博迪《投资学》笔记和课后习题详解(利率的期限结构)【圣才出品】

第15章利率的期限结构
15.1 复习笔记
利率期限结构，即不同到期期限债券利率之间的关系，通常用被称为收益率曲线的曲线图来描述。

1. 确定的期限结构
长期债券收益率较高的原因有二：一是长期债券风险较大，需要较高的收益率来补偿利率风险；二是投资者预期利率会上升，因此较高的平均收益率反应了对债券后续寿命期的高利率预期。

（1）债券定价
给定期限的利率称为短期利率。

利用不同期限的短期利率对债券进行贴现可以得到债券的价格。

利用债券的价格，可计算出每种债券的到期收益率。

收益率是单利，它等于相对于债券价格的债券支付额的现值。

虽然利率可随时间变化，但各期的到期收益率均以“平均”利率计算，以贴现所有各期的债券支付。

不同期限的到期收益率可以构成收益率曲线。

零息票债券的到期收益率有时也称为即期利率，即今日对应于零期时的利率。

到期收益率实际上是每一时期利率的几何平均值。

（2）分离债券和息票债券的定价
零息票债券的价格可以通过用债券到期时的即期利率对债券票面价值贴现后得到。

可以把息票债券的每一次付息从结果上视为各自独立支付的零息票债券，它们可以独立地被估价。

息票债券的总价值就是其每一次现金流价值的总和。

债券交易者经常要区分零息票债券和息票支付债券的收益曲线。

纯收益曲线反映了零息票债券的到期收益和到期时间之间的关系。

（3）持有期收益（holding period yield, HPY ）
在一个简单的没有不确定性因素的世界中，任何期限的债券一定会提供相同的收益率。

实际上，尽管不同的债券有不同的到期收益率，但每一种债券提供的未来一年的收益率将等于这一年的短期利率。

持有期收益指在一定时期内投资的总收益，包括各种来源的收入。

其计算公式如下：
投资的期初价值投资的期末价值
HPR
其计算得出的值总是大于或等于0, 即它不可能为负值。

如果该值大于1.0表明财富增加，这意味着持有期的收益率为正；如果该值小于1.0表明财富减少，这意味着在持有期的收益率为负；如果该值等于0表明投资损失殆尽。

持有期收益率（HPR ）指一定时间内投资的总收益率，用百分数表示。

其计算公式如下：
HPY=HPR －1
（4）远期利率
在利率变化确定的情况下，可从零息票债券的收益率曲线中推出未来短期利率，其计算公式为：
式中，n 为期数；y n 为n 期零息票债券的到期收益率。

当未来利率与不确定性相联系，用式(15-4)推断出的利率称为远期利率而不是未来短期利率，因为它不一定是未来某一期间的真实利率。

如果n 期的远期利率为f n ，则可用下式定义f n ：
经整理得：
远期利率被定义为“收支相抵”的利率，它相当于一个n期零息票债券的收益率等于n-1期零息票债券在第n期再投资所得到的总收益率。

2. 利率的不确定性与远期利率
考虑风险的情况下，长期债券风险较大，短期投资者不愿投资长期债券，除非长期债券提的期望收益率高于1年期债券提供的收益率。

即投资者要求持有长期债券时，获得一定的风险溢价。

如果大多数人是短期投资者，债券的价格一定是f2大于E(r2)的情况。

远期利率将含有一个与预期未来短期利率相比较的溢价。

这一流动溢价抵消了短期投资者面临的价格的不确定性，在那样一种价格下，他们可在年底出售他们的长期债券。

如果所有人都是长期投资者，短期债券提供的报酬需要补偿投资者所承受的利率风险。

债券价格必需使在短期债券上再投资导致比持有长期债券获得更高的期望收益率。

这将导致远期利率低于预期的未来即期利率。

所以，远期利率是否等于未来短期利率得预期取决于投资者对利率风险的承受情况，同时还取决于投资者持有与他们的投资层次无关的债券的意愿。

3. 期限结构理论
（1）预期假定
预期假定理论认为，远期利率等于市场整体对未来短期利率的预期。

即f2=E(r2)，流动溢价为0。

因为f2=E(r2)，可以将长期债券收益率与远期利率的预期相联系。

还可以用从收益率曲线中得出的远期利率来推断未来短期利率的预期。

（2）流动偏好
短期投资者，除非远期利率超过短期利率的预期(即f2>E(r2))，否则他们不愿持有长期债券；而对长期投资者来说，除非E(r2)>f2，否则他们不愿持有短期债券。

两类投资者都要求有溢价。

流动偏好理论者认为，市场由短期投资者控制，所以，一般来说，远期利率超过短期利率的预期，f2超过E(r2)，即流动溢价预期为一正值。

4. 对期限结构的说明
在利率确定条件下，1加零息票债券的到期收益率的和是一个简单的l加未来短期利率的几何平均值：
当未来利率不确定时，通过用远期利率替代未来短期利率，上式为：
因此，不同到期日债券的收益率与远期利率之间有一直接关系。

从数学角度看，如果收益率曲线是上升的，f n+1一定超过y n。

即在任一收益率曲线上升的到期日n，未来一期的远期利率都要比该期的到期收益率更高。

上斜的收益率曲线总与高于即期利率，或高于当前收益率的远期利率相联系。

远期利率可与预期的未来短期利率的联系如下：
f n=E( r n)+流动溢价
式中，流动溢价是诱使投资者持有债券所必须具备的条件，它与投资者的投资层次的偏好无关。

依据上式，投资者预期利率上升，或投资者要求对持有长期债券有很高的溢价可使远期利率提高。

因此，收益率曲线上升的本身并不意味着有一更高的未来收益率预期。

流动溢价可能发生的种种影响混淆了试图从期限结构中抽象出预期值的尝试。

通过假定流动溢价固定不变，从远期利率中减去溢价估值可以得到市场预期利率。

但是合理的流动溢价估值十分困难，且没有理由相信流动溢价是不变的。

但是，基于流动溢价学
说的经验基础，向下倾斜的收益率曲线说明利率预期将要下降。

而非常陡的向上的收益率曲线被解释为是面临利率上升的警告标志。

名义利率是真实利率加上一个通货膨胀效应的补偿，即：
1+名义利率=(1+真实利率)(1+通胀率)
大约为：
名义利率≈真实利率+通胀率
因此，预期真实利率的变化和预期通货膨胀率的变化都会带来预期利率的改变。

在分析预期利率下降的因素时要区分这两种因素的影响。

5. 作为远期合约的远期利率
通过投资不同到期日的零息债券，可以构建一个组合式远期贷款，锁定未来借款的利率。

若要构建一个n年后执行的，n +1年后到期的利率为n +1年的远期利率的贷款组合。

可以买进一份n年期零息债券，同时卖空（1 +f n）份n +1年期的零息债券。

这样，在n 年时，收入1000美元（零息债券面值），在n +1年后支付1000（1 +f n）美元的面值，相当于获得了利率为（1 +f n）的远期贷款。

6. 期限结构的测度
实际中，多数债券采用息票付息方式，如果息票利率不同，即便到期日相同也会有不同的收益率，所以，与到期时间与收益相关的单一收益率曲线，不能适用于所有的债券。

为了计算纯收益率曲线，需要把每一个息票支付视为一个独立的“微小”的零息票债券。

通过确定这些“零息票债券”各自的价格，可得出单一支付债券的到期收益率，从而得到纯收益率曲线。

当债券的数量大、期限多样时，通过设立折现因子d t（即1美元的远期折现值），并将定价关系的误差看成是一些随机的偶差，可用统计方法来推断收益率曲线中的远期利率。

假
定有多种无风险国债，以i为指数，卖价为P i，债券i在时间t的息票收益率与/或本金的现金流为CF it，1美元在时间t的折现值，即待解的零息票债券价格为d t，误差项为e i。

这样，对每一种债券有：
用回归分析能估算出式(15-7)的值。

其中的因变量是债券价格，自变量为现金流，系数d t 的估计值就是1美元在时间t的折现值。

不同时间支付的d t被称为折现函数。

此外，不同的纳税时间和债券中所包含的期权，包括赎回和可转债选择权，以及报价的迟滞，都会影响对真实的纯收益率曲线的估计。

15.2 课后习题详解
一、概念题
1．利率的期限结构（term structure of interest rates）
答：利率的期限结构是指影响利率的其他因素相同时，期限不同的金融资产收益率之间的关系。

它是在一个时点上因期限差异而产生的不同的利率组合，在本章中主要指债券利率期限结构。

通常用收益率曲线（又称“回报率曲线”）作为描述债券利率期限结构的工具。

它是用来刻画债券的期限与利率之间关系的曲线，其横轴为债券期限，纵轴为债券利率。

一般来说，收益率曲线有三种可能的形态：水平的曲线代表各种期限的债券利率相同，向上倾斜的曲线代表期限越长的债券利率越高，向下倾斜的曲线则代表期限越长的债券利率反而越低。

最常见的是向上倾斜的收益率曲线，因为一般情况下，长期债券的利率高于短期债券的。