m+1. 二次函数y= x2- (2m+1)x+m2+m的图 像开口向上，且与x轴有两个交点。 所以，不等式x2- (2m+1)x+m2+m<0 的解集为｛x ︱m<x<m+1｝
例4：解关于x的不等式： x2+(1-a)x-a<0
解：方程x2+(1-a)x-a<0的解为x1=1,x2=a. (1)当a<-1时，原不等式的解集为(a,-1); (2)当a=-1时，原不等式的解集为￠; (3)当a>-1时，原不等式的解集为(-1,a).
课堂练习:
1.P81中1、2、4. 2.若不等式ax2+5x+b>0的解为｛x︱ 1/3<x<1/2｝,则 a,b的值分别是——。 a=-6 b=-1
x∈ R
Φ
ax2 +bx+c < 0(a > 0)
的解集
{x / x1 < x < xB分别是不等式3x2+6≤19x与不等式2x2+3x+5>0解集。试求A∩B,A∪B. 解：由3x2+6≤19x，得3x2-19x+6≤0. 方程3x2-19x+6=0的解为 x1=1/3,x2=6. 函数y=3x2-19x+6的图像开口向上且与x轴有两个 交点(1/3,0)和(6,0)。 所以原不等式的解集为A=｛x︱1/3≤x≤6｝。 同理可得，不等式B的解集为A=｛x︱ - 1<x＜ 5/2｝ 所以A∩B= ｛x︱1/3≤x<5/2｝, A∪B= ｛x︱-1＜ x≤6｝