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《线性代数》分块矩阵
A12
A22
其中，子块
1 0 A11 0 1
A21 4 0
A12
1 3
2 4
0 0
A22 2 1 1
有时候，也常把矩阵按列分块：
a11 a12
A
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
β1,
β2 ,
amn
, βn
称之为列分块矩阵，其中 βj (a1j , a2 j , , amj )T
C13 C23
4 2
1
A11 (0, 0),
A12 (5),
A21
0
1 ,
A22
2
,
1 B11 5,
2 B12 3
14,
1 B13 0 ,
B21 0,
B22 0
2,
B23 0
AB
C
C11 C21
C12 C22
C13 C23
其中
C11 A11B11 A12B21 (0
4 分块矩阵 (Partitional matrices)
4.1 分块矩阵的概念
用若干条横线和纵线把矩阵A分成若干小块，每一个小
块作为一个矩阵，称为A的子块(或子矩阵). 把A的每一个子
块作为一个元素构成的矩阵称为分块矩阵. 例如
1
A
0
4
0 1 0
1 3 2
2 4 1
0 0 1
A11 A21
AT
A11T A12T
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
例2.
A1Ts A2Ts
ArsT
1 0 0
1 A 0
0
0 1 0
第8讲 分块矩阵、矩阵的秩.PPT
0 0 3 2
0
0
1
1
3
解：设
A
0
0
0
0 2 0 0
0 0 3 1
0 0 2 1
A1
A2
A3
A1 3 , A2 2 , A3 1
所以 A 3（ 2）1 6
又
A11
1 3
,
A21
1 2
,
A31
1 1
2
3
1 3
0
0 0
故
A1
0
12 0
2
A3 A2 A 0
2 2
1 2 0
1
0 3
1 0
32 3
3 32
0
0
2 0 0
0
0
3
3.
(1)
3 B'
2A
1 3 0
0 2
3 1 0 2 0
0 2
0 1 1 0
0 2
3 2
0 1 1 0 0 1 0 3 1
1 0 6 1 0 0 0 0 6
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是 把“r”换成“c”)．
三、 由 P 1AP B 有 P P1APP 1 P B P 1
A PBP 1 A2 AA PBP1PBP1 PBBP1 PB2P 1
A10 PB10P 1
P 1 1 1 4 3 1 1
B2 BB 1 0
0 1 2 0
0 2
(1)2 0
0 22
B3 B2B 1 0
Bs
A1 B1
0
L
0
0L A2 B2 L
LL 00
0
0
L
分块矩阵
(3 ) 设 A 为 m × l矩阵 , B 为 l × n 矩阵 , 分块成
A11 A= M A s1 L L A1 t M A st , B 11 B = M B t1 L L B1 r M B tr ,
其中 Ai 1 , Ai 2 , L , Ait的列数分别等于 B1 j , B2 j , L , Bij 的行数 , 那末
1 3 4 2 1 3 , 0 2 1 0 0 2
三、小结
在矩阵理论的研究中, 在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最 基本,最重要的计算技巧与方法. 基本,最重要的计算技巧与方法. 分块矩阵之间的运算 分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似 (1) 加法 同型矩阵 , 采用相同的分块法 (2) 数乘 (3) 乘法
数k乘矩阵 A, 需k乘A的每个子块
若A与B相乘, 需A的列的划分与 B的划分相一致
λ A11 L λ A1 r M . λA = M λA L λ Asr s1
1 0 1 −1 2 2 3 0 A= 3 1 2 2 2 0 2 −2 4 4 6 0 2A = 6 2 4 4
−1
0 ( E是n阶单位阵 ) E
A X 11 = E , A X 12 = O , 有 C X 11 + B X 21 = O , C X + B X = −1 , X 11 X 12 = O , = − B −1 C A−1 , X 21 = B −1 , X 22
A n×n
C
Bm×m
= A⋅B
C
Bm×m
A n×n ( −1)mn A ⋅ B = 0
5 2 例2 设A= 0 0
矩阵分块法
As1
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
线性代数—矩阵的分块、子矩阵
数,
那
么
As1 Asr
A
A11
A1r
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
A
A11
A1t
,
B
B11
B1r
,
As1 Ast
Bt1 Btr
其中Ai1 , Ai2 ,, Ait的列数分别等于B1 j , B2 j ,, Bij
的
行
数,
上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都
是方阵.即
A1
A
A2
O
O
,
As
A1
A
A2
O
O
,
As
其中 Ai i 1,2,s 都是方阵,那末称 A为分块
对角矩阵.
若每一块 Ai 均可逆, 则A可逆，并有
A11
o
A1
A21
o
. As 1
A1 0
0 A2
0 B1 0 0
那么
AB
C11
C1r
t
Cs1 Csr
其中Cij Aik Bkj i 1,, s; j 1,, r .
k 1
4
设
A
A11
A1r
, 则则
AATT
AA1T1T11
AAsTsT11 ..
As1 Asr
AA1Tr1Tr
AAsTsTrr
5 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线
0
0 1 0 0 0 1 3 1
0
0
2
1
0
21
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分块矩阵
2
O
1 11
2
2 2
M M
m
m
m
m
(2)以对角阵n右乘矩阵Amn时 把A按列分块 有
AAmmnnn n(a(a1,1a, a2,2,,a, an)n)1 12 2mm((1a1a1,1, 2a2a2,2,,, nanan)n)
例4 设ATAO 证明AO
证明 设A(aij)mn 把A用列向量表示为A(a1 a2 an) 则
例5 设4阶矩阵A α, γ2, γ3, γ4 , B β, γ2, γ3, γ4 ,其中
α, β, γ2, γ3, γ4均为4行1列的分块矩阵，已知 A 4, B 1,
则 AB
.
解 A B α, γ2, γ3, γ4 ＋ β,γ2,γ3,γ4 ＝α＋β, 2γ2, 2γ3, 2γ4
AT
A
a1T a2T
anT
(a1,
a2,
an
)
a1T a1 a2T a1
anT a1
a1T a2 a2T a2
anT a2
a1T an a2T an
anT an
因为ATAO 所以
aiT
ai
(ai1,
ai2,
,
ain)
ai1 ai2
ain
ai21 ai22 ai2n 0 (i1 2 n) 从而ai1ai2 ain0(i1 2 n) 即AO
A12 L A22 L
A1s
A
2s
M M M
Ar1 A r2 L Ars
AT
A1T1 A1T2 M
A
T 21
L
A
T 22
L
A
T
第3节 分块矩阵(全)
A12
A22
这是2阶 方阵吗？
A11
a11
a21
a12
a22
A12
a13
a23
a14
a24
为A的子块
A21 a31 a32
A22 a33 a34
矩阵形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵。
将一个矩阵分成分块矩阵的方法很多，分块时要注意矩阵的 特点。
例
1 0 0 1 2
0
A 0
1 0
0 1
2 3
3 4
E3 O23
A12
2
E2
0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
其中
1 2
A12
2
3
3 4
结论：根据研究问题的实际需要，将矩阵进行分块，可以使矩 阵的结构变得更加清晰，有利于矩阵的计算。
分块矩阵的运算规则
一、分块矩阵的加法
设A、B都是m n矩阵，采用相同的分块法，得到分块矩阵
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中子块 Aij 与 Bij 同型，规定
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
As1 Bs1 Asr Bsr
如果两个同型矩阵的分块方法相同，它们相加时，即把对应的子块相加，而
每对子块之间的加法，则按着普通矩阵的加法进行运算。
对于分块对角矩阵，可求得
A A1 A2 As
由此可知 A的充0 分必要条件是 ( iA=i1，02，…，s)。从 而可知分块对角矩阵A可逆的充分必要条件是 (i=1，2A，i …，s) 均可逆。并且，当A可逆时，有
分块矩阵
【注】 分块矩阵的加法要求A、B的分块方法必须 完全一致.
例
1 2 3 1 2 3
A
B
4 7
5 8
6 9
4 7
5 8
6 9
1 1
4
4
2
5
3 2
6
5
3
6
本质是对应 元素相加结 果显然一致
7 7 8 9 8 9
分块矩阵的数乘
2 设
A
A11
As1
的增广矩阵
A
a21
a22 L
L L
A
为系数矩阵，B 为常数项.
am1
am 2
L
a1n b1
a2n
b2
( AB)
amn bm
A (12L n )
a1 j
为j 未知数 x j
在各方程中的系数
j
a2 j
L
amj
i 1
A
2
M
m
i (ai1ai2 L ain )
A11 A
As1
A1r Asr
A1T1 AT
A1Tr
AsT1
AsTr
(5) 分块对角阵的行列式
A1
A
A2
O
O
A A1 A2
As .
As
2
A1T1 A1T2
21
00
A2T1 A2T2
0
1
特殊的分块矩阵
5 设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线
上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都
是方阵.即 A1
A
A2
O
O
,