网络分析与综合1
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④
4 5 3 6
①
2
③
②
1
1 0 1 1 1 0 un1 0 1 0 un 2 1 0 0 u 0 0 1 n 3 0 1 1
u1 u 2 u3 u4 u 5 u6
l3
图1-5 基本回路
扩展到全部支路 电压便得
u1 1 0 0 u 0 1 0 u1 2 0 0 1 u3 u2 0 1 1 u u 4 1 1 1 3 u5 1 1 0 u6
1, 当支路 j从节点i联出； aij 1，当支路 j向节点i联入； 0，当支路 j与节点i不直接相联。
③
6
④
4 5 3
①
2
②
1
0 －1 1 0 1 0 A＝ 0 － 1 1 0 0 － 1 0 0 0 －1 1 1
图1-1 (b) 网络线图
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
现代电路分析与综合
• 主讲教师：齐超
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
• 第一章 网络图论与网络方程
本章是通过线图既点和线联结而成的几何图形，抽象 模拟比较复杂的电网络，从而对形象直观的线图性质进行 研究，得到各种系统的分析综合方法。
c3
4 2
5 3 6 c1
1, 基本割集i包含支路 j，且二者方向相同； cij －1，基本割集i包含支路 j，但二者方向相反； 0，基本割集i不包含支路 j。
c2
1
图 1-4 基本割集
1 0 0 0 1 1 C 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
基尔霍夫定律表达成基本割集矩阵形式 对图1-4所示的基本割集列写KCL方程，并表达成矩阵形式
c3
4 2
5 3 6 c1
c2
1
图 1-4 基本割集
i1 i i 2 1 0 0 0 1 1 流出割集C1 0 0 1 0 1 1 1 i3 0 i i 流出割集C2 4 0 0 0 1 1 1 0 i i5 流出割集C3 i 6
图1-5 基本回路
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
下面将基尔霍夫定律表达成基本回路矩阵形式
对图1-5所示的基本回路列写KVL方程，并表达成矩阵形式
u1 u 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 u3 u 4 1 1 0 0 0 1 u5 u6
3 割集(cut-set)
1) 是连通图的一个支路集合； 2)若移去此集合中全部支路， 则图变成两个分离的部分； 3) 若少移去该集合中的任一支 路，则剩下的图仍是连通的
4 4 3 2 1 (a) 1 (b) (c) (d) 6 2 3
①
2 4 3 6
④
5
③
②
1
5
①
4
5 3 6
支路集合{1,2,4}、{1,3,4,6}是割集； 支路集合{2,3,5}、 {3,4,5,6}不是割集。
变换得
u 4 u 2 u3
u5 u1 u 2 u3
u 6 u1 u 2
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
1.2.3 基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式 基本回路矩阵(fundamental loop matrix):描述基本回路与各 支路的关联关系，用B表示。B的行对应基本回路、列对应支 路，B 是 bl b 矩阵，其元素为
①
2
②
1
2
c2
树支1、2、3分别对应 基本割集C1、C2、C3
1
图 1-4 基本割集
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
有了割集的概念，基尔霍夫电流定律便可表述成：集中参 数电路中，流入任意割集各支路电流的代数和恒等于零。 变换得 i1 i5 i6 割集 C1： i1 i5 i6 0 c
推广，设I表示支路电流列矢量，则基尔霍 夫电流定律的基本割集矩阵形式是
CI＝0
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
基尔霍夫电压定律 对图1-5所示的基本回路列KVL方程并写成矩阵形式
4
5
l1
2
3
l2
6
0 1 1 u1 u4 1 1 1 u u 2 5 1 1 0 u3 u6
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
§1.1 基本概念 1 网络线图(linear graph)
④
4 3 5
4
④
5 3 6
①
2 6
③
①
2
③
②
1
②
1
图1-1 (a) 电路图
图1-1 (b) 网络线图
当只用点（节点）和线（支路）抽象出的与原电网络具有 相同联结方式的几何图形，它更突出体现了电路的结构特 征，得对应的线图如图1-1(b)所示 。
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
2 树(tree)
1)连通子图; 2)包含全部节点; 3)不形成回路
4
④
5 3 6
①
2
③
②
1
树支数:
bt n 1
连支数:
bl b (n 1)
图1-2 连通图及其部分树
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
④
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③
5
①
2
l1
2
3
l2
6
②
1
l3
树支1 2 3，对应连支4、5、6 的 3 个基本回路分别 l1、l2、l3
、 、
图1-5 基本回路
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4
5
回路l1
u 4 u3 u 2 0
u5 u1 u 2 u 3 0
c3
4 2
5 3 6 c1
0 1 1 i4 i1 1 1 1 i i 5 2 1 1 0 i3 i6
扩展到全部支路电流，则是
0 －1 －1 1 0 0 i1 1 －1 i 1 1 i4 2 1 0 i3 i5 0 0 i4 i 1 0 6 i5 0 1 i6
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关联矩阵的基尔霍夫定律方程 对图1-1所示线图的独立节点①、②、③列KCL方程并表达 成矩阵形式为
④
4 5 3 6
①
2
③
②
1
i1 i 2 0 0 －1 1 0 1 0 0 －1 1 0 0 －1 i3 i 0 4 1 0 0 0 － 1 1 0 i5 i6
3
4 2
5 3 6 c1
割集 C2： i2 i4 i5 i6 0 割集 C3： i3 i4 i5 0
i2 i4 i5 i6
i3 i4 i5
c2
基本割集的KCL方程是一组独立方程, 方 程的数目等于树支数 (n 1) 可见，树支电流可以表达成连支电流的线性 组合。在全部支路电流中，连支电流是一组 独立变量，个数等于连支数 bl (b n 1)
4
5
l1
2
3
l2
6
l3
u 回路l1 u 回路l2 u l3 回路
0 0 0
图1-5 基本回路
BU＝0
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对图1-4所示的基本割集依次列写KCL方程并写成矩阵形式得
图1-1 (b) 网络线图
推广，b条支路，n个节点，第n号节点为参考节点，支路电压 和节点电压列矢量分别记作 U [u1 u 2 ub ]T U n [un1 un 2 un,n1 ]T 则基尔霍夫电压定律的关联矩阵形式是 A T U n U
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c2
1
图 1-4 基本割集
连支电流列矢量为
I l [il1 il 2 il ,bΒιβλιοθήκη Baidu ]T
则基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为 B T I l I
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
1.2.4 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式 基本割集矩阵(fundamental cut-set matrix) ：基本割集与 各支路的关联关系，用C表示。矩阵的行对应基本割集， 列对应支路，其元素为
u 6 u 2 u1 0
l1
2
3
l2
6
回路l2
回路 l3
l3
图1-5 基本回路
对基本回路列写的基尔霍夫电压定律方 程是一组独立方程，方程的数目等于连 支数 bl b (n 1) 说明连支电压可以用树支电压的线性组合 表示。在全部支路电压中，树支电压是一 组独立变量，个数等于树支数 (n 1) 取基本回路是列写独立KVL方程的一个充 分非必要条件 。
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
§1.2独立的基尔霍夫定律方程
1.2.1 独立的基尔霍夫电流定律方程 1 基本割集(fundamental cut-set) 对线图任选一树，取一树支和若干必要连支做出的单树 支割集，其方向规定为所含的树支方向。
④
4 5 3 6
c3
4
③
5 3 6 c1
1, 基本回路i包含支路 j，且二者方向相同； bij －1，基本回路i包含支路 j，但二者方向相反； 0，基本回路i不包含支路 j。
4
5
l1
2
3
l2
6
l3
l1 0 1 1 1 0 0 B l2 1 1 1 0 1 0 l3 1 1 0 0 0 1
推广，设树支电压列矢量为 U t [ut1 ut 2 ut ,bt ]T 则基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式是 C T U t＝U
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
1.2.5 基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式
关联矩阵(incidence matrix)：表示电路的节点、支路及其联 结关系，用A表示。对于n个节点b条支路的线图，行对应n-1 个节点，列对应支路，元素为
1
图 1-4 基本割集
基本割集列出的(n-1)个KCL方程只是保证独立的充分非必要条件
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
1.2.2 独立的基尔霍夫电压定律方程 基本回路(fundamental loop) 对线图任选一树，取一条连支和若干必要树支形成的单连 支回路，其方向规定为所含的连支方向
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
④
4 5 3 6
①
2
③
②
1
图论的观点，线图是节点和支路组成的集合，其中每 条支路的两端都联到相应的节点上，常用符号G表示。 子图(subgraph) ： 联通图(joint graph)： 回路(loop)： 平面图(planar circuit)： 有向图(directed graph) ：
图1-1 (b) 网络线图
推广，将b个支路电流写成支路电流 列矢量 I [i1 i2 ib ]T 则基尔霍夫电流定律的关联矩阵形式为 AI＝0
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
基尔霍夫电压定律 选图1-1的④号节点为参考点，用节点电压之差表示支路电 压，并写成矩阵形式
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①
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③
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1 0 1 1 1 0 un1 0 1 0 un 2 1 0 0 u 0 0 1 n 3 0 1 1
u1 u 2 u3 u4 u 5 u6
l3
图1-5 基本回路
扩展到全部支路 电压便得
u1 1 0 0 u 0 1 0 u1 2 0 0 1 u3 u2 0 1 1 u u 4 1 1 1 3 u5 1 1 0 u6
1, 当支路 j从节点i联出； aij 1，当支路 j向节点i联入； 0，当支路 j与节点i不直接相联。
③
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0 －1 1 0 1 0 A＝ 0 － 1 1 0 0 － 1 0 0 0 －1 1 1
图1-1 (b) 网络线图
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现代电路分析与综合
• 主讲教师：齐超
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
• 第一章 网络图论与网络方程
本章是通过线图既点和线联结而成的几何图形，抽象 模拟比较复杂的电网络，从而对形象直观的线图性质进行 研究，得到各种系统的分析综合方法。
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5 3 6 c1
1, 基本割集i包含支路 j，且二者方向相同； cij －1，基本割集i包含支路 j，但二者方向相反； 0，基本割集i不包含支路 j。
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1
图 1-4 基本割集
1 0 0 0 1 1 C 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
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基尔霍夫定律表达成基本割集矩阵形式 对图1-4所示的基本割集列写KCL方程，并表达成矩阵形式
c3
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1
图 1-4 基本割集
i1 i i 2 1 0 0 0 1 1 流出割集C1 0 0 1 0 1 1 1 i3 0 i i 流出割集C2 4 0 0 0 1 1 1 0 i i5 流出割集C3 i 6
图1-5 基本回路
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下面将基尔霍夫定律表达成基本回路矩阵形式
对图1-5所示的基本回路列写KVL方程，并表达成矩阵形式
u1 u 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 u3 u 4 1 1 0 0 0 1 u5 u6
3 割集(cut-set)
1) 是连通图的一个支路集合； 2)若移去此集合中全部支路， 则图变成两个分离的部分； 3) 若少移去该集合中的任一支 路，则剩下的图仍是连通的
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③
②
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支路集合{1,2,4}、{1,3,4,6}是割集； 支路集合{2,3,5}、 {3,4,5,6}不是割集。
变换得
u 4 u 2 u3
u5 u1 u 2 u3
u 6 u1 u 2
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1.2.3 基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式 基本回路矩阵(fundamental loop matrix):描述基本回路与各 支路的关联关系，用B表示。B的行对应基本回路、列对应支 路，B 是 bl b 矩阵，其元素为
①
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②
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树支1、2、3分别对应 基本割集C1、C2、C3
1
图 1-4 基本割集
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有了割集的概念，基尔霍夫电流定律便可表述成：集中参 数电路中，流入任意割集各支路电流的代数和恒等于零。 变换得 i1 i5 i6 割集 C1： i1 i5 i6 0 c
推广，设I表示支路电流列矢量，则基尔霍 夫电流定律的基本割集矩阵形式是
CI＝0
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基尔霍夫电压定律 对图1-5所示的基本回路列KVL方程并写成矩阵形式
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2
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0 1 1 u1 u4 1 1 1 u u 2 5 1 1 0 u3 u6
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§1.1 基本概念 1 网络线图(linear graph)
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①
2
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②
1
②
1
图1-1 (a) 电路图
图1-1 (b) 网络线图
当只用点（节点）和线（支路）抽象出的与原电网络具有 相同联结方式的几何图形，它更突出体现了电路的结构特 征，得对应的线图如图1-1(b)所示 。
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
2 树(tree)
1)连通子图; 2)包含全部节点; 3)不形成回路
4
④
5 3 6
①
2
③
②
1
树支数:
bt n 1
连支数:
bl b (n 1)
图1-2 连通图及其部分树
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④
4 5 3 6
4
③
5
①
2
l1
2
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6
②
1
l3
树支1 2 3，对应连支4、5、6 的 3 个基本回路分别 l1、l2、l3
、 、
图1-5 基本回路
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4
5
回路l1
u 4 u3 u 2 0
u5 u1 u 2 u 3 0
c3
4 2
5 3 6 c1
0 1 1 i4 i1 1 1 1 i i 5 2 1 1 0 i3 i6
扩展到全部支路电流，则是
0 －1 －1 1 0 0 i1 1 －1 i 1 1 i4 2 1 0 i3 i5 0 0 i4 i 1 0 6 i5 0 1 i6
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关联矩阵的基尔霍夫定律方程 对图1-1所示线图的独立节点①、②、③列KCL方程并表达 成矩阵形式为
④
4 5 3 6
①
2
③
②
1
i1 i 2 0 0 －1 1 0 1 0 0 －1 1 0 0 －1 i3 i 0 4 1 0 0 0 － 1 1 0 i5 i6
3
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5 3 6 c1
割集 C2： i2 i4 i5 i6 0 割集 C3： i3 i4 i5 0
i2 i4 i5 i6
i3 i4 i5
c2
基本割集的KCL方程是一组独立方程, 方 程的数目等于树支数 (n 1) 可见，树支电流可以表达成连支电流的线性 组合。在全部支路电流中，连支电流是一组 独立变量，个数等于连支数 bl (b n 1)
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u 回路l1 u 回路l2 u l3 回路
0 0 0
图1-5 基本回路
BU＝0
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对图1-4所示的基本割集依次列写KCL方程并写成矩阵形式得
图1-1 (b) 网络线图
推广，b条支路，n个节点，第n号节点为参考节点，支路电压 和节点电压列矢量分别记作 U [u1 u 2 ub ]T U n [un1 un 2 un,n1 ]T 则基尔霍夫电压定律的关联矩阵形式是 A T U n U
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图 1-4 基本割集
连支电流列矢量为
I l [il1 il 2 il ,bΒιβλιοθήκη Baidu ]T
则基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为 B T I l I
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1.2.4 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式 基本割集矩阵(fundamental cut-set matrix) ：基本割集与 各支路的关联关系，用C表示。矩阵的行对应基本割集， 列对应支路，其元素为
u 6 u 2 u1 0
l1
2
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回路l2
回路 l3
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图1-5 基本回路
对基本回路列写的基尔霍夫电压定律方 程是一组独立方程，方程的数目等于连 支数 bl b (n 1) 说明连支电压可以用树支电压的线性组合 表示。在全部支路电压中，树支电压是一 组独立变量，个数等于树支数 (n 1) 取基本回路是列写独立KVL方程的一个充 分非必要条件 。
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§1.2独立的基尔霍夫定律方程
1.2.1 独立的基尔霍夫电流定律方程 1 基本割集(fundamental cut-set) 对线图任选一树，取一树支和若干必要连支做出的单树 支割集，其方向规定为所含的树支方向。
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5 3 6 c1
1, 基本回路i包含支路 j，且二者方向相同； bij －1，基本回路i包含支路 j，但二者方向相反； 0，基本回路i不包含支路 j。
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l1 0 1 1 1 0 0 B l2 1 1 1 0 1 0 l3 1 1 0 0 0 1
推广，设树支电压列矢量为 U t [ut1 ut 2 ut ,bt ]T 则基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式是 C T U t＝U
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1.2.5 基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式
关联矩阵(incidence matrix)：表示电路的节点、支路及其联 结关系，用A表示。对于n个节点b条支路的线图，行对应n-1 个节点，列对应支路，元素为
1
图 1-4 基本割集
基本割集列出的(n-1)个KCL方程只是保证独立的充分非必要条件
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1.2.2 独立的基尔霍夫电压定律方程 基本回路(fundamental loop) 对线图任选一树，取一条连支和若干必要树支形成的单连 支回路，其方向规定为所含的连支方向
HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY
④
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①
2
③
②
1
图论的观点，线图是节点和支路组成的集合，其中每 条支路的两端都联到相应的节点上，常用符号G表示。 子图(subgraph) ： 联通图(joint graph)： 回路(loop)： 平面图(planar circuit)： 有向图(directed graph) ：
图1-1 (b) 网络线图
推广，将b个支路电流写成支路电流 列矢量 I [i1 i2 ib ]T 则基尔霍夫电流定律的关联矩阵形式为 AI＝0
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基尔霍夫电压定律 选图1-1的④号节点为参考点，用节点电压之差表示支路电 压，并写成矩阵形式