高中数学 第十五章 第1讲 几何证明选讲

第十五章系列4选考部分第1讲 几何证明选讲分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)1.(2012·镇江调研)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．(1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧所对的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝AD AC ，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝90°.2.(2011·江苏卷)如图，圆O 1与O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．证明 如图，连接AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D ，连接BD 、CE .∵圆O 1与圆O 2内切于点A ，∴点O 2在AD 上，故AD 、AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝90°.∴BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2，∴AB ∶AC 为定值． 3.如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边AC 的中点，∴DE ＝EA ，∴∠A ＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠A .∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠1＝90°＋∠1，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD .又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ，∴FB FD ＝FD FC ，∴FD 2＝FB ·FC .4.(2012·苏州市调研(一))如图，在△ABC 中，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N .若AC ＝12AB ，求证：BN ＝2AM .证明 连结MN .因为CM 是∠ACB 的平分线，所以∠ACM ＝∠NCM ，所以AM ＝MN .因为∠B ＝∠B ，∠BMN ＝∠A ，所以△BMN ∽△BCA ，所以BN MN ＝AB AC ＝2，即BN ＝2MN ＝2AM .5.如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BD 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E .(1)求证：AB 2＝DE ·BC ；(2)若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长．(1)证明 ∵AD ∥BC ，∴AB ︵＝CD ︵.∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD .又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC .∴△CDE ∽△BCD .∴DC BC ＝DE DC .∴CD 2＝DE ·BC ，即AB 2＝DE ·BC .(2)解 由(1)知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4，∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ，∴PD PB ＝DE BC ＝49.又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815.∴PC 2＝PD ·PB ＝365·815＝54252.∴PC ＝545. 6.如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且P A ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长．(1)证明 连接AB ，如图所示∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D .又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC .(2)解 设BP ＝x ，PE ＝y ，∵P A ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12. ① ∵根据(1)，可得△ADP ∽△CEP ，∴DP EP ＝AP CP ，即9＋x y ＝62， ②由①②，可得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝－1(负值舍去)， ∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16.∴AD ＝12.分层训练B 级 创新能力提升1.(2012·常州市期末考试)如图，圆O 是△ABC 的外接圆，延长BC 边上的高AD 交圆O 于点E ，H 为△ABC 的垂心．求证：DH ＝DE .证明 连结CE ，CH .因为H 为△ABC 的垂心，所以∠ECD＝∠BAD ＝90°－∠ABC ，∠HCD ＝90°－∠ABC ，所以∠ECD ＝∠HCD .又因为CD ⊥HE ，CD 为公共边，所以△HDC ≌△EDC ，所以DH ＝DE .2.(2012·泰州调研一)已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC的外接圆于点F ，连接FB 、FC .(1)求证：FB ＝FC ；(2)若AB 是△ABC 外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC ＝33，求AD 的长．(1)证明 ∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠DAC .∵四边形AFBC 内接于圆，∴∠DAC ＝∠FBC .∵∠EAD ＝∠F AB ＝∠FCB ，∴∠FBC ＝∠FCB ，∴FB ＝FC .(2)解 ∵AB 是圆的直径，∴∠ACD ＝90°.∵∠EAC ＝120°，∠DAC ＝12∠EAC ＝60°，∠D ＝30°.在Rt △ACB 中，∵BC ＝33，∠BAC ＝60°，∴AC ＝3，又在Rt △ACD 中，∠D ＝30°，AC ＝3，∴AD ＝6.3.(2013·宿迁联考)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过点N的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝P A·PC；(2)若⊙O的半径为23，OA＝3OM，求MN的长．(1)证明连结ON.因为PN切⊙O于N，所以∠ONP＝90°.所以∠ONB＋∠BNP＝90°.因为OB＝ON，所以∠OBN＝∠ONB.因为BO⊥AC于O，所以∠OBN＋∠BMO＝90°.所以∠BNP＝∠BMO＝∠PMN.所以PM＝PN.所以PM2＝PN2＝P A·PC.(2)解OM＝2，BO＝23，BM＝4.因为BM·MN＝CM·MA＝(23＋2)(23－2)＝8，所以MN＝2.4. 如图，已知C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD的中点；(2)求证：CG是⊙O的切线；(3)若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．(1)证明∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF.∴EHBF＝AEAF＝CEFD.∵HE＝EC，∴BF＝FD.即点F是BD的中点．(2)证明连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∵F是BD的中点，∴∠CBF＝∠FCB.∵∠CBF＝∠BAC，∠BAC＝∠ACO，∴∠FCB＝∠ACO.∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠BCF＋∠OCB＝90°.∴∠OCF＝90°.∴CG是⊙O的切线．(3)解由FC＝FB＝FE，得∠FCE＝∠FEC.∵∠G＋∠GCH＝90°，∠F AG＋∠FEC＝90°，∴∠F AG＝∠G.∴F A＝FG，∵FB⊥AG，∴AB＝BG.由切割线定理，得(2＋FG)2＝BG·AG＝2BG2.①在Rt△BGF中，由勾股定理，得BG2＝FG2－BF2.②由①②，得FG2－4FG－12＝0.解得FG＝6或FG＝－2(舍去)．∴AB＝BG＝4 2.∴⊙O的半径为2 2.5.(2013·南京模拟)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，点P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.证明如图(1)连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA＝OB，PC＝PD，所以OP∥BD.从而OP⊥l.因为点P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连结AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD＝∠BAP.又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°，所以∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.6.(2012·常州一中期中)如图，从圆O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，求证：O、C、P、D四点共圆．证明∵P A、PB为圆O的两条切线，∴OP垂直平分弦AB，∴AM＝BM.在Rt△OAP中，OM·MP＝AM2，在圆O中，AM·BM＝CM·DM，∴OM·MP＝CM·DM，又弦CD不过圆心O，∴O、C、P、D四点共圆.。