直线与椭圆的位置关系

x y 1 相交于 AB 两点， 是的 AB 中 c
点．若 AB 2 2 ，
oc 斜率为
求椭圆方程．
2 （Ｏ为原点）， 2
x 2 作业：1、已知椭圆 y 1 4
2
（1）当m为何值时，直线 l : y x m 与椭圆相交、相切、 相离？ （2）直线 l : y x m 过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B 两点，求弦AB的长。
x2 y2 1 上的点到直线 x 2 y 2 0 2.求椭圆 16 4
ex:中心在原点,一个焦点为 F (0,5 2 )的椭圆截直线 y 3x 2 所得弦的中点横坐标为 1 ，求椭圆的 2 方程．
直线与椭圆的位置关系（3）
x y ex1.已知F1 , F2是椭圆 1的左, 右焦点, k 2 k 1 1 弦AB过点F1，若ABF2的周长是8，求e.
x y 2、y=kx+1与椭圆 1 恰有公共点，则m的 5 m 范围（ C ）
A、（0，1） B、（0，5 ） C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） D、（1，+ ∞ ）
2
2
例１：当m取何值时直线y=x+m与椭圆 4 x2 y 2 16 相交，相切，相离？
解：将y=x+m代入 整理得5x2+2mx+m2-16=0
1 则AB两点的直线可设为：y x b 2
1 y 2 x b 由 2 x y2 1 4 3
消y得 : x2 bx b2 3 0
2 b 2
b2 4(b2 3) 3b2 12 0 设两对称点A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
2
2
三、中点弦问题
例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1）且 被这一点平分的弦所在的直线方程.
法1：联立直线与椭圆， 利用韦达定理建立k的方 程
y2 -4 M(2,1) 4
0
x
法2：点差法（将两个点代 -2 2 入椭圆再相减）2 x y 1 练. 例1.椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求 16 4 2 的思想方法． A、B两点，求线段AB的中点坐标。
1.已知过点 0,2)的直线l与椭圆x 2 y 1交于点A, B, (
2 2
且满足OA OB，求直线l的方程
2. 已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F， (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长. (2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程. 3:已知椭圆 mx2 ny2 1 与直线
直线与椭圆的位置关系（1）
直线与椭圆的位置关系
• 围绕直线与椭圆的公共点展开的，将直线方程与 椭圆方程组成方程组，消元后得到一个一元二次 方程， • 当Δ＝0时，直线与椭圆相切； • 当Δ＞0时，直线与椭圆相交； • 当Δ＜0时，直线与椭圆相离。
一、
直线与椭圆的位置关系的判断
2 2
ex1.判断直线y=x+1与椭圆 4 x y 16 的位置关系？
x y ex2.已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左焦点为F , a b 右顶点为A, 点B在椭圆上，且 x轴，直线AB BF 交y轴于点P, 若 AP 2 PB, 求e
2 2
2
2
2
1 2
ex3.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满 足 MF1.MF2 0的点M总在椭圆的内部，求 的 e 范围。
2
2
分析： 解：
设直线m平行于l， 则lm 可写成：x 5 y k 0 4
l m
.
P
x
o
思考：
2
x 2 已知椭圆 y 1上点P( x, y ), 求x 2 y的最值 2
小 结: 1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件： 当Δ＝0时，直线与椭圆相切； 当Δ＞0时，直线与椭圆相交； 当Δ＜0时，直线与椭圆相离。 思考：如何判断点和椭圆的位置关系？
思考:
x2 y2 试确定实数 m 的取值范围,使得椭圆 1 4 3 上存在关于直线 y 2 x m 对称的点.
1 分析：存在直线y x b与椭圆交与两点， 2 且两交点的中点在直线y 2 x m上。
解 : 假设椭圆上存在关于直线y 2 x m对称的两点A, B
2 2
x y 2.过椭圆 1 的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆 13 12 交于A,B两点，求弦长|AB| 通径
x y 2b 椭圆 2 2 1(a b 0)的通径长为： a b a
2
2
2
x y 例 1:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 1 的左、右 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点， 4 求 △F1 AB 的面积.
2 2
d
4 x0 5 y0 40

4 x0 5 y0 40 41
l
且
m
x0 2 25

y0 2 9
m
1
作出直线 m 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
.
P
x y 1 ,直线 4 x 5 y 40 0 ,椭圆 例 2.已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多 少? y
4m 2 20 (m 2 16 ) 16 m 2 16 20 16 (m 2 20 )
当Δ 0时, 即 2 5 m 2 5 时, 直线与椭圆相交
当Δ 0时,
即m 2 5 时,直线与椭圆相切
当 0时，即m 2 5或m 2 5时，直线与椭圆相离
的最大距离直线与椭圆Βιβλιοθήκη 位置关系（2）二、弦长问题
设 因
A（x1,y1） B（x2,y2） 直线 l
的方程：y kx b
A（x1,y1）
A（x1,y1）， B（x2,y2） 在直线
y1 kx1 b
l 上 y2 kx2 b
y1 y2 (kx1 b) (kx2 b)
通 法
1 1 2 y1 y2 k
设而不求
练习1.已知直线y=x-
1 2
与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位
置关系？若相交，求所得的弦长是多少,交点坐标?
解：联立方程组
因为
1 y x 2
消去y
x2+4y2=2
5x 2 4x 1 0 ----- (1)
∆>0
所以，方程（１）有两个根，则原方程组有两组解….
x2 y2 6 例3.已知椭圆 2 2 1(a b 0)的离心率e , a b 3 3 过点A(0， b), B(a,0)的直线与原点的距离为 。 2 （ ）求椭圆的方程 1 椭圆交于CD两点，问：是否存在 的值，使以 k CD为直径的圆过E点？请说明理由。
（2）已知定点E (1,0), 若直线y kx 2(k 0)与
=4b -4(a b)(b 1) 0 ab a b
2
M
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
o
B
x
2b b 1 b a x1 x2 , x1 x2 AB中点M ( , ) ab ab ab ab a 2 又 AB 1 k 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 k MO b 2a b 2 1 2 2b 2 b 1 a ,b 2 2 2 ( ) 4 ab ab 3 3
2 2
x y ex4.已知椭圆 2 2 1(a b 0), F1，F2分别 a b 是它的左，右焦点，如 果在椭圆上存在一点
2 (0, ) 2
1 M ( x0 , y0 )，使得F1MF2 ，求e的范围。 [ ,1) 3 2

5. 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆 于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点 恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率 _________ 3 1
x y 1 ,直线 4 x 5 y 40 0 ,椭圆 例 2.已知椭圆 25 9 上是否存在一点,它到直线 l 的距离最小?最小距离是 多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.
2
2
4 5 尝试遇到困难怎么办?
弦长公式:
k ( x1 x2 )
B（x2,y2）
|AB| = ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( x1 x2 ) 2 k ( x1 x2 ) 2
(1 k 2 )( x1 x2 ) 2
1 k x1 x2
2
(1 k 2 ) ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2
y M
F1
o
F2
x
x2 y2 变式. 设M点是椭圆 a 2 b 2 1上一点， F1、F2为
椭圆的左右焦点，如果∠MF1F2=600， ∠MF2F1=300, 求此椭圆的离心率
例.已知椭圆的焦点 F1 (3,0), F2 (3,0) ， 且和直线
x y 9 0有公共点,求其中长轴最短的椭圆方程
x1 x2 b
1 3 y1 y2 ( x1 x2 ) 2b b 2 2 b 3b AB中点( , )在直线y 2 x m上 2 4 3b b b 4 m 2 m 4 2 1 1 m 2 4m 2 2 2
例4、如图，已知椭圆
ax by 1与直线x+y-1=0交