第二部分 第1讲 选择题、填空题的解法
六年级实用数学解题技巧大全
六年级实用数学解题技巧大全小学六年级数学各类题解法一、选择题的解法：选择题得分关键是考生能否精确、迅速地解答。
数学选择题的求解有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果;二是题干和选择的分支联合考虑或从选择的分支出发探求是否满足题干条件，由于答案在四个中找一个，随机分一定要拿到。
选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题尽量不要大做。
二、填空题的解法：填空题答案有着简短、明确、具体的`要求，解题基本原则是小题大做别马虎，特别是解的个数和形式是否满足题意，有没有漏解和不满足题目要求的解要认真区别对待。
数学填空题的分值增加许多，其得分情况对考试成绩大有影响，所以答题时要给予足够的精力和时间，填空的解法主要有：直接求解法、特例求解法、数形结合法，解题时灵活应用。
三、解答题的解法：解答题得分的关键是考生能否对所答题目的每个问题有所取舍，一般来说在解答题中总是有一定数量的数学难题(通常在每题的后半部分和最后一、两题中)，如果不能判别出什么是自己能做的题，而在不会做的题上花太多的时间和精力，得分肯定不会高。
解答题解题时要注意：书写规范，各式各样的题型有各自不同的书写要求，答题的形式对了基本分也就得到了。
审题清晰，题读懂了解题才能得到分，要快速在短时间内审清题意，知道题目表达的意思，题目要解决的是什么问题，关键的字词是什么，特殊的情形有没有，不能一知半解，做了一半才发现漏了条件推翻重来，费了精力影响情绪。
附加题一般有2至3问，第一问，其实不难，你要有信心做出来，一般也就是个简单的理论的应用，不会刁难你，所以，你要作出来。
如果有第三问，那么第二问多半是中继作用，就是利用第一问的结论，然后第三问有要用到它自己。
这一问，比较难一点，但是，如果你时间允许，还是可以做出来的。
解答题中，由于是按步给分，应特别注意过程步骤的严谨和规范，追求表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，写清得分点，清楚地呈现自己的思维层次。
全国卷数学选择题答题规律技巧
全国卷数学选择题答题规律技巧全国卷数学选择题答题规律技巧数学选择题的答案(ABCD)答案基本分布都是比较均匀的，一般不会连续三道题都是选择同一个选项，基本这ABCD会出2到4次，记得小编在做数学题的时候，一本会采用2334的原则，相信大部分的同学都会采用这种方法。
其实数学选择题答题是没有什么规律可言的，但是数学选择题的题型一半我们都在平时的练习的时候做过，那几道选择体会比较难，那几道选择题是简单的，这老师都会说，我们在平时做题的时候，也能够感觉到。
我们在答数学选择题的时候，可以采用先看答案的方法，然后再去读题目，一定要把题干读懂，这样做题的效率会高一些，也可以把答案带入到题干当中，采用排除法的方式，选择最佳答案。
如果是自己会做，那么直接选择就可以了，这也会简便很多。
一定要认真审题，有时候，差一个字可能对答案都是有影响的，同学们在做选择题，不要着急选择答案，要把题读懂再去选择答案，这样准确率才会高一些，能够发现题干当中所隐含的条件，有些时候，题干不会直接给出已知条件，需要我们去反推，这样会增加我们的准确率。
学会采用剔除的方法，根据已知条件，找到相对应的答案，把错误的是三个选项剔除，找出最正确的答案，如果是你的推理能力很强，还可以采用推理的方法，找到最佳答案，利用数学定理和公式的，推算出最终的结果，这也是答数学选择题的一种最好的方法。
高考数学答题思路1、函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。
同学们在解题时可利用转化思想进行函数与方程间的相互转化。
2、数形结合思想中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。
它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此建议同学们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
江苏省泰州市泰兴市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)
2023年秋学期九年级期中学情调查数学试卷（考试时间：120分钟，满分150分）第一部分选择题（共18分）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）1．下列方程是一元二次方程的是（）A ．B ．C．D ．2．安老师准备在班上开展“法制”“环保”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，则“法制”专题讲座被安排在第一场的概率为（）A ．B ．C ．D ．3．甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，．则射击成绩最稳定的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．如图，矩形PAOB 内接于扇形OMN ，顶点P 在上，且不与M ，N 重合，当点P 在上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则的值（）第4题A ．变大B ．变小C ．不变D ．不能确定5．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了如图所示的圆内接正八边形．若圆的半径为1，则这个圆内接正八边形的面积为（）250x y +-=()23x x x+=211x x +=()10x x -=1614131220.6S =甲21.1S =乙20.9S =丙2 1.2S =丁 MNMN 22PA PB +第5题A ．B ．CD ．6．如图，在Rt△ABC 中，，，已知B ，C 在线段DE 上，且线段，，则BC 的长为（）第6题A ．6B ．C ．6.5D ．第二部分非选择题（共132分）二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7、方程的根为______．8．小敏同学参加市“书香少年”评选，其中综合荣誉分占40%，现场演讲分占60%，已知小敏这两项成绩分别为80分和90分，则小敏的最终成绩为______分．9．在一个不透明的袋子中装有3个红球和若干个白球．每个球除颜色外其余均相同，若从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，则袋中白球的个数为______．10．若关于x 的一元二次方程没有实数根，则k 的值可以是______．（写出一个即可）11．如图，是△ABC 的外接圆，，，则的半径长等于______．第11题12．如图，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、E 、F 均为格点，则的度数为______°．π2π90BAC ∠=︒AB AC =135DAE ∠=︒9BD =4CE =()2325x -=142210x x k +-+=O 5BC =30BAC ∠=︒O BAC ∠第12题13．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，，若表示以AC 为一边的正方形的面积，表示长为AB ，宽为CB 的矩形的面积，则______．（用“＞”、“＝”或“＜”填空）第13题14．如图，四边形ABCD 内接于，AD 、BC 的延长线相交于点E ，AB 、DC 的延长线相交于点F ，若、，则的度数为______．第14题15．如图，丁丁用一张半径为10cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面周长为cm ，那么这张扇形纸板的面积是______．第15题16．如图，矩形ABCD 中，，，点E 在AD 边上，，过点E 作交BCAC BC >1S 2S 1S 2S O 52E ∠=︒36F ∠=︒A ∠12π2cm 4AB =()2BC m m =>1DE =//EF AB于点F ．若线段EF 上存在3个不同的点P ，使得△EDP 与△BPF 相似，则m 的取值范围为______．第16题三、解答题（本大题共10小题，满分102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）小明与小华两位同学解一元二次方程的过程如下框：小明：两边同除以得．则．小华：移项，得．提取公因式，得．则或．解得，．（1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果．小明的解法_____，小华的解法_____．（填“正确”或者“不正确”）（2）请你选择合适的方法解一元二次方程．18．（本题满分8分）一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在如图所示的座位上，乙、丙、丁三人等可能地坐到其他3个座位上．（1）乙与甲不相邻而坐的概率为______；（2）求丙与丁相邻而坐的概率．（画树状图或表格列出所有等可能出现的结果）19．（本题满分8分）如图，四边形ABCD 是正方形，现有下列几个信息：①E 是BC 的中点；②﹔③．从以上信息中选择两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题．（1）你选择的条件是_____，结论是_____．（填写序号）（2）证明你构造的命题．()()2355x x -=-()5x -35x =-8x =()()23550x x ---=()()5350x x ---=50x -=350x --=15x =22x =-()()232121x x +=+AE EF ⊥3DF CF =20．（本题满分10分）已知：平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程的两个实数根．（1）m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）如果AB 的长为2，那么平行四边形ABCD 的周长是多少？21．（本题满分10分）以“徜徉诗词之海，品味文韵之美”为主题的校园传统文化节来了．某校七、八年级开展了“国学朗诵”活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：七年级10名学生活动成绩统计表成绩/分678910人数21ab3八年级10名学生活动成绩扇形统计图已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．请根据以上信息，完成下列问题：（1）______，_______；（2）样本中，八年级活动成绩为7分的学生数是_____，八年级活动成绩的众数为_____分；（3）若认定比赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．22．（本题满分10分）如图，在方格纸中，点A，B ，C 都在格点上，用无刻度直尺作图．（1）在图1中的线段AC 上找一个点E ，使；（2）在图2中作一个格点△BDE ，使△BDE 与△ABC 相似，且面积比为．210x mx m -+-=a =b =74⨯34AE AC =8:5图1图223．（本题满分10分）小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理．激光笔从左边点C 处发出光线，经平面镜点O 处反射后，落在右边光屏BE 上的点D 处（B 、C 两点均在量角器的边缘上，O 为量角器的中心，A 、O 、B 三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：①水平距离AB 的长为96cm ；②铅垂高度AC 的长为48cm ；（1）求量角器的半径OB 长；（2）如果小辰想使反射点D 沿DB 方向下降35cm ，求此时激光笔发光点C 的铅垂高度AC 的长及点A 沿OA 方向移动的距离．图1图224．（本题满分10分）某商店以每件30元的价格购进一批玩具，计划以每件48元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知这批玩具销售量y （件）与每件降价x （元）（）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件玩具降价2元时，商场获利多少元？（3）若商场要想获利1680元，且让顾客获得更大实惠，这批玩具每件应降价多少元？AC AB ⊥BE AB ⊥018x <<25．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，，以AB 为直径的交边AC 、BC 于点D 、H ，连接BD ，过点C 作．（1）用无刻度的直尺和圆规作图：过点B 作的切线，交CE 于点F （不写作法，保留作图痕迹，标明字母）；（2）在（1）的条件下，若，求的直径；（3）连接AH 、OC ，AH 与OC 交点G 恰好落在BD 上，若AB =40，直接写出弦AD 、AH 和围成的图形的面积．26．（本题满分14分）我们知道，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．（1）如图（1），在Rt △ABC 中，，，，△ABC 的准内心P 在△ABC 的直角边上，求AP 的长．（2）如图（2），△ABC 内接于，BC 为直径，点A 在BC 上方的圆弧上运动，若△ABC 的准内心在上，则必有一个准内心P 的位置始终不变．①确定该准内心P 的位置（用文字语言叙述）；②若△ABC 中，，求PC 、PA 的长；③设，，求△ABC 的面积S （用含m 、n 的代数式表示）．AB AC =O //CE AB O DH =2CF =O DH90BAC ∠=︒5BC =3AB =O O AC =10BC =PA PB m +=PA PC n -=图1图22023年秋学期九年级期中学情调查数学试卷参考答案（仅供参考）一、选择题（每题3分，共18分）题号123456答案DCACDB二、填空题〔每题3分，共30分）7．8或－2 8．869．9 10．－1（任一负数即可）11．512．135°13．＝14．46°15． 16．且三、解答题〔共102分）17．（1）不正确，不正确，（2）解：，，18．（1）（2）记左下右为ABC19．（1）①②；③（答案不唯一）（2）略60π25m <<4m ≠()()232121x x +=+()()21220x x +-=112x =-21x =13()2=3P 丙丁相邻20．（1）边长为1（2）周长为621．（1）2；2（1）2；8分（3）不是；七年级的平均分：8.3分，优秀率50%八年级的平均分：8.4分，优秀率40%，但22．（1）设，在Rt △AOC 中，∵∴∴（2）∵∴当，时，；当时，，∴，点A 移动距离：24．（1）．（2）设降价x 元，则，2m =3m =8.38.4<50%40%>OB r =222OA AC OC +=()2224896r r +-=60r =~AOC BOD △△AC BCOA OB=48AC =36OA =80BD =803545BD =-=36AC =48OA =36AC =483612-=1560y x =+()()48302152601440--⨯+=()()483015601680x x --+=（3）或∵让顾客得到实惠∴25．（1）以C 为圆心，CD 为半径画弧交CE 于点F ，连接BF ，BF 即为所求（答案不唯一）（2）∵AB 时的直径∴又∵∴∵，∴﹒在（1）的条件下证设，∵∴，∴（3）26．（1）或（2）①该准内心P为下方圆弧的中点②③（证明仅供参考）10x=4x =10x =O 90AHB ∠=︒AB AC =HB HC =90CDB ∠=︒HB HC =2BC DH ==2CD CF ==AB AC x ==2222AB AD BC CD-=-()2222(22x x --=-8x =2602003603S r ππ==43AP =32PC =PA =1mn 2ABC S =△【方法一】过点P 作PA 的垂线交AC 的延长线于点D 证明：得证明：△APD 为等腰直角三角形得∴∴∴∴∴∴【方法二】过点P 作AB 、AC 的垂线段，垂足为点E 、D 证明：得证明：正方形AEPD∵∴()ABP DCP AAS △≌△AB DC=222AP PD AD +=()222PA AB AC =+22222PA AB AB AC AC=+⋅+22222PA PB AB AC=+⋅22·PA PB AB AC -=()()·PA PB PA PC AB AC+-=1mn 2ABC S =△()EBP DCP AAS HL SAS △≌△或或BE CD=AB AC ⋅()()AE BE AD CD =+-22AE CD =-()222AE PC PD =--222AE PC =-22PA PC =-()()PA PB PA PC =+-1mn 2ABC S =△。
高一数学期中考试总结5篇
高一数学期中考试总结5篇高一数学期中考试总结 (1) 本次考试共分三部分：选择题、填空题和解答题。
第一大题选择题共12小题，每小题4分，共48分。
选择题特别注重基础，由于在平时学生的基础掌握的不是很好，稍加变形学生就不会做。
而且选择题特别注重应用数形结合的思想，在平时虽然经常引导学生，方法虽然简单但是学生不容易接受，所以选择题得分不是很多，得分大约在20分。
第二大题填空题共6小题，每小题3分，共18分。
填空题难度并不大，都是平时经常做的题目，难度相对于选择来说，我认为较容易，可是学生一般来说还是比较喜欢做选择题，填空题由于没有参照，很多学生都选择放弃。
以至于简单的题目也没有得多少分，平均分也就2分。
第三大题解答题共34分，19题第一问主要考查了集合的并集，子集，难度不大，但是大部分学生因为忽略了任何一个集合都是它本身的子集而没有得分，第二问有难度，大多数学生不得分，虽然表面是考交集，但还考了补集。
20题没有难度，就是考查偶函数和增函数的定义，但是很多学生因为马虎而没有证明函数是偶函数，而失分。
21题主要考查对数的运算和性质，由于对数的性质掌握的不是很熟练得分较低。
22题主要考查应用题和分段函数，学生总认为最后一题较难，产生畏惧心理，得分也较低。
通过本次考试，我觉得学生的基础掌握的不好，平时应加强基础练习，师生共同努力，争取下次取得好成绩。
高一数学期中考试总结 (2) 今天早上，年级组长把这次期中考试的所有数据都整理出来了，单看成绩，所教的两个班在同类的班级还算不错的，6班(体育班)的平均分是44.76，10班(理科班)的平均分是40.95.且10班的尖子分也较突出，在年级表彰的前20名中，10班包揽了前三名。
尽管表面上的成绩是令人满意的，但细细分析学生的考卷，有几个方面不得不令我深思：一、优生到底是我教会还是学生自己学会的。
因为我校数学科在进行《高中数学必做100题》的实验，本次的考卷的题目在考前把试卷类似的题型已经让学生先做了，并且还评讲了，有些题目甚至都已讲了好多遍，为什么仍有这么多的学生做不出来、考不好!这其中的原因是什么呢?反思平时的课堂，我经常是怕自己所讲的内容学生不明白，于是不停地讲，讲到学生好像是明白了。
第1讲(绪论)
二、中考化学考什么
1.中考化学命题的基本思路： 重视基础，关注探究，联系实际，促进发展。
2.近年化学中考主要题型：
选择题、填空题、解答题（实验探究、化学 计算）
近年化学中考的考查方向：
1、注重对化学核心概念的考查，重点考查身边的化 学物质； 2、注重考查生活及社会实践中的具体问题，考查同 学们对基本概念原理的理解及运用这些概念和原理在 实际情景中分析、解决简单问题的能力； 3、注重考查同学们的信息处理、分析和加工能力；
我国人民的贡献
1、公元前1700年（商代）开始冶炼青铜 2、春秋战国时期懂得冶铁炼钢 3、我国古代的四大发明中有两项与化学有关 （火药、造纸术）
蜡 染 屏 风 酿 酒 拓 片 彩 陶 盆
青铜剑
（三）现代化学：合成新分子阶段 从20世纪下半叶起，化学的主要任务不再是 发现新元素，而是合成新分子。在本世纪人们已 不满足于合成新分子，而是把分子扩展组装成分 子材料、分子器件、分子机器，例如分子开关、 分子磁体、分子电路，分子计算机等。
（三）教材在整体设计上，内容呈现顺序由浅 入深阶梯式上升，难点相对弱化且合理分散。教材 编写认真研究了同学们的心理，利用一些可视性强 的材料、插图和实验激发同学们的兴趣，以降解难 点，突出重点。新教材中插图很多，如每一单元首 页都有一幅彩图，给人以赏心悦目的感觉；但也有 一些插图给人以强烈的社会责任感，如水污染、空 气污染等；还有些插图能直观的反映出一些抽象的 反应过程或微粒的运动，如上册“过氧化氢分解” 示意图、“品红在水中的扩散”、“钠与氯气反应 形成氯化钠”、“干冰升华”等等。
第一讲：揭开初三化学
的神迷面纱
一、化学教材的特征 （一）人教版初三化学，分上下两册，共12单 元，单元内与单元间都彼此融合，相互关联。科 学探究精神贯穿其中，全书图文并茂，创设了多 种学习情景，许多素材取自日常生活，通过学习 相信能让同学们体会到生活中处处有化学，体会 到化学是门应用学科。 比如：为什么火炉用扇子越扇会越旺，而蜡烛用 扇子一扇就会熄灭？ 晚上，在煤炉上放一壶水真的就可以防止煤气 中毒吗？
因式分解的常用方法目前最牛的教案
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=ma+b+c二、运用公式法.在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如：1a+ba-b = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=a+ba-b ；2 a ±b 2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=a ±b 2；3 a+ba 2-ab+b 2 =a 3+b 3------ a 3+b 3=a+ba 2-ab+b 2；4 a-ba 2+ab+b 2 = a 3-b 3 ------a 3-b 3=a-ba 2+ab+b 2．下面再补充两个常用的公式：5a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=a+b+c 2；6a 3+b 3+c 3-3abc=a+b+ca 2+b 2+c 2-ab-bc-ca ；三、分组分解法.一分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系.解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式=))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组. 第二、三项为一组.解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy二分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组. 例4、分解因式：2222c b ab a -+-解：原式=)()(22ay ax y x ++- 解：原式=222)2(c b ab a -+-=)())((y x a y x y x ++-+ =22)(c b a --=))((a y x y x +-+ =))((c b a c b a +---练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---综合练习：13223y xy y x x --+ 2b a ax bx bx ax -+-+-223181696222-+-++a a y xy x 4a b b ab a 4912622-++-592234-+-a a a 6y b x b y a x a 222244+--7222y yz xz xy x ++-- 8122222++-+-ab b b a a9)1)(1()2(+---m m y y 10)2())((a b b c a c a -+-+四、十字相乘法.一二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：1二次项系数是1；2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和.思考：十字相乘有什么基本规律例.已知0＜a ≤5,且a 为整数,若223x x a ++能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c,都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数. 于是98a ∆=-为完全平方数,1a =例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5.由于6=2×3=-2×-3=1×6=-1×-6,从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5. 1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.例6、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6-1+-6= -7练习5、分解因式124142++x x 236152+-a a 3542-+x x 练习6、分解因式122-+x x 21522--y y 324102--x x 二二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：121a a a = 1a 1c221c c c = 2a 2c31221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -23 -5-6+-5= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习7、分解因式：16752-+x x 22732+-x x3317102+-x x 4101162++-y y三二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数,把原多项式看成a 的二次三项式,利用十字相乘法进行分解. 1 8b1 -16b 8b+-16b= -8b解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++=)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式12223y xy x +-22286n mn m +-3226b ab a --四二次项系数不为1的齐次多项式例例10、2322+-xy y x把xy 看作一个整体 1 -12 -3y 1 -2解：原式=)2)(1(--xy xy练习9、分解因式：1224715y xy x -+ 28622+-ax x a综合练习10、117836--x x 222151112y xy x --310)(3)(2-+-+y x y x 4344)(2+--+b a b a5222265x y x y x -- 62634422++-+-n m n mn m73424422---++y x y xy x 82222)(10)(23)(5b a b a b a ---++910364422-++--y y x xy x 102222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++五、换元法.例13、分解因式12005)12005(200522---x x22)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：1设2005=a ,则原式=a x a ax ---)1(22=))(1(a x ax -+=)2005)(12005(-+x x2型如e abcd +的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.原式=222)65)(67(x x x x x +++++设A x x =++652,则x A x x 2672+=++∴原式=2)2(x A x A ++=222x Ax A ++=2)(x A +=22)66(++x x练习13、分解因式1)(4)(22222y x xy y xy x +-++ 290)384)(23(22+++++x x x x六、添项、拆项、配方法.例15、分解因式14323+-x x解法1——拆项. 解法2——添项.原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x=)1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x =)44()43(2++--x x x x =)331)(1(2+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2+-+x x x =)44)(1(2+-+x x x =2)2)(1(-+x x =2)2)(1(-+x x 练习15、分解因式24224)1()1()1(-+-++x x x 31724+-x x 422412a ax x x -+++第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式.2分解因式： m 3-4m= .3.分解因式： x 2-4y 2= __ _____.4、分解因式：244x x ---=___________ ______. 5.将x n -y n 分解因式的结果为x 2+y 2x+yx-y,则n 的值为 .6、若5,6x y xy -==,则22x y xy -=_________,2222x y +=__________.二、选择题7、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是A 、5mnB 、225m nC 、25m nD 、25mn8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是A 、()()2339a a a +-=-B 、()()22a b a b a b -=+-C 、()24545a a a a --=--D 、23232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 10.下列多项式能分解因式的是Ax 2-y Bx 2+1 Cx 2+y+y 2 Dx 2-4x+411．把x －y 2－y －x 分解因式为A ．x －yx －y －1B ．y －xx －y －1C ．y －xy －x －1D ．y －xy －x ＋112．下列各个分解因式中正确的是A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac5b 2＋3cB ．a －b 2－b －a 2＝a －b 2a －b ＋1C ．xb ＋c －a －ya －b －c －a ＋b －c ＝b ＋c －ax ＋y －1D ．a －2b3a ＋b －52b －a 2＝a －2b11b －2a13.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式,那么k 应为.4 C三、把下列各式分解因式：14、nx ny - 15、2294n m -16、()()m m n n n m -+- 17、3222a a b ab -+ 18、()222416x x +- 19、22)(16)(9n m n m --+；五、解答题20、如图,在一块边长a =6.67cm 的正方形纸片中,挖去一个边长b =3.33cm 的正方形.求纸片剩余部分的面积.21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是内径45d cm =,外径75D cm =，长3l m =.利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土π取,结果保留2位有效数字22、观察下列等式的规律,经典二：知识总结归纳 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要的地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点.1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解；7. 因式分解的一般步骤是：1通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤.即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；2若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项添项等方法； 下面我们一起来回顾本章所学的内容.1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+-分析：这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解；也可把x x 54-,x x 32-,x -1分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解.解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+-2. 通过变形达到分解的目的例1. 分解因式x x 3234+-解一：将32x 拆成222x x +,则有解二：将常数-4拆成--13,则有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值.本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数.证明：()()x x x 2241021100--++设y x x =-25,则4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333分析：本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c 与a+2b+c 的关系,努力寻找一种代换的方法.解：设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B说明：在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要的.中考点拨在∆ABC 中,三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=21. 若x 为任意整数,求证：()()()7342---x x x 的值不大于100.2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。
高考数学解题技巧：选择题+填空+解答+规范
以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、 判断和推理能力． 目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一 个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常 规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是： “小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提 供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断． 数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发 考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支 出发探求是否满足题干条件． 解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析 法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这 些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段．
例7 数列{an}成等比数列的充要条件是 A．an＋1＝anq(q为常数)
2 B．an＋1＝an·n＋2≠0 a
( B
)
C．an＝a1qn 1(q为常数) D．an＋1＝ an·n＋2 a
－
解析 考查特殊数列0,0，„，0，„， 不是等比数列，但此数列显然适合A，C，D项． 故选B.
探究提高
判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定 an＋1 义法，也就是看 是否为常数，但应注意检验一个数列 an 为等比数列的必要条件是否成立．
解题方法例析
题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条 件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知 识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出 正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从 而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用 题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接 求解．
例6 已知A、B、C、D是抛物线y2＝8x上的点，F是抛物线
选择题、填空题的解题方法和技巧-2021届高三高考数学二轮复习PPT全文课件
3．(2020·湖北四校联考)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为
l0，过焦点 F 且倾斜角为 θθ≠π2的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，则|F1A| 1
＋|F1B|＝__2___. 【解析】 令 θ＝60°，A 在第一象限，则易知|AF|＝8，|BF|＝83，∴|F1A|
＋|F1B|＝81＋83＝21.
从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特 殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行 方法诠释 判断，特殊值法是“小题小做”的重要策略，要注意在 怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特 殊点、特殊位置、特殊数列等 适用范围 适用于题目中含有字母或具有一般性结论的小题
选择题、填空题的解题方法和技巧-20 21届高 三高考 数学二 轮复习 PPT全 文课件
算，从而得出正确结论的做题方法 适用范围 对于计算型试题，多通过计算求结果
选择题、填空题的解题方法和技巧-20 21届高 三高考 数学二 轮复习 PPT全 文课件
典例1 (1)(2020·山西运城月考)已知角 α 的终边经过点 P(sin
18°，cos 18°)，则 sin(α－12°)＝
( B)
种关系恒成立”．这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，
则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．
● 2．当填空题已知条件中含有某些不确定的量．但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信 息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、 特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的 结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．
高考数学二轮复习热考题型解法指导第1讲高考客观题的解法教案14
第1讲高考客观题的解法1．在“限时”的高考考试中，解答选择题不但要“准”，更要“快”，只有“快”，才能为后面的解答题留下充足的时间．而要做到“快”，必然要追求“巧”，“巧”即“不择手段、多快好省”．由于数学选择题是四选一的形式，因而在解答时应突出一个“选”字，要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量减少书写解题过程，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速解答．一般来说，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法的，就不必采用直接法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；初选后要认真检验，确保准确．2．数学填空题只要求写出结果，不要求写出计算和推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．解题时，要有合理地分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确地解答填空题的基本要求．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．技法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[典型例题](1)(·杭州市学军中学高考模拟)⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋1x n 展开式中所有奇数项的系数之和为1 024，则展开式中各项系数的最大值是( )A ．790B ．680C ．462D ．330(2)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．【解析】 (1)由题意可得2n －1＝1 024，即得n ＝11，则展开式中各项系数的最大值是C 511或C 611，则C 511＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462，故选C.(2)由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x＝2sin(2x ＋π4)＋1，所以A ＝2，b ＝1. 【答案】 (1)C (2) 2 1直接法是解决选择题，填空题最基本的方法，直接法适用范围较广．在计算过程中，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解问题的关键．[对点训练]1．(2018·高考浙江卷)复数21－i (i 为虚数单位)的共轭复数是( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.因为21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（1＋i ）1－i 2＝1＋i ， 所以复数21－i的共轭复数为1－i.故选B. 2．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a 4＝－1＋3d ＝8，解得d ＝3；b 4＝－1·q 3＝8，解得q ＝－2.所以a 2＝－1＋3＝2，b 2＝－1×(－2)＝2，所以a 2b 2＝1. 答案：1技法二 特例法当已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．[典型例题](1)若函数f (x )＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(2)已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB→＝a ，AC→＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( ) A ．3B ．4C ．5 D.13【解析】 (1)因为最值在f (0)＝b ，f (1)＝1＋a ＋b ，f (－a 2)＝b －a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，故选B. (2)由于直线PQ 是过点E 的一条“动”直线，所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，令PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时，m ＝n ＝23， 故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，直线BE 与直线PQ 重合，此时，AP→＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n＝3.故选A.【答案】 (1)B (2)A特例法具有简化运算和推理的优点，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但用特例法解题时，要注意以下几点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；第三，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，不能使用该种方法求解．[对点训练]如图，点P 为椭圆x 225＋y 29＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右项点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线，它们相交于点C ，过点P 引BC ，AC 的平行线交AC 于点N ，交BC 于点M ，交AB 于D 、E 两点，记矩形PMCN 的面积为S 1，三角形PDE 的面积为S 2，则S 1∶S 2＝( )A ．1B ．2 C.12 D.13解析：选A.不妨取点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4，95， 则可计算S 1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3－95×(5－4)＝65， 由题易得PD ＝2，PE ＝65， 所以S 2＝12×2×65＝65， 所以S 1∶S 2＝1.技法三 图解法对于一些含有几何背景的问题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．[典型例题](1)如图，已知正四面体D ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP ＝PB ，BQ QC ＝CR RA＝2.分别记二面角D PR Q ，D PQ R ，D QR P 的平面角为α，β，γ，则( )A ．γ＜α＜βB ．α＜γ＜βC ．α＜β＜γD ．β＜γ＜α(2)(·宁波高考模拟)定义max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b b ，a <b，已知函数f (x )＝max{|2x －1|，ax 2＋b }，其中a <0，b ∈R ，若f (0)＝b ，则实数b 的范围为________，若f (x )的最小值为1，则a ＋b ＝________．【解析】 (1)如图1，设O 是点D 在底面ABC 内的射影，过O 作OE ⊥PR ，OF ⊥PQ ，OG ⊥RQ ，垂足分别为E ，F ，G ，连接ED ，FD ，GD ，易得ED ⊥PR ，所以∠OED 就是二面角D PR Q 的平面角，所以α＝∠OED ，tan α＝OD OE ，同理tan β＝OD OF ，tan γ＝OD OG.底面的平面图如图2所示，以P 为原点建立平面直角坐标系，不妨设AB ＝2，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，3)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，33，因为AP ＝PB ，BQ QC ＝CR RA ＝2，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，233，R ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23，33，则直线RP 的方程为y ＝－32x ，直线PQ 的方程为y ＝23x ，直线RQ 的方程为y ＝33x ＋539，根据点到直线的距离公式，知OE ＝22121，OF ＝3939，OG ＝13，所以OE >OG >OF ，所以tan α<tan γ<tan β，又α，β，γ为锐角，所以α<γ<β，故选B.(2)因为f (0)＝max{1，b }＝b ，所以b ≥1；作出y ＝|2x －1|与y ＝ax 2＋b 的函数图象，如图所示： 因为f (x )的最小值为1，所以y ＝ax 2＋b 恰好经过点(1，1)，所以a＋b＝1.【答案】(1)B (2)[1，＋∞)1图解法实质上就是数形结合的思想方法在解题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．[对点训练]a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)解析：由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体的棱长为1，则AC＝1，AB＝2，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD→的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CA→的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系． 则D (1，0，0)，A (0，0，1)，直线a 的单位方向向量a ＝(0，1，0)，|a |＝1.B 点起始坐标为(0，1，0)，直线b 的单位方向向量b ＝(1，0，0)，|b |＝1.设B 点在运动过程中的坐标B ′(cos θ，sin θ，0)，其中θ为CB ′→与CD→的夹角，θ∈[0，2π)． 那么AB ′在运动过程中的向量AB ′→＝(cos θ，sin θ，－1)，|AB ′→|＝ 2.设直线AB ′与a 所成的夹角为α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2， cos α＝|（cos θ，sin θ，－1）·（0，1，0）||a ||AB ′→|＝22|sin θ|∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，22. 故α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2，所以③正确，④错误． 设直线AB ′与b 所成的夹角为β，则β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，cosβ＝|AB ′→·b ||b ||AB ′→|＝|（cos θ，sin θ，－1）·（1，0，0）||b ||AB ′→|＝22|cos θ|.当AB ′与a 成60°角时，α＝π3，|sin θ|＝2cos α＝2cos π3＝2×12＝22.因为cos 2θ＋sin 2θ＝1， 所以|cos θ|＝22.所以cos β＝22|cos θ|＝12.因为β∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2， 所以β＝π3，此时AB ′与b 成60°角．所以②正确，①错误． 答案：②③ 技法四 构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．[典型例题](1)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图所示，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为( )A.12 B ．－12C.32D ．－32(2)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2＜ln mn，则( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＞2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定【解析】 (1)由题意，可补成正方体，如图，异面直线AC 与BD 所成角就是ED 与BD 所成角，而△BDE为等边三角形，所以ED 与BD 所成角为π3，cos π3＝12.故选A.(2)由不等式可得1n 2－1m 2＜ln m －ln n ，即1n 2＋ln n ＜1m 2＋lnm ．设f (x )＝1x 2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )＞0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增．因为f (n )＜f (m )，所以n ＜m .故选A.【答案】 (1)A (2)A构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等．[对点训练]1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( )A ．3f (ln 2)>2f (ln 3)B ．3f (ln 2)＝2f (ln 3)C ．3f (ln 2)<2f (ln 3)D ．3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小关系不确定解析：选C.令g (x )＝f （x ）e x，则g ′(x )＝f ′（x ）e x －f （x ）e xe 2x＝f ′（x ）－f （x ）e x.因为对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，所以g ′(x )>0，即g (x )在R 上单调递增．又ln 2<ln 3，所以g (ln 2)<g (ln3)，即f （ln 2）eln 2<f （ln 3）eln 3，即f （ln 2）2<f （ln 3）3，所以3f (ln2)<2f (ln 3)．故选C.2．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：因为a n ＋1＝2S n ＋1，所以S n ＋1－S n ＝2S n ＋1，所以S n ＋1＝3S n ＋1，所以S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫S n ＋12， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，所以S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，所以S 1＝1，所以a 1＝1， 所以S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，所以S 5＝121. 答案：1 121 技法五 排除法排除法也叫筛选法、淘汰法，此法适用于选择题，它是充分利用选择题的特征，即有且只有一个正确的选项，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选择支，从而得出正确结论的一种方法．[典型例题](2018·高考浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )【解析】 设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，所以sin 2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.【答案】 D排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，在近几年高考选择题中占有很大的比重．[对点训练]1．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a解析：选B.根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b2a . 2．(·汕头一模)已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[0，1]B ．(0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选A.k ＝0时，8≥0，满足条件，排除B 、C ，当k ＝2时，不等式变为x 2－6x ＋5≥0，即x ≥5或x ≤1不满足条件，排除D.技法六 估值法估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要详细的过程，因此可以猜测、合情推理、估算而获得，从而减少运算量．[典型例题]如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面AC 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6D.152【解析】 该多面体体积直接求比较困难，可连接BE 、CE ，原体积转化为四棱锥E ABCD 和三棱锥E BCF 的体积之和，而V E ABCD ＝6，故由局部估算出整体，原多面体体积大于6，只有D 符合．故选D.【答案】 D对于选项是数值的选择题，可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正确选项．有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算或严格推演而浪费时间．[对点训练]某班设计了一个八边形的班徽(如图所示)，它由四个腰长为1，顶角为α的等腰三角形和一个正方形组成，则该八边形的面积为( )A．2sin α－2cos α＋2 B．sin α－3cos α＋3 C．3sin α－3cos α＋1 D．2sin α－cos α＋1解析：选A.当顶角α→π时，八边形几乎是边长为2的正方形，面积接近于4，四个选项中，只有A符合，故选A.专题强化训练[基础达标]1．(·宁波高考模拟)已知全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5}，则B＝( )A．{2，4，6} B．{1，3，5}C．{0，2，4，6} D．{x∈Z|0≤x≤6}解析：选C.因为全集U＝A∪B＝{x∈Z|0≤x≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩(∁U B)＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，故选C.2．复数z满足(1＋i)z＝|3－i|，则z＝( )A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋i解析：选A.由题意知：(1＋i)z＝2，设z＝a＋b i，则(1＋i)z ＝(1＋i)(a ＋b i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a －b ＝2，解得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1＋i ，故选A.3．(·温州市高考数学模拟)已知数列{a n }是递增数列，且满足a n＋1＝f (a n )，a 1∈(0，1)，则f (x )不可能是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝2x －1 C ．f (x )＝2x －x 2D ．f (x )＝log 2(x ＋1)解析：选B.对于A ：因为a 1∈(0，1)，所以a n ＋1＝a n >a n ，可得数列{a n }是递增数列；对于B ：因为a 1∈(0，1)，不妨取a 1＝12，则a 2＝212－1＝2－1<12，因此数列{a n }不是递增数列；对于C ：f (x )＝2x －x 2，令2x －x 2≥0，解得0≤x ≤2.由f (x )＝2x －x 2＝1－（x －1）2，可知：当0≤x ≤1时，函数f (x )单调递增；当1≤x ≤2时，函数f (x )单调递减．因为a 1∈(0，1)，所以数列{a n }是递增数列；对于D ：画出图象y ＝log 2(x ＋1)，y ＝x ，可知：在x ∈(0，1)时，log 2(x ＋1)>x ，所以a n ＋1＝log 2(a n ＋1)>a n ，因此数列{a n }是递增数列．故选B.4．已知点x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0，x －2≤0则z ＝3x ＋y 的最大值与最小值之差为 ( )A ．5B ．6C ．7 D ．8解析：选C.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x －2≤0对应的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x 并平移知，当直线经过点A 时，z 取得最大值，当直线经过点B 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，即A (2，3)，故z max ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，即B (0，2)，故z min ＝2，故z 的最大值与最小值之差为7，选C.5．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (3n －1) B.n （n ＋3）2C ．n (n ＋1)D.n （3n ＋1）2解析：选C.依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)．6．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝|x－2|(x >0)，y 2＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.7．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：选B.函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝cos 12log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝－cos 12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12·log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝－cos 12， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，排除A 、D ， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－cos 12<0，故排除C.综上，选B. 8．(·嘉兴市高三期末)已知圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－4＝0恰有三条公共切线，则（a－3）2＋（b－4）2的最小值为( )A．1＋ 2 B．2C．3－ 2 D．4解析：选B.圆C1的圆心为C1(a，0)，半径为r1＝1，圆C2的圆心为C2(0，b)，半径为r2＝2，因为两圆有三条公共切线，所以两圆外切．所以a2＋b2＝3，所以点(a，b)在半径为3的圆x2＋y2＝9上．而（a－3）2＋（b－4）2表示点(a，b)到点(3，4)的距离．所以（a－3）2＋（b－4）2的最小值为32＋42－3＝2.故选B.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．12 B．18 C．24 D．30解析：选C.由三视图可知该几何体是由如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1截掉一个三棱锥DA1B1C1得到的，其中AC＝4，BC＝3，AA1＝5，AD＝2，BC ⊥AC ，S △A 1B 1C 1＝12×4×3＝6， 所以该几何体的体积V ＝S △A 1B 1C 1·AA 1－13S △A 1B 1C 1·DA 1＝6×5－13×6×3＝24. 10．(·台州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋a ＝0与点A (0，2)，若直线l 上存在点M 满足|MA |2＋|MO |2＝10(O 为坐标原点)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－5－1，5－1)B ．[－5－1，5－1]C ．(－22－1，22－1)D ．[－22－1，22－1]解析：选D.设M (x ，y )，因为|MA |2＋|MO |2＝10，所以x 2＋(y －2)2＋x 2＋y 2＝10，即x 2＋(y －1)2＝4，由于点M 在直线l 上，所以直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋(y －1)2＝4相交或相切时满足题意，即|1＋a |2≤2，解得－22－1≤a ≤22－1. 11．设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为________，单调递增区间为________．解析：函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2kπ得x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z ， 即f (x )的增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z . 答案：π ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π，k ∈Z 12．(·金丽衢十二校高三联考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是________cm 3，表面积为________cm 2.解析：根据三视图可知，该几何体为如图所示三棱锥P ABC ，所以其体积V ＝13Sh ＝13×12×4×3×1＝233，表面积S ＝12×4×3＋12×4×1＋12×2×2＋12×23×2＝4＋23＋ 6. 答案：2334＋23＋6 13．(·河南八市重点高中质检)已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是________．解析：由题可得，圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，其圆心为(0，－1)，半径r ＝2.设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×（－1）＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.故直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0.答案：3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝014．对于任意两个正实数a ，b ，定义a *b ＝λ×a b.其中常数λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，62，若8*3＝3，则λ＝________；若a ≥b >0，a *b 与b *a 都是集合{x |x ＝n 2，n ∈Z }中的元素，则a *b ＝________． 解析：由8*3＝3得λ×83＝3⇒λ＝98； λ×a b ＝m 2，λ×b a ＝n 2(m ，n ∈Z ，m >n )⇒λ2＝mn 4∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32⇒mn ＝5⇒m ＝5，n ＝1，所以a *b ＝52. 答案：98 5215．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．解析：函数f (x )的大致图象如图所示，根据题意知只要m >4m －m 2即可，又m >0，解得m >3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)16．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．解析：若在[－1，1]内不存在c 满足f (c )>0，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.解得p ≤－3或p ≥32，取补集得－3<p <32， 即满足题意的实数p 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3，32 17．小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法种数为________．解析：根据题意，分3种情况讨论：①若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母不相邻时， 先在其父母中选一人与小明相邻，有C 12＝2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A 22＝2种情况， 当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A 22×A 23＝12种安排方法，此时有2×2×12＝48种不同坐法；②若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2＝4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A 33＝6种情况，此时有2×2×6＝24种不同坐法；③小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边， 将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A 22＝2种情况， 将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A 33＝6种情况，此时，共有2×6＝12种不同坐法；则一共有48＋24＋12＝84种不同坐法．答案：84[能力提升]1．若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a ＜1b B ．a 2＞b 2C.ac 2＋1＞b c 2＋1 D ．a |c |＞b |c |解析：选C.取a ＝1，b ＝－1，排除A ，B ；取c ＝0，排除D ，故选C.2．(·金华市东阳二中高三调研)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－1)解析：选A.由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－235，＋∞. 3．(·杭州市学军中学模拟)已知q 是等比数列{a n }的公比，则“q <1”是“数列{a n }是递减数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.数列－8，－4，－2，…，该数列是公比q ＝－4－8＝12<1的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数列{a n }的公比q <1，不能得出数列{a n }是递减数列；而数列－1，－2，－4，－8，…，是递减数列，但其公比q ＝－2－1>1，所以，由数列{a n }是递减数列，不能得出其公比q <1. 所以，“q <1”是“等比数列{a n }是递减数列”的既不充分也不必要条件．故选D.4．当a ＞0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x 的图象大致是( )解析：选B.由f (x )＝0，得x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－2a ，因为a ＞0，所以x ＝－2a ＜0，故排除A ，C ；当x 趋向于－∞时，e x 趋向于0，故f (x )趋向于0，排除D.5．已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b ( ) A ．有最大值为145B ．有最小值为145C ．没有最小值D ．有最大值为3解析：选B.因为a 2－b ＋4≤0，所以b ≥a 2＋4，a ，b >0. 所以a ＋b ≥a 2＋a ＋4，所以aa ＋b ≤a a 2＋a ＋4，所以－a a ＋b ≥－a a 2＋a ＋4， 所以u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b ≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a＋1≥3－12a ·4a＋1＝145，当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号．故选B. 6．(·瑞安四校联考)已知Rt △AOB 的面积为1，O 为直角顶点，设向量a ＝OA →|OA →|，b ＝OB→|OB →|，OP →＝a ＋2b ，则PA →·PB →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选A.以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设A (m ，0)，B (0，n )，则a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，OP→＝a ＋2b ＝(1，2)， PA→＝(m －1，－2)，PB →＝(－1，n －2)， Rt △AOB 的面积为1，即有mn ＝2，则PA→·PB →＝1－m －2(n －2)＝5－(m ＋2n )≤5－22mn ＝5－2×2＝1，当且仅当m ＝2n ＝2时，取得最大值1.7．(·绍兴一中高三期中)到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为( )A．相交直线B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧解析：选C.如图所示，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB＝a，P(x，y，z)到直线OA，BC的距离相等，所以x2＋z2＝(x－a)2＋y2，所以2ax－y2＋z2－a2＝0，若被平面xOy所截，则z＝0，y2＝2ax－a2；若被平面xOz所截，则y＝0，z2＝－2ax＋a2，故选C.8．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同分配方案的种数为( )A．50 B．80C．120 D．140解析：选B.根据题意，分2种情况讨论：①甲组有2人，首先选2个放到甲组，共有C25＝10种结果，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C23 A22＝6种结果，所以根据分步乘法计数原理知共有10×6＝60种结果，②当甲中有三个人时，有C35A22＝20种结果，所以共有60＋20＝80种结果，故选B.9．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x ＜g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f (x )的值域是( ) A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－94，0∪(1，＋∞) B ．[0，＋∞)C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：选D.由x ＜g (x )得x ＜x 2－2，所以x ＜－1或x ＞2；由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，所以－1≤x ≤2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122＋74，x ＜－1或x ＞2，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122－94，－1≤x ≤2.当x ＜－1时，f (x )＞2；当x ＞2时，f (x )＞8.所以当x ∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)．当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0. 所以当x ∈[－1，2]时，函数的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－94，0.综上可得f (x )的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)． 10．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，且f (e)＝1e，其中e 为自然对数的底数，则不等式f (x )＋e>x ＋1e的解集是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞ 解析：选B.根据题意，令g (x )＝xf (x )，则有g ′(x )＝[xf (x )]′＝xf ′(x )＋f (x )＝ln x x， 则g (x )＝12(ln x )2＋C ，即xf (x )＝12(ln x )2＋C ， 则有f (x )＝12x (ln x )2＋C x， 又由f (e)＝1e ，即f (e)＝12e ＋C e ＝1e ，解可得C ＝12， 故f (x )＝12x (ln x )2＋12x， 令h (x )＝f (x )－x ，则h ′(x )＝f ′(x )－1＝－（ln x ＋1）22x 2－1<0，故函数h (x )＝f (x )－x 在(0，＋∞)上递减，不等式f (x )＋e>x ＋1e ，即f (x )－x >1e－e ＝f (e)－e ， 则有0<x <e ，即不等式f (x )＋e>x ＋1e的解集为(0，e)．故选B. 11．比较lg 2，(lg 2)2，lg(lg 2)的大小，其中最大的是________，最小的是________．解析：因为lg 2∈(0，1)，0<(lg 2)2<lg 2，lg(lg 2)<0，所以最大的是lg 2，最小的是lg(lg 2)．答案：lg 2 lg(lg 2)12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是________；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，则EX ＝________．解析：抽奖1次，不中奖的概率为610×510＝310， 所以抽奖1次能获奖的概率为1－310＝710；抽奖1次获一等奖的概率为410×510＝15， 所以随机变量X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，15， 所以EX ＝3×15＝35. 答案：710 3513．在△ABC 中，D 是AC 边的中点，A ＝π3，cos ∠BDC ＝－27，△ABC 的面积为33，则sin ∠ABD ＝________，AC ＝________．解析：过B 作BH ⊥AC 于H ，则cos ∠BDH ＝DH BD＝27， 设DH ＝2k (k >0)，则BD ＝7k ，所以BH ＝BD 2－DH 2＝3k ，在Rt △ABH 中，∠A ＝π3，所以AH ＝BH 3＝k ， 所以AD ＝3k ，AC ＝6k ，又S △ABC ＝12×AC ×BH ＝12×6k ×3k ＝33k 2＝33， 解得k ＝1，所以AC ＝6，在△ABD 中，BD sin A ＝AD sin ∠ABD， 所以732＝3sin ∠ABD解得sin ∠ABD ＝32114. 答案：321146 14．(·杭州市七校高三联考)抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，则m 等于________． 解析：由条件得A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点连线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1，而y 2－y 1＝2(x 22－x 21)，得x 1＋x 2＝－12，且(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在直线y ＝x ＋m 上，即y 1＋y 22＝x 1＋x 22＋m ，即y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m .又因为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点在抛物线y ＝2x 2上，所以有2(x 21＋x 22)＝x 1＋x 2＋2m ，即2[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＝x 1＋x 2＋2m ，可得2m ＝3，解得m ＝32. 答案：3215．用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1 524)的概率＝________．解析：用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，基本事件总数n ＝A 45＝120，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的基本事件有：1 352，1 425，1 524，3 142，3 524，3 514，3 152，5 241，5 314，5 142，共10个，所以千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2(比如1 524)的概率：p ＝10120＝112. 答案：11216．已知a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，若向量λa ＋b 与a ＋λb 夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．解析：因为a ＝(3，2)，b ＝(2，－1)，所以λa ＋b ＝(3λ＋2，2λ－1)，a ＋λb ＝(3＋2λ，2－λ)， 因为向量λa ＋b 与a ＋λb 夹角为锐角，所以(λa ＋b )·(a ＋λb )＝(3λ＋2)×(3＋2λ)＋(2λ－1)×(2－λ)>0. 且(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)≠0，整理可得，4λ2＋18λ＋4>0且λ≠±1.解不等式可得，λ>－9＋654或λ<－9－654且λ≠1. 答案：λ>－9＋654或λ<－9－654且λ≠1 17．(·广州市综合测试(一))设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________．解析：a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，则有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n ＋2，故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×（1＋n ）n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝（n ＋1）2－（n ＋1）＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1. 当n ＋1＝8时，f (7)＝8＋608－1＝292； 当n ＋1＝7时，f (6)＝7＋607－1＝1027， 因为292<1027，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292. 答案：292。
2022-2023学年北京市海淀区九年级上学期期中考试数学试卷带讲解
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形．
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键．
21.在平面直角坐标系 中，抛物线 经过 和 两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）该抛物线的对称轴为___________．
A. B.2C. D.4
【答案】B
【分析】根据三角形中线求出 ，再根据三角形中位线定理即可求出 ．
【详解】解：∵ 是 的中线， ，
∴ ，
∵点E，F分别是 ， 的中点，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中线定义、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
∴ 故B不符合题意；
∴
∴
∴ 故C不符合题意；
∵
∴ 故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“旋转的性质”是解本题的关键．
8.如图，已知关于x的一元二次方程 的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（ ）
【详解】解：∵等边 绕顶点 逆时针旋转 得到 ，
∴ ， ，
∵ ， 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，旋转的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．
13.若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为___________．