古塔变形问题研究

从图 ｌ 和图 ２可以发现 ， 古塔每层 ８ 个观测
。
＝
２
扭 ｌ Ｉ 塔各层的中心坐标作 为基础 ， 拟合 出一条直线 ， ２
ｌ ｌ ＝
点近似在一平面上 ， 且各截面近似于一个正八边 然后将该拟合直线投影 到平面上 ， 以拟合直线与 形， 因而可以用每层竖坐标的平均值作为中心位 ∑其在地 面上投影 的夹 角作 为古塔 的倾 斜角 。 ∑ 置 的竖坐标 ， 再将 各层 的 ８个 观测 点 投 影 到该 层 通过 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ编 程 ， 最 终可 以得 到 ４年古 塔 的倾 ＋ 斜角 （ ＋ 见 表 ２ ） 。 水平面上， 利用最ｄ ￣ － － ＂ 乘法拟合一个 圆 ， 则该
关键词 ： 古塔 ； 倾斜 ； 弯曲 ； 扭 曲； 最 小二 乘
中图分类号 ： Ｔ Ｕ １ ９ ６
文献标志码 ： Ａ
文章编 号 ： １ ６ ７ ４— ９ ４ ９ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ３—０ １ ２ ０— ０ ３
作 为 中华 民族 伟 大 遗 产 之 一 的 古 塔 是 国 家 重点 文 物 保 护 对 象 。然 而 ， 由于 年 代 久 远 ， 且 长 时 间受 自重 、 风力、 气 压、 地震 、 台风 等 因 素 的 影
响， 古塔本身便产生倾斜 、 弯曲、 扭 曲等变形 。随 着科 技 的不 断发 展 ， 如何 更好地保护 古塔 ， 成 为
当代 人 们 的重 要 责 任 。而 掌 握 古 塔 变 形 的 相 关 情况 及趋 势 ， 是对 古塔 进行 保 护 的关 键所 在 。 最 小 二乘 法 － ｌ 通 过 最 小 化 误 差 的 平 方 和 寻 找 数据 的最 佳 函数 匹配 。利 用 最 小 二 乘 法 可 以 简 便 地求 得 未 知 的数 据 ， 并 使 得 这 些 数 据 与 实
析， 从 而对 该 塔 的 各 种 变 化 情 况 及 变 化 趋 势 进
行研究 。 １ 模 型假 设
图 １ 古 塔 俯 视 图
（ １ ） 假 设该 古塔 在 刚建 立 初 期 每层 都 是 正 八 边形 ， 且该 塔 的每层 中心点 在 同一垂 线上 ；
（ ２ ） 假设该 古 塔在建 成 时， 无任 何倾 斜、 扭 曲、 弯曲等变形情况 ； （ ３ ） 不 考 虑古塔 地 基 的影 响 ， 且 各 种 地震 、 台 风等 对古 塔建 立 与求解
２ ． １ 中心 坐标 的确 定方 法及模 型求解 结合 附件 １中给出的古塔各层 观测点 的个 数 ，
根据 ２ ０ ０ ９年测 得 的完整 数 据 ， 用 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ将 其数 据用 三维 图像 的形 式描绘 出来 （ 见图 １ 、 图２ ） 。
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５—０ １—１ ９
图 ２ 古塔 的 立体 图
基金项 目： 陕西省教育厅科研计 划项 目《 机 电耦合 系统动力学计算 理论与控制及其应用》 （ １ ２ Ｊ Ｋ １ ０ ７ ７ ， １ ２ Ｊ Ｋ １ ０ ７ ３ ） ； 西 京学院科研基 金 项 目《 基于风险评估的土地问题 研究 》 （ Ｘ Ｊ １ ４ ０ ２ ２ ０ ， ） 【 Ｊ １ ３ ０ ２ ４ ４ ， Ｘ ． １ １ ０１ ４ １ ６ ） 作者简介 ： 刘琦 （ １ ９ ８ ６ 一） ， 男， 陕西西安人 ， 硕士 ， 主要从事数学建模理论及应用研究 ； 惠小健（ １ ９ ７ ９ 一） ， 男， 陕西西安人 ， 讲师， 硕士 ， 主要从事微分方程理论及应用研究 ； 李永新 （ １ ９ ７ ５ 一） ， 男， 陕西宝鸡人 ， 讲师 ， 硕士 ， 主要从事微分方程理论及应用研究。
均值 作为 中心点的 竖坐标 ， 再 以最小二乘法为基础拟合 圆 ， 以圆心作为 中心点 的横 、 纵 坐标 ， 进 而求 解 出每层 中心 坐标。 利用 中心 坐标 ， 计 算古塔倾 斜度曲率扭 曲夹角等指标 ， 分析古塔 变形情况 ， 用 统计回 归建立 古塔各种 变形 的预测 方程模
型。
古 塔 变 形 问 题研 究
刘 琦 惠小健 李永新
（ 西京学院 应用理 学系， 陕西 西安 ７ １ ０ １ ２ ３ ）
摘 要： 通 过 对 某 古塔 的 ４年数 据 进 行 分 析 和 处 理 ， 将 各 层 ８个 观 测 点投 影 到 一 水 平 面上 ， 以各 观 测 点 的 竖 坐 标 的
， Ｌ ／ 【
Ｘ
一
圆的圆心坐标 即为 中心坐标 的横、 纵坐标 。利用 最小二乘法拟合圆具体如下。
首先 ， 依 据 最 小 二 乘 法 原 理 构 造 一个 函 数：
８
．
：
表２
：
古塔的倾斜角
＋
＋
＋
＋
＋
＋ 从表 ２ 发现 ， 古塔的倾斜角越来越小 ， 即古塔
黑河学院 学报 ２ ０ １ ５年 第 ３期 （ ２ ０ １ ５年 ６月）
Ｊ ０ Ｕ Ｒ Ｎ Ａ Ｌ ０ Ｆ Ｈ Ｅ Ｉ Ｈ Ｅ Ｕ Ｎ Ｉ Ｖ Ｅ Ｒ Ｓ Ｉ Ｔ Ｙ
自然 科 学研 究
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ４— ９ ４ ９ ９ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ３ ． ０ ２ ９
际数据 之 间误 差 的平 方 和 为 最 小 。 向量 是 空 间
解 析 中的 重 要 概 念 ， 通 过 向量 可 以 很 好 地 刻 画 两 条 线 之 间 的夹 角 问题 。本 文 利 用 最 小 二 乘 法 及 向量 的 方法 ， 通过 ２ ０ １ ３年 全 国大 学 生 数 学 建 模 ｃ 题 中 古 塔 的 四 次 观 测 数 据 进 行 整 理 和 分
Ｆ
ｑ＝ ｍ ｉ ｎ ∑（ ＋ ｙ ２ ＋ Ｄ ｘ ＋ Ｅ ｙ ； ＋ Ｆ ） ， ｉ ＝１ ， ２ ， …， ８