15.3.2 微分运算法则
微积分运算法则
微积分运算法则微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化规律和数量的无限逼近。
微积分运算法则是微积分中常用的一些规则和定理，它们可以帮助我们更方便、更准确地进行微积分运算。
本文将介绍微积分运算法则的一些基本内容。
一、导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中最基本的法则之一。
它规定了导数运算在加减乘除运算中的运用。
根据这个法则，我们可以根据已知函数的导数来求得新函数的导数。
二、链式法则链式法则是微积分中的另一个重要法则。
它用于求复合函数的导数。
复合函数是由两个或多个函数复合而成的函数。
链式法则告诉我们，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数。
三、反函数的导数反函数的导数是指如果函数f的值域上的每一个点都有唯一的反函数g，则g的导数等于f的导数的倒数。
这个法则在求反函数的导数时非常有用。
四、隐函数求导隐函数求导是指在某些情况下，函数的表达式无法直接写出，但是我们仍然可以通过一些方法求得函数的导数。
隐函数求导的关键是利用已知条件，通过求解方程组来求得导数值。
五、极限的四则运算法则极限的四则运算法则是指在求极限运算时，可以将各个极限运算符号分别作用于各个函数，并进行相应的加减乘除运算。
这个法则在求极限时非常有用。
六、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它用于将任意一个光滑函数表示为无穷级数的形式。
泰勒公式可以通过求导数的方式来推导得出，它在近似计算中有着广泛的应用。
七、微分中值定理微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它用于研究函数在某个区间内的变化情况。
微分中值定理告诉我们，如果函数在某个区间内连续并可导，那么在这个区间内一定存在某个点，函数在这个点的斜率等于函数在整个区间上的平均斜率。
八、积分的四则运算法则积分的四则运算法则是指在求积分运算时，可以将各个积分运算符号分别作用于各个函数，并进行相应的加减乘除运算。
这个法则在求积分时非常有用。
九、换元积分法换元积分法是微积分中的一个重要方法，它用于将一个积分问题转化为另一个更容易求解的积分问题。
一微分的定义二微分的基本公式三微分的四则运算法则
v udx u vdx vdu udv.
定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 u 可微,
v
且有
d(u v)Fra bibliotekvdu v2
udv.
证 d(u) (u)dx vv
uv v2
uv dx
v
udx v2
u
vdx
vdu v2
微分及其运算
一、微分的定义 二、微分的基本公式 三、微分的四则运算法则 四、微分形式的不变性 五、微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
当正方形的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的面积 增量 S (x0 x)2 x02 2x0x (x)2 .函数增量 S 分成两部分，一部分是 x 的线性部分 2x0 x ，一部 分是关于x 的高阶无穷小 (x)2 o(x).
即
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ).
当 f (x0 ), f (x0 ) 容易计算时，就可以用上述的 近似公式来计算 x0附近点的函数值.
例6 计算 2的近似值. 解 1.96 1.4, 令 f (x) x,则
2 f (2) f (1.96) f '(1.96) (2 1.96) 1.4 1 0.04 1.414 3. 2 1.4
五、微分在近似计算中的应用
设y=f(x)在 x0 可导，当自变量从 x0 变到x(即取得 增量 x x x0)，则有
x f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 ) o(x x0 ). 当x很接近 x0 时，即| x || x x0 |很小时，就有近 似公式
f (x) f (x0 ) f (x0 ) (x x0 )，
微积分公式与运算法则
微积分公式与运算法则 Jenny was compiled in January 2021微积分公式与运算法则1.基本公式（1）导数公式(2)微分公式(xμ)ˊ=μxμ-1d(xμ)=μxμ-1dx(a x)ˊ=a x lnad(a x)=a x lnadx(loga x)ˊ=1/(xlna)d(loga x)=1/(xlna)dx(sinx)ˊ=cosxd(sinx)=cosxdx(conx)ˊ=-sinxd(conx)=-sinxdx(tanx)ˊ=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)ˊ=-csc2xd(cotx)=-csc2xdx(secx)ˊ=secx·tanxd(secx)=secx·tanxdx(cscx)ˊ=-cscx·cotxd(cscx)=-cscx·cotxdx(arcsinx)ˊ=1/(1-x2)1/2d(arcsinx)=1/(1-x2)1/2dx(arccosx)ˊ=-1/(1-x2)1/2d(arccosx)=-1/(1-x2)1/2dx(arctanx)ˊ=1/(1+x2)d(arctanx)=1/(1+x2)dx(arccotx)ˊ=-1/(1+x2)d(arccotx)=-1/(1+x2)dx(sinhx)ˊ=coshxd(sinhx)=coshxdx(coshx)ˊ=sinhxd(coshx)=sinhxdx2.运算法则（μ=μ(x)，υ=υ（x），α、β∈R）（1）函数的线性组合积、商的求导法则（αμ+βυ）ˊ=αμˊ+βυˊ（μυ）ˊ=μˊυ+μυˊ（μ/υ）ˊ=(μˊυ-μυˊ)/υ2（2）函数和差积商的微分法则d（αμ+βυ）=αdμ+βdυd（μυ）=υdμ+μdυd（μ/υ）=(υdμ-μdυ)/υ23.复合函数的微分法则设y=f(μ)，μ=ψ(x),则复合函数y=f[ψ(x)]的导数为dy/dx=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)所以复合函数的微分为dy=fˊ[ψ(x)]·ψˊ(x)dx由于fˊ[ψ(x)]=fˊ(μ)，ψˊ(x)dx=dμ，因此上式也可写成dy=fˊ(μ)dμ由此可见，无论μ是自变量，还是另一变量的可微函数，微分形式dy=fˊ(μ)dμ保持不变，这一性质称为微分形式不变性。
微分与积分的基本概念与运算法则
积分的几何意义
面积：定积分表示曲线下面积 高度：不定积分表示曲线下的高度 体积：三重积分表示空间物体的体积 流速：曲线积分表示流速场中某点的流速
积分具有线性性质，即积分可按照 线性组合进行计算。
积分的基本性质
积分具有可积性，即如果函数在区 间[a,b]上连续，则该函数在此区间 上可积。
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应用：在微分方程、泰勒级数展开 等场合中应用广泛。
积分的运算分具有线性性质，即对于函数的和或差的积分，可以 分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
积分的基本运算法则：包括乘积法则、幂函数法则、正弦函数和余弦函数 法则等，这些法则可以帮助我们简化积分的计算过程。
积分的几何意义：积分的结果可以理解为函数图像与x轴所夹的面积，即定 积分的结果为面积的代数和。
积分的物理意义：在物理中，积分可以用来计算变力的做功、流体的流量 等物理量。
乘积的积分法则
乘积的积分法则：∫(uv)dx = ∫(u)dx * ∫(v)dx 应用场景：适用于两个函数的乘积的积分计算 推导过程：根据积分性质，将乘积分解为两个函数的积分相乘 注意事项：在使用乘积的积分法则时，需要注意函数的定义域和积分的上下限
微分与积分的基本 概念与运算法则
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01 单击此处添加目录标题内容 03 积分的概念 05 积分的运算法则
02 微分的基本概念 04 微分的运算法则 06 微积分的应用
添加章节标题
微分的基本概 念
微分是函数在某一点的变化率的近 似值
微分的定义
微分是一种线性逼近函数的方法， 可以用于估计函数在某点的变化趋 势
复合函数的微分法则
乘积法则：描述了两个函数 的乘积的导数计算方法
微分运算法则
( lim 0 )
x0
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
即 d y f ( x0 ) x
说明: y f ( x0 ) x o( x)
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 , y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x 所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
x
d y f ( x) dx
dy f ( x) dx
导数也叫作微商
x0 x
例如, y x 3 ,
dy
x2 dx 0.02
3x 2 dx
0.24 x2 dx 0.02
又如, y arctan x , 1 dy dx 2 1 x
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
很小时, 有近似公式
y dy
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y
dy
y
y f ( x)
当 y x 时，
y
y x dx
称 x 为自变量的微分, 记作 dx
则有 从而
记
O
x0
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故 在点 可导, 且
定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
已知 “充分性” 在点 可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
微分的运算法则推导
微分的运算法则有以下几条：1. 常数法则：对于常数c，有d(cx)/dx = c，即常数的导数为0。
2. 乘法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(uv)/dx = u'v + uv'，即两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
3. 除法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u/v)/dx = (u'v - uv')/v²，即一个函数除以另一个函数的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，再减去分子函数乘以分母函数的导数，最后除以分母函数的平方。
4. 加法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u + v)/dx = u' + v'，即两个函数的和的导数等于两个函数的导数的和。
5. 减法法则：对于函数u(x)和v(x)，有d(u - v)/dx = u' - v'，即两个函数的差的导数等于第一个函数的导数减去第二个函数的导数。
6. 复合函数法则（链式法则）：对于复合函数y = f(g(x))，有dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)，即复合函数的导数等于外层函数对内层函数的导数乘以内层函数对自变量的导数。
7. 幂函数法则：对于函数y = x^n，其中n是常数，有dy/dx = nx^(n-1)，即幂函数的导数等于指数乘以自变量的指数减1次方。
8. 指数函数法则：对于函数y = a^x，其中a是常数且a>0且不等于1，有dy/dx = ln(a) * a^x，即指数函数的导数等于该函数的自然对数乘以原函数。
9. 对数函数法则：对于函数y = log_a(x)，其中a是常数且a>0且不等于1，有dy/dx = 1/(x*ln(a))，即对数函数的导数等于1除以自变量的自然对数和底数的乘积。
微分导数公式及运算法则
微分导数公式及运算法则微分导数是在微分学中定义的概念，它反映了函数的变化率，通常记作f'（x）。
下面我们就来说说微分导数的公式及运算法则。
一、微分导数公式1、定义：对于函数y=f(x)，把其中x变化量xx趋近于零时，函数变化量xx随之变化的极限比例称为函数x关于x的微分比例或微分系数，记作∂x/∂x，即为函数x关于x的导数。
2、求导的基本公式：（1） y = f(x)，其导数是y′=f′(x)；（2）y = f(x)+C（C为常数），其导数是y′=f′(x)；（3）y = f(x)+Cx，其导数是y′=f′(x)+C；（4）y = ax，其导数是y′=a（a为常数）；（5）y = x^n（n为常数），其导数是y′=nx^(n-1)；（6）y = e^x，其导数是y′=e^x。
二、微分导数运算法则1、微分法则：如果函数为 y = f(x)*g(x)，则其导数为y′=f′(x)*g(x)+f(x)*g′(x)。
2、积分法则：如果函数为 y = f(x)*g(x)，则其积分为xx=f(x)* x g(x)+x f(x)*g(x)+C（C为常数）。
3、链式法则：即偏导数法则，如果函数为 y = f(x,g(x))，则其导数为y′=∂y/∂x=∂y/∂x*d x/d x。
4、复合函数法则：即链式法则的推广，如果函数为 y = f(g(h(x)))，则其导数为y′=∂y/∂x=∂y/∂x*∂x/∂h*dh/dx。
5、指数和对数函数法则：（1）ln x(x)=∫(1/f(x)) dx，其导数是 ln x(x)=1/f(x)*f′(x)；（2）e^f(x)=exp(f(x))，其导数是e^f(x)=e^f(x)*f′(x)。
6、复数函数法则：即复数平面几何中的微分公式。
如果函数为x=x(x+xx)，其中x为虚部，x和x为实部，则三大定律应用于复数函数时，其导数为x′=∂x/∂x+x∂x/∂x。
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
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(cu ) cu ( c为常数 ) u u v u v (v 0) 2 v v
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
三、微分的基本公式和运算法则
1.基本初等函数的微分公式
(2) d ( x 2 1) 2x dx
(3) d (2 x ) 2x ln 2 dx
(4) d (e x ) e x dx
2、 微分的四则运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
例题1 求下列函数的微分：
导数公式:
(c) 0
微分公式:
d (c ) 0
1
( x ) x
x
d (x ) x
x
1
dx
(a ) a ln a
x
d (a ) a ln adx d (e ) e dx
x
x
( e ) e
x
x
x
1 (log a x) x ln a 1 (ln x) x
(3x 5)e x dx
x2 (3) y x 1
( x 1)d ( x 2 ) x 2 d ( x 1) 解：dy= ( x 1)2 2 x( x 1)dx x 2 dx ( x 1)2 ( x 2 2 x)dx ( x 1)2
练 习
求下列函数的微分：
2
(1) y x cos x
解：
x 1 (2) y 2x 1
解：
dy cos xd ( x ) x d (cos x)
2 2
(2 x 1)d ( x 1) ( x 1)d (2 x 1) dy 2 (2 x 1)
2 x cos xdx x sin xdx
(1) y 2 x2 3x 2
2 解：（1）dy= d (2x ) d (3x) d (2) 2d ( x2 ) 3dx
(C 为常数)
4 xdx 3dx
(4 x 3)dx
(2) y (3x 2)e x
x x 解：dy= e d (3x 2) (3x 2)de 3ex dx (3x 2)ex dx
2
(5) d (sin x c) cos xdx
1 (6) dБайду номын сангаас(arctan x c ) dx 2 1 x
小结
本节主要内容是微分的运算， （1）结合导数公式掌握基本的微分公式；
（2）微分的四则运算法则;
（3）复合函数的微分法则。
作业：练习册P53解答题
1(1) , (2) , (3) ,(4),(5)
思考第（6）题
1 2 x2 xdx dx d ( ) 2 2
即:
x d ( ) xdx 2
x d ( c ) xdx 2
2
2
又 d (c) 0
所以有: ( c 为任意常数 )
练 习
书P51第3题填空
(1) d (2x c ) 2dx (2) d ( x c ) 2 xdx 1 (3) d ( ln x c ) dx x (4) d ( cos x c ) sin xdx
x
(sin x) cos x
sec 2 x (tan x)
1 x2 1 (arctan x) 1 x2
(cos x) sin x
1
(arcsin x)
(arccos x)
1 1 x2
2. 导数的四则运算法则
(u v) u v (u v) uv u v
1 1 x2 1 1 x
2
d (arcsin x) d (arccos x)
1 1 x2 1 1 x
dx
(arccos x) (arctan x)
2
dx
1 1 x2
1 d (arctan x) dx 2 1 x
练 习
书P51第1题填空
（1）d(2x+1)=( 2 )dx
2
(2x cos x x sin x)dx
2
(2 x 1)dx 2( x 1)dx (2 x 1)2 3 dx 2 (2 x 1)
3. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u ) ( x) dx d y f (u ) du
du
微分形式不变
提示：在求复合函数的导数时 也可以不写出中间变量
方法二： 由dyf (x)dx 可以先求导，再代入得微分。
y cos(2x 1) (2x 1) 2cos(2x 1)
'
dy 2cos(2 x 1)dx
例3. 填空: (1) d (
) xdx
2 解： dx 2 xdx
即，无论 u 是自变量还是中间变量，微分形式
dy f (u)du保持不变
'
若yf(u) ux) 则dyf (u)du 例2 ysin(2x1) 求dy 解： 方法一：把2x1看成中间变量u 即y=sin u ,u=2x+1 dyd(sin u) cos udu cos(2x1)d(2x1) cos(2x1)2dx 2cos(2x1)dx
d (log a x)
1 dx x ln a
1 d (ln x) dx x
导数公式:
微分公式:
d (sin x) cos xdx d (cos x) sin xdx
2 d (tan x) sec xdx
(sin x) cos x (cos x) sin x sec 2 x (tan x) (arcsin x)
一、 复习导数和微分的概念
• 导数 :
• 微分 :
• 关系 : 可导
可微
二、回顾导数公式
1. 基本初等函数的导数 (P44)
(c) 0
( x ) x
1
(a x ) a x ln a
(log a x)
1 x ln a
( e x ) e x
1 (ln x)