15.7 薛定谔方程的应用(2)
薛定谔方程的含义和求解方法
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
薛定谔方程及简单应用
d2
d x2
k22
0
(0 x a)
1
A1eik1x
B eik1x 1
(x 0)
通解：
2
A2eik 2 x
B eik2x 2
(0 x a)
乘e
i
Et
3 A3eik1x B3eik1x ( x a)
第一项： 向x方向传播的波
[例
A e ] i
(
k1
x
E
t
)
1
第二项： 向-x方向传播的波
入射波+反射波
U0 透射波
o
a
x
隧道效应： 总能量E小于势垒高度U0的粒子也 有可能贯穿势垒，到达另侧
贯穿系数：
T |
2
| e 3 xa
2a 2m(U0 E )
|1 |2x0
a
T
U0
应用举例
1. 解释放射性 衰变
E
4 He
4 He 的 结 合 能 比 较 大 ， 核 内两 个 质 子 和 两 个 中 子
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程 2. 用分离变量法求解
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 只有E取某些特定值时才有解
本征值
本征函数
4. 讨论解的物理意义，
即求| |2，得出粒子在空间的概率分布。
一、一维无限深势阱
模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该
区域内可以自由运动的问题 简化模型。
0
0a
a
n=1
x
o a/4
a
a
42 a sin2 x d( x)
0a
aa
a
2
薛定谔方程的应用
n 1,2,3...0 x a
待定系数是由边值条件和归一化条件所决定，与机械波中完 全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特点。
5
2 、方程解的物理意义
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
1)处在势阱中的微观粒子，其德布罗意波只能是驻波。
这是因为在阱壁处（即 x=0,x=a处）其Ψ(x)=0 ，只能是 波节，因此物质波在阱内运动要能够稳定下来，其在阱壁两端 来回反射,必定形成德布罗意驻波。
2) 最低能量 (零点能) ——波动性
22
E1 2ma2 0
9
n 不能取 0 ，如 n=0 ，则意味着Ψ（ x ）＝ 0 ，即在方 势阱中到处找不到粒子,这显然是没有意义的。
nx
2 sin n x
aa
n 1,2,3...
n ＝ 1 时，称基态能级（零点能）。基态能不为零，是经典
物理不能解释的。
3) 能级间距
E
En1
En
(2n 1)
2 2
2ma 2
(2n 1)E1
可看出，能级间距与粒子质量和阱宽的平方成反比。
对于微观粒子,若限制在原子尺度内运动时，ћ2~ma2，即阱宽 很小时，则能量的量子化是很显著的,因此必须考虑粒子的量子 性;
但即使是微观粒子，若其在自由空间运动 (相当于阱宽无穷
大) ，其能级间距就非常小,则可认为能量的变化是连续的;
一、一维无限深势阱
1 、一维无限深势阱薛定谔方程
U(x)
U(x)
1 ）势函数
0
a
x
阱内: （0＜x＜a) U x 0
阱外: (x<0 & x>a) U x
薛定谔方程可以解释的生活中的问题
薛定谔方程（Schrödinger equation）是量子力学中的基本方程之一，它描述了微观粒子的运动和行为。
虽然其理论极其复杂，但薛定谔方程却可以被用来解释生活中许多奇妙的现象和问题。
本文将围绕薛定谔方程可以解释的生活中的问题展开讨论，以帮助读者更好地理解这一基础物理理论在日常生活中的应用。
一、量子隧穿效应薛定谔方程首次揭示了量子隧穿效应（quantum tunneling effect），即微观粒子可以在经典力学下无法穿越的势垒的情况下通过反常的方式穿越而无需克服这一势垒。
这一效应在生活中有很多应用，例如：1. 在隧道二极管中，量子隧穿效应使电子得以“穿越”势垒，从而帮助二极管正常工作；2. 核聚变反应中，负电子穿越核力垒，帮助实现核聚变；3. 化学反应中的“反常”速率，有时是由于量子隧穿效应引起的。
二、量子纠缠薛定谔方程还描述了量子纠缠现象，即使两个空间分隔较远的粒子，它们的状态仍然会同时发生变化，这种现象被爱因斯坦称为“一种鬼魅的行为”。
量子纠缠的出现在生活中也有许多实际应用：1. 量子计算机中，利用量子纠缠可以实现超越经典计算机的运算速度和处理能力；2. 量子密钥分发技术中的安全传输，依赖于量子纠缠的特性来保证信息的安全传输；3. 量子纠缠还被应用于实现远距离的量子通信，实现了远距离的量子纠缠态转移。
三、量子力学与生活除了上面提到的具体现象外，薛定谔方程的一些概念和原理也对我们日常生活产生了深远的影响：1. 不确定性原理：薛定谔方程提出了不确定性原理，即无法同时准确地确定微观粒子的位置和动量，这一概念改变了人们对于现实世界的理解，并且在科学研究和生活中也有很多应用；2. 双缝实验：薛定谔方程对光子和电子的双缝干涉实验提出了解释，这一实验揭示了微粒子的波粒二象性，为光学技术和电子技术的发展做出了重要贡献；3. 量子力学的数学形式和基本原理也为信息技术、纳米技术、光学技术等领域的发展提供了理论基础。
15 量子物理学的诞生 薛定谔方程及应用
一维自由粒子的 含时薛定谔方程
2、一维势场 U ( x , t ) 中运动粒子薛定谔方程
P E Ek U U 2m Ψ i EΨ t 2Ψ P2 2 Ψ 2 x
2
Ψ i P2 [ U ( x , t )]Ψ t 2m
Ψ ( x, t ) Ψ oe
x
E p0
A B
2 一维无限深势阱
0
0
a x
U (x)
0 0< x < a
x 0, x a
U 与t 无关，写出定态定谔方程
1
1= 0
d Φ UΦ EΦ 2 2m dx
2 2
0 2
3
3 = 0
1 势阱外
dΦ Φ EΦ 2 2m dx
2 2
x
0
a
x
讨论
1.能量只能取分立值 是解薛定谔方程自然而然得到的结论。 按经典理论……粒子的“能量连续”； 但量子力学……束缚态能量只能取分立值（能级）
2.当 m 很大（宏观粒子）时，能量连续， 量子 经典。 3.最低能量不为零（称零点能） 2 2 E1 0 2 ———符合不确定关系。 2 ma
2 2 Φ UΦ EΦ 2m
定态薛定薛方程 一维定态薛定谔方程
2m Φ 2 ( E U )Φ 0
2
d 2Φ( x ) 2m 2 (E U)Φ( x ) 0 2 dx
势阱中的粒子 势垒 谐振子
一、 一维无限深势阱
1 势阱
U (x)
金属表面
金属中自 由电子的 势能曲线
推广到三维情况， 2 2Ψ Ψ U ( x , t )Ψ i 薛定谔方程可写为： 2
薛定谔方程及的应用
1 f (t ) 1 2 2 i [ (r ) V (r ) (r )] f (t ) t (r ) 2m
很明显，上式右边只是 矢径 的函数，而左边只 是时间t的函数，为了使上式成立，必须两边恒等于 某一个常数，设以E表示，则有： 11
r
f (t ) i Ef (t ) （ 1） t 2 2 (r ) V (r ) (r ) E (r ) （2） 2m
p E V ( x, t ) 2m
将上式作用于波函数上，此时的薛定谔方程为：
2
( x, t ) ( x, t ) i V ( x, t ) ( x, t ) 2 t 2m x
2 2
⑤
8
由此可知，粒子能量E和动量P与下列作用在波 函数上的算符相当：
E i , t
方程（1）的解为： f 将 f (t ) ce 入 并把常数包含在 程的特解为：
( x, t ) i E0e t
上式两边都乘以
i ( Et px )
i E ( x, t ) ①
( x, t ) i E ( x, t ) t
对 x 求二阶偏导
i
得：
( x, t ) i i p0e p ( x, t ) x i 2 2 ( Et px ) ( x, t ) ip 2 p ( ) e 2 ( x, t ) 0 2 x 2
i ( Et px )
②
6
上式两边都乘以
2m
得：
2 2 ( x, t ) p 2 ( x, t ) 2 2m x 2m
把对t 求导的式子写在下面
薛定谔方程及其应用
V
4
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只 有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
5
德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）
经 典 波
是振动状态的传播
波强（振幅的平方）代 表通过某点的能流密度 能流密度分布取决于空间 各点的波强的绝对值。
德布罗意波
不代表任何物理量的传播 波强（振幅的平方）代表粒 子在某处出现的概率密度
6
例：作一维运动的粒子被束缚在0<x<a 的范围内，已知其波函数为：
x A sin
x
a
求：(1)常数A；(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率；(3)粒子在何 处出现的概率最大？ 解：(1)由归一化条件
a/2
dx A
2
2
sin
0
a
2
x
a
dx 1
0
2 dx a
W | |
2
某一时刻出现在某点附近在体积元 dV 中的粒子 的概率为： dW 2 dV *dV
| |2 为粒子在某点附近单位体积内粒子出 由此可见， 现的几率，称为几率密度。即： 2
| |
2
根据波恩的解释，波函数本身并没有直接的物理 意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来 说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的， 物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计 规律。 波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于 波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统 计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
i
2 ( Et Px ) h
薛定谔方程式
薛定谔方程式概述薛定谔方程式（Schrödinger equation）是量子力学的核心方程之一，描述了量子系统的时间演化。
由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被誉为量子力学的基石之一。
薛定谔方程式的发现极大地推动了量子力学的发展，为人们理解微观世界的性质提供了重要工具。
薛定谔方程式在波动力学（wave mechanics）中得到了严格推导和解释。
它描述了一个不含外部力和电磁场的短程自由粒子或由简单势场所引起的粒子的行为。
对于多粒子系统，薛定谔方程式可以将多个粒子的波函数妥善地描述为一个整体波函数。
方程式的形式薛定谔方程式的一般形式如下所示：iℏ∂Ψ∂t=ĤΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数（等于普朗克常数除以2π），∂Ψ∂t表示波函数Ψ对时间t的偏导数，Ĥ是哈密顿算符（Hamiltonian operator），描述了系统的总能量。
薛定谔方程式是一个偏微分方程，描述了波函数随时间的演化。
根据方程式的形式，可以看出波函数的时间导数与波函数自身之间存在一种深刻的关系，通过求解薛定谔方程式，我们可以获得系统的波函数，并从中得到系统的物理性质。
波函数的解释根据波函数的解释，波函数Ψ(x,t)是位置x和时间t的一个函数，它描述了粒子存在于不同位置时的概率振幅。
波函数的模方|Ψ(x,t)|2表示了在位置x处寻找粒子的概率密度。
量子力学的一般规则告诉我们，波函数的平方和在整个空间上积分应该等于1，即：∫|Ψ(x,t)|2∞−∞dx=1这表示粒子总是处于一定的状态中，而且它的位置在真实性上是不确定的，只有一定的概率存在于某个特定位置。
哈密顿算符在薛定谔方程式中，哈密顿算符Ĥ起着关键的作用，它对应着系统的总能量。
哈密顿算符的具体形式取决于所研究的系统的性质。
对于一个自由粒子，哈密顿算符可以写为：Ĥ=−ℏ22m∂2∂x2其中，m是粒子的质量。
对于一个粒子受势场影响的情况，哈密顿算符则需要加入相应的势能项。
薛定谔方程的应用
所以，不同能级的波函数是正交的。如果把波函 数的正交性和归一性表示在一起，可写为
* d
m n
mn
定义克罗内克符号： mn
1 0
mn mn
16.4一维谐振子
分子振动光谱是一种重要的分子光谱学方法，能提供有关 分子结构的基础信息，而谐振子为研究原子在分子及晶体中 的振动提供了一个模型，在化学中有广泛的应用。但是，由 于其数学处理的复杂性，这里的讨论只是并不给出证明的细 节，只是给出结论。
对应的解：
2 1( x )
U0 E m
U
3
x
U 0 0 x a U ( x) 0 x 0, x a
x0
ik1 x
2
对应的解：
ik1 x
2
1( x ) Ae Be ik x ik x 0 x a , 2( x ) Ce De ik x xa 3( x ) Ge
2
由
m * n a b sin a x sin a xdx 2 mn
2 A a 2 n 2 ( x) sin x a a
2 2
2mE 2 k 2 En n 2 2ma
2
(n 1,2,3,)
可见E是量子化的。
对应于 E n 的归一化的定态波函数为
a a
a
6
a
2
5a
6
n2 n 1
2( x) 2 sin 2 x
a a
a
4
3a
4
1( x) 2 sin x
a x
a
a
0
a/2
a X
说明：1）粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态， 从物理意义上理解束缚定态方程 的解，是一些驻波。这 些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒 子在 0 < x < a 范围内哪些地方出现粒子的几率最大、最小。 （2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定， 半波数越多(驻波波长越短)，对应粒子的能级越高。 （3）第 n 个能级,波函数在总区间内有 n+1个节点。 节点处找到粒子的几率为零.
普通物理学波函数 薛定谔方程
2
i 2 2m x t
2 2
上页
下页
2、一维势场U（x，t）中运动粒子
i E t 2 2 P 2 2 x P2 E Ek U U 2m
2
2 2 U i 2 2m x t
在势场中一维运动的粒子的含时 薛定谔方程
单位体积中出现的概率，又称为概率密度 时刻 t , 粒子在空间
r
处 dV 体积内出现的概率
( r , t ) 不可直接测量！
(r ) (r )
2 可测量——在空间 w( r ) ( r ) 的概率密度。
r 处可观测到粒子
量子力学指出，我们只能判断在一定空间范围发现粒子 的概率，不能确定一个粒子一定在什么地方；只能作某种 可能性的判断，不能做绝对确定性t
三维势场中运动粒子的含时薛定谔方程
上页 下页
定态薛定谔方程 一维：
2 2 U i 2 2m x t
i E t
( x )e
i Et
U E 2 2m x 2 d 2 U E 2 2m d x
2 2 i 2 2m x t 2 U i 2m t
2
一维定态薛定谔方程
d 2 2m 2 ( E U ) 0 2 dx
2m 2 ( E U ) 0
2
三维定态薛定谔方程
上页
下页
奥地利物理学家，1933年诺贝尔物理奖获得者。薛 定谔是著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之 一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的 放射性等方面的研究都有很大成就。 薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的 基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立 了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。薛定谔方程在 量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛 顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可 薛定谔 以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微 Erwin 观粒子(如电子等)运动状态的基本定律，在粒子运动速 Schrö dinger 率远小于光速的条件下适用。 薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的 ( 1887–1961) 影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理 学和生物学相结合，形成了现代分子生物学的最显著的 特点之一。 薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年 同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。
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15.7 薛定谔方程的应用
一 氢原子的薛定谔方程 氢原子中电子的势能函数
e2 Ep 4πε0 r
定态薛定谔方程为
8π 2 m e2 2 2 ( E ) 0 h 4πε0 r
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15.7 薛定谔方程的应用
转化为球坐标
1 2 1 1 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r r r sin r sin 8π 2 m e2 2 (E ) 0 h 4πε0 r
处于基态时 n=1 l=0
径向波函数方程
1 d 2 dR 8π 2 m r2 e2 (r ) (E )0 2 R dr dr h 4πε0 r
解为
R Ce
r / r1
13
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15.7 薛定谔方程的应用
其中
2 r1
h /(8π mE)
2 2
将解代入方程 得
8π 2 me 2 2 r 0 2 4 πε h r1 0
2 角动量量子化和角量子数 电子绕核运动时的角动量为：
h L l (l 1) 2π
l 0，2， ， 1) 为角量子数 1 3， (n ，
例如，n =2时，l =0，1相应的 h L0 L 2 2π
5
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15.7 薛定谔方程的应用
3 角动量空间量子化和磁量子数
当氢原子置于外磁场中，角动量L在空 间取向只能取一些特定的方向，L在外磁场 方向的投影必须满足量子化条件
角量子数 l 决定电子的轨道角动量 磁量子数 ml 决定轨道角动量的方向 自旋量子数ms决定自旋角动量的方向
10
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15.7 薛定谔方程的应用
11
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15.7 薛定谔方程的应用
12
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15.7 薛定谔方程的应用
三 基态径向波函数和电子分布概率
1 氢原子的基态能量
h / 2π
L
2
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15.7 薛定谔方程的应用
4 电子的自旋和自旋磁量子数 h 自旋角动量 S s( s 1) 2π 1 式中自旋量子数 s ，即 S
3 h 2 2 2π 自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量: h S z ms 2π 1 ms ms称为自旋磁量子数 2
2
0
C e
2 r / r1
r dr 1
2
得
4 C 3 r 1
1/ 2
1/ 2
4 基态径向波函数为 R (r ) r 3 1
e
r / r1
16
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15.7 薛定谔方程的应用
3 电子的分布概率
p(r) r1
p(r ) r 2 2
Байду номын сангаас
令沿径矢的概率密度为 p ,则电子出现 在距核r r+dr的概率为
pdr R r 2dr
2
π
0
Θ sind
2
2π
0
Φ d
15
2
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15.7 薛定谔方程的应用
由归一化条件
2 2
pdr R r dr
R Ce r / r1
2 2
0 pdr 0 R r dr 1
ε0 h 2 r1 0.0529 nm 2 πm e
h E 2 2 13.6 eV 8π mr 1
14
2
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15.7 薛定谔方程的应用
2 基态径向波函数
R Ce
r / r1
电子出现在体积元dV的概率为：
Ψ dV R Θ Φ r sindrdd
2 2 2 2 2
3
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15.7 薛定谔方程的应用
二 量子化条件和量子数
求解上述方程时可得以下一些量子数及 量子化特性 1 能量量子化和主量子数
1 En 2 E1 n
4
n =1,2,3,...为主量子数
me E1 2 2 13.6 (eV) 8 0 h
4
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o
r1
r
电子云
17
h Lz ml 2π
ml 0, 1, 2, l
磁量子数
6
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l 例如， 1 时，
h h L l (l 1) 2 2π 2π h h 磁量子数 ml =0, 1 , 相应的 Lz 0, , 2π 2π
z
LZ
z
L ħ o ħ
8
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1 ms 2
1 h Sz 2 2π
电子的自旋角动量和自旋磁量子数 z
Sz S Sz
1 2
o
1 ms 2
S 3 2
1 2
1 ms 2
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15.7 薛定谔方程的应用
5 小结
原子中的电子的运动状态可由四个量子 数(n, l ,ml , ms) 来表示. 主量子数 n 决定电子的能量
分离变量法求解,设
(r, , ) R(r )Θ( )Φ( )
2
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得
d 2Φ 2 ml Φ 0 d 2
ml 1 d dΘ (sin ) l (l 1) 2 d sin Θ sin d
2
1 d 2 dR 8π 2 m r2 e2 (r ) (E ) l (l 1) 2 R dr dr h 4πε0 r