信号与系统 第9章 信号与系统在生物医学中的应用

四、数值计算方法
1. 问题的提出
2. 等间隔步长数值计算方法
3. 自适应步长数值计算方法
4. 混合数值计算方法(HNCM)
5. HNCM算法的应用
6. 各数值计算方法比较
1. 问题的提出
生物神经网络是一个异常复杂的非线性系统，难以 通过数学的方法求解其非线性时变微分方程组，从而 得到解析表达式，只能采用数值计算的方法得到微分 方程的数值解 。 在数值计算过程中，为保证所需的计算精度，计算 步长必须足够小。 在某特定的数值计算方法中，较小的计算步长可以 得到较高的计算精度，但必然导致较低的计算效率。
神经膜内外的离子浓度分布
1. 神经元生理结构及生化组成
这些离子主要为三种单元素离子，鉀离子(K+)、钠离 • +)、和氯离子(Cl-)以及某些复合离子。其中，正极 子(Na • 性的鉀离子(K+)主要分布在神经膜内，而正极性的钠离子 (Na+)和负极性的氯离子(Cl-)主要分布在神经膜外。 正是由于神经膜内外的这些离子的存在以及它们在膜 内外的浓度分布不同，形成了膜电位。 膜电位的外在特性可分为明显的两个阶段，即静息膜 电位(resting membrane potential) 阶段和动作电位 (action potential) 阶段。静息膜电位为负极性，一般 在-60与-70mV之间，神经细胞在大多数情形下一直处于此 平衡状态。
Vm
E Na g Na E K g K E cl g cl g Na g K g cl
I cl (Vm Ecl ) g cl
静息膜电位为Vm= -60.2mv， 钾离子电流为IK =5.1mA/cm2, 钠离子电流为gNa= -4.68mA/cm2, 氯离子电流为gCl = -0.25mA/cm2。
f REG gbr
f REG 1 gbr
其中：b 为常数 gbr 反映离子浓度 Cion 或第二信使浓度CSM 对膜电导G 增强或衰减的程度
I 2C CIion k1 ( Iion j ) k 2 j 1 D gain Iu p 1 Dmid / C ion I d k 3 C ion dCion CIion I u I d dt c
gK
gNa
gcl
Vm
IK
INa
ICl
其中： gK, EK 分别为钾离子K+的等效电导和静息电位； gNa, Ena 分别为钠离子Na+的等效电导和静息电位； gCl, Ecl 分别为氯离子Cl-的等效电导和静息电位； Vm为神经细胞静息膜电位。
EK
ENa
ECl
(Vm E Na ) g Na (Vm E K ) g K (Vm Ecl ) 0 I Na (Vm E Na ) g Na I K (Vm Ek ) g K
信号与系统在生物医学中的应用
• 利用信号与系统研究生物神经 系统的方法及意义 • 生物神经网络模型及等效电路 • 神经网络的数学建模 • 数值计算方法
一、利用信号与系统研究生物神经 系统的方法
根据实验数据和概念模型建立相应计算模型， 从而逐步理解和推断生物神经系统的生理结构和生化 组成，以及内部作用机理。 •
dCSM is [ MOD]is CSM is dt SM is
第二信使浓度
7. 电导随机特性模型
1 fg ( x ) e 2
( x )2 2
正态分布函数根据提供的四个参数来产生对应的随机序列， 即均值，标准方差，种子值( seed)和更新速率( refresh rate) 。相同的均值和标准方差，由于种子值的不同而产生不同的随 机序列。
•
BNN 数据采集 BNN 数据分析 BNN 等效电路 BNN 数学模型 BNN 数值计算 BNN 信号处理 BNN 仿真输出
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
实验数据与仿真结果相 比较
一、研究生物神经系统的意义
•验证生物神经网络的模型和假设 •系统化和理论化生物神经系统的实验数据 •拓展实验的范围并延伸实验的功能 •探索生物神经系统的未知领域 •为其它学科模拟生物神经网络奠定必要基础 •为其它生物系统的仿真奠定了良好的基础
二、生物神经系统模型及等效电路
•
• 1.神经元生理结构和生化组成
2.静息状态下单个神经元等效电路
3.激励状态下单个神经元等效电路 4.神经网络中神经元等效电路
1. 非线性时变系统--神经元
•
•
神经元生理结构
1. 神经元生理结构及生化组成
神经元生理结构一般由三个主要部分组成，即 细胞体(soma)，轴梢(dendrite)，轴突(axon)。细胞体 • 位于神经元的中心部分，它包含细胞核，轴梢是从 • 细胞核发射出的许多根状物，轴突也是从细胞核发 射出的一根管状纤维。 其中轴梢主要功能是从其它神经元接受电信号 ；细胞体主要功能是积累来自许多轴梢的电位；轴 突的主要功能是传导电信号，并传递电信号至其它 神经元。

仿真系统的计算精度和计算效率是仿真系统的核心 指标。为实现所需精度下的最佳效率，需要设计合适 的计算方法以提高仿真系统的计算精度和效率。
2.等间隔步长数值计算方法
Euler数值计算方法
dy(t ) f (t , y ) dt y (0) a
f(t)
② ③
①
yn1 yn f (tn , yn ) O( )
h
,
4.化学突触电导模型
化学突触电流：
Ics Gcs (v Ecs )
Gcs ( gcs Rcs ) f A t
Gcs ( gcs Rcs ) f Av, t
其中： f(At )是时间依赖性函数
f(Av,t )是时间和电压依赖性函数
5.电突触电导模型
EK
ENa
ECl
I K I Na I cl I C I S
cM
dVm I S I K I Na I cl dt
Ionic conductances
Electrical synapses (es)
+
Chemical synapses (cs)
Gion1
Gion2
Gionm
2
[ln( y)] x ln( A)
[ xk ], [ y k ]
ˆ ˆ ˆ ˆ a , b ln( A)
ˆ ˆ a, b
ˆ 1 b N
1 N 1 ˆ y k a xk N k 0 k 0
N 1
[ x], [ln( y k )]
其中： ˆ ˆ a, b 分别为直线参数a,b的估计； [ xk ], [ y k ] 为实验数据序列对； N 为数据序列的长度。
3.离子电导模型
Iionij Gionij (Vi Eionij )
nr p ij
离子电流：
Gion ij ( gion ij Rion ij ) A (v) Bij (v) f REGq
q 1


Gion ij ( gion ij Rion ij ) A (v ) f REGq
3.离子电导模型
dAij dt
dBij dt


A ij Aij
A
ij
B ij Bij
B
ij
m m , m m
h
dm m m 1 m m m dt
dh h h 1 h h h dt
h h
p ij q 1
nr


Gion ij ( gion ij Rion ij ) m (v) hij (v) f REGq
p ij q 1
nr


dV Cm g L (V E L ) g Na m 3 h (V E Na ) g K n 4 (V E K ) dt
沿着神经元轴突膜(membrane)分布的膜电位是 描述神经元内信息传递的重要物理量。
1. 神经元生理结构及生化组成
•
•
离子(Ion) K+ Na+ Cl-
膜内浓度(Inside Cell) 397 mM/l 49mM/l 48mM/l
膜外浓度(Outside cell) 20mM/l 440nM/l 480mM/l
Ges1
Ges2
Gesn
Gcs1, 1
Gcs1, 2
Gcs1, p
Gcsn, 1
Gcsn, 2
Gcsn, p
CM
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Iex
Ecs1, 1 Eion1 Eion2 Eionm V1 V2 Vn
Ecs1, 2
Ecs1, p
Ecsn, 1
Ecsn, 2
Ecsn, p
神经元等效电路
4.神经系统中神经元等效电路
2
…
t n 1 t n
Error= O( 2)
t1
t2
t3
t
2.等间隔步长数值计算方法
• Midpoint 数值计算方法
dy(t ) f (t , y ) dt y (0)Βιβλιοθήκη a电突触电流：•
Ies ik ( ges ik Res ik )(vi vk )
其中： ges 是最大的电导 是电突触电导的随机波动 Res 是突触前神经元(presynaptic neuron)的膜电位