两圆相减得到公共弦方程的原理
两个圆公共弦所在直线方程公式
两个圆公共弦所在直线方程公式公共弦是两个相交圆的弦，并且它被两个圆所截成的弧等长。
设两个圆的圆心分别为O1和O2，半径分别为r1和r2、假设公共弦交点为A和B，其中A在圆O1上，B在圆O2上。
我们可以通过两个圆的性质推导出公共弦所在的直线方程。
首先，由于A在圆O1上，所以OA的长度等于半径r1，即OA=r1、同样地，OB的长度等于半径r2，即OB=r2另外，根据公共弦的性质，可以得出两个圆之间的距离等于公共弦的长度。
设两个圆之间的距离为d，则有d=AB。
此外，根据余弦定理，可以得出以下关系式:d^2 = r1^2 + r2^2 - 2 * r1 * r2 * cos(θ)其中，θ是两个圆心之间的夹角。
由于两个圆相交，夹角θ小于180度。
根据这些关系式，我们可以得到公共弦所在直线的一般方程。
首先，将点A的坐标设为(x1,y1)，点B的坐标设为(x2,y2)。
由于OA=r1，所以坐标(x1,y1)满足以下关系式:(x1-O1x)^2+(y1-O1y)^2=r1^2化简为:(x1-O1x)^2+(y1-O1y)^2-r1^2=0同理，坐标(x2,y2)满足以下关系式:(x2-O2x)^2+(y2-O2y)^2-r2^2=0另外，由于AB=d，所以坐标(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离满足以下关系式:(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=d^2将公共弦的长度d用上面的余弦定理关系式代替，可以得到:(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 = r1^2 + r2^2 - 2 * r1 * r2 *cos(θ)通过以上关系式，可以得到公共弦所在直线的一般方程。
为了具体化上述方程，我们可以假设圆O1的圆心坐标为(O1x,O1y)，半径为r1；圆O2的圆心坐标为(O2x,O2y)，半径为r2、此外，我们可以通过向量求解得到θ的值。
具体求解过程如下：1.计算向量OA=(x1-O1x,y1-O1y)和向量OB=(x2-O2x,y2-O2y)的点积。
两圆的公共弦(新高二)
两圆的公共弦（新高二）如果两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则对应一条公共弦AB，将这两圆的方程相减可以得到(D1−D2)x+(E1−E2)y+(F1−F2)=0,因为两圆相交，所以D1−D2与E1−E2不同时为零，从而得到的方程表示一条直线，且两圆的公共点A,B的坐标满足圆的方程，故必满足直线的方程，从而知A,B在此直线上，故此直线就是两圆的公共弦所在的直线．结论如果两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则公共弦所在直线的方程为(D1−D2)x+(E1−E2)y+(F1−F2)=0.由这个结论我们可以给出“求圆外一点对应的切点弦方程”的另一个方法：过圆C:(x−a)2+(y−b)2=r2外一点P(x0,y)作圆的两条切线PA,PB，其中A,B为切点，求切点弦AB所在的直线方程．解因为∠PAC=∠PBC，所以P,A,C,B四点共圆，且PC为直径，所以这四点所在的圆的方程为(x−a)(x−x0)+(y−b)(y−y)=0,记此圆为圆M．则圆C与圆M的公共弦就是切点弦，两圆的方程相减即得切点弦所在直线的方程(x0−a)(x−a)+(y−b)(y−b)=r2.注上面的过程中用到：以(x1,y1),(x2,y2)为直径的圆的方程为(x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0,这个结论也是圆中常见的结论，很容易证明．例题一(1)圆C1:x2+y2+4x+1=0及圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦长为_____，以公共弦为直径的圆的方程为______________；(2)若圆(x−a)2+(y−b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长，则a,b满足的关系是__________________．分析与解(1)两圆相减得x−y=0，第二个圆的圆心(−1,−1)恰在公共弦上，所以公共弦为第二个圆的直径，从而知公共弦长为2，以公共弦为直径的圆的方程为x2+y2+2x+2y+1=0，(2)两圆相减得公共弦所在直线的方程为(2+2a)x+(2+2b)y−(a2+1)=0,由题意知，公共弦始终为第二个圆的直径，即第二个圆的圆心(−1,−1)始终在公共弦上，代入整理得a2+2a+2b+5=0.例题二圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2−8x+8=0的公共弦为AB，则四边形OACB的面积为_____．21AB=49-4=27, 故公共弦AB=7．又因为AB⊥OC ，所以所求四边形面积S=21⋅OC ⋅AB=27.注“将两个圆的方程相减得到的方程是公共弦方程”的前提是两圆相交．当两圆相切时，方程相减得到的直线为两圆的一条公切线；当两圆相离时，方程相减得到的直线仍然与圆心连线垂直，且两圆的公切线的中点均在直线上．事实上，这条直线是这两个圆的根轴，即这条直线是到两圆的圆幂相等的点的集合（点P对圆O的圆幂定义为PO2−r2，其中r为圆O的半径）．。
两圆公共弦所在直线方程与切线长相等.doc
两圆公共弦所在直线方程与切线长相等四川省筠连县中学邓敬过圆和圆交点的圆系方程：（为参数，且）.当时，上式可化为过两圆公共弦所在直线方程：【实质】：将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程.下面介绍几个有关公共弦所在直线方程的重要结论，并举例运用，以加深学生对其该知识点的理解和掌握.1.若两圆相交，则方程为它们公共弦所在直线方程.【例1】：（新课标人教版A必修二，P133，习题4.2，A组9题）求圆与圆的公共弦长.【解析】：设两圆交于两点，将两圆方程相减可得公共弦所在直线方程：.再由再由弦长公式得：.当然，此题解法很多，该解法重点体现两圆公共弦所在直线方程的应用，其他解法在这里就不再遨述.同题型还有（新课标人教版A必修二，P144，复习参考题A组4题）求圆与圆的公共弦长.此题解答可参照例1.2.两圆外一动点P，向两相交圆所引切线长相等，则方程是P点的轨迹方程.【例2-1】：圆与圆外一动点P，向两圆所引切线长相等，则动点P的轨迹方程为【解析】：由切线长定理可知：所以P在两圆的公共弦所在直线上.即P点的轨迹为（P在两圆外）.【例2-2】：已知和，在平面上找一点P，过P点引两圆切线并使他们的长都等于.【说明】：圆外一点，则向圆引切线长满足：.【解析】：如图所示，P点是两圆公共弦所在直线与以（或）为圆心，以（或）为半径的圆的交点.∴设，依题意可得：或∴P的坐标是或.【例2-3】：（新课标人教版A必修二，P144，复习参考题，A组6题），已知圆和圆关于直线对称，求直线方程.【解析】：由题意可知两圆相交，对称轴是两圆的中垂线.将两圆方程相减可得到其对称轴方程：.3.一动点P，向两相外切的圆所引切线长相等，则方程是P点的轨迹方程.【例3】：已知与相外切，两圆外一动点P，向两圆所引切线长相等，则P点的轨迹方程.【解析】：如图所示，，∴P点的轨迹方程仍为两圆方程之差,即为：.4.一动点P，向两相外离的圆所引切线长相等，则方程是P点的轨迹方程.两圆外离是将相交两圆的圆心距扩大所致，所以可以进行类比推理.【例4-1】：（07四川理15）、已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是【解析】：：圆心，半径；：圆心，半径．两圆外离.动点的轨迹由两圆方程相减可得：．【例4-2】：（新课标人教版A必修二，P144，复习参考题A组7题）求与圆关于直线对称的圆的方程.【注意】：圆C和直线是相外离，所以对称后的两圆位置关系是外离，但是由于与已知圆共弦的圆不能唯一确定，所以通过类比此题不能用公共弦所在直线方程的思路来处理.【解析】：圆C圆心（），，设所求圆方程为，直线是两圆连心线的垂直平分线.∴∴所求圆的方程为.同类型的题还有（新课标人教版A必修二，P133，习题4.2，A组7题），求与圆C：关于直线L:对称的圆的方程.同学们可以参照例题4-2求解.。
两圆公共弦长公式
两圆公共弦长公式两圆公共弦长公式是用来计算两个相交圆的公共弦长的公式。
在几何学中，一个弦是一条连接圆上两点的线段。
当两个圆相交时，它们会有一个或多个公共弦。
这些公共弦是连接两个圆上相对的点的线段。
通过计算这些公共弦的长度，可以得出两个圆相交的程度。
公共弦长公式的推导涉及一些几何关系和性质。
我们从一个简单的特例开始，即两个半径相等的圆的相交情况。
设这两个圆的半径为r，它们的圆心之间的距离为d。
当两个圆相交时，它们的圆心与弦之间形成一个正三角形。
这个三角形的底边就是两个圆的公共弦，其长度可以用勾股定理计算。
根据勾股定理，正三角形的两腰长相等，即弦的长度为$\sqrt{r^2-(\frac{d}{2})^2}$。
因此，当两个半径相等的圆相交时，它们的公共弦长为$2\sqrt{r^2-(\frac{d}{2})^2}$。
对于两个半径不相等的圆相交的情况，推导过程稍微复杂一些。
我们设其中一个圆的半径为r1，另一个圆的半径为r2，它们的圆心之间的距离为d。
我们可以通过继续使用勾股定理来计算公共弦的长度。
首先，我们将两个圆的圆心连线延长，使得它们相交于一点，构成一个正三角形，其中一个角为90°。
然后，我们可以将相交的两个圆切割成两个扇形，再继续将扇形分成两个三角形。
这样，我们就得到了一个由两个三角形和一个正三角形组成的复合图形。
我们可以用几何关系和性质来计算这个复合图形的面积。
首先，我们计算出这个复合图形的总面积。
总面积等于两个扇形的面积之和加上两个三角形的面积。
扇形的面积可以通过半径和圆心角来计算，而三角形的面积可以通过两条边的长度和它们之间的夹角来计算。
然后，我们将总面积除以一个圆的半径，得到复合图形的长度。
这个长度就是两个圆的公共弦的长度。
因此，当两个半径不相等的圆相交时，它们的公共弦长为$\frac{2}{r1}\sqrt{r1^2-(\frac{d^2-r2^2+r1^2}{2d})^2}+\frac{2}{r2}\sqrt{r2^2-(\frac{d^2-r2^2+r1^2}{2d})^2}$。
如何证明过两圆交点的圆系方程
如何证明过两圆交点的圆系方程过两圆交点的圆系方程的证明可以分为以下几个步骤：一、设定变量和已知条件设两个圆的方程分别为（1）和（2）：（1）x²+ y²+ Dx + Ey + F =0（2）x²+ y²+ Ex + Fy + G =0已知两个圆的交点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2）。
二、求解公共弦方程将两个圆的方程相减，得到公共弦方程：(Dx + Ey + F) -(Ex + Fy + G) =0整理得：(D -E)x + (E -F)y + F -G =0三、求解圆系方程假设所求圆的方程为（3）：（3）x²+ y²+ Ax + By + C =0我们需要找到A、B、C与已知圆（1）和（2）的关系。
将公共弦方程代入圆（1）的方程，得到：x1²+ y1²+ Dx1 + Ey1 + F =0同理，将公共弦方程代入圆（2）的方程，得到：x2²+ y2²+ Ex2 + Fy2 + G =0将上述两个方程相减，得到：(D -E)x1 + (E -F)y1 + F -G =0（4）将公共弦方程代入（4），得到：(D -E)x1 + (E -F)y1 + F -G =0由此可知，A = D -E，B = E -F，C = F -G。
四、证明圆系方程的适用性将A、B、C的表达式代入圆（3）的方程，得到：x²+ y²+ (D -E)x + (E -F)y + (F -G) =0整理得：x²+ y²+ (Dx1 + Ey1 + F -Ex2 -Fy2 -G)x + (Ey1 -Fy2)y + (F -G) =0可以看出，该方程同时包含了两个已知圆的系数，因此，圆（3）与已知圆（1）和（2）共面。
同时，根据已知条件，圆（1）和（2）的交点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），将这两个点代入圆（3）的方程，可得到两个方程：x1²+ y1²+ Ax1 + By1 + C =0x2²+ y2²+ Ax2 + By2 + C =0这两个方程说明，圆（3）经过已知圆（1）和（2）的交点A和B。
两圆相减
两圆方程相减与圆的根轴直线与圆这一章有这么一个内容，那就是关于两圆的位置关系，相信很多同学都有印象：已知两圆的方程，求这两圆的公共弦所在直线的方程，只需要把两个圆的方程相减即可，当然前提是x2和y2系数要一样。
并且若两圆相切，则得到的直线方程就是他们内公切线方程，若两圆半径相等，则得到的直线方程就是他们的对称轴方程：圆O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0两式相减得：L：(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0当两圆相交时，L为相交弦所在直线方程，若相切，则为他们的内公切线方程，若两圆半径相等，则为他们的对称轴方程。
那么，涉及到两圆位置关系的题目，可以先轻易地将相交弦直线方程求出，然后利用直线与圆的位置关系求解。
我们当然是不能停留在“记住”的层面，我们有两个问题摆在这里：1：为什么如此便能求出两圆的公共弦直线方程？2：当两圆相离半径也不相等的时候，按照上面的方法也能得到一条直线L，这时候的直线L与两圆又有什么关系？我们首先看第一个问题，我们首先看到，L的方程是两圆联立得到的方程，所以两圆的两个交点都在L上，而两点已经可以确定一条直线，故L即为公共弦直线的方程。
当两圆相切时，我们可以从极限的角度去看待这个问题，就跟我们第一次接触“导数”的概念一样，切线就是极限状态下的割线，这样相互联系对学生的学习也是很有好处的。
我们也可以从L与两圆的交点个数看：L与圆O1联立方程的解的个数，与圆O1与圆O2联立出的方程的解的个数是一样的，而O1与O2只有一个解，故L与O1也只有一个交点。
如果你愿意，你还可以从圆心到直线距离等于半径这个角度看。
当两个圆半径相等时，我们可以先求出他们的圆心连线方程，然后观察L与此直线的关系，可以发现他们斜率之间的关系：L： (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0O1点坐标=(-D1/2，-E1/2);O2点坐标=(-D2/2,-E2/2),简单计算便知，L与O1O2垂直；O1O2的中点坐标为P=(-(D1+D2)/4,-(E1+E2)/4)，结合D12+E12-4F1=D22+E22-4F2(因为两圆半径相等)，便可知P点在L上，从而证明L为两圆的对称轴。
两个圆的公共弦长公式
两个圆的公共弦长公式
圆的公共弦长计算是数学中的一个重要问题，它可以帮助我们计算出两个圆之间的共同弦长。
在本文中，我们将介绍如何计算两个圆的公共弦长。
首先，我们需要知道的是圆的半径。
假设两个圆的半径分别为r1和r2。
我们还需要计算出两个圆心之间的距离d。
接下来，我们可以使用下面的公式计算两个圆的公共弦长：
公共弦长l = d - r1 - r2
其中，d是两个圆心之间的距离，r1和r2分别是两个圆的半径。
在计算两个圆的公共弦长时，还需要注意以下几点：
1. 如果d<r1+r2，则两个圆有重叠的部分，此时公共弦长l=0。
2. 如果d=r1+r2，则两个圆相切，此时公共弦长l=0。
3. 如果d>r1+r2，则两个圆无交点，此时公共弦长l>0。
综上所述，两个圆的公共弦长可以通过上述公式计算出来，具体值取决于两个圆心之间的距离与两个圆的半径。
两个圆的公共弦长计算是数学中一个重要的问题，它不仅可以帮助
我们计算出两个圆之间的公共弦长，还能帮助我们理解两个圆之间的关系。
有了这些基本的知识，我们就可以更好地理解和计算两个圆的公共弦长。
圆与圆的公共弦方程
圆与圆的公共弦方程1. 嘿，你知道圆与圆的公共弦方程吗？这可是个挺有意思的数学知识呢！就像两个好朋友，它们之间有一条特殊的“纽带”，那就是公共弦。
我记得有一次和同学一起讨论数学作业，就碰到了关于圆与圆公共弦方程的问题。
同学一脸疑惑地问我：“这公共弦方程到底咋找呀？”我笑着说：“别急，咱们一起来探索探索。
”你有没有过这样和同学一起研究难题的经历呢？2. 咱来说说圆与圆的公共弦方程哈。
它就像是一座神秘的桥梁，连接着两个圆。
有一次上数学课，老师讲到这个知识点的时候，打了个比方：“同学们，你们看，这两个圆就像两个独立的小岛，公共弦方程就是那座把它们连接起来的桥，让它们有了联系。
”我一下子就明白了，你觉得这个比喻形象不？后来我和同桌在做练习题的时候，还互相提醒要注意找到这座“桥”呢。
你在学习的时候有没有遇到过让你一下子恍然大悟的比喻呀？3. 圆与圆的公共弦方程啊，我觉得它真的很神奇呢！它就像一个隐藏的宝藏，等待我们去挖掘。
有一回我参加数学小组讨论，大家都在为如何快速准确地求出公共弦方程而发愁。
这时，有个同学灵机一动说：“我们可以把两个圆的方程相减呀，说不定就能找到宝藏（公共弦方程）了。
”大家一试，还真的是这样！那种感觉就像发现了新大陆一样兴奋。
你有没有在学习中体验过这种突然找到解题方法的喜悦呢？4. 你瞧，圆与圆的公共弦方程可不容小觑哦。
它就像是一把钥匙，能打开很多数学问题的大门。
我曾经和好朋友一起准备数学考试，复习到这个知识点的时候，我们互相出题考对方。
我出了一道关于两个相交圆的题目，让他求公共弦方程。
他想了一会儿，就用我们学的方法顺利地解出来了，还得意地说：“这钥匙（公共弦方程）还真好用，一下子就把门（题目）打开了。
”你在考试中有没有遇到过用这个知识点解决问题的情况呢？5. 说说圆与圆的公共弦方程吧。
它真的像一个魔法公式，有着神奇的力量。
我和小组同学们在做一个数学项目的时候，就用到了公共弦方程。
一开始大家都觉得有点复杂，但是当我们深入理解了这个公式后，就发现它能帮我们解决很多关于圆的位置关系的问题。
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两圆相减得到公共弦方程的原理
两圆相减表示两个圆之间进行减法运算。
具体而言，就是将一个圆的方程代入到另一个圆的方程中，进行运算得到一个新的方程，这个新方程描述了两个圆相减所得的公共弦。
假设有两个圆C1和C2，分别由以下方程表示：
C1：(x-a1)² + (y-b1)² = r1²
C2：(x-a2)² + (y-b2)² = r2²
其中，(a1, b1)和(a2, b2)分别是两个圆心的坐标，r1和r2分别
是两个圆的半径。
要得到两个圆相减所得的公共弦，可以将C1的方程代入C2
的方程中，即：
(x-a2)² + (y-b2)² = r2² - [(x-a1)² + (y-b1)²]
化简上式之后，可以得到描述两个圆相减所得的公共弦的方程。
需要注意的是，两个圆相减所得的公共弦方程的求解结果可能是一个方程、一条直线或者一个空集，具体结果取决于两个圆之间的位置关系。