湖北省华中师大一附中2014届高三5月适应性考试数学(文)试题(扫描版)

文科数学答案
三.18.解：(1)f (x )＝sin(2x －
2π3)＋3[1＋cos(2x －2π
3
)]－3 ＝sin(2x －2π3)＋3cos(2x －2π3)＝2sin(2x －π
3
)，----------------------------------------------3
∴函数f (x )的最大值为2，此时2x －π3＝π
2
＋2k π，k ∈Z ，
即x ＝5π
12
＋k π，k ∈Z.-------------------------------------------------------------------------------6
(2)f (2x )＝2sin(4x －π
3
)，
令t ＝4x －π3，∵x ∈[0，π4]，∴t ∈[－π3，2π
3
]，
设t 1，t 2是函数y ＝2sin t －a 的两个相应零点(即t 1＝4x 1－π3，t 2＝4x 2－π
3
)，
由函数y ＝2sin t 的图象性质知t 1＋t 2＝π，即4x 1－π3＋4x 2－π
3＝π，
∴x 1＋x 2＝π4＋π6，tan(x 1＋x 2)＝tan(π4＋π
6)＝tan π4＋tan π61－tan π4×tan π6＝1＋331－
3
3
＝2＋ 3.--------------12
20. (1)过点M 作BC MD ⊥,垂足为D ，连接ND 平面⊥C C BB 11平面ABC ⊥∴MD 平面ABC ， ∴MND ∠是直线MN 与平面A BC 所成角。

在△MND 中，217=
MN ，2
1
=ND ，则1717cos =∠MND (2)由体积法解得，点A 1到平面AB 1C 1的距离5
5
2=d
(2)①当5-=x 时, )(x f 取得极值,所以0)215)(5(1
)5(/=++--=-a x
e a a f
解得2=a (经检验2=a 符合题意) x e x x x f )5(2
1
)(/+=
当15-≤≤-m 时,)(x f 在[]1,+m m 单调递减 )(min x f =21)3()1(++
=+m e m m m f
当01<<-m 时,10+<<m m
)(x f 在[]0,m 单调递减,在[]1,0+m 单调递增,2)0()(min -==f x f 当0≥m 时, )(x f 在[]1,+m m 单调递增,2
min )1)(2()()(m e m m m f x f -+==
综上)(x f 在[]1,+m m 上的最小值为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
≥-+<<---≤≤-+=+0,)1)(2(01,215,)3()(221min m e m m m m e m m x f m
m
②令0)(/=x f 得5,0-==x x (舍)
因为0)1(,2)0(,0)2(=-==-f f f 所以2)(,0)(min max -==x f x f 所以对任意21,x x []1,2-∈,都有2)()(|)()(|min max 21=-≤-x f x f x f x f
（2）依题意，联立2211
12x y y k x m ìïï+=ïíïï=+ïî，则,A c x x 是方程2221111(21)4220k x k m x m +++-=的两个根，∴2211
112148(21)0,21
A C k m k m x x k D =+->+=-
+，
∴线段AC 中点为11122112(,)2121k m m k k -
++，同理线段BD 的中点为222
22
222(,)2121
k m m k k -++，因为四边形ABCD 为菱形，所以中点重合，所以112222121222122221212121k m k m k k m m k k ìïï-=-ïï++ïíïï=ïï++ïî
，因为12k k ¹，
所以解得120m m ==，即菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于原点O 。

……………8分
联立22112x y y k x ìïï+=ïíïï=ïî
消y 得方程221(21)20k x +-=，解得222
1221A C x x k ==+，故
OA OC
==，同
理OB OD
==，又因为AC BD
^，所以
21
1
1
(0)
k k
k
=-
，所以OB OD
==，所以菱形ABCD的面积S
为2
S OA OB
=?=。

其中
1
k¹，所以当
1
1
k=或－１时，菱形ABCD面积取得最小值
8
3。

…………13分。