第五章 角动量 关于对称性

第五章 角动量 关于对称性§5.1质点的角动量一质点的角动量为了描述质点相对某一参考点的运动，引入动量矩（或角动量）的概念。

1定义：质点对于参考点的位置矢量与质点动量的矢积叫质点对该点的角动量（或动量矩）。

用“L ”表示。

L r mv r p =⨯=⨯L是矢量：其大小：以r 和p为邻边的平行四边形的面积。

sin L rp γ=γ ：由r 逆时针转道p ，r 和p的夹角其方向：垂直r 和p 平面且r 、p 和L构成右手螺旋关系。

2说明：L r mv r p =⨯=⨯：含有因子p，因此L和参考系选择有关。

含有因子r ，r依赖于参考点的位置，故L和参考点的选择有关。

如图所示：O 点离直线运动的轨迹越远，L越大。

为了明确L 对参考点的依赖性，作图时常把角动量L矢量的起点置于参考点上。

3量纲：21dim L L MT -= 4单位：SI 中：2/kg m s ⋅ 二 力对一参考点的力矩O ：空间一参考点； F：作用力； A ：受力质点（力的作用点）1力矩：受力质点A 相对O 点的位置矢量r与力F矢量的矢积τ，叫做力F对参考点O 的力矩。

r F τ=⨯是矢量。

大小：sin rF τα= α：由r 沿小于π的角转到F 时，r 和F成的角方向：垂直于r和F决定的平面，r、F和τ成右手螺旋关系。

2说明：τ 依赖于r ，所以τ 和参考点的选择有关。

τ的起点也画在参考点上。

3单位：SI 中：“牛顿米”（N m ） 4量纲：22L MT-oOrp5几个力的力矩的矢量和若一个质点同时受几个力的作用，则诸力力矩的矢量和：12i ni r F r F r F r F r F ⨯=⨯+⨯++⨯=⨯∑∑结论：诸力矩的矢量和等于合力对于参考点的力矩三 质点对参考点的角动量定理和守恒定律 1质点对参考点的角动量定理()i d F mv dt =∑ ()()i d d r F r mv r mv dt dt⨯=⨯=⨯∑ 又()()()d dr d d r mv mv r mv v mv r mv dt dt dt dt⨯=⨯+⨯=⨯+⨯而0v mv ⨯=所以()()i d d d r F r mv r mv L dt dt dt τ=⨯=⨯=⨯=∑ 质点对参考点的角动量定理的数学表达式：d L dtτ=内容：质点对参考点O 的角动量对时间的变化率等于作用于质点合力对该点的力矩。

例题：习题5.132质点对参考点的角动量守恒定律若 τ=0，则0d L dt= L =恒矢量内容：若作用于质点的合力对参考点O 的力矩总保持为零，则质点对该点的角动量不变。

例1：质点作匀速直线运动，所受合力为零，对任何参考点的力矩也为零，角动量为恒量。

例2：行星受万有引力的作用绕太阳转动，万有引力是有心力，力心在太阳中心，有心力对力心的力矩为零，所以行星对太阳中心的角动量守恒。

四 质点对轴的角动量定理和守恒定律 1力对轴的力矩：O ：参考点； 质点A 受力F ，A 相对于O 点的位矢为r，力F 对O 点的力矩：r F τ=⨯定义：过O 点取z 坐标轴，F对O 点的力矩在z 轴上的投 影z τ叫力对z 轴的力矩。

过质点A 作一平面和z 轴垂直，将r分解成和z 轴平行与垂直的1r 和2r；F 分解为在平面内的1F 及和z 轴平行的2F。

则： 121211122122()()r F r r F F r F r F r F r F τ=⨯=+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯因为 22r F，所以220r F ⨯=令 112r F τ=⨯，12F τ⊥，而2F z轴，所以1τ和z 轴垂直。

令221r F τ=⨯，22r τ⊥ ，而2r z 轴，所以2τ和z 轴垂直所以力对O 点力矩在z 轴上的投影11sin z r F τα=α ：面对z 轴观察，由1r逆时针转到1F转过的角度。

力对轴（z 轴）的力矩：力F 对O 点的力矩在过O 点轴（z 轴）上的投影，或者说力F对z轴上O 点的力矩在z 轴上的投影称为力对轴（z 轴）的力矩，用z τ表示。

F对z 轴上不同点点的力矩不同，但在z 轴上的投影相同。

若 r和F恰在与z 轴垂直的平面上，则力对z 轴的力矩为：sin z rF τα= 2质点对轴的动量矩依照上面研究力矩的方法定义：质点对轴上某点的动量矩在轴上的投影叫质点对轴的动量矩，用“z L ”表示。

11()sin z z L r p r p γ=⨯=γ：面对z 轴观察由1r 逆时针转到1p转过的角度。

1r ：质点到轴的垂直距离； 1p：动量在与z 轴垂直平面上的分量。

若 r 和p恰在与z 轴垂直的平面上，则sin z L rp γ= 3 质点对轴的角动量定理质点对参考点O 的角动量定理： d L dtτ=过O 点作z 轴，将上式对z 轴投影得：zz dL dtτ= 4 质点对轴的角动量守恒定律：若0z τ=，则0zdL dt=，z L =恒量。

§5.2质点系的角动量定理及角动量守恒定律一质点系对参考点的角动量定理及角动量守恒定律1质点系对参考点的角动量：质点系内各质点对于参考点O 的角动量的矢量和 即：i i i i L F mv L =⨯=∑∑2质点系对参考点的角动量定理：质点 i 受的力i F分为：内力in F和外力iw F；所受力矩i τ也分为内力矩in τ和外力矩iw τ则 i i d L dt τ=得：in iw i d L dtττ+=对所有质点求和：in iw i i i i d L dtττ+=∑∑∑根据牛顿第三定律，质点i 和质点j 的相互作用力：ij ji F F =-且作用于一条直线，这一对相互作用力的力矩之和：()in i ij j ji i j ij r F r F r r F τ=⨯+⨯=-⨯ij F 和()i j r r -共线， 0in τ∴=即成对出现的内力对O 点的力矩矢量和为零，0in τ=∑而 i i dL ddL L dt dt dt==∑∑所以质点系对参考点O 的角动量定理：iw dL dtτ=∑表述：质点系对参考点O 的角动量随时间的变化率等于外力对该点力矩的矢量和。

3 质点系对参考点O 的角动量守恒定律若0iw τ=∑，则L =恒量表述：若外力对参考点O 的力矩的矢量和始终为零，该质点系对该点的角动量保持不变。

二 质点系对轴的角动量定理及守恒定律仅研究几个质点均分别在与z 轴垂直的平面内运动的情况 1质点系对轴的角动量定理：对质点系中的某个质点i ：(sin )iz iz i i i i dL drm v dt dtτγ== 质点i 所受的合力对z 轴的力矩可分为内力矩inz τ和外力矩iwz τ(sin )inz iwz i i i i drm v dtττγ∴+=对n 个质点求和：(sin )inz iwz i i i i drm v dtττγ+=∑∑∑由于0inτ=∑0i n z τ∴=∑Oi rj rij Fji F()i j r r -(sin )iwz i i i i z d d rm v L dt dtτγ∴==∑∑质点系对轴的角动量定理：质点系对于z 轴的角动量随时间的变化率等于质点系所受一切外力对z 轴的力矩之和。

2 质点系对轴的角动量守恒定律： 若0i n zτ=∑ 则sin z i i i i L rmv γ==∑恒量表述：若质点系所受一切外力对z 轴的力矩之和始终为零，则质点系对z 轴的角动量保持不变。

若各质点绕z 轴作圆周运动，2i πγ=±，sin 1i γ=，质点系对z 轴的角动量2z ii ii i iL r m v m r ω==∑∑若i m 一定时，i r 越大，i ω越大，z L 越大。

若z L 一定时，i r 变小，则i ω增大；i r 增大，i ω减小。

例题：如图所示，滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同而处于平衡。

现有距盘底为h 质量为'm 的胶泥自由落下，求胶泥粘在盘上时获得初速度。

滑轮和绳的质量忽略不计，不计轴承摩擦及绳的伸长。

分析：盘、物体、胶泥视为质点系，所受外力即为重力和绳的拉力。

拉力相等，盘和物体所受重力相等，他们对轴心O 的力矩也相等，但方向相反，之和为零。

所以质点系所受外力对O 轴的力矩之和就等于胶泥的重力矩，不等于零。

但在胶泥和盘相碰时，内力矩远大于重力矩，故重力矩可以忽略，近似认为它们相碰时质点系对O 轴的角动量守恒。

取垂直纸面朝外的方向为O 轴的正方向。

设胶泥粘在盘上时获得初速度为v 胶泥落到盘底的速度0v =又因为 ''120()R m m v Rmv Rmv ++=绳不可伸长则 12v v v =='0'2m v v m m ==+ 此题不能用动量守恒定率解答，因为1 盘、物体、胶泥这个质点系在相碰过程中受外力为绳的拉力和重力，由于冲击绳的拉力会增大，重力无变化，外力之和不等于零，所以动量不守恒。

2 由计算系统的动量直接说明总动量不守恒。