组合数学简介
组合数学的基本概念与应用
组合数学的基本概念与应用组合数学是一门研究离散对象的排列、组合和计数等问题的数学分支。
它在许多领域都有着广泛的应用，从计算机科学到物理学，从生物学到经济学，几乎无处不在。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式定理、容斥原理等。
排列是指从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
例如，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，计算方法为5×4×3 ＝ 60 种。
组合则是从给定的元素集合中，不考虑顺序地选取若干个元素。
比如，从 5 个不同的数字中选取 3 个的组合数，计算方法为 5×4×3÷（3×2×1) ＝ 10 种。
二项式定理在组合数学中也占据重要地位。
对于任意的正整数 n，有\（（a ＋ b)＾n ＝＼sum_{k=0}＾n C(n, k) a^｛n k} b^k\），其中\（C(n, k)＼）表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例如，有三个集合A、B、C，要计算它们并集的元素个数，需要先分别计算 A、B、C 的元素个数，然后减去两两交集的元素个数，再加上三个集合交集的元素个数。
组合数学在现实生活中的应用十分广泛。
在计算机科学中，组合数学的作用不可小觑。
在算法设计中，经常需要考虑各种可能性的数量和排列组合方式。
比如，在搜索算法中，需要计算搜索空间的大小，以评估算法的效率和复杂度。
在密码学中，组合数学的原理被用于生成和破解密码。
通过对密钥空间的组合分析，可以评估密码系统的安全性。
组合数学在生物学中也有应用。
在基因测序中，需要分析基因片段的排列组合，以确定基因的结构和功能。
在生物进化的研究中，组合数学可以帮助分析物种的遗传变异和多样性。
在经济学领域，组合数学被用于投资组合的优化。
投资者需要从众多的投资项目中选择一组，以在风险和收益之间达到最佳平衡。
这就涉及到对不同投资项目组合的可能性和收益风险的计算。
组合数学--组合数学第一章
1.2排列与组合
定义：从n个不同元素中取r个不重复的元 素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的个数用C(n,r)表示。
1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n 个不同的球中,取出r个,放入r个不同的 盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择， 第2个有n-1种选择，······，第r个有nr+1种选择。
例：长度为n的0，1符号串的数目为多少?
一一对应原理
• “一一对应”概念是一个在计数中极为 基本的概念。一一对应既是单射又是满 射。
• 如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非 是建立了将A中元与[1,n]元一一对应的 关系。
• 在组合计数时往往借助于一一对应实现 模型转换。
• 比如要对A集合计数，但直接计数有困难， 于是可设法构造一易于计数的B，使得A 与B一一对应。
1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同 的英文书，10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
1.2排列与组合
解 1) 5×7+5×10+7×10=155; 2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2) =10+21+45=76; 3) 155+76=231=( 5+27+10)
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
• 证2 从n个元素中取偶数个数的组合数
（包含0）,等于取奇数个数的组合数。
• r为偶数的组合和r为级数的组合之间建 立一一对应即可。
• 举例说明
1.7 若干等式及其组合意义
组合数学pdf
组合数学
组合数学是数学中的一个分支，研究如何选出一些元素组成某种集合的数学问题。
组合数学是运用较为广泛的数学分支之一，它涉及面不仅局限于数学领域，还涉及计算机科学，物理学，统计学，生物学等领域。
在日常生活中，组合数学也有很多应用，例如密码学、图论、排列组合等方面。
组合数学主要涉及组合、排列、集合这些数学概念，下面将对这些概念逐一进行介绍。
组合数：组合数是指从n个不同元素中取r个元素（r≤n）不重不漏的所有情况的个数。
组合数可以简单地表示成C(n,r)，其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)。
排列数：排列数是指从n个不同元素中取出r个元素进行排列，不放回地选取，可以表示为A(n,r)，排列数的计算公式为
A(n,r)=n!/(n-r)!。
排列数也可以分为有放回排列和无放回排列。
集合：集合是由若干个元素组成的一个整体，集合内的元素没有重复且无序。
例如，{1,2,3}和{3,2,1}都代表同一个集合。
在实际应用中，组合数学的应用十分广泛。
例如在密码学中，组合数学可以用来生成密码，用来保护数据的安全性。
在图论中，组合数学可以用来研究图的结构，处理图的中间点，连通性等问题。
在排列组合中，组合问题是许多具有不同性质的排列问题的基础。
生物学中，组合数学也可以通过研究遗传物质的组合和排列等问题，来推断人类或动物的遗传基因情况。
总之，组合数学是一门综合性极强的数学学科，在实际中的应用和研究都有非常重要的地位。
组合数学
组合数学概述组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。
组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。
组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。
现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。
组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。
而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。
计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。
正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。
组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。
在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。
此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。
用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。
最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。
在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。
最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。
组合数学解析
组合数学解析在数学领域中，组合数学是研究离散结构的一门学科，它主要关注于物体的集合以及它们之间的排列、组合和选择方式。
组合数学广泛应用于计算机科学、信息技术、统计学、天文学等多个领域，在许多实际问题的建模和解决中都起到了重要的作用。
一、组合数学的基本概念1. 排列与组合在组合数学中，排列和组合是两个基本的概念。
排列是指一组对象按照一定顺序进行排列的方式，而组合则是指从一组对象中选取一部分对象进行组合的方式。
排列和组合的计算公式为：排列公式：P(n,m) = n!/(n-m)!组合公式：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]其中，n表示对象的总数，m表示要排列或组合的对象的数量，n!表示n的阶乘。
2. 二项式系数在组合数学中，二项式系数表示的是两个数的二项式展开系数，它也是组合数学中的重要概念。
二项式系数的计算公式为：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]二项式系数在组合数学中起到了非常重要的作用，它们具有许多重要的性质和应用。
二、组合数学的应用领域1. 组合数学在计算机科学中的应用在计算机科学中，组合数学是一门非常重要的学科。
组合数学的许多概念和方法被广泛应用于算法设计、图论、密码学、数据压缩等领域。
例如，在算法设计中，对于排列和组合的问题，组合数学可以提供有效的算法和优化策略。
在密码学中，组合数学的概念被用于设计和分析密码算法的安全性。
2. 组合数学在信息技术中的应用在信息技术领域中，组合数学也扮演着重要的角色。
例如，编码理论中的纠错码和压缩码的设计就依赖于组合数学的概念和方法。
另外，在网络优化、通信网络设计等问题中，组合数学的知识也能够提供宝贵的解决思路。
3. 组合数学在统计学中的应用在统计学中，组合数学可以用于描述和统计样本空间以及事件的可能性。
组合数学中的概率论和统计学概念有紧密的联系，例如样本空间的总数、事件的发生概率等都可以通过组合数学的方法进行计算和分析。
此外，组合数学还在实验设计、随机模型等方面发挥着重要作用。
组合数学第一讲
决策树
在决策树中，通过计算每 个分支的概率来评估每个 决策的优劣。
05 组合优化
组合优化的定义和性质
定义
组合优化是研究在一定约束条件下， 从给定的组合对象中选取出满足某种 特定条件的对象，使得某种度量达到 最优的问题。
性质
组合优化问题具有离散性、约束性、 最优化和可行解多样性等性质。
组合优化的计算方法
在计算机科学中，排列可以用于生成 不同的算法和数据结构，提高程序的 效率和稳定性。
在密码学中，排列可以用于生成加密 密钥，提高信息的安全性。
04 组合概率
概率的基本概念
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事件
在特定条件下可能发生或 可能不发生的结果。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，取值范围为0到1，其 中0表示事件不可能发生， 1表示事件一定会发生。
组合数学的应用领域
计算机科学
算法设计、数据结构、 离散概率论等都涉及到
组合数学。
统计学
样本空间、概率分布、 决策理论等都与组合数
学紧密相关。
信息理论
编码理论、数据压缩、 信息熵等都运用了组合
数学的概念。
运筹学
组合数学在图论、最优 化理论、线性规划等领
域有广泛应用。
组合数学的基本概念
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排列数的计算方法
计算公式
排列数表示为Amn=n!/(n-m)!，其中"!"表示阶乘，即n!=n×(n-1)×(n2)×...×3×2×1。
举例
A53=5×4×3=60。
排列的应用实例
体育比赛
在体育比赛中，如乒乓球、羽毛球等， 参赛选手需要按照一定的顺序进行比 赛，排列的应用就十分重要。
组合数学
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组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。
传说，大禹在4000多年前就观察到神龟 背上的幻方…... 幻方可以看作是 一个3阶方阵，其元 素是1到9的正整数， 每行、每列以及两条 对角线的和都是15。
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贾宪 北宋数学家（约11世纪） 著有《黄 帝九章细草》、《算法斅古集》斅 音“笑 （“古算法导引”）都已失传。 杨辉著《详解九章算法》（1261年）中 曾引贾宪的“开方作法本源”图（即指数为 正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三 角形”）和“增乘开方法”（求高次幂的正 根法）。 前者比帕斯卡三角形早600年，后者比霍 纳（William Geoge Horner，1786—1837）的 方法（1819年）早770年。
若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙 、黄四种颜色的话，则，方案数就不是4 4 = 16， 而只有 4 3 = 12 种。 在乘法法则中要注意事件 A 和 事件 B 的 相互独立性。
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加法和乘法法则的综合运用
例1：我国曾经推行的02式汽车的牌照的式样 如下：999.999、999.XXX、XXX.999，那么 共有多少个不同的车牌号码？（其中9代表该 位为数字，X表示该位为大写字母） 例2：计算机系统的每个用户有一个6-8个字 符构成的登录密码，其中每个字符是一个大 写字母或数字，且每个密码必须至少包含一 个数字，有多少个可能的密码？
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定理：如果把n+1个或更多的物体被放入到n
个盒子里，则至少有一个盒子包含了
两个或更多的物体。
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2. 推广的鸽巢原理 鸽巢原理指出当物体比盒子多时，一定 至少有两个物体在同一个盒子里。
数学中的组合数学及其应用研究
数学中的组合数学及其应用研究随着科技的迅猛发展，数学在现代社会中的地位变得越来越重要。
数学中有一个重要的分支——组合数学，它采用离散的方式研究集合、排列、组合等问题，广泛应用于计算机科学、统计学以及互联网等领域。
本文将介绍组合数学的基本概念和应用研究领域。
一、组合数学的基本概念组合数学是研究集合的规则和结构的数学学科，而集合是由一些互不相同的元素组成的。
组合数学中的基本概念包括组合、排列、二项式系数等。
1. 组合组合是指从一个集合中取出若干元素（不计顺序），每个元素只能取一次，形成的新集合。
例如，从1、2、3、4、5这5个数中任意取出3个数，可以得到10个不同的组合，分别为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}。
可以用以下公式计算组合数：C(m,n) = n! / ((n-m)! m!)，其中n表示元素个数，m表示取出元素的个数。
2. 排列排列是指从一个集合中取出若干元素（需要考虑顺序），每个元素只能取一次，形成的新序列。
例如，从1、2、3这三个数中任意取出2个数，可以得到6个不同的排列，分别为{1，2}，{1，3}，{2，1}，{2，3}，{3，1}，{3，2}。
可以用以下公式计算排列数：A(m,n) = n! / (n-m)!，其中n表示元素个数，m表示取出元素的个数。
3. 二项式系数二项式系数是指二项式(a+b)^n中，其中a和b的幂的系数。
可以用以下公式计算二项式系数：C(n,m) = (a+b)^n，其中n表示幂次数，m表示a的幂次数。
二、组合数学的应用研究领域组合数学在现代社会中得到了广泛的应用，尤其是在计算机科学、物理学、化学、生物学、统计学、金融工程、电信等领域中。
1. 计算机科学计算机科学是组合数学重要的应用领域之一，包括密码学、图论、算法设计等。
密码学中的加密算法、哈希函数、伪随机序列的设计都需要用到组合数学的知识。
初见组合数理及其应用
初见组合数理及其应用组合数学是数学中的一门重要学科，涉及到离散的、有限的、不相关的对象的研究。
它的理论基础和方法在现代数学和应用中具有广泛的应用。
本文将介绍组合数理的基本概念、方法和应用领域。
一、基础概念组合数学的基础概念主要包括组合、排列和选择。
1.1 组合在组合数学中，组合是指从给定的n个不同元素中选取k个元素的方式数目，记作C(n,k)。
组合数的计算公式为：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
1.2 排列排列是指从给定的n个不同元素中选取k个元素并按照一定顺序排列的方式数目，记作P(n,k)。
排列数的计算公式为：P(n,k) = n! / (n-k)!1.3 选择选择是指从给定的n个不同元素中选取0个或多个元素的方式数目，记作2^n。
二、常用组合数理方法组合数学包含一系列常用的方法，常见的有容斥原理、递推关系、生成函数和图论等。
2.1 容斥原理容斥原理是组合数学中一种计算交集和并集元素个数的方法。
它的核心思想是通过相减来排除重复计数。
容斥原理在概率论、数论和组合优化等领域有广泛的应用。
2.2 递推关系递推关系是指通过已知的初始条件和递推公式来计算组合数的方法。
常见的递推关系有杨辉三角形和斯特林数。
递推关系在组合计数和计算复杂度等方面有重要的应用。
2.3 生成函数生成函数是将数列表示为形式幂级数的方法，使得数列的运算可以转化为幂级数的运算。
生成函数常用于求解组合数学中的递推关系、计数问题和概率问题等。
2.4 图论图论是组合数学的一个重要分支，研究由结点和边构成的图的性质和关系。
图论在计算机科学、网络分析和运筹学等领域有广泛的应用。
三、组合数学的应用领域组合数学作为一门基础学科，广泛应用于各个领域。
3.1 计算机科学在计算机科学中，组合数学的方法和思想被广泛用于算法设计、图像处理、密码学和数据压缩等领域。
组合数学简介
幻方体
• n阶幻方体(magic cube)是以下述方式由整数1,2, …,n3构
造一个n×n×n立方阵列，其在下述每一条直线上的n个元 素的和s都是相同的： • (i) 平行于立方体一条边的直线； • (ii) 每个截面上的两条对角线； • (iii) 四条空间对角线。 • 数s叫做幻方体的幻和。 • 不存在2阶幻方体 • 也不存在3阶幻方体 • 证明不存在4阶幻方体要困难的多。 • 一个8阶的幻方体在Cardner的一篇论文中给出。
Nim取子游戏
• Nim取子游戏是由两个人面对若干堆硬币（或石子）进行 的游戏。设有k≥1堆硬币，各堆分别含有n1，n2，…，nk 枚硬币。游戏的目的是选择最后剩下的硬币。游戏规则如 下：
• 1. 两个游戏人交替进行游戏（游戏人I：第一个取子者； 游戏人II：第二个取子者）；
• 2. 当轮到每个游戏人取子时，选择这些堆中的一堆，并 从所选的堆中取走至少一枚硬币（游戏人可以取走他所选 堆中的全部硬币）；
有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类 办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不 同方法。
• 乘法原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种
不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同 的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
含很多有趣的例子。 • 问题：用n2个整数1,2,…,n2构造一个n×n矩阵，
使每行、每列、对角线元素之和均相等。 • 这个相等的和叫做幻和。
幻方的问题
• 对任意的正整数n，n阶幻方存在吗？ • 对于某个正整数n，如果n阶幻方存在，有多少不同的形式？ • 构造存在的n阶幻方。
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组合数学简介
卡特兰数
Catalan，Eugene，Charles，卡特兰（1814～1894）比利时数学家，生于布鲁日（Brugge），早年在巴黎综合工科学校就读。
1856年任列日（Liege）大学数学教授，并被选为比利时布鲁塞尔科学院院士。
卡特兰一生共发表200多种数学各领域的论著。
在微分几何中，他证明了下述所谓的卡特兰定理：当一个直纹曲线是平面和一般的螺旋面时，他只能是实的极小曲面。
他还和雅可比（Jacobi，C·G·J）同时解决了多重积分的变量替换问题，建立了有关的公式。
1842年，他提出了一种猜想：方程xz－yt＝1没有大于1的正整数解，除非平凡情形32－23＝1。
这一问题至今尚未解决。
（mathoe注：即除了8、9这两个连续正整数都是正整数的方幂外，没有其他。
1962年我国数学家柯召以极其精湛的方法证明了不存在三个连续正整数，它们都是正整数的方幂，以及方程x2－yn＝1，n＞1，xy≠0无正整数解。
并且还证明了如果卡特兰猜想不成立，其最小的反例也得大于1016。
）
此外，卡特兰还在函数论、伯努利数和其他领域也做出了一定的贡献。
卡特兰通过解决凸n边形的剖分得到了数列Cn。
凸n＋2边形用其n－1条对角线把此凸n＋2边形分割为互不重叠的三角形，这种分法的总数为Cn。
为纪念卡特兰，人们使用“卡特兰数”来命名这一数列。
据说有几十种看上去毫不相干的组合计数问题的最终表达式都是卡特兰数的形式。
卡特兰数在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等都会有其不同侧面的介绍。
前几个卡特兰数：规定C0＝1，而
C1＝1，C2＝2，C3＝5，C4＝14，C5＝42，
C6＝132，C7＝429，C8＝1430，C9＝4862，C10＝16796，
C11＝58786，C12＝208012，C13＝742900，C14＝2674440，C15＝9694845。
递推公式
圆周上有标号为1，2，3，4，……，2n的共计2n个点，这2n个点配对可连成n条弦，且这些弦两两不相交的方式数为卡特兰数Cn。
2003年浙江省小学数学夏令营竞赛考了这个题：圆周上10个点可以连成既不相交，也没有公共端点的5条线段，不同的连法共有_____种。
答：方法的种数是卡特兰数C5＝42，此题被收录进单墫主编的知识出版社出版的《华数奥赛强化训练》小学六年级册的“计数问题”专题。
共六种类型，第1类有5种连法，第2类有2种连法，第3类有10种连法，第4类有10种连法，第5类有10种连法，第6类有5种连法。
共有42种连法。
1994年《小学数学》有奖征答竞赛：游乐园门票1元一张，每人限购一张。
现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友每人只有1元的钞票一张，另5个小朋友每人只有2元的钞票一张，售票员没有准备零钱。
问：有多少种排队方法，使售票员总能找的开零钱？
（此题也被许多奥数资料收录为例题或习题，《华罗庚学校数学课本》小学六年级册的思维训练也收有此题）
答：现把拿1元的5个小朋友看成是相同的，把拿2元的5个小朋友也看成是相同的，使用我们常用的“逐点累加法”：
图中每条小横段表示拿1元的小朋友，每条小竖段表示拿2元的小朋友，要求从A走到B的过程中网格中任何点均有横段数不小于竖段数：拿1元的要先，且人数不能少于拿2元的，即不能越过对角线AB：每个点所标的数即为从A走到此点的方法数。
求从A到B的走法的方法数。
逐点累加可求出为42，即卡特兰数C5＝42。
又由于每个小朋友是不相同的，所以共有42×5！×5！＝42×120×120＝604800种情况。
若把此题的10个人，拿1元的有5人，拿2元的有5人改为共有2n个人，拿1元的n人，拿2元的n人，则符合要求的排队方法数为：
再一个卡特兰数的例子：
甲乙两人比赛乒乓球，最后结果为20∶20，问比赛过程中甲始终领先乙的计分情形的种数。
即甲在得到1分到19分的过程中始终领先乙，其种数是卡特兰数
再一个卡特兰数的例子
饭后，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗过的碗一个一个放进碗橱摞成一摞。
一共有n个不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也许因为小妹贪玩而使碗拿进碗橱不及时，姐姐则把洗过的碗摞在旁边，问：小妹摞起的碗有多少种可能的方式？
答：得数是第n个卡特兰数Cn。
再一个卡特兰数的例子
一个汽车队在狭窄的路面上行驶，不得超车，但可以进入一个死胡同去加油，然后再插队行驶，共有n辆汽车，问共有多少种不同的方式使得车队开出城去？
答：得数是第n个卡特兰数Cn。
卡特兰数
求证：卡特兰数Cn是整数。
证明：
①取整函数不等式：对任意实数x，y有[x＋y]≥[x]＋[y]。
这里[x]表示不大于实数x的最大整数。
解：由定义x≥[x] (1)
y≥[y]……（2）以上两式相加，得：x＋y≥[x]＋[y]，
把上式再取整，得：[x＋y]≥[[x]＋[y]]＝[x]＋[y]，即[x＋y]≥[x]＋[y]。
②1000！的末尾0的个数249个。
（现在有的小学奥数书上出现了100！末尾有几个零的题目：24个）
解：1000÷5＝200，
200÷5＝40，
40÷5＝8，
8÷5＝1 (3)
以上各商相加，即得1000！末尾0的个数＝200＋40＋8＋1＝249个。
③n！的质因数分解式中质因子p的幂次数：
(1)
k！的质因数分解式中质因子p的幂次数
(2)
(n－k)!的质因数分解式中质因子p的幂次数
(3)
这里写成西格马求和式时使用了无穷的形式，但是从某一确定项之后的每项都是0，为了统一，都写成了“∞”形式。
④组合数是整数
解：
⑤卡特兰数是整数
⑥卡特兰数是整数的另外一个证明
④组合数是整数。