数值分析第4章
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析(李庆杨第四版)Cht4 数值积分和数值微分
1in
设f (xk )有误差k , 即f (xk ) ~fk k (k 0,1,,n), 则有
| In ( f ) In ( ~f ) |
n
wk
[
f
(
xk
)
~fk
].
定义3
若
0,
k 0
0,只要
f (xk )
~fk
(k
0,,n), 就有
| In ( f ) In ( ~f ) |
n
其中系数l (l 1,2,)与h无关.
T
( h) 2
I
1
h2 4
2
h4 16
l
h 2l
2
.
T1(h)
4T (h) T (h)
2
3
I
1h4 2h6 .
T1( h2)
I
1
h4 16
2
h6 64
.
T2 (h)
16T1(
h) 2
T1(h)
15
I
1h6
2h8
.
( 4.7) ( 4.8) ( 4.9)
1 8
2
1 3
0.000434 .
RS
I
S4
1 2880
1 4
4
1 5
0.27110-6.
作业 P159, 6.
§4 龙贝格求积算法
一、梯形公式的递推化(变步长求积法)
把区间[a,b]作n等分得n个小区间[xi , xi1],
h ba,则 n
复合梯形公式
Tn
n1h [
i02
f
(xi )
具有相应的收敛性和稳 定性.
复合柯特斯求积公式
《数值分析》第四章答案
习题41. 给定x x f =)(在144,121,100=x 3点处的值，试以这3点建立)(x f 的2次(抛物)插值公式，利用插值公式115求的近似值并估计误差。
再给13169=建立3次插值公式，给出相应的结果。
解：x x f =)( 2121)(-='x x f ，2341)(--=''x x f ,2583)(-='''x x f ,27)4(1615)(--=x x f，72380529.10)115(=f1000=x ， 1211=x ， 1442=x ， 1693=x 100=y ， 111=y ， 122=y ， 133=y))(())(())(())(())(())(()(1202102210120*********x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= )121144)(100144()121115)(100115(12)144121)(100121()144115)(100115(11)144100)(121100()144115)(121115(10)115(2----⨯+----⨯+----⨯=L=2344)6(1512)23(21)29(1511)44)(21()29)(6(10⨯-⨯⨯+-⨯-⨯⨯+----⨯72276.1006719.190683.988312.1=-+=))()((!3)()()(2102x x x x x x f x L x f ---'''=-ξ ，144100<<ξ )44115()121115()100115()(max 61)115()115(1441002-⨯-⨯-⋅'''≤-≤≤x f L f x 296151083615⨯⨯⨯⨯⨯≤-001631.0101631.02=⨯=- 实际误差 22101045.0)115()115(-⨯=-L f))()(())()(())()(())()(()(312101320130201032103x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x L ------+------= ))()(())()(())()(())()((23130321033212023102x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y ------+------+ )169100()144100()121100()169115()144115()121115(10)115(3-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯=L )169121()144121()100121()169115()144115()100115(11-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)169144()121144()100144()169115()121115()100115(12-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)144169()121169()100169()144115()121115()100115(13-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯+)48()23(21)54()29(1511)69()44()21()54()29()6(10-⨯-⨯-⨯-⨯⨯+-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯= 254869)29()6(1513)25(2344)54()6(1512⨯⨯-⨯-⨯⨯+-⨯⨯-⨯-⨯⨯+ 723571.10409783.0305138.2145186.11473744.1=+-+= ))()()((!4)()()(3210)4(3x x x x x x x x f x L x f ----=-ξ，169100<<ξ)169115)(144115)(121115)(10115(101615241)115()115(73----⨯⨯⨯≤--L f )54()29()6(151016152417-⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯=- 0005505.0105505.03=⨯=-实际误差 321023429.0)115()115(-⨯=-L f 2. 设j x 为互异节点),,1,0(n j =求证： (1)k nj j k j x x l x =∑=)(0),,1,0(n k =;(2)0)()(0=-∑=x l x x j knj j ),,1(n k =。
数值分析第四章课件
xk
1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
f (xk)的符号
+ + + -
14
f ( x0 ) f ( x0 h ) 0
那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或x0+h作为根 的初始近似。
4
例1：考察方程 f ( x) x3 x 1 0 注意到f (0)< 0, f (+)>0，知f (x)至少有一个 正的实根。 设从x = 0出发，取h = 0.5为步长向右进行 根的扫描，下表记录各个结点上函数值的符号， 我们发现，在区间（1, 1.5）内必有实根，因此可 取x0 = 1或x0 = 1.5作为根的初始近似值。
第四章 方程求根
§4.1 二分法 §4.2 迭代法 §4.3牛顿法 §4.4弦截法
1
我们很熟悉一次、二次代数方程以及某些特殊的高 次方程或超越方程的解法。这些方法都是代数解法， 也是精确法。但在实际中，有许多方程问题无法求出 公式解。例如超越方程
tgx x 0 0.25 tgx 4.8889 sin x 0
9
由于
1 xk x (bk a k ) bk 1 a k 1 2
*
（1）
只要有根区间[ak+1, bk+1]的长度小于预先给定的误差， 那么就可以取
xk 1 1 ( ak bk ) 2
作为所求根x*的第k+1次近似值。其误差估计为： 1 * x xk 1 k 1 ( b a ) 2 综上所述，设f (x)在[a, b]上存在一阶导数且不变号， 如果f (a)f (b)＜0，则由（1）所知，当k时， x* - xk0，即xkx*。
数值分析第四章
考察其代数精度。
f(x)
解：逐次检查公式是否精确成立
代入 P0 = 1：ab1dx梯b形a公=式b2a[11] f(a)
f(b)
代入
P1
=
x
：
b
xdx
a
b2
a2 2
=
b2a[ab]
a
b
代入
P2
=
x2
：b a
x2dx
b3a3 3
b2a[a2 b2]
代数精度 = 1
10
n
注：形如 Ak f (xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度 该
………………
23
< ?
R1 = T3(0)
➢ 理查德森外推法 /* Richardson外推法 */
利用低阶公式产生高精度的结果。 i 与 h 无关
设对于某一 h 0，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值 I。由
Taylor展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + …
项式
n
Ln(x)f
(xk)lk(，x)即得到
k0
b
n
b
f(x)dx
a
f(xk)alk(x)dxAk
k0
误差 R[ f ]
b
n
f ( x )dx a
Ak f ( xk )
k0
b
b
b
Ak a
jk
(xxj ) (xkxj )
d
x由与节f (点x)
决定， 无关。
[
a
f
(x)
Ln ( x )]dx
是精确的，但对m次1多项式不精确，则称（1） 具有 m次代数精度。
数值分析(颜庆津) 第4章 学习小结
第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。
本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。
二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。
求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。
本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。
4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。
现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
数值分析第四章 解非线性方程的迭代法
即
(xk+1-α)2≈(xk-α)(xk+2-α) xk+12-2xk+1α+α2≈xkxk+2-(xk+xk+2)α+α2
解得
x k x k + 2 x k2+1 α≈ x k + 2 2 x k +1 + x k
( x k +1 x k ) 2 = xk x k + 2 2 x k +1 + x k
可见,|xk-xk-1|充分小可保证|xk-α|充分小, 而且对任 一ε>0,要使|xk-α|<ε, 只要 k > ln ε (1 L) ÷ ln L x1 x 0
证 记(x)=(x)-x,则(a)=(a)-a≥0, (b)=(b)b≤0, 由(x)的连续性,必存在α∈[a,b]使(α)=(α)-α=0, 即α=(α), 又′(x)=′(x)-1<0, 所以x=(x)的根唯一. |xk+1-xk|=|(xk)-(xk-1)| =|′(ξ)(xk-xk-1)|≤L|xk-xk-1| |xk+1-α|=|(xk)-(α)|=|′(ξ)(xk-α)|≤L|xk-α| |xk-α|=|(xk-xk+1)+(xk+1-α)| ≤|xk-xk+1|+|xk+1-α|≤L|xk-xk-1|+L|xk-α| 于是有:
k 0 1 2 3 4 5 xk 0.5 0.60653 0.54524 0.57970 0.56006 0.57117 |xk-xk-1| 0.10653 0.06129 0.03446 0.01964 0.01111 k 6 7 8 9 10 xk 0.56486 0.56844 0.56641 0.56756 0.56691 |xk-xk-1| 0.00631 0.00358 0.00203 0.00115 0.00065
数值分析第四章矩阵特征值与特征向量的计算
192.9996. 973
12
➢ 幂法的加速—原点移位法
应用幂法计算矩阵A的主特征值的收敛速度主要
由比值 r=|2/1|来决定, 但当r接近于1时, 收敛可能
很慢. 这时可以采用加速收敛的方法.
引进矩阵
B=A－0I
其中0为代选择参数. 设A的特征值为1, 2, …, n, 则B的特征值为1－0, 2－0, …, n－0, 而且A, B
10
2 1 0 例 用幂法求矩阵 A 0 2 1
0 1 2
的按模最大的特征值和相应的特征向量.
取 x(0)=(0, 0, 1)T, 要求误差不超过103.
解 y 0 x 0 0 ,0 ,1 T ,
x 1 A 0 0 y , 1 , 2 T , 1 m x ( 1 ) ) a 2 , x
y(1)
x(1)
1
(0,0.5,1)T
x ( 2 ) A ( 1 ) 0 . 5 y , 2 , 2 . 5 T ,2 m x ( 2 ) ) 12 1a . 5 ,
y(2)
x(2) 2
(0.2,0.8,1)T
x ( 3 ) A ( 2 ) 1 . 2 y , 2 . 6 , 2 . 8 T ,3 m x ( 3 ) ) 2 a . 8 ,
x
(
k
1
)
Ax
(k )
A k1 x (0)
在一定条件下, 当k充分大时:
1
x ( k 1) i
x
( i
k
)
相应的特征向量为: x(k1) 4
➢ 幂法的理论依据
n
对任意向量x(0), 有 x(0) tiui ,
i1
x(k1) Ax(k) Ak1x(0)
数值分析第4章4-5节
龙贝格公式是在区间逐次分半过程中，对用梯形法所获 得的近似值进行多级“加工”，从而获得高精度的积分近似 值的一种方法。它具有自动选取步长且精度高，计算量小的 特点，便于在计算机上使用。是数值积分中较好的方法。
高斯求积公式不但具有最高代数精度，而且收敛性和稳定 性都有保证，因此是高精度的求积公式。高斯公式还可以用 于计算奇异积分，也可使一些复杂的积分计算简化。高斯公 式的主要缺点是节点与系数无规律。所以高阶高斯公式不便 于上机使用。实际应用中可以把低阶高斯公式进行复化。
A0
x
2 0
A0
x03
A1 x12 A1 x13
2
3 0
A0 A1 1
x0
3 3
x1
3 3
1
f ( x)dx f (
3) f(
3)
1
3
3
可以验证，上式是具有3次代数精度的插值型求积公式。 这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点，可使插值型
求积公式的代数精度达到最高。这就是本节要介绍的高斯求 积公式。
显然，n+1个节点的高斯求积公式具有最高不超过2n+1 次的代数精度。可证明高斯求积公式不仅稳定而且收敛。
13
4.5.2 常用的高斯求积公式 （1）高斯－勒让德求积公式
高斯点为勒让德多项式Pn+1(x)的零点时，得到的高斯求积 公式称为高斯－勒让德求积公式，其节点和系数见教材P145。
1
n
试用二点、 三点微分公式计算x 2.7处的一阶、 二阶导数值
10.(1)试推导四点数值微分公式
1
h3
f '(x0 ) 6h [11 f0 18 f1 9 f2 2 f3] 4
数值分析4.4
第四章方程组的直接解法
4.4.1 列选主元素消去法的 列选主元素消去法的Matlab函数文件 函数文件
function x=guass_pivot(A,b) % 用列选主元素 用列选主元素Gauss消去法解方程组 消去法解方程组Ax=b。 消去法解方程组 。 %输入：A是一个 n × n 系数矩阵，b是 n × 1的右端向量。 输入： 是一个 系数矩阵， 是 的右端向量。 输入 [n，n1]= size(A); ， for i=1:n-1 [pivot,k]=max(abs(A(i:n,i)));
第四章方程组的直接解法
x(n)=r(n); for i=n-1:-1:1 x(i)=r(i)-a(i)*x(i+.4 直接解法的若干 直接解法的若干Matlab函数文件 函数文件
4.4.1 列选主元素消去法的 列选主元素消去法的Matlab函数文件 函数文件 4.4.2 矩阵 分解的Matlab函数文件 矩阵LU分解的 分解的 函数文件
4.4.3 解三对角方程组的 解三对角方程组的Matlab函数文件 函数文件
第四章方程组的直接解法
N=length(d);a(1)=a(1)/d(1);r(1)=r(1)/d (1); for i=2:n-1 denom=d(i)-b(i)*a(i-1); if denom==0,error(‘分母为零’),end 分母为零’ 分母为零 a(i)=a(i)/ denom; end r(n)=(r(n)-b(n)*r(n-1))/(d(n)-b(n)*a(n1));
第四章方程组的直接解法
U(i,i)=U(I,:)-L(I,j)*u(j,:); end end function[L,U]=doolittle(A) [n,m]=size(A); U=zeros(n,n),L=eye(n); for k=1:n U(1,k)=A(1,k);L(k,1)=A(k,1)/U(1,1);
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设初值不变,迭代两步的结果如下(见表 见表4-3). 设初值不变,迭代两步的结果如下 见表 . 迭代两步的结果 表4-3 迭代两步的结果
4.5 收敛性定理
为了介绍Jacobi,Gauss-Seidel迭代的 , 为了介绍 迭代的 收敛性定理,我们首先给出迭代公式的矩 收敛性定理, 阵表示. 阵表示. 对于线性方程组 AX=b,可将 表示为 ,可将A表示为
4.3 雅可比迭代
雅可比( 雅可比(Jacobi)迭代 以下统称为 )迭代(以下统称为 Jacobi迭代 是一种求解线性代数方程 迭代)是一种求解线性代数方程 迭代 组的迭代方法. 组的迭代方法.
4.4 高斯-塞德尔迭代
高斯-塞德尔 ( 高斯 塞德尔( Gauss-Seidel) 迭代 以下统称 塞德尔 ) 迭代(以下统称 迭代)是对 迭代的一种改进. 为 Gauss-Seidel迭代 是对 迭代 是对Jacobi迭代的一种改进 . 迭代的一种改进 我们仍用例4为例,但迭代格式改为: 我们仍用例 为例,但迭代格式改为: 为例
表4-4 5个点的坐标数据 5个点的坐标数据
解:由开普勒第一定律知,小行星绕 由开普勒第一定律知, 太阳运行的轨道为一椭圆. 太阳运行的轨道为一椭圆.现需要建立椭 圆的方程以供研究. 圆的方程以供研究.椭圆的一般方程可表 示 为 . 用表中5个点的坐标数据分别代入椭圆的一 用表中 个点的坐标数据分别代入椭圆的一 般方程,可建立 个方程的线性方程组 个方程的线性方程组. 般方程,可建立5个方程的线性方程组.该 方程组的系数矩阵为A,右端项为b,所求 方程组的系数矩阵为 ,右端项为 , 未知量为X, 未知量为 ,即
4.1 高斯消元法 4.2 矩阵的LU分解 4.3 雅可比迭代 4.4 高斯-塞德尔迭代 4.5 收敛性定理 4.6 应用实例
4.1 高斯消元法
由"线性代数"我们已经知道,对于线 线性代数"我们已经知道, 性代数方程组: 性代数方程组: Gauss消元法的计算步骤分为消元和回 消元法的计算步骤分为消元和回 代两个过程,本节的目的是给出Gauss消元 代两个过程,本节的目的是给出 消元 法的符号描述,计算流程图. 法的符号描述,计算流程图.
消元结束后, 消元结束后,系数矩阵的非零元素仅 在主对角线和次对角线上出现,求得 在主对角线和次对角线上出现,求得 b n/ d n x n (bi-cixi+1)/di xi(i=n-1,…,1) / 设置4个数组分别来存储 设置 个数组分别来存储ai,bi,ci,di, 个数组分别来存储 算法描述如下: 算法描述如下:
的系数矩阵A是 阶 [例2] 如果方程组 ] 如果方程组AX=B的系数矩阵 是n阶 的系数矩阵 三对角阵,即当|i-j> 时 或写成 三对角阵,即当 >1|时,aij=0或写成 或写成
试设计一个算法来解这三对角的方程组. 试设计一个算法来解这三对角的方程组.
假定所有主元均不等于0.在第1 解:假定所有主元均不等于 .在第 次消元过程中, 由于系数矩阵A的第一行 次消元过程中 , 由于系数矩阵 的第一行 只有两个元素不为零, 所以只需变动d 只有两个元素不为零 , 所以只需变动 2, b2 并将a1置0.再考虑存储结构,新的 2, 并将 .再考虑存储结构,新的d b2仍存放在 2,b2所在的单元,即 仍存放在d 所在的单元, d2-a1c1/d1d2 b2-a1b1/d1b2
定理2 定理
分解) (矩阵的LU分解) 若n阶 矩阵的 分解 阶
方阵A的 个顺序主子矩阵都非奇异 个顺序主子矩阵都非奇异, 方阵 的n个顺序主子矩阵都非奇异, 则A可惟一地分解为单位下三角矩阵 可惟一地分解为单位下三角矩阵L 可惟一地分解为单位下三角矩阵 和非奇异的上三角矩阵U的乘积. 和非奇异的上三角矩阵 的乘积. 的乘积
第4章 线性代数方程组的解法
直接法与迭代法各有优缺点, 直接法与迭代法各有优缺点 , 前者由于受到 计算机存储容量的限制,一般来说, 计算机存储容量的限制,一般来说,仅适于系数 矩阵阶数不太高的问题,其工作量较小, 矩阵阶数不太高的问题,其工作量较小,但程序 较复杂. 较复杂.后者主要用于某些系数矩阵阶数较高的 问题,一般来说,程序较为简单, 问题,一般来说,程序较为简单,但工作量有时 较大.实际计算时, 较大.实际计算时,应根据问题的特点和要求来 决定方法的取舍. 决定方法的取舍. 本章介绍的求解线性代数方程组的直接法有 Gauss(高斯 消元法和LU分解;迭代法有Jacobi 高斯) 消元法和 分解;迭代法有 高斯 分解 迭代和Gauss-Seidel迭代. 迭代. 迭代和 迭代
其中为D对角阵, 和 分别为严格下三角矩 其中为 对角阵,L和U分别为严格下三角矩 对角阵 阵和严格上三角矩阵 (它们的主对角线元素全为 0). ).
4.6 应用实例
[例5 ] 一天文学家要确定一颗小行 例 星绕太阳运行的轨道, 星绕太阳运行的轨道,他在轨道平面内建 立以太阳为原点的直角坐标系. 立以太阳为原点的直角坐标系.在两坐标 轴上取天文测量单位( 轴上取天文测量单位(一天文单位为地球 到太阳的平均距离:1.4959787*1011m), 到太阳的平均距离: ), 个不同的时间对小行星作了5次观察 在5个不同的时间对小行星作了 次观察, 个不同的时间对小行星作了 次观察, 测得轨道上5个点的坐标数据如下 见表4个点的坐标数据如下( 测得轨道上 个点的坐标数据如下(见表 4): ):
使A=LU.
[例3] 求下面矩阵的 分解 ] 求下面矩阵的LU分解
先求二阶主子矩阵的LU分解 分解 解: 先求二阶主子矩阵的 分解 u11=a11=2,u12=a12=-1,l21=a21/u11=0, , , , u22=a22-l21u12=-4-0=-4
本题i=3,由公式( ) 本题 ,由公式(4.3)得
以后各步的消元也仅变动d 以后各步的消元也仅变动 i,bi 并 将相应的a 将相应的 i-1 置 0. 设元素的下标变量 . 为i. . 的分析, 根据上述对i=2的分析 可知第i步 根据上述对 i=2的分析 , 可知第 i步 的计算公式为: 的计算公式为: di-ai-1ci-1/di-1 di bi-ai-1bi-1/di-1 bi
input(ai),(bi),(ci),(di) fori=2,3,…,ndo ai-1/di-1 l di-lci-1 di bi-lbi-1 bi end b n/ d n x n for i=n-1,n-2,…,1do (bi-cixi+1)/di xi / end output(xi). .
4.2 矩阵的LU分解
若矩阵A能分解为几个结构简单 若矩阵 能分解为几个结构简单 的矩阵乘积时,则求解AX= 的过程 的矩阵乘积时,则求解 =b的过程 可以简化. 可以简化. 常用的一种分解方法是LU分解. 常用的一种分解方法是 分解. 分解 给定n阶非奇异矩阵 阶非奇异矩阵A, 给定 阶非奇异矩阵 ,我们寻求两个 n阶矩阵 阶矩阵
将表中数据代入A, 将表中数据代42-1.6351-0.2165]. - - - - .
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