2015年江西省高考适应性测试理科数学试卷word版含答案
2015届第三次高考适应性考试数学试卷(理科)
2015届第三次高考适应性考试数学试卷（理科）【试卷综析】这套试题,具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血.但是综合知识、创新题目的题考的有点少.这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.【题文】第I卷共10小题。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分·在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合M满足｛1，2｝｛1，2，3，4｝，则满足条件的集合M的个数为（）A.1 B ．2 C ．3. D. 4【知识点】子集与真子集A1【答案】【解析】C 解析：根据子集的定义，可得集合M必定含有1、2两个元素，而且含有1，2，3，4中的至多三个元素．因此，满足条件{1，2}⊆M⊈{1，2，3，4}的集合M有：{1，2}、{1，2，3}、{1，2，4}，共3个．故选：C．【思路点拨】根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案.【题文】2.已知点A(1,3)，B(4，一1），则与向量AB的方向相反的单位向量是（）A、（－35，45）B、（－45，35）C、（35，－45）D、（45，－35）【知识点】单位向量F1【答案】【解析】A 解析：AB=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），|AB |==5．∴与向量AB的方向相反的单位向量()3,434,555ABAB-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭．故选：A．【思路点拨】利用与向量的方向相反的单位向量ABAB-即可得出．【题文】3.函数2()f x x=＋bx的图象在点A（l，f(1））处的切线与直线3x - y＋2＝0平行，若数列｛1()f n｝的前n项和为Sn，则S2015＝（）A、1B、20132014C、20142015D、20152016【知识点】数列的求和；二次函数的性质．B5 D4【答案】【解析】D 解析：f′（x）=2x+b，由直线3x﹣y+2=0可知其斜率为3，根据题意，有f′（1）=2+b=3，即b=1，所以f（x）=x2+x，从而数列{1 () f n}的通项为，所以S2015==，故选：D．【思路点拨】由f′（1）与直线斜率相等可得f（x）的解析式，从而可得数列{1()f n}的通项公式，计算可得答案．【题文】4.某锥体三视图如右，根据图中所标数据，该锥体的各侧面中，面积最大的是（）A. 3B. 25C. 6D. 8【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案】【解析】C 解析：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：×4×=2．两个侧面面积为：×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选C．【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD 的四个侧面中面积，得到最大值即可．【题文】5.已知圆C1：（x一2）2＋(y－3 )2 =1 ，圆C2 : (x －3)2＋(y－4).2 ＝9，M，N分别是Cl ，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM ｜+ ｜PN｜的最小值为（）A. 17－1B、6－22C、52－4D ．17【知识点】圆与圆的位置关系及其判定．H4【答案】【解析】C 解析：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，C2，C3，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：C．【思路点拨】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【题文】6.函数恰有两个零点，则实数k的范围是（）A.（0，1)B.（0，l）U（1,2）C. (1，＋oo）D、（一oo,2)【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9【答案】【解析】B 解析：由题意，令f（x）=0，则211xkx x-= -令2111xyx-=-，2y kx=，则y1==，图象如图所示2y kx =表示过点（0，0）的直线，结合图像以及斜率的意义，∴k 的取值范围是（0，1）∪（1，2）， 故选B.【思路点拨】令f （x ）=0，则211x kxx -=-，构建函数，作出函数的图象，即可求得k 的取值范围．【题文】7.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M （1，m ）（m >0）到其焦点的距离为5，双曲线2221x y a -=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行、则实数a 等于（ ） A 、19 B 、14 C 、13 D 、12【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．H6 H7【答案】【解析】A 解析：抛物线y2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣， 由抛物线的定义可得5=1+，可得p=8，即有y2=16x ，M （1，4），双曲线﹣y2=1的左顶点为A （﹣，0），渐近线方程为y=±x ，直线AM 的斜率为，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得=，解得a=，故选A ．【思路点拨】求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M 的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a 的值． 【题文】8.函数在x ＝1和x ＝－1处分别取得最大值和最小值，且对于，则函数f （x ＋1）一定是（ ）A ．周期为2的偶函数 B.周期为2的奇函数C.周期为4的奇函数D.周期为4的偶函数 【知识点】正弦函数的图象．B4 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，[﹣1，1]是f （x ）的一个增区间，函数f （x ）的周期为2×2=4， ∴=4，ω=，∴f （x ）=Asin （x+φ）．再根据f （1）=Asin （ω+φ）=A ，可得sin （+φ）=cosφ=1，故φ=2kπ，k ∈z ，f （x ）=Asin x ，故f （x ）是周期为4的奇函数，故选：C ．【思路点拨】由题意可得函数f （x ）的周期为4，由此求得ω 的值，再根据f （1）=A ，求得φ 的值，可得f （x ）的解析式，从而得出结论． 【题文】9．已知正方体ABCD 一A1B1C1D1，，下列命题：③向量1AD 与向量1A B 的夹角为600④正方体ABCD 一A1B1C1D1的体积为1||AB AA AD ，其中正确命题序号是A.①③B.①②③C.①④D.①②④． 【知识点】空间向量及应用F1 【答案】【解析】A 解析：如图所示：以点D 为坐标原点，以向量，，所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），对于①：，∴，，∴，∴||=，||=1，∴①正确；对于②：，，∴=2．∴②错误；对于③：，，∴，∴③正确；对于④：∵，∴④错误，故选A.【思路点拨】结合图形，以点D为坐标原点，以向量，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，对四个命题进行逐个检验即可．【题文】10.已知函数，则关于x的方程有5个不同实数解的充要条件是（）A. b＜一2且c＞0B. b＞一2且c＜0C. b＜一2且c＝0D. b≤一2且c＝0【知识点】充要条件．A2【答案】【解析】C 解析：∵方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，∴对应于f（x）等于某个常数有4个不同实数解，由题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=0时，它有﹣个根．且f（x）=﹣b时有四个根，由图可知﹣b＞2，∴b＜﹣2．故所求充要条件为：b＜﹣2且c=0，故选C．【思路点拨】作出f（x）的简图，数形结合可得．【题文】 第II 卷（非选择题，满分100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 【题文】11、若复数x ＝（1＋ai ）（2＋i ）的实部与虚部相等，则实数a ＝ 【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．L4【答案】【解析】13 解析： ()()()12221x ai i a a i=-++＝＋＋，因为实部与虚部相等，所以221a a -=+，解得13a =，故答案为13【思路点拨】利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，把复数化为最简形式，由实部和虚部相等，求出实数a ．【题文】12.93()3x x -的展开式中常数项等于 【知识点】二项式系数的性质．J3【答案】【解析】289-解析：93()3x x -的展开式的通项公式为Tr+1=••（﹣3）r•，令=0，求得r=3，可得展开式中常数项等于••（﹣3）3=﹣，故答案为：289-．【思路点拨】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【题文】13.7个身高各不相同的学生排成一排照相，高个子站中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也一个比一个矮，则共有 种不同的排法（结果用数字作答）． 【知识点】排列、组合及简单计数问题．J3 【答案】【解析】20 解析：最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有=20种排法，第二步：排右边，有=1种，根据分步乘法计数原理，共有20×1=20种，故答案为：20．【思路点拨】最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有=20种排法，第二步：排右边，有=1种，根据分步乘法计数原理可得结论．【题文】14.阅读右边框图，为了使输出的n＝5，则输人的整数P的最小值为【知识点】程序框图．L1【答案】【解析】8 解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S n循环前/0 1第一圈是 1 2第二圈是 3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈否故S=7时，满足条件S＜pS=15时，不满足条件S＜p故p的最小值为8故答案为：8【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【题文】15．平面内两定点M（0，一2）和N(0,2），动点P（x，y）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：①∃m，使曲线E过坐标原点；②对∀m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2m＋4;⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。
江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷(理科)
江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10 B．12 C．14 D．162．（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）A．B．2C．3D．3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1B．3C．6D．94．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．.①②B．.①③C．.②③D．．①②③5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1=f（d﹣1），a3=f （d+1），则{a n}的通项公式为（）A．2n﹣2 B．2n+1 C．2n+3 D．n+26．（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣57．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（+）•的最小值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．28．（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）A．S丙2＞S乙2＞S甲2B．S甲2＞S丙2＞S乙2C．S丙2＞S甲2＞S乙2D．S乙2＞S丙2＞S甲29．（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|≤2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆x2+y2=4，点A（，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA 的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2D．112．（5分）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），若a1=，则a2015=．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为．16．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．19．（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）．亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构．假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生．（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．20．（12分）已知点F（，0），圆E：（x+）2+y2=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ae x（a为实常数）．（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2＞2．一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（1）求证：PA=PC；（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x|x2﹣4x＞0}，N={x|m＜x＜8}，若M∩N={x|6＜x＜n}，则m+n=（）A．10 B．12 C．14 D．16考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，根据N及两集合的交集，确定出m与n的值，即可求出m+n的值．解答：解：由M中不等式解得：x＜0或x＞4，∴M={x|x＜0或x＞4}，∵N={x|m＜x＜8}，且M∩N={x|6＜x＜n}，∴m=6，n=8，则m+n=6+8=14，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）设i是虚数单位，则|（1+i）﹣|=（）A．B．2C．3D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：∵=1+i+=1+3i，∴|（1+i）﹣|==．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则=（）A．1B．3C．6D．9考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．解答：解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，（q＞0）由题意可得2×a3=3a1+2a2，即q2﹣2q﹣3=0，解得q=﹣1（舍去），或q=3，故==q2=9．故选：D．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．4．（5分）给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；③数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件．其中正确的是（）A．.①②B．.①③C．.②③D．．①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用命题的否定判断①的正误；充要条件判断②的正误；等比数列的定义判断③的正误．解答：解：对于①，命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以①正确．对于②，命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sinα=成立则α=不一定成立，所以②正确；对于③，数列{a n}满足“a n+1=3a n”是“数列{a n}为等比数列”的充分必要条件错误．例如：数列是常数列{0}，则满足“a n+1=3a n”，数列不是等比数列，所以③不正确；故选：A．点评：本题考查命题的真假的判断，充要条件以及命题的否定，等比数列的基本知识的应用，考查基本知识的掌握情况．5．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+4，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1=f（d﹣1），a3=f （d+1），则{a n}的通项公式为（）A．2n﹣2 B．2n+1 C．2n+3 D．n+2考点：数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：根据f（x）求出a1、a3，再利用等差数列的定义求出d与a1的值，即得通项公式a n．解答：解：∵f（x）=x2﹣2x+4，∴a1=f（d﹣1）=（d﹣1）2﹣2（d﹣1）+4=d2﹣4d+7，a3=f（d+1）=（d+1）2﹣2（d+1）+4=d2+3；∴a3﹣a1=4d﹣4，即2d=4d﹣4，解得d=2；∴a1=3，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．故选：B．点评：本题考查了根据函数的解析式求函数值的应用问题，也考查了等差数列的通项公式的应用问题，是基础题目．6．（5分）若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域．，利用分式函数的意义以及直线的斜率进行求解即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，﹣2）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，即A（1，2），此时AD的斜率k=，则z=1+k=1﹣4=﹣3，即z=的最小值为﹣3，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率以及数形结合是解决本题的关键．7．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（+）•的最小值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据图形判断设|PC|=3﹣x，e则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，运用数量积的运算得出函数式子（+）•=﹣2x•（3﹣x），再利用基本不等式求解即可．解答：解：∵直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，∴|CD|=3，+=2，∵P为线段CD上任意一点，∴设|PC|=3﹣x，则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，∴（+）•=﹣2x•（3﹣x），∵x•（3﹣x）≤，∴﹣2x•（3﹣x）≥﹣2×=﹣．故选：A．点评：本题考查了平面向量的数量积，转化为函数求解，关键是根据图形得出向量的关系，属于容易题．8．（5分）甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差S甲2、S乙2、S丙2的大小关系是（）A．S丙2＞S乙2＞S甲2B．S甲2＞S丙2＞S乙2C．S丙2＞S甲2＞S乙2D．S乙2＞S丙2＞S甲2考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，观察数据即可得到结论．解答：解：由于方差为表示数据离散程度的量，且数据越小越集中，由条形图知，乙图最集中，丙图最分散，故s乙2＜s乙2＜s丙2，故选：C点评：本题主要考查了频率分布条形图，以及平均数、方差和标准差，属于基础题9．（5分）如图所示程序框图，则满足|x|+|y|≤2的输出的有序实数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，由y=x3是奇函数可求阴影部分的面积与正方形的面积之比，从而得解．解答：解：程序框图的含义是，阴影部分的面积与正方形的面积之比，因为y=x3是奇函数，所以面积之比为：．故选：D．点评：本题主要考查了程序框图和函数的性质及应用，属于基本知识的考查．10．（5分）已知圆x2+y2=4，点A（，0），动点M在圆上运动，O为坐标原点，则∠OMA 的最大值为（）A．B．C．D．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：设|MA|=x，则可求得|OM|，|AO|的值，进而利用余弦定理得到cos∠OMA的表达式，利用均值不等式求得cos∠OMA的最小值，进而求得∠OMA的最大值．解答：解：设|MA|=x，则|OM|=2，|AO|=由余弦定理可知cos∠OMA==（x+）≥×2=（当且仅当x=1时等号成立）∴∠OMA≤．故选：C．点评：本题主要考查了点与圆的位置关系，余弦定理的应用，均值不等式求最值．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．11．（5分）已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（）A．﹣2 B．﹣1 C．2D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=•=x﹣alnx（0，+∞）+1，再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．解答：解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），则•=f（x）=x﹣alnx+1，由于f（x）=x﹣alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．f′（x）=1﹣=，a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a﹣alna+1=2，解得a=1；故选D．点评：本题考查了利用导数求函数的最值；关键是将数量积表示为关于x的函数，通过求导，判断单调性，得到最值求参数a．12．（5分）已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．解答：解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=∴e1+2e2=+=，令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==故选：A．点评：本题考查了两圆相切的性质、双曲线的离心率，属于难题．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是﹣160．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：利用二项式定理展开式，直接求出常数项的值即可．解答：解：因为=20×8×（﹣1）=﹣160．所以展开式中常数项是﹣160．故答案为：﹣160．点评：本题考查二项式定理展开式的应用，特定项的求法，考查计算能力．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=（n∈N+），若a1=，则a2015=﹣2．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过求出数列的前几项，找出其周期即可．解答：解：∵a n+1=（n∈N+）、a1=，∴a2==3，a3==﹣2，a4==﹣，a5==，a6==3，∴数列{a n}满足：a n=a n+4，∵2015=503×4+3，∴a2015=a3=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查求数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为8π．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体的形状，根据他的几何性质得出AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=，BE=，利用三角形判断得出三角形BDC外接圆的半径r=1，根据球的几何性质得出：R2=r2+d2，求解R即得出面积．解答：解：根据三视图得出几何体为三棱锥，AD⊥面BDC，DC=1，AD=1，BE⊥CD与E，DE=，BE=，∴∠BED=60°，BD=1，∵在三角形BDC中，BD=DC=1，∠BDC=120°，∴根据余弦定理得出：BC=，∵利用正弦定理得出：=2r∴三角形BDC外接圆的半径r=1，∵三棱锥的外接球的半径R，d=AD=1，利用球的几何性质得出：R2=r2+d2，∴R=，∴它的外接球的表面积为4×π×（）2=8π，故答案为：8π．点评：本题考查了空间几何体的外接球的问题，充分利用几何性质，把立体问题转化为平面问题求解，考查了三角的定理的运用综合性较强，属于中档题．16．（5分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．考点：集合的相等．专题：计算题；集合．分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本题共5小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先利用倍角公式化简解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求单调区间和sinC．解答：解：由题意可得f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）（1）令2kπ≤2x﹣≤2kπ+所以增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．…（6分）（2）由f（+）=得sinA=；…（7分）f（）=得cosB=，sinB=；…（8分）由于sinA=＜sinB=，则a＜b⇒cosA=…（10分）所以sinC=sin（A+B）=．…（12分）点评：本题考查了倍角公式的运用化简三角函数，然后求单调区间以及解三角形；关键是正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数的形式．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取AC中点O，连结PO，BO，证明OP⊥平面ABC，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥P﹣ABC的体积V P﹣ABC；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．解答：解：（1）取AC中点O，连结PO，BO，∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC…（2分），∴OP⊥OB，∴OP2+OB2=PB2，即16﹣OC2+4﹣OC2=16，得OC=，则OA=，OB=，OP=，AC=2，…（4分）∴S△ABC==2．∴V P﹣ABC==．…（6分）（2）建立如图所示的空间直角坐标系．得O（0，0，0），A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），…（8分）∴=（﹣），=（﹣，0，），设平面PBC的法向量=（x，y，z）．则，取z=1，得=（，，1）．（10分）∵=（），∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查线面角，正确运用向量方法是关键．19．（12分）4月15日，亚投行意向创始成员国已经截止，意向创始成员国敲定57个，其中，亚洲国家34个，欧洲国家18个，非洲和大洋洲各2个；南美洲1个．18个欧洲国家中G8国家有5个（英法德意俄）．亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架构．假设理事会由9人组成，其中3人由欧洲国家等可能产生．（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（1）直接利用古典概型的概率求解这3人中恰有2人来自于G8国家的概率；（2）设X表示这3人来自于G8国家的人数，求出概率得到分布列，然后求解X的期望．解答：解：（1）这3人中恰有2人来自于G8国家的概率：P==…（5分）（2）X可能的取值为0、1、2、3P（X=0）==，P（X=1）==P（X=2）==P（X=3）==X 0 1 2 3P…（10分）EX=0×+1×+2×+3×=…（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．20．（12分）已知点F（，0），圆E：（x+）2+y2=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若直线l与圆O：x2+y2=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当•=λ，且满足≤λ≤时，求△AOB面积S的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）连接QF，结合圆的定义和垂直平分线的性质，以及椭圆的定义，可得Q的轨迹方程；（2）设直线l的方程为x=my+n（m∈R），由直线和圆相切的条件：d=r，可得m，n的关系，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得△AOB的面积，结合向量的数量积的坐标表示和基本不等式，即可得到所求范围．解答：解：（1）连接QF，∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4＞|EF|=2，∴动点Q的轨迹是以E（﹣，0）、F（，0）为焦点，长轴长2a=4的椭圆，即动点Q的轨迹方程为：+y2=1；（2）依题结合图形知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x=my+n（m∈R）．∵直线L即x﹣my﹣n=0与圆O：x2+y2=1相切，∴=1得n2=m2+1．又∵点A，B的坐标满足：，消去x整理得（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0，由韦达定理得y1+y2=﹣，y1y2=，又|AB|=•|y1﹣y2|，点O到直线l的距离d==1，∴S△AOB=d•|AB|=•|y1﹣y2|=|n|•|y1﹣y2|=2•=2•，∵λ==x1x2+y1y2=（my1+n）（my2+n）+y1y2=（m2+1）y1y2+mn（y1+y2）+n2==∵，令t=1+m2，则λ=∈[，]，即有t∈[3，6]∴S△AOB=2•=2•=2•=∵t+∈[6，]，t++6∈[12，]，∈[，]，∴S△AOB∈[，1]，∴S△AOB的取值范围为[，1]．点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，弦长公式和基本不等式，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣ae x（a为实常数）．（1）若函数f（x）在x=0的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，求证：x1+x2＞2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，即可得到结论．（2）由题意可求出0＜a＜；则a=的两个不同根为x1，x2，作出y=的图象，利用数形结合证明．解答：解：（1）函数的导数f′（x）=1﹣ae x，∵f（x）在x=0的切线与x轴平行，∴f′（0）=0，即f′（0）=1﹣a=0，解得a=1．（2）由f（x）=x﹣ae x=0得a=，设g（x）=，则g′（x）==，由g′（x）＜0得x＞1，由g′（x）＞0得x＜1，即函数g（x）在x=1时，取得极大值g（1）=，则要使f（x）有两个零点x1、x2，则满足0＜a＜，则x1=ae x1，x2=ae x2；∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤0，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意a1，a2∈（0，），设a1＞a2，若g（m1）=g（m2）=a1，g（n1）=g（n2）=a2，其中0＜m1＜1＜m2，0＜n1＜1＜n2，∵g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵g（m1）＞g（n1），g（m2）＞g（n2）；∴m1＞n1，m2＜n2；∴；故随着a的减小而增大，令=t，x1=ae x1，x2=ae x2，可化为x2﹣x1=lnt；t＞1；则x1=，x2=；则x2+x1=，令h（t）=，则可证明h（t）在（1，+∞）上单调递增；故x2+x1随着t的增大而增大，即x2+x1随着的增大而增大，故x2+x1随着a的减小而增大，而当a=时，x2+x1=2；故x1+x2＞2．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题一、选修4-1：几何证明选讲：请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分.在答题卡选答区域指定位置答题，并写上所做题的题号.注意所做题目的题号必须和所写的题号一致.22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，半径OB⊥OP，AB交PO于点C．（1）求证：PA=PC；（2）若圆O的半径为3，PO=5，求线段AC的长度．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）根据弦切角定理，可得∠PAB=∠ACB，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，结合BC⊥OP，根据同角的余角相等及对顶角相等可得∠PDA=∠PAB，即△PAD为等腰三角形；（2）利用切割线定理求出PA，再求出cos∠AOP，利用余弦定理，即可得出结论．解答：（1）证明：∵PA与圆O相切于点A，∴∠PAB=∠ADB∵BD为圆O的直径，∴∠BAD=90°∴∠ADB=90°﹣∠B∵BD⊥OP，∴∠BCO=90°﹣∠B∴∠BCO=∠PCA=∠PAB即△PAC为等腰三角形∴PA=PC；…（5分）（2）解：假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N．∵PA与圆O相切于点A，PMN是圆O的割线，∴PA2=PM•PN=（PO﹣OM）（PO+ON）．∵PO=5，OM=ON=3，∴PA=4．由（1）知PC=PA=4，∴OC=1．在Rt△OAP中，cos∠AOP==．∴AC2=9+1﹣2×3×1×=．∴AC=．…（10分）点评：本题考查的知识点是弦切角定理，圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，属于中档题．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，把代入即可得出．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）即可得出．解答：解：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=10x，配方为：（x﹣5）2+y2=25．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，由于△=﹣4×20=82＞0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．∴t1+t2=﹣，t1t2=20，又直线l过点P（2，6），可得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）=9．点评：本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2015年江西省赣州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log4x＜0.5}，则（）A．A∩B＝∅B．B⊆A C．A∩∁R B＝R D．A⊆B2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．C．D．3．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y＝f（|x|）；②y＝f（﹣x）；③y＝xf（x）；④y＝f（x）+x．A．①③B．②③C．①④D．②④4．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的两条渐近线的夹角为60°，且焦点到一条渐近线的距离大于，则b＝（）A．3B．C．D．5．（5分）要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）A．4B．5C．6D．76．（5分）某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）A．c＝a；i≤9B．b＝c；i≤9C．c＝a；i≤10D．b＝c；i≤10 7．（5分）已知向量，，若向量满足与的夹角为120°，，则＝（）A．1B．C．2D．8．（5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10B．﹣5C．0D．59．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．32B．18C．16D．1010．（5分）如图是函数图象的一部分，对不同的x 1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有，则（）A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数11．（5分）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为（）A．1B．2C．4D．812．（5分）已知函数f（x）＝（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值为﹣3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[12，+∞）C．[﹣1，12]D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．（5分）展开式中的常数项为．14．（5分）若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则m 的值．15．（5分）A、B、C三点在同一球面上，∠BAC＝135°，BC＝2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积为．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+a n+1＝（﹣1）n，S n是其前n项和，若S2015＝﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝3，sin C＝2sin B，求b、c的值．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面P AD⊥平面ABCD，PD⊥PB，P A＝PD．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面P AB；（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC＝90°，AB＝2，求二面角E﹣PC﹣B的余弦值．19．（12分）某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆E：的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线P A的斜率与直线QA的斜率之积为．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线x＝3分别交于C、D两点，设△ACD与△AMN的面积分别记为S1、S2，求2S1﹣S2的最小值．21．（12分）设函数f（x）＝（e为自然对数的底），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+b．（Ⅰ）求a、b的值，并求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x≥0，求证：f（x）＞．请考生在第22、23、24两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC＝2，AF＝2，求△BDF外接圆的半径．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．点A、B的极坐标分别为（2，π）、（a∈R），曲线C 的参数方程为为参数）（Ⅰ）若，求△AOB的面积；（Ⅱ）设P为C上任意一点，且点P到直线AB的最小值距离为1，求a的值．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|x|+|2x﹣a|．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2015年江西省赣州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log4x＜0.5}，则（）A．A∩B＝∅B．B⊆A C．A∩∁R B＝R D．A⊆B【解答】解：∵x2﹣x﹣2＜0，∴（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2∴A＝（﹣1，2），∵log4x＜0.5＝log42，∴0＜x＜2，∴B＝（0，2），∴B⊆A，故选：B．2．（5分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（0，﹣1）B．C．D．【解答】解：复数＝＝＝﹣i对应的点的坐标为（0，﹣1），故选：A．3．（5分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y＝f（|x|）；②y＝f（﹣x）；③y＝xf（x）；④y＝f（x）+x．A．①③B．②③C．①④D．②④【解答】解：由奇函数的定义：f（﹣x）＝﹣f（x）验证①f（|﹣x|）＝f（|x|），故为偶函数②f[﹣（﹣x）]＝f（x）＝﹣f（﹣x），为奇函数③﹣xf（﹣x）＝﹣x•[﹣f（x）]＝xf（x），为偶函数④f（﹣x）+（﹣x）＝﹣[f（x）+x]，为奇函数可知②④正确故选：D．4．（5分）已知双曲线x2﹣＝1的两条渐近线的夹角为60°，且焦点到一条渐近线的距离大于，则b＝（）A．3B．C．D．【解答】解：双曲线x2﹣＝1（b＞0）的两条渐近线方程为y＝±bx，即有tan60°＝||＝||＝，设焦点（c，0）到一条渐近线的距离为d＝＝＝b，即有b＞，解得b＞1，则有b2﹣2b﹣＝0，解得b＝，故选：C．5．（5分）要从由n名成员组成的小组中任意选派3人去参加某次社会调查．若在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为0.4，则n的值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：由题意，在男生甲被选中的情况下，只需要从其余n﹣1人中选出2人，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中，即从其余n﹣2人中选1人即可，故＝0.4，∴n＝6，故选：C．6．（5分）某同学想求斐波那契数列0，1，1，2，…（从第三项起每一项等于前两项的和）的前10项的和，他设计了一个程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（）A．c＝a；i≤9B．b＝c；i≤9C．c＝a；i≤10D．b＝c；i≤10【解答】解：由题意，斐波那契数列0，1，1，2，…，从第三项起每一项等于前两项的和，分别用a，b来表示前两项，c表示第三项，S为数列前n项和，故空白矩形框内应为：b＝c，第1次循环：a＝0，b＝1，S＝0+4＝1，i＝3，求出第3项c＝1，求出前3项和S＝0+1+1＝2，a＝1，b＝1，满足条件，i＝4，执行循环；第2次循环：求出第4项c＝1+1＝2，求出前4项和S＝0+1+1+2＝4，a＝1，b ＝2，满足条件，i＝5，执行循环；…第8次循环：求出第10项c，求出前10项和S，此时i＝10，由题意不满足条件，退出执行循环，输出S的值．故判断框内应为i≤9．故选：B．7．（5分）已知向量，，若向量满足与的夹角为120°，，则＝（）A．1B．C．2D．【解答】解：设＝（x，y）∵，，∴4＝（﹣1，2），|4|＝，∵，∴﹣x+2y＝5，即x﹣2y＝﹣5，∵向量满足与的夹角为120°∴＝，即＝，∵＝，∴＝2．故||＝2，故选：D．8．（5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10B．﹣5C．0D．5【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d（d≠0），由，得，整理得：2a1+9d＝0，即a1+a10＝0，∴．故选：C．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．32B．18C．16D．10【解答】解：由三视图知：几何体是正方体的一半，如图：已知正方体的棱长为4，∴几何体的体积V＝×43＝32．故选：A．10．（5分）如图是函数图象的一部分，对不同的x 1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有，则（）A．f（x）在上是减函数B．f（x）在上是减函数C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数【解答】解：由函数图象的一部分，可得A＝2，函数的图象关于直线x＝＝对称，∴a+b＝x1+x2．由五点法作图可得2a+φ＝0，2b+φ＝π，∴a+b＝﹣φ．再根据f（a+b）＝2sin（π﹣2φ+φ）＝2sinφ＝，可得sinφ＝，∴φ＝，f（x）＝2sin（2x+）．在上，2x+∈（﹣，），故f（x）在上是增函数，故选：C．11．（5分）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点且斜率为2的直线与C交于A、B两点，以AB为直径的圆与C的准线有公共点M，若点M的纵坐标为2，则p的值为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：取AB的中点N，分别过A、B、N作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、M，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，在直角梯形APQB中，|MN|＝（|AP|+|BQ|）＝（|AF|+|BF|）＝|AB|，故圆心N到准线的距离等于半径，即有以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由M的纵坐标为2，即N的纵坐标为2，抛物线y2＝2px的焦点坐标为（，0），设直线AB的方程为y＝2（x﹣），即x＝y+，与抛物线方程y2＝2px联立，消去x，得y2﹣py﹣p2＝0由韦达定理可得AB的中点N的纵坐标为，即有p＝4，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝（a﹣3）x﹣ax3在[﹣1，1]的最小值为﹣3，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[12，+∞）C．[﹣1，12]D．【解答】解：当a＝0时，f（x）＝﹣3x，x∈[﹣1，1]，显然满足，故a可以取0，故排除A，B；当时，，，所以f（x）在[﹣1，1]上递减，所以，满足条件，故排除C，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．（5分）展开式中的常数项为80．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝令15﹣5r＝0，解得r＝3，故展开式中的常数项为80，故答案为：80．14．（5分）若不等式组表示的平面区域是面积为的三角形，则m的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，若对应的区域为三角形，则m＜2，由，得，即C（m，m），由，得，即B（m，），由，得，即A（2，2），则三角形ABC的面积S＝×（﹣m）×（2﹣m）＝，即（2﹣m）2＝，解得2﹣m＝，或2﹣m＝﹣，即m＝或m＝（舍），故答案为：；15．（5分）A、B、C三点在同一球面上，∠BAC＝135°，BC＝2，且球心O到平面ABC的距离为1，则此球O的体积为4．【解答】解：由于∠BAC＝135°，BC＝2，则△ABC的外接圆的直径2r＝＝2，即有r＝，由于球心O到平面ABC的距离为1，则由勾股定理可得，球的半径R＝＝＝，即有此球O的体积为V＝πR3＝π×（）3＝4．故答案为：4．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+a n+1＝（﹣1）n，S n是其前n项和，若S2015＝﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为．【解答】解：由已知得：a2+a3＝﹣2，a4+a5＝4，…，a2012+a2013＝2012，a2014+a2015＝﹣2014，把以上各式相加得：S2015﹣a1＝﹣2014+1006＝﹣1008，∴S2015＝a1﹣1008＝﹣1007﹣b，即a1+b＝1，∴＝．故答案为：．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝3，sin C＝2sin B，求b、c的值．【解答】解：（1）由正弦定理余弦定理得＝，∴2sin C cos A＝sin（A+B）＝sin C，∵sin C≠0，∴，∵A∈（0，π），∴．（2）由sin C＝2sin B，得c＝2b，由条件a＝3，，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc＝3b2，解得．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面P AD⊥平面ABCD，PD⊥PB，P A＝PD．（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面P AB；（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC＝90°，AB＝2，求二面角E﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD所以AB⊥平面P AD…（1分）又PD⊂平面P AD，所以PD⊥AB…（2分）又PD⊥PB，所以PD⊥平面P AB…（3分）而PD⊂平面PCD，故平面PCD⊥平面P AB…（4分）（2）如图，建立空间直角坐标系…（5分）设AD＝2a，则A（a，0，0），D（﹣a，0，0）B（a，2，0），C（﹣a，2，0），P（0，0，a），E（a，1，0）…（6分）＝（﹣a，﹣1，a），＝（﹣2a，1，0），则得2a2﹣1＝0，得，则，＝（﹣，﹣1，），…（8分）设平面PEC的一个法向量，＝（．﹣2，）由得，令x1＝1，则＝（1，，）…（9分），＝（．﹣2，）设平面PCB的一个法向量，由得，令z2＝1，则＝（0，，1）…（10分）设二面角E﹣PC﹣B的大小为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝＝…（11分）故二面角E﹣PC﹣B的余弦值为…（12分）19．（12分）某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，分别对应5分，4分，3分，2分，1分，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．（Ⅰ）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若该班共有10人的两科成绩得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（I）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，所以该班有8÷0.2＝40人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）＝40×0.075＝3．…（4分）（II）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20 …（6分），，，，…（10分）所以ξ的分布列为所以．所以ξ的数学期望为．…（12分）20．（12分）已知椭圆E：的焦距为2，A是E的右顶点，P、Q是E上关于原点对称的两点，且直线P A的斜率与直线QA的斜率之积为．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过E的右焦点作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线x＝3分别交于C、D两点，设△ACD与△AMN的面积分别记为S1、S2，求2S1﹣S2的最小值．【解答】解：（I）根据题意，设P（x0，y0），Q（﹣x0，﹣y0），则，，依题意有，又c＝1，所以a2＝4，b2＝3，故椭圆E的方程为：；（II）设直线MN的方程为x＝my+1，代入E的方程得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理知，又直线MA的方程为，将x＝3代入，得，同理，所以，所以，，则2S1﹣S2＝3﹣，令，则m2＝t2﹣1，所以，记，则，所以f（t）在[1，+∞）单调递增，从而f（t）的最小值为，故2S1﹣S2的最小值为•21．（12分）设函数f（x）＝（e为自然对数的底），曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+b．（Ⅰ）求a、b的值，并求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）设x≥0，求证：f（x）＞．【解答】解：（Ⅰ）因为，而，所以，解得a＝2；所以，因此，由知，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，当x＜﹣1且x≠﹣2时，f′（x）＜0；故f（x）的单调增区间是（﹣1，+∞），减区间是（﹣∞，﹣2）和（﹣2，﹣1），（Ⅱ）证明：所证不等式等价于，因为，先证，记，g′（x）＝e x﹣2x﹣2，记u（x）＝e x﹣2x﹣2，则u′（x）＝e x﹣2，由此可知，u（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增；因为u（1）•u（2）＜0，u（﹣1）•u（0）＜0，故g′（x）＝0在（0，+∞）只有一个零点x1（1＜x1＜2），且，所以g（x）在（0，x1）递减，在（x1，+∞）递增，所以当x≥0时，，即，又，所以，即，故．请考生在第22、23、24两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC＝2，AF＝2，求△BDF外接圆的半径．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…（2分）又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，所以B、D、F、H四点共圆．…（4分）（2）解：因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2＝AC•AD，即（2）2＝2•AD，解得AD＝4，…（6分）所以BD＝，BF＝BD＝1，又△AFB∽△ADH，则，得DH＝，…（8分）连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，BH＝，故△BDF的外接圆半径为．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．已知极坐标系的极点与直角坐标第的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．点A、B的极坐标分别为（2，π）、（a∈R），曲线C 的参数方程为为参数）（Ⅰ）若，求△AOB的面积；（Ⅱ）设P为C上任意一点，且点P到直线AB的最小值距离为1，求a的值．【解答】解：（1）当时，A（﹣2，0），B（2，2），∵k OB＝1，∴∠AOB＝135°．∴．（2）曲线C的参数方程为为参数），化为（x﹣1）2+y2＝4，圆心C（1，0），半径y＝2．∵点P到直线AB的最小值距离为1，∴圆心到直线AB的距离为3，当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x＝﹣2，显然，符合题意，此时．当直线AB存在斜率时，设直线AB的方程为y＝k（x+2），则圆心到直线AB的距离，依题意有，无解．故．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）＝|x|+|2x﹣a|．（Ⅰ）当a＝1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，…（3分）根据图易得f（x）≤1的解集为…（5分）（Ⅱ）令x＝ka（k∈R），由f（x）≥a2对任意x∈R恒成立等价于|k|+|2k﹣1|≥|a|对任意k∈R恒成立…（6分）由（1）知|k|+|2k﹣1|的最小值为，所以…（8分）故实数a的取值范围为…（10分）。
江西省南昌市2015届高三零模调研测试数学(理)试卷(扫描版)
2014—2015学年度南昌市高三年级调研测试卷数学(理科)参考答案及评分标准又∵03B π<<，∴2333B πππ<+<，∴当32B ππ+=，即6B π=时，ABC ∆的周长l 取得最大值2+………………………12分18. 解：（1）由2423n n n S a a =+-，2111423n n n S a a +++=+-，得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，11()(2)0n n n n a a a a +++--=…………………………3分当5n ≥时，0n a >，所以12n n a a +-=，所以当5n ≥时，{}n a 成等差数列.………………………………………………………………6分（2）由2111423a a a =+-，得13a =或11a =-， 又12345.,,,a a a a a 成等比数列，所以10(5)n n a a n ++=≤，1q =-，……………………………………………………………7分 而50a >，所以10a >，从而13a =，……………………………………………………………8分所以13(1),(14)27,(5)n n n a n n -⎧-≤≤=⎨-≥⎩， (10)分所以231-(1),(14)268,(5)nn n S n n n ⎧⎡⎤-≤≤⎪⎣⎦=⎨⎪-+≥⎩.………………………………………………………………12分 19. 解：（1）因为∆PAE ≅∆DAE ⇒PE=DE,又EH PD ⊥⇒H 为PD 中点，又////,,FH CD AB FH PAB AB PAB ⊄⊂面面⇒//FH PAB 平面,………………………2分又//,,//EF PB EF PAB PB PAB EF PAB ⊄⊂⇒面面平面, ………………………………4分EF HF F =,∴//,//EFH PAB EH EFH EH PAB ⊂⇒平面平面平面平面…………6分(2)如图建立空间坐标系E (0,0,2)P,C(0,2,0)D,1,1)2F ,(0,1,1)H PD AEPD AH⊥⎧⇒⎨⊥⎩(0,2,2)PD =-是平面EAH 的法向量…………8分 设平面FAH 的法向量为(,,)n x y z =，31(,,1),(0,1,1)2AF AH ==02000n AF y z y z n AH ⎧⋅=++=⎪⇒⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩，设z =，(1,3,n ∴=……………… 10分cos ,||||8PD n PD n PD n ⋅=== ∴平面FAH 与平面EAH ………………………………12分 20.解：（1）抛物线2C 的准线方程是2y =-，所以242pp =⇒=，所以抛物线2C 的方程是：28x y =，……………………………………………………… 2分椭圆椭圆22122:1(0)yx C a b ab+=>>的焦点坐标是(0,2),(0,2)-，所以2c =，2a ==，所以2a b ==，即椭圆1C 的方程是22184x y +=；…………………………………………………5分（2）设点(,0)P t ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y E x y F x y ，抛物线方程可以化为：218y x =，1'4y x =，所以AP 的方程为：1111()4y y x x x -=-，所以1111224y x t y --=-，即11124y tx =+同理：22124y tx =+，所以直线AB 的方程为：124y tx =+， (7)分将直线AB 方程代入椭圆1C 的方程得到：22(32)16640t x tx ++-=， 则22256256(32)0t t =++>△，且3434221664,3232t x x x x t t --+==++，……………………9分所以223434343422864320(1)()481623232t t t OE OF x x y y x x x x t t -+⋅=+=++++==-++ (11)分 因为232001032t <≤+，所以OE OF ⋅的取值范围是(8,2]-.………………………………12分21. 解：（1）'()1xf x a e =-⋅， (1)分当0a ≤时，'()0f x >，函数()f x 是(,)-∞+∞上的单调递增函数；………………………2分当0a >时，由'()0f x >得ln x a <-，所以函数()f x 是(,ln )a -∞-上的单调递增函数，函数()f x 是(ln ,)a -+∞上的单调递减函数；…………………………………………………………3分（2）2()xx x x f x e a e e ≤⇔≥-，设()xx x g x e e=-，则21'()x xe x g x e --=，………………4分当0x <时，210x e ->，'()0g x >，()g x 在(,0)-∞上单调递增，…………………………5分当0x >时，210x e -<，'()0g x <，()g x 在(0,)+∞上单调递减，…………………………6分所以max ()(0)1g x g ==-，所以1a ≥-；…………………………………………………………7分（3）函数()f x 有两个零点12,x x ，所以1212,x x x ae x ae ==，因此1212()x xx x a e e -=-， 即1212x x x x a e e-=-，……………………………………………………………………………………8分要证明122x x +>，只要证明12()2x x a e e +>，即证：121212()2x x xx e e x x e e +->-………………9分不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1tt e >>，因此只要证明：121t t e t e +⋅>-，即(2)20t t e t -++>，………………………………………10分记()(2)2(0)t h t t e t t =-++>，则'()(1)1t h t t e =-+，记()(1)t m t t e =-，则'()tm t te =，当0t >时，'()0m t >，所以()(0)1m t m >=-，即0t >时(1)1,'()0t t e h t ->->，所以()(0)0h t h >=即(2)20tt e t -++>成立， (11)分所以122x x +>.……………………………………………………………………………………12分22解：（1）当3a =时，42,1()2,1x 324,3x x f x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩……………………………………1分当1x <时，由()4f x ≤得424x -≤，解得01;x ≤< ……………………………………2分 当13x ≤≤时，()4f x ≤恒成立； ……………………………………………………………3分 当3x >时，由()4f x ≤得244x -≤，解得34x <≤．……………………………………4分 所以不等式()4f x ≤的解集为{}04x x ≤≤． ………………………………………………5分（2）因为(x)1121f x a x x a x x a =-+-≥-+-=--， 当()()10x x a --≥时，()21f x x a =--；当()()10x x a --<时，()21f x x a >--.…………………………………………………7分 记不等式()()10x x a --<的解集为,A 则()2,1A -⊆，……………………………………8分 故2a ≤-，所以a 的取值范围是(],2-∞-．…………………………………………………10分 23．解：（1）直线l 的普通方程,01323=--+y x 曲线C 的直角坐标方程422=+y x ；……………………………… 4分（2）曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 2//得到曲线/C 的方程为4422=+y x ，则点M参数方程为002cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）0012y +得，0012y +==⋅+⋅θθsin 421cos 23)3sin(4cos 32sin 2πθθθ+=+∴0012y +的取值范围是[]4,4-……………………………10分。
赣州市2015年高三年级模底考试理科数学参考答案
赣州市2015年高三年级模底考试理科数学参考答案一、选择题 1～5.BADAC ； 6～10.BDCAC ； 11～12.CD . 12.解：当0a =时，[]()3,1,1f x x x =-∈-，显然满足，故0a =，排除A ，B ； 当32a =-时，339()22f x x x =-，22999()(1)222f x x x '=-=-，所以()f x 在[1,1]-上递减，所以min39()(1)322f x f ==-=-，满足条件，排除C ，故选D .二、填空题 13．80； 14．23-； 15．； 16．3+ 16.解：由已知得：232a a +=-，454a a +=，……，201220132012a a +=，201420152014a a +=-，把以上各式相加得：20151201410061008S a -=-+=-，所以2015110081007S a b =-=--，即11a b +=，所以11112()12a b a b a b a b+++=+11233a b a b=++≥+三、解答题 17．（1）由正弦定理得2sin sin cos sinB cos C B a Bb A-=…………………………………………2分sin cos sin cos A BB A=…………………………………………………………………………………3分所以2sin cos sin()sin C A A B C =+=……………………………………………………4分 因为sin 0C ≠，故1cos 2A =………………………………………………………………5分 所以π3A =……………………………………………………………………………………6分 （2）由sin 2sin C B =，得2c b =…………………………………………………………7分由条件3,a =，π3A =，所以由余弦定理得2222222cos 3a b c bc A b c bc b =+-=+-=………………………9分解得b c =12分 18．（1）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =，AB AD ⊥ 所以AB ⊥平面PAD ………………………………………………………………………1分 又PD ⊂平面PAD ，所以PD AB ⊥……………………………………………………2分 又PD PB ⊥，所以PD ⊥平面PAB ………………………………3分 而PD ⊂平面PCD ，故平面PCD ⊥平面PAB ……………………4分 （2）如图，建立空间直角坐标系…………………………………5分 设2AD a =，则(,0,0)A a ，(,0,0)D a -(,2,0)B a ，(,2,0)C a -，(0,0,)P a ，(,1,0)E a …………………6分(,1,),(2,1,0)EP a a EC a =--=-u u r u u u r ，则0EP EC ⋅=u u r u u u r得a =1,0)CE =-u u u r，(EP =-uu r ……………………………………………………8分 设平面PEC 的一个法向量1111(,,)n x y z =u r，由1100n CP n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uur u r uur得1111100y x z -=+-=⎪⎩ 令11x =，则1(1n =u r……………………………………………………………………9分CB =u u r，CP =-uur ，设平面PEC 的一个法向量2222(,,)n x y z =u u r ， 由2200n BC n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uu u r u u r uu r得222200x x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21y =，则1(0,1n =u r ……………………10分 设二面角E PC B --的大小为θ，则121212||cos |cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>=⋅u r u u ru r u u r u r u u r …………11分 故二面角E PC B --……………………………………………………12分 19．（1）因为“铅球”科目中成绩等级为E 的考生有16人，所以该班有160.280÷=人……………………………………………………………………2分 所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A 的人数为80(10.3750.3750.1500.025)6⋅----=………………………………………………4分（2）设两人成绩之和为X ，则X 的值可以为16，17，18，19，20 …………………6分2621015(16)45C P X C ===，116221012(17)45C C P X C ===，11262222101013(18)45C C C P X C C ==+=11222104(19)45C C P X C ===，222101(20)45C P X C ===…………………………………………9分所以X 的分布列为……………………………………………10分所以1512134186161718192045454545455EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………11分 所以X 的数学期望为865……………………………………………………………………12分20．（1）设0000(,),(,)P x y Q x y --，则2222002()b y a x a=-……………………………………1分22000222000PA QAy y y b k k x a x a x a a⋅=⋅==--+-，依题意有2234b a =又1c =，所以解得224,3a b ==故E 的方程为22143x y +=……………………………………………………………………5分 （2）设直线MN 的方程为1x my =+，代入E 的方程得22(34)690m y my ++-= 设1122(,),(,)M x y M x y ，则12122269,3434m y y y y m m +=-=-++…………………………6分 直线MA 的方程为11(2)2y y x x =--，把3x =代入得111121C y y y x my ==-- 同理221D y y my =-………………………………………………………………………………7分所以1221212||||||()1C D y y CD y y m y y m y y -=-==-++………………………8分所以11||2S CD =2121||||2S AF y y =⋅-=………………………9分12S S -=(1)t t ≥，则221m t =-， 所以12262331tS S t t -=-+……………………………………………………………………10分 记26()331tf t t t =-+，则2226(31)()30(31)t f t t -'=+>+……………………………………11分 所以()f t 在[1,)+∞单调递增地，所以()f t 的最小值为3(1)2f = 故122S S -的最小值为32…………………………………………………………………12分 21．（1）因为2e (1)()()x x a f x x a +-'=+………………………………………………………1分而1(0)4f '=，所以2114a a -=，解得2a =………………………………………………2分 所以1(0)2f =，因此12b =………………………………………………………………3分由2e (1)()(2)x x f x x +'=+知，当1x >-时，()0f x '>，当1x <-且2x ≠-时，()0f x '<……………………………4分 故()f x 的单调增区间是(1,)-+∞，减区间是(,2)-∞-和(2,1)--………………………5分（2）所证不等式等价于21e (42x x x >+-……………………………………6分12x +，先证21e (2)(1)422x x x x >+++-…………………………………7分记221()e (2)(1)4e 2222x x x g x x x x x =-++-+=--+()e 22x g x x '=--，记()e 22x u x x =--，则()e 2x u x '=-由此可知，()u x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增 因为(1)(2)0u u ⋅<，(1)(0)0u u -⋅<，故()0g x '=在(0,)+∞只有一个零点11(12)x x <<………………………………………9分 且11e 22x x =+，所以()g x 在1(0,)x 递减，在1(,)x +∞递增所以当0x ≥时，1221111()()e 2240x g x g x x x x ≥=--+=->……………………………10分即21e (2)(1)422x x x x >+++-，又12x+>所以2211e (2)(1)4(4222x x x x x x >+++->+-………………………………11分即2e 8224x x x x ->++，故28()24x f x x ->+……………………………………12分 选做题22．（1）因为AB 为圆O 的一条直径，所以BF FH ⊥…………………………………2分 又DH BD ⊥，所以,,,B D H F 四点共圆…………………………………………………4分 (2)因为AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得2AF AC AD =⋅，代入解得AD =4………………………………………5分所以1()1,12BD AD AC BF BD =-===…………………………………………………6分 又△AFB ∽△ADH ，所以DH ADBF AF=………………………………………………………7分由此得AD BFDH AF⋅==………………………………………………………8分连接BH ，由（1）知，BH 为△BDF 外接圆的直径，BH =9分故△BDF 的外接圆半径为2………………………………………………………………10分23．（1）12sin13522AOB S ∆=⨯⨯︒=…………………………………………………4分 （2）依题意知圆心到直线AB 的距离为3…………………………………………………5分 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为2x =-，显然，符合题意，此时a =-………………………………………6分当直线AB 存在斜率时，设直线AB 的方程为(2)y k x =+ (7)分则圆心到直线AB 的距离d =………………………………………………………8分3=，无解…………………………………………………………………9分故a =-10分24．（1）当1a =时，13,01()1,02131,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩根据图易得()1f x ≤的解集为2{|0}3x x ≤≤（2）令()x ka k =∈R ，由2()f x a ≥对任意x ∈R 恒成立等价于|||21|||k k a +-≥对任意k ∈R 恒成立………6分由（1）知|||21|k k +-的最小值为12，所以1||2a ≤………………………………8分 故实数a 的取值范围为1122a -≤≤……………………………………………………10分 法（2） 易知min ()min (0),()2a f x f f ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，只需2(0)f a ≥且2()2a f a ≥，解得1122a -≤≤．。
江西省南昌市2015届高三一模考试数学(理科)
2015 届南昌市第一次模拟考试数学试卷(理科) 参考答案
一、选择题 1 题目 答案
理科一模
2 A
3 A
4 A
5 C
6 C
7 B
8 B
9 B
10 C
11 B
12 A
5
D
二、填空题 13.
3 4
14. 4
15. [
2 10 , ] 3 3
16 ( 1,0) (0,)
三、解答题 17. （Ⅰ）解：等差数列 {a n } ， a1 1 ， S 3 6 ， d 1 ，故 a n n ………3 分
A. 2 或
3
B. 2 或
A．2 个 9. 给出下列命题
B．3 个
C．4 个
D．5 个
5 2 3 4 5 ① 若 (1 x) a 0 a1 x a 2 x a3 x a 4 x a5 x ，则 | a1 | | a2 | | a3 | | a4 | | a5 | 32
12.设函数 f ( x ) ( x a ) 2 (ln x 2 2a) 2 , 其中 ( x 0, a R ) ,存在 x0 使得 f ( x0 ) 实数 a 值是 A.
4 成立，则 5
1 5
B.
2 5
C.
1 2
D. 1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题—第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。 第（22）题—第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题 5 分。 13. a, b.c, d 四封不同的信随机放入 A, B, C , D 4 个不同的信封里，每个信封至少有一封信。其中 a 没有放入 A 中的概率是 14. 直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， BAC 90 0 ,矩形 BCC1 B1 的面积为 2 ,则直三棱柱
江西省南昌市2015届高三第二次模拟考试数学理科试题有答案(扫描版)
2015 年 高 三 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．214．13π 15．1316．2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=-⨯--4=-；……6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，………8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………………11分 所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………………6分（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0,1,2,3；………………………………………………7分(0)P ξ==113，(1)P ξ==613，(2)P ξ==613，(3)P ξ==113，……………………9分所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是1661012313131313E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=2113．……………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC=90ACB ∠=︒即BC⊥又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面所以BC AG ⊥，………………………………………3分 在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=，所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）FC AC ⊥，平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以FC ⊥平面ABCD ， 以点C 为原点，,,CA CB CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则)(0,0,0),(0,2,0),1,0)C A B D-,G ，…………………………8分平面BCG 的法向量(3,0,GA =，设平面GCD 的法向量(,,)n x y z =，则0n CG n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而00x z y +=⎧⎪-=，令1x =则(1,3,1)n =-，…………………………………………………………………………10分 所以cos ,n GA <>==，…………………………………………………11分 而二面角D —GCB 为钝角， 故所求二面角的余弦值为．………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD =2r ==，…………………………………2分因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b+=⇒=， 所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；………………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…………6分……………………10分当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--， 圆心O 到直线m的距离为：d =，所以||PQ ==，…………8分 将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=，||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅===∈，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是．…………………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+………1分 （一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；……2分（二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；…………………………………………………………………………………………………3分（三）当a >0()0x g x >⎧⎨>，解得x∈，所以函数()f x 在区间上单调递减，在区间(0,),()2a a +∞上单调递增．…………………………5分（Ⅱ）由（1）知道当(1a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以(0,1]x ∈时，函数()f x的最大值是(1)22f a =-，对任意的a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln()f x a m a a +>-成立，等价于对任意的(1a ∈，不等式222ln ()a a m a a -+>-都成立，……………………………………6分即对任意的(1a ∈，不等式2ln (2)20a ma m a +-++>都成立， 记2()ln (2)2h a ama m a =+-++，则(1)0h =，1(21)(1)'()2(2)a ma h a ma m a a --=+-+=，因为(1a ∈，所以210a a->， 当1m ≥时，对任意(1a ∈，10ma ->，所以'()0h a >，即()h a 在区间上单调递增，()(1)0h a h >=成立；…………………………………………………………………………9分 当1m <时，存在0(1a ∈使得当0(1,)a a ∈时，10ma -<，'()0h a <，()h a 单调递减，从而()(1)0h a h <=，所以(1a ∈时，()0h a >不能恒成立．综上：实数m 的取值范围是[1,)+∞．……………………………………………………………12分 22．解：AF 是圆的切线，且18,15AF BC ==，∴由切割线定理得到2218(15)12AF FB FC FB FB FB =⋅⇒=⋅+⇒=，…………………3分 ,AB AD ABD ADB =∴∠=∠，则,//FAB ABD AF BD ∠=∠∴，…………………………………………………………………6分 又//AD FC ，∴四边形ADBF 为平行四边形．12,,18AD FB ACF ADB F ACAF ==∠=∠=∠∴==，//,18AE ADAD FC AE BC∴=-，解得8AE =。
2015年江西省南昌市高考数学二模试卷(理科)
2015年江西省南昌市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.i为虚数单位，=（）A.3+4iB.4+3iC.-iD.+i【答案】D【解析】解：===．故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.已知集合A={x|x2-2x＞0}，B={x|log2（x+1）＜1}，则A∩B等于（）A.（-∞，0）B.（2，+∞）C.（0，1）D.（-1，0）【答案】D【解析】解：由A中不等式变形得：x（x-2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即A=（-∞，0）∪（2，+∞），由B中不等式变形得：log2（x+1）＜1=log22，即0＜x+1＜2，解得：-1＜x＜1，即B=（-1，1），则A∩B=（-1，0），故选：D．求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.下列结论错误的是（）A.命题：“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”B.“a＞b”是“ac2＞bc2”的充分不必要条件C.命题“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x≤0”D.若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题【答案】B【解析】解：A．命题：“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”，正确；B．“a＞b”是“ac2＞bc2”必要不充分条件，不正确；C．“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x≤0”，正确；D．若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题，正确．故选：B．A．利用逆否命题的定义即可判断出真假；B．利用不等式的性质、充要条件定义，即可判断出真假；C．利用命题的否定定义，即可判断出真假；D．利用复合命题真假的判定方法，即可判断出真假．本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．4.将函数y=sin（2x-）的图象向左移动个单位，得到函数y=f（x）的图象，则函数y=f （x）的一个单调递增区间是（）A.[-，]B.[-，0]C.[-，]D.[，]【答案】C【解析】解：将函数y=sin（2x-）的图象向左移动个单位，得到函数y=f（x）=sin（2x+-）=sin（2x+）的图象．故由2k≤2x+≤2kπ，k∈Z可解得函数y=f（x）的单调递增区间是：k≤x≤kπ，k∈Z．故当k=0时，x∈[-，]．故选：C．根据函数y=sin（2x-）的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，确定函数f（x）的解析式，从而可得函数f（x）的一个单调递增区间．本题考查图象的变换，考查三角函数的性质，解题的关键是熟悉变换的方法，确定函数的解析式，属于基本知识的考查．5.若实数x，y满足条件，则z=x-3y的最小值为（）A.-5B.-3C.1D.4【答案】A【解析】解：作出约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=x-z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（1，2）时，截距-z取最大值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=1-3×2=-5故选：A作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得当直线经过点A（1，2）时，截距-z取最大值，z取最小值，代值计算可得．本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6.已知{a n}是等差数列，a3=5，a9=17，数列{b n}的前n项和S n=3n，若a m=b1+b4，则正整数m等于（）A.29B.28C.27D.26【答案】A【解析】解：假设a n=a0+（n-1）d，可知a9-a3=6d=12，则d=2，而a3=5，则a0=1．所以b1=S1=3，b4=S4-S3=54，则b1+b4=57，因此a m=a0+（m-1）d=1+2（m-1）=57=b1+b4，从而可得m=29．故选：A．利用{a n}是等差数列，a3=5，a9=17，求出a0=1，d=2，求出b1+b4=57，即可求出m．本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．7.下列程序图中，输出的B是（）A.-B.-C.0D.【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得A=，i=1A=，B=-，i=2，满足条件i≤2015，A=π，B=0，i=3，满足条件i≤2015，A=，B=，i=4，满足条件i≤2015，A=，B=-，i=5，满足条件i≤2015，A=2π，B=0，i=6，满足条件i≤2015，…观察规律可知，B的取值以3为周期，由2015=3×671+2，故有B=-，i=2015，满足条件i≤2015，B=0，i=2016，不满足条件i≤2015，退出循环，输出B的值为0．故选：C．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期，故当i=2015时，B=0，当i=2016时不满足条件i≤2015，退出循环，输出B的值为0．本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的A，B，i的值，观察规律可知B的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．8.安排A、B、C、D、E、F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法有（）种．A.30B.40C.42D.48【答案】C【解析】解：当A照顾老人乙时，共有种不同方法；当A不照顾老人乙时，共有种不同方法．∴安排方法有24+18=42种．故选：C．根据义工A，B有条件限制，可分A照顾老人乙和A不照顾老人乙两类分析，A照顾老人乙时，再从除B外的4人中选1人，则甲和丙为；A不照顾老人乙时，老人乙需从除A、B外的4人中选2人，甲从除A外的剩余3人中选2人．本题考查有条件限制排列组合问题，关键是正确分类，是基础的计算题．9.已知函数f（x）=，，＞，函数g（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，g（x）=2x-1，则函数y=f（x）-g（x）的零点个数是（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】解：函数y=f（x）-g（x）的零点就是函数y=f（x）与y=g（x）图象的交点．在同一坐标系中画出这两个函数的图象：由图可得这两个函数的交点为A，O，B，C，D，E，共6个点．所以原函数共有6个零点．故选：B．函数y=f（x）-g（x）的零点就是函数y=f（x）与y=g（x）图象的交点，因此分别作出这两个函数的图象，然后据图判断即可．本题考查了利用数形结合的思想解决函数零点个数的判断问题，同时考查了函数的零点，方程的根以及函数图象的交点之间关系的理解．10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.2B.C.4D.【答案】B【解析】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．11.已知函数f（x）=+sinx（e为自然对数的底），则函数y=f（x）在区间[-，]上的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由函数f（x）=+sinx（e为自然对数的底），x∈[-，]，可得y′=+cosx≥+=≥=0，而上述式子中的两个等号不能同时成立，故有y′＞0，故函数y在区间[-，]上单调递增，故选：A．求得函数的导数y′的解析式，再利用基本不等式求得在区间[-，]上，y′＞0，可得函数y在区间[-，]上单调递增，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查导数公式，利用导数研究函数的单调性，基本不等式的应用，函数的图象特征，属于中档题．12.已知数列{a n}满足a1=1，|a n-a n-1|=（n∈N，n≥2），且{a2n-1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则12a10=（）A.6-B.6-C.11-D.11-【答案】D【解析】解：由|a n-a n-1|=，则|a2n-a2n-1|=，|a2n+2-a2n+1|=，∵数列{a2n-1}是递减数列，且{a2n}是递增数列，∴a2n+1-a2n-1＜0，且a2n+2-a2n＞0，则-（a2n+2-a2n）＜0，两不等式相加得a2n+1-a2n-1-（a2n+2-a2n）＜0，即a2n-a2n-1＜a2n+2-a2n+1，又∵|a2n-a2n-1|=＞|a2n+2-a2n+1|=，∴a2n-a2n-1＜0，即，同理可得：a2n+3-a2n+2＜a2n+1-a2n，又|a2n+3-a2n+2|＜|a2n+1-a2n|，则a2n+1-a2n=，当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，…，，，这2m-1个等式相加可得，a2m-a1=-（）+（），∴=．∴12a10=．故选：D．根据数列的单调性和|a n-a n-1|=，由不等式的可加性，求出a2n-a2n-1=和a2n+1-a2n=，再对数列{a n}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{a n}的偶数项对应的通项公式，则12a10可求．本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量=（1，），向量，的夹角是，•=2，则||等于______ ．【答案】2【解析】解：∵||=又∵即：∴故答案为：2由向量的坐标可求的向量的模再由向量数量积的定义即可得出答案．本题考察了向量的坐标以及向量数量积的定义，求出的模是关键，属于基础题．14.若在圆C ：x 2+y 2=4内任取一点P （x ，y ），则满足 ＜ ＞ 的概率= ______ ．【答案】【解析】解：满足＜ ＞的区域如图面积为=（x -x 3）| =， 由几何概型公式可得在圆C ：x 2+y 2=4内任取一点P （x ，y ），则满足＜ ＞的概率为 ； 故答案为：．分别求出圆的面积以及满足不等式组的区域面积，利用几何概型公式解答．本题考查了几何概型的公式运用；关键是利用定积分求出区域的面积．利用几何概型公式解答．15.观察下面数表：设1027是该表第m 行的第n 个数，则m +n 等于 ______ ． 【答案】 13【解析】解：根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数， 第一行1个数，第二行2=21个数，且第1个数是3=22-1第三行4=22个数，且第1个数是7=23-1第四行8=23个数，且第1个数是15=24-1…第10行有29个数，且第1个数是210-1=1023，第2个数为1025，第三个数为1027；所以1027是第10行的第3个数，所以m =10，n =3，所以m +n =13； 故答案为：13．根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9…都是连续奇数，第一行1个数，第二行2个数，第三行4个数，第四行8个数，…第10行有29个数，分别求出左起第1个数的规律，按照此规律，问题解决 本题主要考查归纳推理的问题，关键是根据数表，认真分析，找到规律，然后进行计算，即可解决问题．16.过原点的直线l与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别相交于A，B两点，F（-，0）是双曲线C的左焦点，若|FA|+|FB|=4，=0．则双曲线C的方程= ______ ．【答案】【解析】解：设|FB|=x，则|FA|=4-x，∵过原点的直线l与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右两支分别相交于A，B两点，F（-，0）是双曲线C的左焦点，∴|AB|=2，∵=0，∴x2+（4-x）2=12，∴x2-4x+2=0，∴x=2±，∴|FB|=2+，|FA|=2-，∴2a=|FB|-|FA|=2，∴a=，∴b=1，∴双曲线C的方程为．故答案为：．设|FB|=x，则|FA|=4-x，利用勾股定理，建立方程，求出|FB|=2+，|FA|=2-，可得a，b，即可得出结论．本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，确定几何量是关键．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知△ABC是圆O（O为坐标原点）的内接三角形，其中A（1，0），B（-，-），角A，B，C的对边分别为A，B，C．（Ⅰ）若点C的坐标是（-，），求cos∠COB；（Ⅱ）若点C在优弧上运动，求a+b的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由点C，B的坐标可以得到∠AOC=，∠AOB=，…（2分）所以cos∠COB=cos（∠AOC+∠AOB）=-×=-；…（6分）（Ⅱ）因为c=，∠AOB=，所以C=，所以，…（8分）所以a+b=2sin A+2sin（-A）=2sin（A+），（0＜A＜），…（11分）所以当A=时，a+b最大，最大值是2．…（12分）【解析】（Ⅰ）由点C，B的坐标可以得到∠AOC，∠AOB，即可由cos∠COB=cos（∠AOC+∠AOB）得解．（Ⅱ）由正弦定理可得a+b=2sin A+2sin（-A）=2sin（A+），由题意求得角C可得A的范围，从而可求a+b的最大值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18.如图是某市11月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200，表示空气质量重度污染，该市某校准备举行为期3天（连续3天）的运动会，在11月1日至11月13日任选一天开幕（Ⅰ）求运动会期间至少两天空气质量优良的概率；（Ⅱ）记运动会期间，空气质量优良的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望【答案】解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是P2=．…（6分）（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0，1，2，3；…（7分）P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，…（9分）．所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是E ξ=0×+1×+2×+3×=．…（12分） 【解析】（Ⅰ）说明该校运动会开幕日共有13种选择，列出运动会期间至少两天空气质量优良的数目，然后求解概率．（Ⅱ）随机变量ξ所有可能取值有：0，1，2，3，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望．本题考查古典概型的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．19.如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=DC=CB=2，AB=4，矩形AEFC 中，AE= ，平面AEFC ⊥平面ABCD ，点G 是线段EF 的中点（Ⅰ）求证：AG ⊥平面BCG（Ⅱ）求二面角D-GC-B 的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为AD=DC=CB=2，AB=4，所以∠ABC=60°， 由余弦定理求得AC=2 ， 从而∠ACB=90°， 即BC ⊥AC ，又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ， 所以BC ⊥平面AEFC ， 所以BC ⊥AG ，在矩形AEFC 中，tan ∠AGE=， 则∠AGE=，tan ∠CGF=，则∠CGF=， 所以∠CGF+∠AGE=，即AG ⊥CG ，所以AG ⊥平面BCG ；（Ⅱ）FC ⊥AC ，平面AEFC ⊥平面ABCD ， 所以FC ⊥平面ABCD ，以点C 为原点，CA ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则C （0，0，0），A （2 ，0，0），B （0，2，0），D （ ，-1，0），G （ ，0， ），平面BCG 的法向量 =（ ，0，- ）， 设平面GCD 的法向量 =（x ，y ，z ），则，从而，令x=1，则y=，z=-1，则=（1，，-1），所以cos＜，＞==，而二面角D-GCB为钝角，故所求二面角的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理证明AG⊥CG，即可证明AG⊥平面BCG（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角D-GC-B的余弦值．本题主要考查空间线面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．20.已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）的一条直径是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的长轴，过椭圆C2上一点D（1，）的动直线l与圆C1相交于点A、B，弦AB长的最小值是（1）圆C1和椭圆C2的方程；（2）椭圆C2的右焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线m、n，设直线m交圆C1于点P、Q，直线n与椭圆C2于点M、N，求四边形PMQN面积的取值范围．【答案】解：（1）由题意可得a=r，点D在圆内，当AB⊥C1D时，直线AB被圆截得的弦长最短，且为2=2=，解得r=2，即a=2，点D代入椭圆方程，有+=1，解得b=，则有圆C1的方程为x2+y2=4，椭圆C2的方程为+=1；（2）设过点F（1，0）作两条互相垂直的直线m：y=k（x-1），直线n：y=-（x-1），圆心C1到直线m的距离为d=，则|PQ|=2=2，由y=-（x-1）和椭圆+=1，可得（3k2+4）y2-6ky-9=0，判别式显然大于0，y1+y2=，y1y2=-，则|MN|=•=，则有四边形PMQN面积为S=|PQ|•|MN|=•2•=12•=12•，由于k2＞0，即有1+k2＞1，S＞12×=6，且S＜12×=4，则四边形PMQN面积的取值范围是（6，4）．【解析】（1）由题意可得a=r，点D在圆内，当AB⊥C1D时，直线AB被圆截得的弦长最短，由弦长公式计算即可得到r=2，再将D的坐标代入椭圆方程，即可求得b，进而得到圆和椭圆的方程；（2）设出直线m，n的方程，运用圆和直线相交的弦长公式和直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|PQ|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围．本题考查直线和圆、椭圆的位置关系，同时考查直线被圆、椭圆截得弦长的问题，运用圆的垂径定理和弦长公式，以及韦达定理是解题的关键．21.已知函数f（x）=lnx+x2-2ax+1（a为常数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若对任意的a∈（1，），都存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，求实数m的取值范围．【答案】解：函数f（x）=lnx+x2-2ax+1（a为常数）（1）f′（x）=+2x-2a=，x＞0，①当a≤0时，f′（x）＞0成立，若f′（x）≥0，则2x2-2ax+10≥0，△=4a2-8，当-时，f′（x）≥0恒成立，所以当a时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞时，∵2x2-2ax+10≥0，x＞或0＜＜2x2-2ax+10＜0，＜＜，∴f（x）在（0，），（）上单调递增，在（，）单调递减，（2）∵a∈（1，），+2x-2a＞0，∴f′（x）＞0，f（x）在（0，1]单调递增，f（x）max=f（1）=2-2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，即2-2a+lna＞m（a-a2），∵任意的a∈（1，），∴a-a2＜0，即m＞恒成立，令g（a）=，∵m＞恒成立最后化简为g′（a）==∵任意的a∈（1，），＞0，∴g（a）=，a∈（1，）是增函数．∴g（x）＜g（）=+=∴实数m的取值范围m≥【解析】（1）求解f′（x）=+2x-2a=，x＞0，判断2x2-2ax+10的符号，分类得出①当a≤0时，f′（x）＞0成立，当-时，f′（x）≥0恒成立，即可得出当a时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞时，求解不等式2x2-2ax+10≥0，2x2-2ax+10＜0，得出f（x）在（0，），（）上单调递增，在（，）单调递减，（2）f（x）max=f（1）=2-2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a-a2）成立，即2-2a+lna＞m（a-a2），m＞恒成立，构造函数g（a）=，利用导数求解即可转化为最值即可判断．利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，同学们在做题的同时，可以根据单调性，结合函数的草图来加深对题意的理解．22.在圆内接四边形ABCD中，AC与BD交于点E，过点A作圆的切线交CB的延长线于点F．若AB=AD，AF=18，BC=15，求AE的长．【答案】解：∵AF是圆的切线，且AF=18，BC=15，∴由切割线定理可得AF2=FB•FC，∴182=FB（FB+15），∴FB=12，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵AF是圆的切线，∴∠FAB=∠ADB，∴∠FAB=∠ABD，∴AF∥BD，∵AD∥FC，∴四边形ADBF为平行四边形，∴AD=FB=12，∵∠ACF=∠ADB=∠F，∴AC=AF=18，∵，∴，∴AE=8．故答案为：8．【解析】由切割线定理，求出FB，再证明四边形ADBF为平行四边形，求出AD=AB，利用，可求AE的长．本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．23.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆O 的参数方程是和直线l的极坐标方程是ρsin（θ-）=．（Ⅰ）求圆O和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线l与圆O公共点的一个极坐标．【答案】解：（Ⅰ）圆O的参数方程可以化为：，所以圆O的直角坐标方程是：．转化为：x2+y2-x-y=0直线l的极坐标方程可以化为：，所以直线l的直角坐标方程为：x-y+1=0；（Ⅱ）由，解得：，故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为（1，）．【解析】（Ⅰ）首先把圆的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把标准形式转化为一般式，再把直线的极坐标形式转化为直角坐标的形式．（Ⅱ）利用两个方程建立方程组，解出交点坐标，最后把直角坐标形式转化为极坐标的形式．本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，解方程组的应用，点的直角坐标和极坐标的互化，主要考查学生的应用能力．24.设函数f（x）=|2x+1|-|x-3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）已知关于x的不等式a-3|x-3|＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0等价于|2x+1|＞|x-3|，两边平方得：4x2+4x+1＞x2-6x+9，即3x2-10x-8＞0，解得x＜-或x＞4，所以原不等式的解集是：（-∞，-）∪（4，+∞）；（Ⅱ）不等式a-3|x-3|＜f（x）等价于a＜|2x+1|+2|x-3|，因为|2x+1|+2|x-3|≥|（2x+1）-2（x-3）|=7，即有a＜7．所以a的取值范围是（-∞，7）．【解析】（Ⅰ）运用两边平方法，去绝对值，再由二次不等式的解法，即可得到所求解集；（Ⅱ）运用参数分离和不等式恒成立思想方法，由绝对值不等式的性质，求得右边的最大值，即可得到所求a的范围．本题考查绝对值不等式的解法，主要考查绝对值不等式的性质和平方法解绝对值的方法，考查运算能力，属于中档题．。
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保密★启用前2015年江西省高考适应性测试理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2. 回答第Ⅰ卷时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答且卡一并交回．第I 卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|05}A x x =<<，2{|230}B x x x =-->，则AB =R ð A . (0,3) B . (3,5)C . (1,0)-D .(0,3]2．复数1i (0)z a a a a=+∈≠R 且对应的点在复平面内位于A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限 3．命题“2,x x x ∀∈≠R ”的否定是A ．2,x x x ∀∉≠R B ．2,x x x ∀∈=R C ． 2,x x x ∃∉≠R D ．2,x x x ∃∈=R 4．已知函数2()f x x -=，3()tan g x x x =+，那么 A. ()()f x g x ⋅是奇函数 B. ()()f x g x ⋅是偶函数 C. ()()f x g x +是奇函数 D. ()()f x g x +是偶函数 5．已知等比数列{}n a 中，2109a a =，则57a a +A. 有最小值6B. 有最大值6C. 有最小值6或最大值6-D.有最大值6- 6．下列程序框图中，则输出的A 值是A ．128B ．129C ．131D ．1347．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0,2πωϕ><）的部分图像如图所示，则()y f x = 的图象可由cos 2y x = 的图象 A ．向右平移3π个长度单位 B ．向左平移3π个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位 D ．向左平移6π个长度单位 8．已知抛物线:C 24y x =，那么过抛物线C 的焦点，长度为不超过 2015的整数的弦条数是A ． 4024B ． 4023C ．2012D ．20159．学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。
现从该小组中选出3位同学分别到,,A B C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有 A. 70种 B. 140种 C. 840种 D. 420种10．已知函数1()ln 2xf x x =-（），若实数x 0满足01188()log sin log cos88f x ππ>+，则0x 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．1(,)2+∞11．已知函数22,20()1ln,021x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，若()|()|g x f x ax a =--的图像与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是A. 1(0,)eB. 1(0,)2eC. ln 31[,)3e D. ln 31[,)32e12．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．23 B ．1 C ．43 D ．32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-第24题为选考题，考生根据要求作答．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 41(2)x x-+展开式中的常数项为 .14. 已知向量(2,1)=a ,(1,3)=-b ,若存在向量c ,使得6⋅=a c ，4⋅=b c ,则c = .15．若变量y x ,满足约束条件1,,3215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则42x yw =⋅的最大值是 .2正视图侧视图俯视图FE DC B AABCD A 1B 1C 116.对椭圆有结论一：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，过点2(,0)a P c的直线l 交椭圆于,M N 两点，点M 关于x 轴的对称点为'M ，则直线'M N 过点F 。
类比该结论，对双曲线有结论二，根据结论二知道：双曲线22':13x C y -=的右焦点为F ，过点3(,0)2P 的直线与双曲线'C 右支有两交点,M N ，若点N的坐标是，则在直线NF 与双曲线的另一个交点坐标是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1232,8,24a a a ===，1{2}n n a a +-为等比数列.（Ⅰ）求证：{}2n n a 是等差数列；（Ⅱ）求1nS 的取值范围.18. （本小题满分12分）某校进行教工趣味运动会，其中一项目是投篮比赛，规则是：每位教师投二分球四次，投中三个可以再投三分球一次，投中四个可以再投三分球三次，投中球数小于3则没有机会投三分球，所有参加的老师都可以获得一个小奖品，每投中一个三分球可以再获得一个小奖品。
某位教师二分球的命中率是12，三分球的命中率是13. （Ⅰ）求该教师恰好投中四个球的概率； （Ⅱ）记该教师获得奖品数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望. 19．（本小题满分12分）如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中, 12AB AA ==，3ACB π∠=，点D 是线段BC 的中点. （Ⅰ）求证：1AC ∥平面1AB D ；（Ⅱ）当三棱柱111ABC A B C -的体积最大时，求直线1A D 与平面1AB D所成角θ的正弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12(1,0),(1,0)F F -，直线l 的方程是4x =，点P 是椭圆C 上动点（不在x 轴上），过点2F 作直线2PF 的垂线交直线l 于点Q ，当1PF 垂直x 轴时，点Q 的坐标是(4,4).（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）判断点P 运动时，直线PQ 与椭圆C 的公共点个数，并证明你的结论.21．（本小题满分12分） 已知函数ln ()a x bf x x+=（其中20a a ≤≠且），函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线过点(3,0). （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 与函数2()2g x a x x=+--的图像在(0,2]有且只有一个交点，求实数a 的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图，圆内接四边形ABCD 的边BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若21,31==EA ED EB EC ，求ABDC的值； （Ⅱ）若CD EF //，证明：FB FA EF ⋅=2．23.（本小题满分10分）选修44-；坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知某圆的极坐标方程为：24cos 20ρρθ-+=．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．24.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数()||f x x =，()|4|g x x m =--+ （Ⅰ）解关于x 的不等式[()]20g f x m +->；（Ⅱ）若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围.B 1OC 1B 1A 1D CBA2015年江西省高考适应性测试参考答案理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13. 70 14. （2,2） 15.512 16.9(,)55-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：（Ⅰ） 2124a a -=，3228a a -=，11242n n n a a -+∴-=⨯11122n n n n a a ++∴-=，{}2nna 是以1为首项，公差1d =的等差数列 …………6分 （Ⅱ）2n n a n =⨯， 231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯……..①234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⨯……..②， 由①-②得 1(1)22n n S n +=-+………8分当1n ≥时， 11(1)20n n n S S n ++-=+>，{}n S 从第1项开始递增, 11(0,]2n S ∴∈…………12分 18.解：（Ⅰ）该位教师投中四个球可以分为两个互斥事件，投中三个二分球一个三分球、投中四个二分球，所以概率是344341112()()()2323P C =⨯⨯+⨯=11108； ……………4分（Ⅱ）ξ可能取值有1,2,3,4，344411(1)1()()22P C ξ==-⨯-344341212()()()2323C +⨯⨯+⨯=377432，344124311112(2)()()()23233P C C ξ==⨯⨯+⨯⨯⨯19=，4223112(3)()()233P C ξ==⨯⨯⨯172=，4311(4)()()23P ξ==⨯1432=， ……………9分所以ξ的分布列是数学期望是432972432E ξ=+++=5348。
……………12分19.（Ⅰ）证明：记11ABAB O =，OD 为三角形1A BC 的中位线，1AC ∥OD ，⊆OD 平面1AB D , ⊄C A 1平面1AB D ， 所以1AC ∥平面1AB D ………4分 （Ⅱ）当三棱柱111ABC A BC -的底面积最大时，体积最大，22242cos32AB AC BC AC BC AC BC AC BC AC BCπ==+-⋅⋅≥⋅-⋅=⋅当AC BC =，三角形ABC 为正三角形时取最大值………7分设点1A 到平面1AB D 的距离为d ，由1111A AB D C AB D B ACD V V V ---==得 111136AB D S d AD DB d d ⋅=⋅=⇒=△ ………10分 1sin 35d A D θ===………12分（另解）（Ⅱ）依题意，如图以D 为原点，直线DA ，DC 分别为x,y 系，则),2,0,3(),2,1,0(),0,1,0(),0,0,3(11A B B A --设面D AB 1的法向量为(,,)n x y z =，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅02031z y DB n x DA n 设1,2==z y ，)1,2,0(=∴， ………10分 )2,0,3(1=∴DA35352||sin 1===∴θ ………12分20.解：（Ⅰ）由已知得1c =，当1PF x ⊥轴时，点2(1,)b P a-， 由220F P F Q ⋅=得2(2)(41)40b a--+=222302320b a a a ⇒-=⇒--=, 解得2a =，b =C 的方程是22143x y +=。