2011研究生数理统计试卷
11年数理统计A卷
考试科目 数理统计(A) 考试日期年 级 成 绩一、（20分）设总体X 的概率密度函数为： ⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=ααβαββαφx x x x ,0),/)(ex p(1),;( 其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。
试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。
二、（15分）从甲、乙两个分厂的铸铁中分别抽取样本容量为9和8的样本，分别计算后得到含碳量（%）的平均数及校正样本方差为：甲厂：9,1337.0,23.01*12===n sx 乙厂：8,1636.0,269.02*22===n s y 。
设甲、乙两个分厂铸铁的含碳量都服从正态分布且相互独立，问这两个分厂铸铁的含碳量的平均值可否看作一样（α=0.05）？三、（10分）设自动加工的一批零件中随机抽取12件，测得其长度与规定长度的偏差（单位：m μ）为：2，1，-2，3，2，4，-2，5，3，4，3，2。
假定偏差),(~2σa N X ，试求a 的置信区间（α=0.1）。
四、（15分）假设甲、乙、丙三种种子的亩产量都服从正态分布，且具有方差齐性。
现将甲、乙、丙这三种种子在相同的条件下各进行15次产量测试，测量它们的亩产量，并经计算得到三组样本的均值分别为：16711=X ，16962=X ，17613=X ；三组样本的方差分别为：58.75621=S ，84.64322=S ，26.74023=S 。
假设这三组样本相互独立。
问：甲、乙、丙这三种种子的亩产量有无显著差异(α=0.05)？页 页 共 2 页第 2 页五、（20分）为研究球墨铸铁抗压强度的分布，现抽取200件球墨铸件，测得它要求检验原假设H 0：F(x)∈{N(μ,σ2)}。
其中F(x)为球墨铸件抗压强度的分布函数（α=0.05）。
六、（20分）某公司在12个地区对公司产品销售额的增长率y （%）和地区居民人均收入水平的增长率x （%）进行调查，得到有关数据如下表：（1）试建立销售额的增长率y （%）和地区居民人均收入水平的增长率x （%）之间的一元正态线性回归方程；（2）检验回归效果的显著性（α=0.05）；（3）求当%80=x 时y 的预测区间（α=0.05）；（4）若要求将y 以0.95的概率控制在（5,10）之内，问应如何控制x?。
2011数理统计试卷
2 (n − 1) S n 8 × 0.48 −1 = = 0.2190 ; 2 χ 0.975 (n − 1) 17.535
2 (n − 1) S n 8 × 0.48 −1 = = 1.7615 2 2.180 χ 0.025 (n − 1)
故 σ 2 的 95%的置信区间为 [0.2190, 1.7615]
χ2 =
1 r nk2 ∑ − n ~ χ 2 (r − 1) ; n i =1 p k
χ2 =
1 60 2 40 2 ( + ) − 100 = 4 100 0.5 0.5
χ 2 = 4 > χ 21−α (r − 1) =3.841, 故拒绝原假设,认为该硬币不均匀.
4
六. ( 本题 14 分) 抽查 6 家企业, 根据产量 xi (台) 与单位成本 yi (万元)的统计数据得:
ˆ = X − 1 是 θ 无偏估计。 故θ
(2) 对于一组观测值 ( x1 , x 2 , L x n ) ，设 x1 ,L , x n ≥ θ ，此时似然函数
L(θ ) = ∏ p( xi ) = ∏(e −( xi −θ ) )
i =1 i =1 n
n
n
两边取对数，得对数似然函数 ln L(θ ) = − ∑ xi + nϑ
2
ˆ ，下 8．多元线性回归模型 Y = Xβ + e ，其中 e ~ N (0, σ I) ，关于 β 的最小二乘估计 β
述错误的选项是（ C ） 。
ˆ = ( X ' X ) −1 X ' Y （A） β ˆ ~ N (β , σ 2 I ) （C） β
9.
ˆ )= β （B） E( β ˆ 与残差平方和 SS 相互独立 （D） β e
(完整)高等数理统计2011
南昌大学研究生2010～2011学年第 2 学期期末考试试卷试卷编号： ( A )卷课程名称： 高等数理统计 适用专业： 数学 姓名： 学号： 专业： 学院： 考试日期： 2011年6月19日 考试占用时间： 150分钟 考试形式（开卷或闭卷）：题号 一 二 三 四 五 六七八九十总分 累分人 签名题分 1515202525100 得分考生注意事项：1、本试卷共 页，请查看试卷中是否有缺页或破损。
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2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
一、证明题： (15分)得分 评阅人设1(0,1):X N ，2(0,4):X N ，且1X 与2X 独立，求112=+Y X X 与212=-Y X X 的联合分布。
二、计算题：(15分)得分 评阅人设总体X 有密度函数201()0<<⎧=⎨⎩其它x x p x ，从该总体随机抽取一个容量为4的样本，计算概率(3)(0.5)>P X 。
三、综合题：(20分)得分 评阅人（1） 检查Poisson 布族的完备性；（2） 判断分布族{(1),0,1,2,;0}θθθθ=-=>L x p x 是否为指数族；四、应用题：(25分)得分 评阅人设1,,L n X X 为独立同分布变量，01θ<<，11Pr(1)2θ-=-=X ， 11Pr(0)2==X ， 1Pr(1)2θ==X ， （1） 求θ的1ˆθMLE 并问1ˆθ是否是无偏的； （2） 求θ的矩估计2ˆθ； （3） 计算θ的无偏估计的方差的C-R 下界。
五、综合题：(25分)得分 评阅人设1X ，2X 独立同分布，其共同的密度函数为：23(;)3, 0,0θθθθ=<<>p x x x（1） 证明1122()3=+T x x 和2127max(,)6=T x x 都是θ的无偏估计；（2） 计算1T 和2T 的均方误差并进行比较； （3） 证明：在均方误差意义下，在形如12max(,)=c T c x x 的估计中，87T 最优。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析
0
2
2
.
13.【答案】 1
【解】本题等价于将二次型 f (x, y, z) x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 经正交变换后化为
了 f y12 4z12 .由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1, 4, 0 .
1 a 1
该二次型的矩阵为
A
a
3
1 ，可知 A a2 2a 1 0 ，因此 a 1 。
0
0
5.【答案】
【解】由初等矩阵与初等变换的关系知
AP1
B
，P2 B
E
，所以
A
BP11
P2
P 1 1 1
P2 P11
，
故选 D.
6.【答案】D
【解】由 x 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A) 1，又由 A A A E 0 知，
1,2 ,3,4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
^
（1）求参数 2 的最大似然估计 2 ;
^
^
（2）计算 E( 2 ) 和 D( 2 ) .
2011 年全国研究生入学统一考试数学一试题
答案及解析
一、选择题
1.【答案】C
【解】由 y x 1x 22 x 33 x 44 可知1, 2,3, 4 分别是
y
x
1
x
2
2
x
33
x
4
4
0
的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关
C. P2P1
D. P21P1
6．设 A (1,2,3,4 ) 是 4 阶矩阵， A* 是 A 的伴随矩阵，若 (1,0,1,0)T 是方程组 Ax 0 的一 个基础解系，则 A*x 0 的基础解系可为( )
研究生应用数理统计试题(2011)
研究生应用数理统计试题（2011）一 填空题(36分，每空3分) 1设是体)(~2n X χ，则EX= ，DX= 。
2 设统计量)(~n t X ，则~2X 。
3 设n X X X ,,,21 是总体),(~2σu N X 的一个样本， ∑-=--=1122)(11n i i X X n S 为2σ的无偏估计，则D =2S 。
4 设)),0(~(2σεεβαN x y ++=，),,2,1)(,(n i y x i i =为观测数据, 11,ni i x x n ==∑21()nxx i l x x ==-∑。
α 、β 分别为βα,的无偏估计，则D α= ，D β = 。
5 某问题是一个四因素二水平试验，考虑交互作用A ⨯B 。
极差分析结果如下表（设指标越大越好）：表1 极差分析数据表则（1）各因素及交互作用的主次依次为 。
（2）较好工艺条件应为 。
（3）方差分析中总离差平方和的自由度为 。
6 设n X X ,,1 是来自正态总体),(2σμN 的样本，2,σμ均未知，α为显著性水平。
则μ的置信度为α-1的置信区间为 ；若μ为已知常数，则检验假设,::20212020σσσσ<↔≥H H （2σ已知），的拒绝域为 。
7设总体X 在区间]1,[+θθ上服从均匀分布，则θ的矩估计=θˆ 。
二 计算及证明题（54分）1 （8分）设n X X X ,,,21 是总体)1,0(~N X 的一个样本，求统计量2121)(1)(1∑∑+==-+=nm i i m i i X m n X m Y 的抽样分布。
2 （8分）设总体),(~2σu N X （方差已知），问需抽取容量n 多大时，才能使得总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的长度不大于L ？3 （8分）设总体)(~λπX ，n X X X ,,,21 是X 的一个样本，X 是样本均值。
证明X =λ是参数λ的最小方差无偏估计。
4 （14分）设总体),(~2σu N X ，),(~2τνN u （其中στν,,已知）。
2011考研数学真题和答案详解
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分 56％线性代数 22%概率论与数理统计 22％四、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0s inlim1xxx→=1lim1xxex→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数．当()0f x ''>时，()f x 的图形是凹的；当()0f x ''<时，()f x 的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学 考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学 考试内容多元函数的概念 二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值 二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数．6．了解xe ．sin x ．c o s x ．ln (1)x +及(1)x α+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式．六、常微分方程与差分方程 考试内容常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法． 3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念． 6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法． 7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线 性 代 数一、行列式 考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵 考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数(){}()F x P X x x =≤-∞<<∞的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布(,)B n p 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布()P λ及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布． 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布(,)U a b 、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布()E λ的概率密度为()0xef x x λλ-⎧=⎨≤⎩若x >0若5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量及其分布 考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4．掌握二维均匀分布和二维正态分布221212(,;,;)N u u σσρ，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩2分布t分布F 分布 分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2211()1n i i S X X n ==--∑2．了解产生2χ变量、t 变量和F 变量的典型模式；了解标准正态分布、2χ分布、t 分布和F 分布得上侧α分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法．。
昆明理工大学2011级硕士研究生《数理统计》试卷A
昆明理工大学20XX 级硕士研究生《数理统计》试卷A 满分100分考试时间：2小时30分钟学院：＿＿＿＿专业：＿＿＿＿学号：＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿各位考生请注意：试题中的所有分位数是下分位数。
一、填空题（每空2分，共30分）1. 设n X X X ,,,21 是来自总体)1,(~μN X 的简单随机样本，则=)(X E ，=)(2S E .2.设n m m m X X X X X ++ ,,,,,121为来自总体),0(~2σN X 的简单随机样本，则统计量∑∑++==n m m i i mi i X m X n 1212服从分布.3. 多元线性回归模型中，回归系数的最小二乘估计βˆ=. 4．在假设检验中，设0H 为原假设，1H 为备择假设，犯第一类错误的情况为. 5．对于具有s 个水平的单因素A 实验方差分析（水平i A 对应的总体为),(2σμi N , （i=1,2,…,s ），现取样，设各水平下的样本容量之和为n,以T E A S S S ,,分别表示因素A 的效 应平方和、误差平方和、总偏差平方和，则（1）T E A S S S ,,之间的关系是___________； （2）在显著性水平α下，假设“s H μμ==...:10，s H μμ,...,:11不全相等”的拒绝域形式是_________.6.正交表)2(78L 中,其中数字“8” 表示, 数字“2”表示.7. 某冶金实验室对锰的熔化点作了四次试验，结果分别为12690C12710C12630C12650C设数据服从正态分布),(2σμN ，以0.05α= 的水平作如下检验：这些结果是否符合于公布的数字12600C ？则原假设0H 为,选用的检验统计量是.8.设n X X X ,,,21 为来自总体),(~2σμN X 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值与样本方差，若2kS X +为2μ的无偏估计量，则=k .9. 设),,(~ln 2σμN X 即X 服从对数正态分布,其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=222exp )(σμk k X E k，自总体X 中取一容量为n 的样本n X X X ,,,21 ,则2,σμ的矩估计量分别为μˆ=,2ˆσ=. 10．设总体X 的数学期望为μ，321,,X X X 是来自总体X 的样本，下列统计量：3211515351ˆX X X ++=μ,3212313131ˆX X X ++=μ,则21ˆ,ˆμμ中方差最小的是.二、（10分）设1,,,21n X X X 以及2,,2,1n Y Y Y 为分别来自总体),(21σμN 与),(22σμN 的样本,且它们相互独立.221,,σμμ均未知,试求221,,σμμ的最大似然估计量.三、（10分）假定初生婴儿（女孩）的体重服从正态分布，随机抽取12名新生婴儿，测其重量（单位：ｇ）为：3100,2520,3000,3600,3160,3560,3320,2880, 3560,3320,2880,2540．求(1)新生婴儿的平均体重的置信水平为95%的置信区间； (96.1975.0=u ,1788.2)12(,2010.2)11(975.0975.0==t t ) (2)新生婴儿的体重的方差的置信水平为95%的置信区间．(404.4)12(,816.3)11(,337.23)12(,920.21)11(2025.02025.02975.02975.0====χχχχ)四、（15分）一般认为在大学中男生的学习成绩与女生有明显差异。
2011年武汉科技大学考研试题概率论与数理统计
密封线内不要写题
二O一一年招收硕士研究生入学考试试题
考试科目及代码：概率论与数理统计823
适用专业：管理科学与工程
可使用的常用工具：计算器
答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。
考试时间3小时，总分值150分。
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
（A） ；（B） ；
（C） ；（D）
5.设 为总体 的一个样本， 为样本均值， 为样本方差.则正确的是
（A） ；（B） ；
（C） ；（D）
二、填空题（每小题4分，共20分）
1.一个袋子中有10个球，其中3个为红球，7个为白球。从中不放回地任意取出2个球，则第二次取到的是红球的概率为.
2.设 ，则
3.设 的分布律为
1.设 为两个事件， ，且 ，则下面正确的等式是
（A） ；（） ；
（C） ；（D）
2.设连续型随机变量 的概率密度函数和分布函数分别为 和 ，则下列选项正确的是
（A） （B） 唯一（C） 唯一（D）
3.设 ( )独立同分布，则 .
（A） ；（B） ；（C）0.4；（D）1.6.
4.设 且相互独立，则有
7.设随机变量 的方差 ，随机变量 的方差 ，又 和 的相关系数 ，求 .
8.已知总体 服从二项分布，即 ， 为来自总体的样本， 已知，求参数 的矩估计和最大似然估计.
9.一台机床加工轴的椭圆度服从正态分布 （单位：毫米）.机床经调整后随机取20根测量其椭圆度，计算得 毫米，样本标准差 毫米.问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显著降低（检验水平 ）？
3.设随机变量 的分布函数为 ，求（1） 的概率密度函数 ；（2） .
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i =1
9
∑ ln x ln y
i =1
9
i
= 21.29
ˆ=a ˆe ； （1）求 Y 对 x 的曲线回归方程 y
ˆ2； （2）求 σ 2 的无偏估计 σ
（3）对回归方程的显著性进行检验（ α = 0.05 ） ； （4）求当销售额 x0 = 50 万元时,流通费率 Y0 的置信度为 95%的置信区间; （5）销售额应控制在什么范围内，才能以 95%的可能性控制流通费率不超过 5%。
n
n
ˆ 32 = k3 ∑ ( X i +1 − X i ) 2 为 σ 2 的无偏估计，并比较 σ ˆ12 和 σ ˆ 2 2 的有效性。 σ
2. 设总体 X 的密度函数为 f ( x) = ⎨
⎧θ xθ −1
⎩0
0 < x <1 ， θ > 0 为未知参数， X 1 , X 2 , " , X n 为样 其它
y = aebx +ε , ε ~ N (0, σ 2 ) .
9
x = 13.5, y = 3.4, ln x = 2.33, ln y = 1.15 ， ∑ xi2 = 2180.25,
i =1
∑y
i =1 i
9
2 i
= 124.04,
∑ (ln xi )2 = 55.65, ∑ (ln yi )2 = 13.08 ，
F0.05 (1,9) = 5.12, F0.05 ( 2, 6 ) = 5.14, F0.05 ( 3, 6 ) = 4.76, F0.05 ( 4, 6 ) = 4.53, F0.05 ( 2,11) = 3.98, F0.05 ( 3,11) = 3.59, F0.05 ( 4,11) = 3.36, F0.05 ( 6,11) = 3.09 ，
t0.1 (9) = 1.383, t0.05 (9) = 1.833, t0.1 (8) = 1.397, t0.05 (8) = 1.860, z0.1 = 1.28, z0.05 = 1.645 t0.025 (7) = 2.3646 ， t0.05 (7) = 1.8946 ， F0.05 (1, 7) = 5.59 ， t0.025 (9) = 2.2622 ， t0.05 (9) = 1.8331 ，
本，求 θ 的矩估计和极大似然估计。 3. 机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布 N ( μ , σ ) ，机器正常工作时，平均每袋重量 μ 为
2
500 克，标准差 σ 不超过 10 克。某天开工后，为检查其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机 抽取 9 袋，测其净重为 497，507，510，475，484，488，524，491，515。 1)．求均值 μ 和方差 σ 2 的置信度为 90%的左侧、右侧和双侧置信区间； 2)． 从置信区间和假设检验的关系角度分析， 在显著性水平 α = 0.10 下， 这天包装机工作是否正常。
武汉大学 2011－2012 年度上学期研究生公共课 《应用数理统计》期末考试试题
（每题 20 分，共计 100 分） （请将答案写在答题纸上） 1. 设 X 1 , X 2 , " , X n 是来自正态总体 N ( μ , σ ) 的样本, X =
2
1 n 1 n ( X i −X )2 Xi, S2 = ∑ ∑ n i =1 n − 1 i =1
ˆx b
5. 为研究蒸馏水的 PH 值和硫酸铜溶液浓度对化验血清中的白蛋白与球蛋白的影响，对蒸馏水的 PH 值（A）取了四个不同的水平，对硫酸的浓度（B）取了三个不同水平，在不同的组合水平 ( Ai , B j ) 下，各测一次白蛋白与球蛋白之比，对其结果进行运算得以下方差分析表的部分数据： 方差来源 因子 A 因子 B 误差 总和 离差平方和 自由度 均方离差
4. 下表为百货商店销售额 x 与流通费率 y （这是反映商业活动的一个质量指标，指每元商品流转额 所分摊的流通费用）九个商店的有关数据： x─销售额（万元） y─流通费率（%） 假设 y 与 x 之间有关系 1.5 7.0 4.5 4.8 7.5 3.6 10.5 3.1 13.5 2.7 经计算： 16.5 2.5 19.5 2.4 22.5 2.3 25.5 2.2
（1） 求
1
σ
2
∑ ( X i − μ )2 和
i =1
n
1
σ
2
∑(X
i =1
n
i
− X ) 2 的分布；
ˆ12 = k1 （2）若 μ 已知，求 k1 , k2 , k3 使得 σ
n −1 i =1
∑ ( X i − X )2 , σˆ 22 = k2 ∑ ( X i − μ )2 和
i =1 i =1
F值
QA = 5.29 QB = 2.22 QE = 0.26 QT = 7.77
（1） ．填充方差分析表的空白数据； （2） ．检验两个因素不同水平下的化验结果是否有明显差异 (α = 0.05) 。
可能用到的数据（数据中分位数全为上分位数） ：
2 2 2 2 χ 0.95 (9) = 3.325, χ 0.9 (9) = 4.168, χ 0.1 (9) = 14.684, χ 0.05 (9) = 16.919 2 2 2 2 χ 0.95 (8) = 2.733, χ 0.9 (8) = 3.490, χ 0.1 (8) = 13.362, χ 0.05 (8) = 15.507