含参数的一元二次不等式的解法(专题)
一元二次不等式的解法含参不等式恒成立问题及根的分布
范围是
.
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条
件的m值的集合：
(1)两根都大于0;
x=m/2
(2)一个根大于0,另一个根小于0;
(3)两根都小于1.
x1
x2
解：令f(x)=x2-mx-m+3且图像与x轴相交
则△＝m2-4(-m+3)＝(m+6)(m-2)≥0
.
3.已知关于 x 的方程 x2 (m 2)x 1 0 无正根,
求 m 的取值范围.
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题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为 ( 1 , 1), 求a-b 的值.
23
[思路分析] 由不等式 ax2 bx 2 0 对应的方程 ax2 bx 2 0 的两根为 1 , 1 , 可利用二次方程
两个根都在（k1 , k2 )内
x1<k1 < k2 <x2
y
y
k1 o k2 x
ok1 k2
x
0
k1
b 2a
k2
f
(k1 )
0
f (k2 ) 0
f f
(k1 ) (k2 )
0 0
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题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题 1.已知方程 x2 2mx m 12 0 .
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
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课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是
含参数的一元二次不等式的解法高中数学
含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。
当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。
本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。
首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。
我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。
步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。
若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。
若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。
步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。
对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。
2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。
含参一元二次不等式解法及简单恒成立
m＜0.综上，m 的取值范围为 m≤0.
[类题通法] 不等式对任意实数 x 恒成立， 就是不等式的解集为 R， 对于一 元 二 次 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c ＞ 0 ， 它 的 解 集 为 R 的 条 件 为
a＞0， 2 Δ＝b －4ac＜0；
一元二次不等式 ax2＋bx＋c≥0， 它的解集为 R
g1＜0， g－3＜0，
2 x －2x＋4＜0， 即 2 x －10x＋4＜0.
因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x，使函数y ＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．
x＜1.
1 1 当 a＜－1 时，－a＜1，∴x＞1 或 x＜－a， 综上原不等式的解集是： 当 a＝0 时，{x|x＜1}；当 a＞0
1 时， x|－a＜x＜1； 1 时，x|x＜1或x＞－a .
当 a＝－1 时，{x|x≠1}；当－1＜a＜0 当 a＜－1
4 、 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＜ 0 的 解 集 是 1 x |x ＜－2 或 x ＞－ 2 ，求 ax 2－bx ＋c＞0 的解集．
二、不等式恒成立
关于 x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1 对 x ∈R 恒成立， 求实数 1、 m 的取值范围．源自 a＝－3， 得 b＝2，
代入所求不等式，得 2x2－3x＋1＞0. 1 由 2x －3x＋1＞0⇔(2x－1)(x－1)＞0⇔x＜ 或 x＞1. 2
2
∴bx ＋ax＋1＞0
2
1 的解集为－∞，2∪(1，＋∞)．
[类题通法] 1．一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根， 也是函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象在 x 轴上方的部分，是由 不等式 ax2＋bx＋c＞0 的 x 的值构成的； 图象在 x 轴下方的部分， 是由不等式 ax2＋bx＋c＜0 的 x 的值构成的， 三者之间相互依存、 相互转化．
含参数的一元二次不等式
1 1 1 即 a 1时，原不等式的解集为： {x | x 1} a a 1 1即 a 1 时，原不等式的解集为： a
1 1 a
即
1 {x |1 x } 0 a 1 时，原不等式的解集为： a
含参数的一元二次不等式的解法
综上所述， (1)当 a 0 时，原不等式的解集为 (2)当 a 0 时，原不等式的解集为
2
又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0
故只需比较两根2a与3a的大小.
x 解: 原不等式可化为： 2a ( x 3a) 0
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
综上所述： a 0时，原不等式解集为：x | x 2a或x 3a
a 0时，原不等式解集为： | x 3a或x 2a x
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
两根大小的讨论
例题讲解
含参数的一元二次不等式的解法
2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0
解集为：x x 0
解集为：x x 2
2 x 2 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
k 2 8k 0 即 k 0 或 k 8 （３)当
时,
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
例3： 解不等式
2
x ax 4 0
2
解：∵ a 16 ∴ 当a 4,4即 0时
含参数的一元二次不等式的解法(专题)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式经常使用的分类方式有三种： 一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，因此咱们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ； 二、(1－ax )2<1.}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)【解】由(1－ax )2<1得a 2x 2－2ax ＋1<1.即ax (ax －2)<0.(1)当a ＝0时，不等式转化为0<0，故原不等式无解．(2)当a <0时，不等式转化为x (ax －2)>0，即x (x －2a )<0.∵2a <0，∴不等式的解集为{x |2a<x <0}．(3)当a >0时，不等式转化为x (ax －2)<0，又2a>0，}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情形。
含参一元二次不等式的解法
变式3： 设不等式mx 2 x m 1 0对于满足 | m | 2的一切
2
m值都成立，则x的取值范围。
ax 5 例3.已知关于x的不等式 2 0的解集为 M x a (1) 当a 4 时，求集合 M ; (2)若3 M , 且 5 M , 求实数a的取值范围。 5 x 4x 5 4 0 解： (1) a 4 时，得 2 0, ( x 2)( x 2) x 4
2
ax 2. 1的解集为{x | x 1或x 2}, 求a. x 1
例 2： 已知关于x的不等式(k 2 4k 5) x 2 4(1 k ) x 3 0 的解集为R, 求实数k的取值范围。
变式1：解集为空集 2 x 2 2mx m 变式2：如果不等式 1对一切x R都成立， 2 4x 6x 3 则实数m的取值范围是
5 3a 5 解： (2) 3 M , 0, a 9 或 a 3 9a 5a 5 5 M , 25 a 0或 0, 25 a 即 (a 1)(a 25) 0, 1 a 25 5 综上，a 的取值范围是a | a 或a 9 a | 1 a 25 3 5 a | 1 a 或 9 a 25 3
例1、解不等式 (1)2 x ax 2 0;
2
（2）ax ( a 2) x 2 0
2
练习：解不等式
x (a a ) x a 0
2 2 3
练习 1. 已知不等式ax bx c 0的解集为
2
{x | x }, 其中 0, 求不等式 cx bx a 0的解集.
5 故 x 2, 或 x 2 4
含参数的一元二次不等式的解法(讲)
记 g ( x) 2 x2 9 x, x [2,3],
gmin ( x) g(3) 9, m ≤ 9. （1）变量分离法(分离参数)
【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将 不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不 等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归 为解关于参数的不等式的问题．
解
（1）不等式mx2-2x-m+1<0恒成立，即函数f(x)=
mx2-2x-m+1的图象全部在x轴下方.
当m=0时，1-2x<0, 1 即当x> 时，不等式恒成立,不满足题意； 3分 2 当m≠0时，函数f(x)=mx2-2x-m+1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx2-2x-m+1=0无解，即
2 2 x 2x 3 0 f (2) 0 , 即 2 f (2) 0 2 x 2 x 1 0
7分
① ②
9分
1 7 1 7 解①, 得x 或x , 2 2 1 3 1 3 解②, 得 x . 2 2 -1 7 1 3 由①②得 x . 2 2 -1 7 1 3 x的 取 值 范 围 为 {x | x }. 2 2
分析：开口向下，且与x轴无交点 。 解：由题目条件知： (1) a ＜ 0，且△ ＜ 0. 因此a ＜ -1/3。 （2）a = 0时，不等式为-x-1 ＜0 不符合题意。 1 a | a 综上所述：a的取值范围是 3
二次不等式ax² +bx+c>0的解集是全体实数的 a>0时，⊿＝b² -4ac<0 条件是______.
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综上, 当c>2时,原不等式的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时,原不等式的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时,原不等式的解集为∅. 探究提高
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含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢对含参一元
二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2
x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;
例1 解不等式：()0122
>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222
>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122
=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652
≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2
>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x
二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；
例3 解不等式042>++ax x
分析 本题中由于2
x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a
∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；
当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2
1622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式()
()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m
m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>
-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；
例5 解不等式)0( 01)1(2
≠<++-a x a
a x 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--a x a x ，故对应的方程必有两解。
本题 只需讨论两根的大小即可。
解：原不等式可化为：()0)1(<-
-a x a x ，令a a 1=，可得：1±=a ∴当1-<a 或10<<a 时，a a 1< ，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧<<a x a x 1|； 当1=a 或1-=a 时，a
a 1=,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。
例6 解不等式06522
>+-a ax x ，0≠a
分析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小.
解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为
a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<a 时，即23a a ，解集为{}|23x x a x a ><或。