非线性有限元及弹塑性力学讲解chapter3

由于所讨论的是小变形问题，因此 1 几何方程 ij ( ui , j u j , i ) 2 m B 也即单元增量应变为 m e 。象弹性问 题一样，第m+1步单元刚度方程为 T m m m 1 m 1 B ( )d V ( F F ) R e e E e e 或 e ( em 1 ) B T em 1dV Rem 1 精确解时 B T em dV e ( em ) Rem 0 m T m m e ( e ) B e dV Re ( 0) 塑性矩阵 对弹塑性问题，本构关系为
(D D
m
p
)d D m
m m m r
d D
p
m
当ΔRm足够小时(Δεm足够小)，上式可写为 弹性应力 m D m (1 r ) Dp m
式中Dp是按 m r em , k m 计算的塑性矩阵。 当r=1时，反应是纯弹性的，可以是弹性到 转图 弹性、塑性卸载到弹性或中性变载。 当r=0时，应力应变是塑性的，是弹性到塑 性的加载。0<r<1时，应力应变是弹塑性的。 讲义上给出了由应变求应力的计算步骤，可 跳 供编程时参考。 (P.31) 2000.4 22 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
T n
n
5) 由式 （3．6）进行迭代，直到 满足精度要求。
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2）应力转移、初应力法——修正牛顿法 为避免每次迭代形成切线矩阵并求解，以初 始切线矩阵（即线弹性的刚度矩阵）迭代，则 n 0 1 n n 1 n n U ( K T ) ( R R ) U U U 这相当于按弹性刚度分配不平衡力。迭代的 过程就是不断调整个单元的应力，使刚度弱的 单元不能承受的应力逐渐转移到刚度大的单元 或边界上，因此也称为“应力转移法”。它先 求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。 0 T 因为初始切线刚度矩阵 k T B DB dV，故 0 n T n n 表示集成 K U B dV R
弹性矩阵 d ( D D )d D d 弹塑性矩阵 p ep
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因此应力增量为


(U
基于此，由单元集成可得整体非线性方程为 m 1 T m 1 m 1 (U ) B dV R 0
m 1 T m m
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同线性问题分析一样，可得单元刚度方程为 T T B dV F FE B Ds ( )BdV e k s ( e ) e 进行先处理（定位向量）集成，可得 T 集成 B dV K s (U )U Pd PE R 与线性问题不同，上式是非线性的方程组，因 此要用第一章介绍的方法来求解。 1）切线刚度法——牛顿法 非线性方程 B TdV R 0 用牛顿法 求解时，切线刚度矩阵为(这里认为 ( ))
从讲义式 （3．8）可得初应力法的计算步 骤为： 1） 由 ke0 B T DBdV 集装初始切线刚度矩 0 阵 KT ；
2） 由 K U R 求线弹性的解；
0 T 1
T 1 1 B ( )dV，并集 3） 由 U 计算各单元的 e n 装 R ；
1

1 2 R 4） 由(3．8)求 ，反复迭代，直到 U 小。
T
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e
0
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6
式中
en D n DB en
是第n步非线性位移对应的弹性应力。由此从 修正牛顿法迭代公式可得 0 n KT U n1 R R0 Rn n T n R B dV 非线性应力 因为
n e n
所以若将 视作“初应力”，并记 n T n n R B ( e - σ )d V 则 0 n1 n 表示集成 KT U R R 它是不断修改初应力，使趋于一常量（弹性应 力和真实应力之差）。因此也称初应力法。 2000.4 7 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
初应变法的计算步骤为：
0 K 1）由 k B DBdV 集装初始切线矩阵 T ；
0 e

T
0 1 K U 2）由 T R 求线弹性的解；
3）计算单元线弹性应变 D 和单元初 n n n 应变 e 0 ；
n e 1 n
4） 由 B D dV 集装 R n ;
解决了由应变求应力的计算，下面再解决弹 塑性问题非线性方程组求解问题。 m , k 首先，以 m m 下的弹塑性矩阵 Dep 代替增 量应力应变关系中的 Dep ，也即有“线性关系” m m m Dep m Dep B em 将其代入单元刚度方程，可得 T m m m e ( m 1 ) B e dV e ( e ) Re 0
其几何解释为：弹性应力增量指向屈服面内侧 或相切时，反应是弹性的。否则是塑性加载， 反应是弹塑性的。 为进一步讨论状态判别，设在荷载Rm作用下 应力和内变量对应一弹性状态，也即 f m f ( m , k m ) 0 增加荷载ΔRm后，转入塑性状态，即 e 弹性应力 f m1 f ( m m , k m ) 0

T n 0
5）由（3．8）求U
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n 1
n ;迭代直到 0 很小。
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为了更好地理解，这一例子各种方法的示意 图如下所示。 2000.4 12 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
Байду номын сангаас 2000.4
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也即初应变可作为等效结点荷载考虑 n n R0 B T D 0 dV 表示集成 由此，象初应力法一样，可得迭代公式为
0 n KT U n1 R R0
n R0 B T ( D ( n ) n )dV
因为它是不断修改初应变，使趋于一常量（总 应变和弹性应变之差）。因此也称初应变法。 其求解步骤如下页所示。 为了更好地掌握上述知识，讲义上举了一个 简单例子，用以说明切线刚度法和初应力法。 2000.4 10 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
e kT , e B T , , e dV B T DT ( ) BdV
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经整体集成后，可得整体切线刚度矩阵，由 此可建立（自修正的）牛顿法迭代公式为 n n 1 n n 1 n n U ( K T ) ( R R ) U U U 式中Rn是应力σn引起的结点力，因此 n T n R B dV 表示集成 其中σn为第n步位移对应的非线性单元应力。 讲义上列出切线刚度法分析的计算步骤，这 里不再赘述。(P.22) 因为R-Rn物理含义是不平衡力，所以牛顿法 也可理解为按不平衡力修正位移，使不平衡力 足够小。
第三章 材料非线性 有限元分析
1 非线性弹性问题的有限单元法 2 弹塑性问题的有限单元法
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1 非线性弹性问题的有限单元法
前提：材料处于弹性状态，但是应力-应变 关系是非线性的。位移和应变是微小的。因此 1 几何方程 ij ( ui , j u j , i ) 2 s t 物理方程 ij Dijkl kl 或 d ij Dijkl d kl 象线性问题一样，设位移和应变分别为 u N e B e 则全量形式的应力为 Ds ( )B e 增量形式的应力为 d DT ( )Bd e
m
m m
D
m
ep
d
m r m
Dd D
m m r m
m m
ep
d
rD m
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m m m r
D
m
ep
d
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rD m
m m m r
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从此可得切线刚度法的计算步骤为： 1）设 U = 0 ，求线弹性解U 1 ；
0
2）由 U 1 求各单元的应变、应力；
3）从 B DT ( ) BdV 计算单元切线 n e 刚度矩阵 kT 并集装 K T ；

T n
4）计算 B dV 并集装 R ；
由此，若记 表示集成 m T m KT ( B Dep BdV ) 则切线刚度方程为 m m K T U Rm 0 m [或 KT U m Rm (U m ) 0] 上述方程可以用前面所介绍的初应力法等进行 求解。初应力法的迭代公式为 m n1 n KT U m Rm Rm [ (U m )] Rm Rm1 ( B T m dV )
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足够
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3）初应变法——修正牛顿法 有些问题的本构关系是用应力表示应变,即 ( ) 又设第n步单元非线性应力对应的弹性应变为 n 1 n e D 则非线性的应变可表为 残余(初)应变 n n n n 1 n n ( ) e 0 D 0 n 式中 0 也可视作“初应变”，由上式可得 n n 1 n 0 ( ) D 因此单元刚度方程为 T n T n n B dV F FE B D( ( ) - 0 )d V
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0 H (l ) 1
l 0 卸载、中性变载 l 0 加载
因此可用下式确定中性变载点处弹、塑性部分 的比例因子r 弹性应力 e 转图 f ( m r m , km ) 0 也可由下式线性内插确定 (1 r ) f m rf m 1 0 r f m ( f m1 f m ) 基于此，加荷载ΔRm后，应力增量为