与不等式,数列与概率)
九年级数学竞赛常考知识点
九年级数学竞赛常考知识点数学是一门需要逻辑思维和严谨性的学科，因此在竞赛中，掌握并熟练运用常考的知识点将会是获胜的关键。
下面就是九年级数学竞赛中常考的几个知识点。
一、方程与不等式在九年级数学竞赛中，方程与不等式是常出现的题型。
学生需要掌握解一元一次方程、二次方程以及简单的不等式的方法。
此外，还需要能运用方程和不等式进行实际问题的解答。
二、函数与图像函数与图像也是常考的知识点之一。
学生需要熟悉一次函数、二次函数等常见函数的特点和性质，并能根据函数的定义域和值域绘制函数图像。
同时，掌握函数方程及其图像在平移、缩放和翻转中的变化规律也是重要的。
三、几何题几何题在九年级数学竞赛中占有一定的比例。
学生需要熟悉基础的几何知识，如平行线的性质、三角形的性质、相似和全等三角形以及圆的性质等。
同时，运用这些知识解决实际问题也是常见的考点。
四、数列与数项数列与数项也是常考的知识点之一。
学生需要掌握等差数列和等比数列的概念，并能求解数列的通项公式、前n项和。
同时，能够应用数列解决实际问题也是重要的。
五、概率与统计在数学竞赛中，概率与统计题也是常见的考点。
学生需要了解事件的概念，熟悉基本概率公式的运用，并能解决与概率相关的实际问题。
此外，统计题也是常考的内容之一，需要熟悉统计数据的处理和分析方法。
六、空间几何空间几何也是九年级数学竞赛中的一个重要知识点。
学生需要掌握空间图形的基本概念和性质，如立体的表面积和体积计算公式，平行立体的判定条件等。
同时，还需要能够根据空间几何模型解决实际问题。
通过掌握以上几个常考的知识点，可以提高在九年级数学竞赛中的得分能力。
在准备竞赛的过程中，学生可以通过练习真题和参加模拟考试来进行复习和巩固。
同时，也要注意理解和分析题意，培养解题的思维能力和逻辑推理能力。
数学竞赛不仅仅是为了获得好成绩，更重要的是培养学生的思维能力和解决问题的能力。
常考的知识点只是为了帮助学生打下牢固的基础，实际解题时还需要运用多个知识点的综合能力。
数列与不等式的联系
数列与不等式的联系介绍：数列是数学中常见的一种序列。
它由一系列按特定规律排列的数字组成。
而不等式则是数学中用于比较大小关系的式子。
虽然数列和不等式在形式上看起来截然不同，但它们之间存在着紧密的联系。
本文将探讨数列与不等式之间的联系和应用。
一、数列与不等式的定义和特性1. 数列的定义：数列是按照规律排列的一组数字，通过一个公式或者递推关系来确定。
2. 不等式的定义：不等式是比较两个数的大小关系的数学式子，包括大于、大于等于、小于、小于等于等情况。
3. 数列的性质：数列可以有有限个或者无限个数，可以是递增的、递减的、定值的等情况。
4. 不等式的性质：不等式可以进行加减乘除运算，也可以进行取反或者平方等操作。
二、数列与不等式的联系1. 数列与不等式的关系：数列中的每个项都可以用不等式来表示。
例如，数列的第n项可以表示为an，而不等式可以表示为an > b，其中b为某个常数。
2. 数列的性质与不等式的性质：数列的性质可以通过不等式来描述。
例如，数列是递增的，意味着数列项之间的差值大于零，可以表示为an+1 - an > 0的不等式。
3. 不等式在数列求解中的应用：不等式可以用来求解数列的范围、极值等问题。
例如，通过解不等式an > 0，可以确定数列的正数项范围。
4. 数列在不等式求解中的应用：数列可以用来构造不等式，并通过解不等式来求解问题。
例如，通过构造数列an=n，可以解不等式n > 0，从而确定n为正数。
三、数列与不等式的实际应用1. 数列在金融领域的应用：金融领域中常常涉及到利率、贷款等问题。
利用数列可以模拟计算利率的变化和未来的贷款金额变化，而不等式可以应用于分析利率与还款能力之间的关系。
2. 不等式在几何学中的应用：几何学中常常涉及到图形的大小关系。
不等式可以用来表示两个图形的面积或者周长的大小关系，同时可通过解不等式来求解图形的范围。
3. 数列与不等式在经济学中的应用：经济学中涉及到供求关系、市场变动等问题，数列可以用来模拟这些变化趋势。
2020--2023高考数学细目表
2020--2023高考数学细目表2020-2023高考数学细目表一、函数、方程与不等式1. 函数的概念与性质：介绍函数的定义、自变量、因变量及函数的性质，如定义域、值域、奇偶性等。
2. 一次函数：讲解一次函数的定义、性质和图像，以及一次函数的应用。
3. 二次函数：介绍二次函数的定义、性质和图像，包括顶点、对称轴等重要概念。
4. 三角函数：解释正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、性质和图像，探讨它们的周期性、对称性等特点。
5. 指数与对数函数：讲解指数函数和对数函数的定义、性质和图像，以及指数方程和对数方程的解法。
6. 幂函数与反比例函数：介绍幂函数和反比例函数的定义、性质和图像，以及应用于实际问题中。
7. 一元二次方程：探讨一元二次方程的定义、性质和解法，包括因式分解、配方法、求根公式等。
8. 二次不等式：介绍二次不等式的定义、性质和解法，包括图像法、区间法等。
9. 绝对值与不等式：讲解绝对值函数的定义、性质和图像，以及绝对值不等式的解法。
10. 分式方程与分式不等式：探讨分式方程和分式不等式的定义、性质和解法。
二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等差数列的求和：介绍等差数列的概念、通项公式和求和公式，以及等差数列应用于实际问题中的例子。
2. 等比数列与等比数列的求和：讲解等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及等比数列的应用。
3. 菲波那切数列：探讨菲波那切数列的定义、性质和应用，以及与黄金分割、自然界现象的联系。
4. 数学归纳法：解释数学归纳法的基本思想和证明方法，包括数学归纳法的三个步骤。
三、平面几何与立体几何1. 直线与圆：讲解直线和圆的基本性质，如相交、垂直、切线等，以及直线和圆的方程和求交点的方法。
2. 三角形与四边形：介绍三角形和四边形的性质，如角的性质、边的性质、面积公式等。
3. 圆锥与圆柱：探讨圆锥和圆柱的定义、性质和计算，包括体积和表面积的计算公式。
4. 球与球台：讲解球和球台的性质和计算，包括体积和表面积的计算公式。
高考数学试卷板块知识总结
一、函数与导数1. 函数概念：函数的定义、性质、图像及性质；反函数、复合函数、分段函数等。
2. 函数图像：函数图像的绘制方法、性质；函数图像与方程的关系。
3. 函数性质：函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等；函数的极限、连续性。
4. 导数：导数的定义、计算方法；导数的几何意义、物理意义；导数的应用：函数的极值、最值、凹凸性、拐点等。
5. 高阶导数：高阶导数的计算方法；高阶导数的应用。
二、三角函数与解三角形1. 三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数的定义、性质、图像；三角函数的周期性、奇偶性、有界性。
2. 解三角形：正弦定理、余弦定理；解三角形的应用：求角度、边长、面积等。
3. 三角函数的应用：三角函数在物理、几何、经济等领域的应用。
三、数列与不等式1. 数列：数列的定义、性质、通项公式；数列的极限；数列的求和。
2. 不等式：不等式的性质、解法；不等式的应用：最值、比较大小等。
3. 概率与统计：概率的定义、性质；随机变量、分布函数；期望、方差；大数定律、中心极限定理等。
四、立体几何与解析几何1. 立体几何：点、线、面、体的概念、性质；线面关系、面面关系；空间角、距离、面积等。
2. 解析几何：解析几何的基本概念、方程；解析几何的应用：求点、线、面、体的位置关系；解析几何在几何证明中的应用。
五、概率与统计1. 概率：概率的定义、性质；条件概率、独立事件；随机变量、分布函数；期望、方差等。
2. 统计：数据的收集、整理、分析；描述性统计、推断性统计；相关分析、回归分析等。
六、复数与复平面1. 复数：复数的概念、性质；复数的运算；复数的几何意义。
2. 复平面：复平面的概念、性质；复数在复平面上的表示；复数的乘除运算等。
七、数学文化与应用1. 数学文化：数学史、数学家故事、数学趣味知识等。
2. 数学应用：数学在日常生活、科技、经济、管理等领域的应用。
以上是对高考数学试卷板块知识的总结，希望对考生在备考过程中有所帮助。
高三数学知识点有什么内容
高三数学知识点有什么内容高三数学知识点涵盖了广泛的内容，包括代数、几何、概率统计等多个方面。
下面将逐一介绍高三数学的主要知识点。
一、代数代数是数学的基础，高三数学中的代数部分主要包括方程与不等式、函数与图像、数列与数学归纳法等内容。
1. 方程与不等式高三数学中的方程与不等式主要包括一元二次方程、一元一次不等式、绝对值方程和绝对值不等式等。
需要掌握求解方程和不等式的方法，并能运用到实际问题中。
2. 函数与图像函数是数学中的重要概念，高三数学中的函数包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
需要了解函数的定义、性质及其在图像上的表现形式。
3. 数列与数学归纳法数列是由一系列有规律的数按照一定顺序排列而成的集合，高三数学中的数列包括等差数列、等比数列等。
数学归纳法是证明数列性质的重要方法，需要熟练掌握数学归纳法的应用技巧。
二、几何几何是数学的另一个重要分支，高三数学中的几何部分主要包括平面几何和立体几何两个方面。
1. 平面几何平面几何涉及到平面图形的性质及其相应的计算方法，包括直线、角、三角形、四边形等。
需要熟练掌握平面几何中的基本定理和证明方法。
2. 立体几何立体几何涉及到空间中的图形和体积的计算，包括立体图形的性质、体积公式等。
需要了解立体几何中的基本概念和定理，并能运用到实际问题中。
三、概率统计概率统计是数学的实际应用之一，高三数学中的概率统计部分主要包括概率、统计以及相关的实际问题的处理。
1. 概率概率是描述随机事件发生可能性的数值，需要掌握基本的概率计算方法，包括加法原理、乘法原理、条件概率等。
2. 统计统计是对一组数据进行整理、分析和描述的过程，需要了解统计中的基本概念和常用统计方法，包括统计量的计算、频率分布表等。
四、其他知识点除了以上主要的知识点，高三数学还包括一些其他的内容，如数论、向量、解析几何等。
这些知识点通常作为课外拓展内容，需要根据实际情况进行学习和掌握。
总结起来，高三数学的知识点非常广泛，覆盖了代数、几何、概率统计等多个方面。
初中奥数竞赛常见题型整理
初中奥数竞赛常见题型整理奥数竞赛作为一项富有挑战的数学竞赛，对学生的逻辑思维和数学运算能力提出了很高的要求。
初中生参加奥数竞赛时，常常会遇到一些常见的题型。
本文将对初中奥数竞赛中常见的题型进行整理。
一、排列组合与概率题排列组合题和概率题在奥数竞赛中常常出现，它们不仅考察学生的计算能力，还要求学生具备一定的逻辑思维能力。
例如：1. 有5个红球，3个蓝球，从中任意取出3个球，问其中至少有一个红球的概率是多少？解析：根据排列组合的知识，我们可以知道总共有8个球，从中取出3个球，一共有C(8,3)种取法。
其中没有红球的取法就是从3个蓝球中取3个球，即C(3,3)。
所以至少有一个红球的概率就是1减去没有红球的概率，即1-C(3,3)/C(8,3)。
二、平面几何题平面几何题是奥数竞赛中的重点内容之一，它既考察了学生对几何图形的认识，又考察了学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
例如：2. 在一个角为60度的扇形中，正好能够放下一个半径为1的圆。
求这个扇形的面积。
解析：这道题可以通过计算扇形的面积和圆的面积来求解。
扇形的面积公式为S=πr^2θ/360，其中r为半径，θ为角度。
圆的面积公式为S=πr^2。
将这两个公式相等，解方程可得θ=60度。
带入扇形的面积公式，做相应的计算即可得到扇形的面积。
三、数列与数与代数题数列与数与代数题是奥数竞赛中常见的题型，它要求学生具备一定的数学运算能力和逻辑推理能力。
例如：3. 求等差数列1，3，5，7，9，…，前100项之和。
解析：这道题可以通过等差数列的求和公式来求解。
等差数列的求和公式为Sn=n(a+l)/2，其中Sn为前n项的和，a为首项，l为末项，n为项数。
根据题目给出的条件，首项a=1，末项l=2n-1，项数n=100，带入公式进行求解即可得到答案。
四、方程与不等式题方程与不等式题主要考察学生的代数运算能力和方程解题能力。
例如：4. 求方程x^2-5x+6=0的根。
解析：这道题可以通过配方法求解。
2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解
专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ）A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．35例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258B ．264C ．642D ．636例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解. 题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ） A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.题型六：数列与传统文化例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10B ．14C ．23D ．26例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金n T几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ）A ．5-B ．7C ．13D ．26例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【总结提升】理解题意，构造数列，应用数列模型解题．专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）数列与函数数列与函数的综合问题主要有以下两类：（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．（二）数列与不等式1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．2.数列中不等式恒成立的问题数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．（三）解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：等差数列模型：均匀增加或者减少等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列模型：指数增长的同时又均匀减少．如年收入增长率为20%，每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销，即数列{}1 1.2n n n a a a a ＋满足＝－(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确．(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点．【常考题型剖析】题型一：数列与函数的综合例1.（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ） A ．13n - B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a . 【详解】()()()()()()4411cos 221cos221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+=，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列. 例2.（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln x f x x -=+，11a =，()*21N 1,23n n a f f n f f n n n n n -⎛⎫=+++⋅ ⎪⋅⋅+∈≥ ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭．则数列{}n a 的前n 项和n S =______． 【答案】2n n 1-+ 【解析】 【分析】由题设11()()4n f f n n-+=，讨论n 的奇偶性求{}n a 的通项公式，再求n S . 【详解】由题设，111()()4ln(1)ln 41n f f n n n n -+=+-+=-， 所以()()**14121,2,N 221421,21,N 2n n f n n k k a n n n k k ⎧⎛⎫⎛⎫⨯-+=-=∈ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎨-⎪⨯=-=+∈⎪⎩，即2(1)n a n =-且n ≥ 2， 当1n =时，11S =，当2n ≥时，21242(1)1n S n n n =+++⋅⋅⋅+-=+-，所以21n S n n =-+，n *∈N故答案为：2n n 1-+.例3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】 【详解】试题分析：（1）计算{}n a 和{}n b 的前4项和的差即可得出答案；（2）令n n a b ≥得出42n ≤，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论. 试题分析：（1）()()1234123496530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大()()()()12341234420503864742965878222a a a ab b b b ⎡⎤+⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=⎢⎥⎣⎦()2424424688008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.【温馨提醒】解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到数列的求和、和的最值，利用函数性质或不等式性质求解较为常规． 题型二：数列与不等式的综合例4.（2021·浙江·高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.例5.（2021·天津·高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=． （I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii ）证明)*nk n N =∈ 【答案】（I ）21,n a n n N *=-∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】 【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-⋅，进而可得112n n k k k-==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+-=-∈；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去）， 所以114,n n n b q n N b -*==∈；（II ）（i ）由题意，221441n n nn n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以220nn c c ≠-，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅--， 所以数列{}22nn c c -是等比数列； （ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-，所以112nn k k k k-==， 设10121112322222nn k n k k nT --===+++⋅⋅⋅+∑， 则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212nn n n nn n n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以1242n n n T -+=-，所以1112422nn k n k k n --==+⎫-<⎪⎭ 例6.（2021·全国·高考真题（文））设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【答案】（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可. 【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ⑧ 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--， 211213333n n nn n T --=++++，①231112133333n n n n nT +-=++++，② ①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n nnT =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n nn n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <. [方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法 设()231()1-=++++=-n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二． 【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法. 【温馨提醒】数列与不等式的结合，除应熟练掌握数列的通项公式、求和公式，关于不等式证明、不等式恒成立问题的处理方法亦应灵活运用. 题型三：数列与实际应用问题例7．【多选题】（2022·全国·高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A 万元购买一台小汽车，与银行约定：这A 万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r ，每年还款数为X 万元，则（ ） A ．()1011ArX r =+- B ．小郭第3年还款的现值为()31Xr +万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法” 【答案】BD 【解析】 【分析】因为小郭每年还款钱数相等，所以小郭选择为“等额本息还款法”，所以利用等比数列前n 项和公式求出X ，再设小郭第3年还款的现值为y ，根据复利规则求出y ． 【详解】解：小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等，∴小郭靖选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D 正确，C 错误， 设每年应还X 元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为29[1(1)(1)(1)]X r r r +++++⋯++， 银行贷款A 元10年后的本利和为10(1)A r +．2910[1(1)(1)(1)](1)X r r r A r ∴+++++⋯++=+， ∴10101[1(1)](1)1(1)r X A r r ⨯-+⋅=+-+， 即1010(1)(1)1Ar r X r +=+-，故A 错误．设小郭第三年还款的现值为y ，则3(1)y r X ⋅+=，所以()31Xy r =+，故B 正确；例8.（2021·全国·高三专题练习）某集团公司有一下属企业A 从事一种高科技产品的生产.A 企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了40%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.集团公司要求A 企业从第一年开始，每年年底上缴资金t 万元（800t <），并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底A 企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.则（ ） A ．22800a t =- B ．175n n a a t +=-C ．1n n a a +>D ．当400t =时，33800a >【答案】BC 【解析】先求得第一年年底剩余资金1a ，第二年底剩余资金2a ，即可判断A 的正误；分析总结，可得1n a +与n a 的关系，即可判断B 的正误；根据题意，求得n a 的表达式，利用作差法即可比较1n a +与n a 的大小，即可判断C 的正误，代入400t =，即可求得3a ，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】第一年年底剩余资金12000(140%)2800a t t =⨯+-=-，第二年底剩余资金211712(140%)392055a a t a t t =⨯+-=-=-，故A 错误；第三年底剩余资金3227109(140%)5488525t a a t a t =⨯+-=-=-，⋅⋅⋅ 所以第n +1年年底剩余资金为17(140%)5n n n a a t a t +=⨯+-=-，故B 正确；因为212277777()()55555n n n n a a t a t t a t t ---=-=--=--12217777()[1()()]5555n n a t --=-+++⋅⋅⋅+117[1()]75()(2800)7515n n t t ---=---=11757()(2800)[()1]525n n t t -----=1775()(2800)522n t t --+，所以111722775277[()(2800)]()(2800)555522552n n n n n n n t t t a a a t a a t t --+-=--=-=-+-=-， 因为800t <，所以7280002t->， 所以11277()(2800)0552n n n ta a -+-=->，即1n n a a +>，故C 正确；当400t =时，310910940054885488374438002525t a ⨯=-=-=<，故D 错误；【总结提升】1.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.2.等比数列最值有关问题的解题思路：求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n 的函数关系进行求解．有时也注意基本不等式的应用．题型四：数列的“新定义”问题例9．（2022·全国·高三专题练习）对于数列{}n a ，定义11222-=+++n n n A a a a 为数列{}n a 的“加权和”，已知某数列{}n a 的“加权和”12n n A n +=⋅，记数列{}+n a pn 的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的N n *∈恒成立，则实数p 的取值范围为（ ） A ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据n A 与n a 的关系求出n a ，再根据等差数列的求和公式求出n T ，将5≤n T T 化为216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，分类讨论n 可求出结果. 【详解】 由1112222n n n n A a a a n -+=+++=⋅，∴2n ≥时,212122(1)2n n n a a a n --+++=-⋅，∴1122(1)2-+⋅=⋅--⋅n n n n a n n ，∴22n a n =+，1n =时，14a =也成立，∴22n a n =+，∴数列{}+n a pn 的前n 项和为：12(12)n n T a a a p n =+++++++2(422)(1)(1)3222++++=+⋅=++⋅n n n n n n p n n p ，∵5≤n T T 对任意的n *∈N 恒成立，∴225(1)56353522+⨯++⋅≤=+⨯+⨯n n n n p T p ， 即225335(1)5(51)022p pn n n n -+-⨯++-⨯⨯+≤， 即22225335(5)(5)022p p n n n n -+-⨯+-+-≤，即5(5)(53)0222pn p p n n -+++++≤， 即(6)(5)(8)02p n n n +-++≤， 即216(5)06+⎛⎫-+≤ ⎪+⎝⎭n n p n 对任意的n *∈N 恒成立，当14n ≤≤时，2164266+-≤=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为4412226465n +≥+=++，∴125-≤p ，所以125p ≥-，当5n =时，216(5)06n n p n +⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭恒成立，R p ∈，当6n ≥时，2164266+-≥=+++n p n n 对任意的n *∈N 恒成立， 因为447226663n +≤+=++，∴73-≥p ，所以73p ≤-，综上可得：实数p 的取值范围为127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选：A ．例10．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3325⎧⎨⎩，3739,11⎧⎪⎨⎪⎩，3131541719⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，…仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是1111，则m 的值为（ ） A ．32B ．33C ．34D ．35【答案】B 【解析】 【分析】根据分裂数的定义，求出从32到()31m -、从32到3m 分裂数个数，再根据所有分裂数成等差数列求出1111对应的位置，进而根据不等式求m 值. 【详解】由题意，对于332,...,m ，它们依次对应2、3、…、m 个分裂数，则从32到()31m -各分裂数个数的和为(2)(1)2m m -+，从32到3m 各分裂数个数和为(1)(2)2m m -+，又332,...,m 的分裂数{}n a ，构成首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+，令211111n +=，可得555n =，所以(2)(1)(1)(2)55522m m m m -+-+<≤，当32m =时，(1)(2)5275552m m -+=<不符合； 当33m =时，(1)(2)5605552m m -+=>，(2)(1)5275552m m -+=<符合； 当34m =时，(2)(1)5605552m m -+=>不符合； 综上，33m =. 故选：B例11.（2022·河南开封·高二期末（理））若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()*,m b n m ∈N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是数列{}n a 生成{}m b 的控制函数.已知2n n a =，()f m m =，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，则63S =（ ） A ．258 B ．264 C ．642 D ．636【答案】A 【解析】 【分析】分析可知对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣，满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，进而可求得63S 的值.【详解】因为562632<<，由题中定义，对任意的N k *∈，当)12,2k k m +⎡∈⎣， 满足2nn a m =≤的项数为k ，即m b k =，满足条件的m 的个数为1222k k k +-=，当1m =时，0m b =，当)122,2m ⎡∈⎣时，1m b =，此时满足条件的m 的个数为12，当)232,2m ⎡∈⎣时，2m b =，此时满足条件的m 的个数为22，当)562,2m ⎡∈⎣时，5m b =，此时满足条件的m 的个数为52， 因此，01234563021222324252258S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选：A.例12.（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）；(2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-． 【答案】(1)21263=+⨯S ，()12312633=+⨯+S ，133n n S +=+ (2)1122=-+n T n ，证明见解析 【解析】【分析】(1)根据定义求出{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，由此归纳出n S ，(2)由(1)化简n c ，再由裂项相消法求其前n 项和，并完成证明.(1)由题意得，116512S =++=，217611512181263S =++++=+=+⨯，()2123187136171116512185412636312633S =++++++++=++=+⨯+⨯=+⨯+，41981572013196231728112716215S =++++++++++++++++121854162=+++2312636363=+⨯+⨯+⨯()123126333=+⨯++， …()12311263333(1)n n S n -=+⨯++++≥，由等比数列的前n 项和公式可得，()113131263313n n n S -+-=+⨯=+-， 所以{}n S 的通项公式133n n S +=+．(2)由于133n n S +=+，所以()()33111111log 3log 31221n n n c S S n n n n +⎛⎫=-=--=- ⎪-⋅-++++⎝⎭， 则1111111132432122n T n n n =-+-++-=-+++， 因为n *∈N ，所以102n >+，所以111222n ->-+， 又n T 随n 的增大而减小，所以当1n =时，n T 取得最大值16-，故1126n T -<≤-． 【温馨提醒】立足于“转化”，将新定义问题转化成等差数列、等比数列问题求解.题型五：数列与解析几何例12．（2021·浙江·高考真题）已知,R,0a b ab ∈>，函数()2R ()f x ax b x =+∈.若(),(),()f s t f s f s t -+成等比数列，则平面上点(),s t 的轨迹是（ ）A ．直线和圆B ．直线和椭圆C ．直线和双曲线D ．直线和抛物线【答案】C 【解析】【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.【详解】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦， 对其进行整理变形：()()()22222222asat ast b as at ast b as b +-++++=+， ()()222222(2)0as at b ast as b++--+=， ()2222222240as at b at a s t ++-=， 222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或0=t ，其中2212s t b b a a-=为双曲线，0=t 为直线.故选：C.例13．（2017山东，理19）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2（Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】(I)（II ）（II ）过……向轴作垂线，垂足分别为……, 由(I)得记梯形的面积为.由题意， 所以 ……+n T 12.n n x -=(21)21.2n n n T -⨯+=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b=……+ ①又……+ ②①-②得= 所以题型六：数列与传统文化 例14.（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）A ．10B ．14C ．23D ．26【答案】D【解析】【分析】设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次构成等差数列{}n a ，根据217a =，前5项和为100求解.【详解】解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列{}n a ．由题意可知，等差数列{}n a 中217a =，前5项和为100，设公差为(0)d d >，前n 项和为n S ，则535100S a ==，解得320a =，所以323d a a ， 所以公士出的钱数为532202326a a d =+=+⨯=，故选：D ．例15.（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯121132(22......2)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a 斤，设()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，则()f a =（ ） A ．5-B ．7C ．13D ．26【答案】C 【解析】【分析】 根据题意求得每次收的税金，结合题意得到111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯，求得a 的值，代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意知：这个人原来持金为a 斤，第1关收税金为：12a 斤；第2关收税金为111(1)3223a a ⋅-⋅=⋅⨯斤； 第3关收税金为1111(1)42634a a ⋅--⋅=⋅⨯斤， 以此类推可得的，第4关收税金为145a ⋅⨯斤，第5关收税金为156a ⋅⨯斤， 所以111111223344556a a a a a ++++=⨯⨯⨯⨯， 即1111111111(1)(1)12233445566a a -+-+-+-+-⋅=-⋅=，解得65a =， 又由()101,115,01x x f x x x +>⎧=⎨-<≤⎩，所以66()1011355f =⨯+=. 故选：C.例16.（2017·全国·高考真题（理））我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】【详解】。
高中数学知识点之间的联系是什么？
高中数学知识点之间的联系是什么？高中数学知识点之间的联系：一张松散编织的网高中数学知识体系看似内容复杂，但其内部却有着清晰的逻辑结构和密切的联系，就像一张精心编织的网，每个知识点是网上的一个节点，相互连接，相互依存。
解释这些联系，不仅能帮助学生更好地理解知识，还能提高解题能力，并在学习过程中获得更深刻的洞察力。
1. 函数与其他知识点的联系函数是高中数学的核心概念，贯穿高中数学学习。
函数与其他知识点的联系主要体现在以下几个方面：函数与方程：函数是描述变量之间关系的工具，方程则体现了变量之间某种特定的数值关系。
理解函数与方程之间的关系，能帮助学生更好地解决函数图像、函数性质、函数方程等问题。
例如，函数图像与方程的解集息息相关，而函数性质则可以帮助快速判断方程是否有解以及解的个数。
函数与不等式：函数可以用来描述不等式关系，而不等式也可以约束函数的取值范围。
通过函数与不等式的相互联系，可以解决函数的最值问题、函数的单调性问题以及函数的定义域和值域问题。
函数与数列：函数可以描述数列的通项公式，而数列可以用来研究函数的分与合情况。
比如，依靠等比数列的性质，可以推导出指数函数的性质，反之，利用指数函数的性质，也可分析等比数列的增长趋势。
函数与立体几何：函数可以描述曲线，而几何图形也可以利用函数来表示。
例如，圆锥曲线可以用函数方程来表示，而函数图像可以直观地展现曲线的形状和性质。
2. 数列与其他知识点的联系数列是高中数学中重要的组成部分，其内容涵盖了等差数列、等比数列、数列的极限等。
数列与其他知识点的联系主要体现在以下几个方面：数列与函数：数列可以看作是函数在线性系统点上的取值，而函数可以用来描述数列的通项公式。
例如，等差数列可以用一次函数来描述，等比数列可以用指数函数来描述。
函数与数列的联系，可以帮助更好地理解数列的性质和规律。
数列与不等式：数列的项之间的关系可以用不等式来表示，而不等式也可以用来证明数列的单调性和求数列的极限。
浙江省数学高三知识点
浙江省数学高三知识点一、数列与数列极限在高三数学中，数列与数列极限是一个重要的知识点。
数列是按照某种规律排列的数的序列，数列极限是指数列中的数随着序号的增加逐渐趋近于一个确定的数。
1.1 数列的定义数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以用通项公式表示，常见的数列有等差数列、等比数列等。
1.2 数列的性质数列有许多重要的性质，例如有界性、单调性、递推关系等。
我们可以通过这些性质来研究数列的特点和规律。
1.3 数列极限的定义与性质数列极限是指数列中的数随着序号的增加逐渐趋近于一个确定的数。
数列极限具有唯一性和保序性等性质。
二、三角函数与三角方程三角函数与三角方程也是高三数学中的重要内容。
三角函数是一类周期函数，能够描述角的变化规律，而三角方程则是含有三角函数的方程。
2.1 基本性质与图像常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们具有周期性、奇偶性、性质等。
通过绘制函数图像，我们可以了解三角函数的变化规律。
2.2 三角函数的性质与运用三角函数具有许多重要的性质，例如周期性、单调性、单位圆上的坐标关系等。
这些性质在解三角方程和计算三角函数值时非常有用。
2.3 三角方程的解法三角方程是含有三角函数的方程，解三角方程需要运用三角恒等变换和解析几何等方法。
常见的三角方程有简单的正弦方程、余弦方程等。
三、导数与微分导数与微分是高三数学中的重要概念和工具。
导数描述了函数在某一点处的变化率，而微分则可以用来求函数的极值和进行近似计算。
3.1 导数的定义与性质导数是用来描述函数在某一点处的变化率。
导数具有可加性、导数与函数性质的关系等重要性质。
3.2 常用函数的导数与高阶导数常见的函数如幂函数、指数函数、对数函数等都有简单的导数公式。
高阶导数是导数的导数，它可以用来描述函数的更高阶变化率。
3.3 微分与近似计算微分是导数的一种应用，它可以用来求函数的极值和进行近似计算。
微分中的重要概念有极值问题、泰勒公式等。
数列与不等式的求解
数列与不等式的综合应用
数列与不等式在数学建模中的应用
描述数列与不等式在数学 建模中的重要性
举例说明数列与不等式在 解决实际问题中的应用
分析数列与不等式在数学 建模中的求解方法
总结数列与不等式在数学 建模中的实际意义
数列与不等式在实际问题中的应用
金融领域：数列和不等式用于计算 复利、保险和投资组合优化等问题。
汇报人：XX
计算机科学：在算法设计和数据结 构中，数列和不等式用于解决排序、 搜索和图论等问题。
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物理科学：在研究物理现象和解决 物理问题时，数列和不等式用于描 述和解决连续或离散的变化。
社会科学：在经济学、社会学和心 理学等领域，数列和不等式用于研 究人口增长、市场供需关系和决策 制定等问题。
性质：等差数列 中任意一项都是 前一项与后一项 的算术平均值
等比数列的求解
定义：等比数列是指每一项与它的前一项的比值都等于同一个常数的数列。 通项公式：an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。 求和公式：Sn=(a1*(1-q^n))/(1-q)，当q≠1时；Sn=a1*n，当q=1时。 应用：等比数列在数学、物理、工程等领域有广泛应用，如等比数列求和在实际问题中的应用。
数列与不等式的求解Байду номын сангаас
汇报人：XX
数列的求解方法 不等式的求解方法 数列与不等式的综合应用
数列的求解方法
等差数列的求解
定义：等差数列 是一种常见的数 列，其相邻两项 之差相等
通项公式： an=a1+(n-1)d， 其中an是第n项， a1是首项，d是 公差
求和公式： Sn=(n/2)(a1+a n)，其中Sn是前 n项和，a1是首 项，an是第n项
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二十大题（包含递推公式的应用，点列，数列与不等式，数列与概率）1正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求：(1)数列{a n }的通项公式；(2)设1n n n a a 1b +=，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 21<.（I ） 涉及到a n 及S n 的递推关系，一般都用a n =S n -S n-1（n ≥2）消元化归。
∵ 1a S 2n n +=∴ 4S n =(a n +1)2∴ 4S n-1=(a n-1+1)2（n ≥2）∴ 4(S n -S n-1)=(a n +1)2-(a n-1+1)2∴ 4a n =a n 2-a n-12+2a n -2a n-1整理得：(a n-1+a n )(a n -a n-1-2)=0∵ a n >0∴ a n -a n-1=2∴ {a n }为公差为2的等差数列在1a S 2n n +=中，令n=1，a 1=1∴ a n =2n-1 （II ）)1n 211n 21(21)1n 2)(1n 2(1b n +--=+-=∴ 21a 2121)a 1a 1(21)]a 1a 1()a 1a 1()a 1a 1[(21B 1n 1n 11n n 3221n <-=-=-++-+-=+++ 2. 已知点P n (a n ,b n )都在直线l ：y=2x+2上，P 1为直线l 与x 轴的交点，数列{}n a 成等差数列，公差为1.（n ∈N +） （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若f(n)=⎩⎨⎧)(b )(n 为偶数为奇数n n a n 问是否存在k +∈N ,使得f(k+5)=2f(k)－2成立；若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由。
（3）求证：5211121231221<+⋅⋅⋅++np p p p p p （n ≥2，n ∈N +） 1) P )0,1(1- ∴011,0,1211=+-==-=a b a ∴2,2122=-=b b b222)1(,2111)1(11-=⋅-+=-=-+-=⋅-+=n n b b n n n a a n n(2)若k 为奇数 若k 为偶数 则f(k)=2-=k a k则f(k)=2k －2f(k+5)=b 825+=+kk f(k+5)=k+32k+8=2k －4－2 k+3=4k －4－2 无解： q=3k这样的k 不存在 k=3(舍去)无解 （3）)22,1()22,12(1--=-+-=n n n n p pn 222)1(5)1(4)1(-=-+-=n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⋅⋅⋅+⨯+⨯+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++)1)(2(13212111151)1(121115*********1231221n n n p p p p p p n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+111151n n 11,2≥-≥n []521151=+< 3．已知函数f(x )=a 1x +a 2x 2+…+a n x n (n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3，…，a n 构成数列{a n }，又f(1)=n 2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：1)31(<f ． （1）由题意：f(1)=a 1+a 2+…+a n =n 2，(n ∈N *)n =1时，a 1=1n ≥2时，a n =(a 1+a 2+…+a n )-(a 1+a 2+…+a n -1)=n 2-(n -1)2=2n -1∴对n ∈N *总有a n =2n -1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n -1. (2)nn f 31)12(313311)31(2-+++⋅==)31(31f 1231)12(31)32(311+-+-++⋅n n n n 1311)31(,3223231)12(311311923131)12()313131(2311)31(32111132<+-=∴+-=----⋅+=--+++⋅=∴++-+n n n n n n n f n n n f4已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0 (1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n解(1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t ，由f (1)=0得a =1 ∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得 (x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1，上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t 1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n )(3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上， 又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1 设{r n }的公比为q ，则12111)1)n n n n n n r r q t r r q t ++++⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩ ① ②②÷①得q =n n r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21+++t t n∴S n =π(r 12+r 22+…+r n 2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n －1］ 5 已知点的序列A n (x n ，0),n ∈N,其中x 1=0,x 2=a (a ＞0),A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n －1的中点，… (1)写出x n 与x n －1、x n －2之间关系式(n ≥3);(2)设a n =x n +1－x n ，计算a 1,a 2,a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明； 解(1)当n ≥3时，x n =221--+n n x x ;aa x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 41)21(21)(212,21)(212,)2(2332334212212232121=--=--=-+=-=-=--=-+=-==-=由此推测a n =(－21)n -1a (n ∈N 因为a 1=a ＞0,且1111121)(2122----+-=-=-=-+=-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a (n ≥2)所以a n =(－21)n -1a 6已知函数f (x )=412-x (x <－2) (1)求f (x )的反函数1()f x -; (2)设a 1=1,11+n a =－1()n f a -(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解：(1)设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +,即y =1()f x -=(x >0) (2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n－1)=4n －3, 又∵a n >0,∴a n =341-n ．(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n ,设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m成立． 7．把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设ij a （i 、j ∈N*）是位于这个三角 形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如42a ＝8．（1）若ij a ＝2006，求i 、j 的值；（2）记三角形数表从上往下数第n 行各数的和为n b ，令1(1)(2)n nn c n n b n=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．若数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ． 解：（I ）三角形数表中前n 行共有1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +个数，即第i 行的最后一个数是(1)2i i +， ∴要使ija ＝2006的i 是不等式(1)20062i i +≥的最小正整数解．因为626363641953201622⨯⨯==，而，所以i ＝63． 于是第63行的第一个数是12 34567 8 9 106263119542⨯+=．∴j ＝(20061954)153-+=．（II ）∵三角形数表中前n 行共有1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +个数， ∴前n 行的所有自然数的和为n S ＝(1)2n n +＋12⋅(1)2n n +[(1)2n n +－1]＝2(1)(2)8n n n n +++．∴n b ＝n S －1n S -＝…＝2(1)2n n +． ∴当n ≥2时，n n nc b n =-＝2211(1)11n n n =---+． 其前n 项和n T ＝1＋11111111()()()()13243511n n -+-+-++--+＝1＋11151112121n n n n +--=--++． 8．如图，在y 轴的正半轴上依次有点,,,,21n A A A 其中点)10,0(),1,0(21A A ，且||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2( =n ，在射线)0(≥=x x y 上依次有点 ,,,,21n B B B ，点1B 的坐标为（3，3），且22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2( =n ⑴用含n 的式子表示||1+n n A A ；⑵用含n 的式子表示n n B A ,的坐标；⑶求四边形n n n n B B A A 11++面积的最大值．解：（1）9110||,31||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且311211)31()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A（2）由（1）得12231||||||n n A A A A A A -+++ 4412711931()()3223n n --=++++=- ， n A 点∴的坐标42911(0,())223n --，23||22||||11==--OB OB OB n n 且 ，∴{||}n OB 是以23 为首项，22 为公差的等差数列，∴||(1(21n OB n n =-=+(21,21)n B n n ++的坐标为．（3）连接1+n n B A ，设四边形11++n n n B A A n B 的面积为n S ，则111n n n n n n n A A B B B A S S S +++∆∆=+3111129271[()](23)[()2322232n n n --=⋅++⋅-,392291-+=n n,036311<-=-∴-+n n n nS S,1n n S S <+即}{n S ∴单调递减．n S ∴的最大值为24792291=+=S ．9．在直角坐标平面上有一点列 ),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，点n P 位于函数4133+=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ． ⑴求点n P 的坐标；⑵设抛物线列 ,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线n c 的顶点为n P ，且过点)1,0(2+nD n ，记与抛物线n c 相切于n D 的直线的斜率为n k ，求：nn k k k k k k 13221111-+++ ；⑶设{}{}1,4|,1,,2|≥==≥∈==n y y y T n N n x x x S n n ，等差数列{}n a 的任一项T S a n ⋂∈，其中1a 是T S ⋂中的最大数，12526510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．解：（1）23)1()1(25--=-⨯-+-=n n x n，1353533(,3)4424n n n y x n P n n ∴=⋅+=--∴----的坐标为（2）n c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P ，∴设n c 的方程为：,4512)232(2+-++=n n x a y 把)1,0(2+nD n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：1)32(22++++=n x n x y ．32|0'+===n y k x n ，)321121(21)32)(12(111+-+=++=∴-n n n n k k n n ，n n k k k k k k 13221111-+++∴)]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n =641101)32151(21+-=+-n n ．（3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y ，,T T S =⋂∴T 中最大数171-=a ．设}{n a 公差为d，则)125,265(91710--∈+-=d a ，由此得).(247,24),(12,129248**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<-又10设⊙1C ，⊙2C ，…，⊙n C 是圆心在抛物线2x y =上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为n a a a ,,,21 ，已知=1a 41，021>>>>n a a a ，⊙k C ),,2,1(n k =都与x 轴相切，且顺次逐个相邻外切．⑴求证：{na 1}是等差数列；⑵求n a 的表达式；⑶求证：<+++22221n a a a 41．解：（1）由题知：⊙n C ：22n n n na x y r ===，⊙1-n C ：211--=n n a r ，∴),(),,(22111n n n n n n a a C a a C --- n n n n r r C C +=--11||，221222121)()(n n n n n n a a a a a a +=-+-∴---,两边平方，整理得22211111111()4,,2,2,n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -------=>∴-=-= }1{n a ∴是以411=a 为首项，公差为2的等差数列（2）由（1）知，221)1(241+=∴-+=n a n a n n （3）2222122)111(41)1(141)1(141n na a a n n n n n a +++∴+-=+⋅<+⋅=∑==nk 1111(41+-k k ）41)1(4141)111(41<+-=+-=k k ． 11．学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有两种菜谱B A ,可供选择（每人选1种），调查表明：凡是在星期一选A 菜谱的，下星期一会有20%改选B ，而选B 的，下星期一则有30%改选A ，若用n n b a ,表示在第n 个星期一分别选B A ,人数．⑴试用n n b a ,表示1+n a ；⑵证明：1+n a =21na +300；⑶设a a =1，试用n a ,表示n a ．解：（1）%)30%80(1⨯+⨯=+n n n b a a ,即n n n b a a 3.08.01+=+．（2）1000=+n n b a ,∴由（1）得)1000(3.08.01n n n a a a -+=+即.300211+=+n n a a 即n n a a 213001+=+．（3）设)(21)(1p a p a n n -=-+，即,21)2(1n n a p a +=+30021=∴p ，.600=p ).600(21)600(1-=-∴+n n a a }600{1-∴+n a 数列是等比数列，首项为,600-a 公比为21，∴121)600(600-⨯-=-n n a a 60026001+-=∴-n n a a ． 12． 点M 从原点O 出发按向量a ＝（0，1）移动的概率是23，按向量b ＝（0，2）移动的概率是13．记质点M到达点（0，n）（n∈N*）的概率是P n．(1)求P1和P2的值；(2)求证：P n＋2－P n＋1＝－13（P n+1－P n）；(3)求P n的表达式．解：（1）P1＝23，P2＝2217()339+=．（2）质点M到达（0，n+2）有两种情形：1从点（0，n+1）按向量a＝（0，1）移动到（0，n+2）；2从点（0，n）按向量b＝（0，2）移动到（0，n+2）．故P n+2＝23P n+1＋13P n，∴P n＋2－P n＋1＝－13（P n+1－P n）．（3）由（2）可知数列｛P n+1－P n｝是以P2－P1＝19为首项，－13为公比的等比数列，∴P n＝P1＋（P2－P1）＋（P3－P2）＋（P4－P3）＋…＋（（P n－P n－1）＝23＋111[1()]311 93()14431()3nn---=+---。