相似三角形”A“字模型(含详细答案)-经典
教师辅导教案
【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或秒时，△CPQ 与△ABC相似．
【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，，
即，
解得t=4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，，
即，
解得t=．
综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或．
图②反A字型，∠ADE=∠ B或∠1=∠B结论：AE AD DE AC AB BC
==
【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B
【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；
当=即=时，△ABC∽△AED．
故选：A．
【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠B时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．
【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC；
∵，∠A=∠A，
∴△ACP与△ABC；
故答案为：B；．
【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC．其
中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．
【解答】解：当∠ADE=∠B，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC．
故答案为∠ADE=∠B．
【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．
求证：△ADE∽△ACB．
【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，
∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，
∴====，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．
【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
【练习4】已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．
【解答】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD．
【练习5】如图，已知AD•AC=AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．
【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，
∴=
在△ABC与△ADE 中
∵=，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE．
【练习6】已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=4，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．
【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
图③双A字型
【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由
（2）若=，求的值．
【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，
∴△ABC∽△AED．
∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF，
∴△AEG∽△ABF．
∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF，
∴△ADG∽△ACF．
（2）∵=，
∴=，
∵△ADG∽△ACF，
∴==．
【练习1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；
（2）求AG与GF的比．
【解答】解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；
（2）∵==，=，
∴=，
又∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADG=∠C，
∵AF为角平分线，
∴∠DAG=∠FAE
∴△ADG∽△ACF，
∴==，
∴=2．
图④内含正方形A字形，结论AH a a
AH BC
-
=（a为正方形边长）
【例5】如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，
AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边
EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．
（1）求证：=；
（2）求这个矩形EFGH的周长；
（3）是否存在一个实数a，当HE=a时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形HEFG为矩形，
∴HG∥EF，
而AD⊥BC，
∴AM⊥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴=；
（2）解：设HE=x，HG=2x，
则=，解得x=12，
∴这个矩形EFGH的周长=2x+4x=6x=72（cm）；
（3）存在．
当HE=a，则=，
∴HG=﹣a+30，
∴S矩形HEFG=a（﹣a+30）=﹣a2+30a，
当a=﹣=时，S矩形HEFG最大，
即当HE=cm时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大．
【练习1】如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=80cm，AD=60cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．
（1）试说明：=的理由；
（2）求这个矩形EFGH的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴=；
（2）解：设HE=xcm，MD=HE=xcm，
∵AD=60cm，
∴AM=（60﹣x）cm，
∵HG=2HE，
∴HG=2xcm，
由（1）得，
可得=，
解得，x=24，
故HE=24，HG=2x=48，
则矩形EFGH的面积=24×12=1152cm2．
【例6】如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且，
求证：AD=EB．
【解答】证明：过D点作DH∥BC交AB于H，如图，
∵DH∥BC，
∴△AHD∽△ABC，
∴=，即=，
∵DH∥BE，
∴△BEF∽△HDF，
∴=，
而，
∴=，
∴AD=EB．
【例7】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分线交BC于点E，交CA的延长线于D，交AB于点F，求证：AE2=EF•ED．
【解答】解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，∠D+∠C=90°，
∴∠B=∠D，
∵BC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC=90°．
∴BE=EA，
∴∠B=∠BAE，
∴∠D=∠BAE，
∵∠FEA=∠AED，
∴△FEA∽△AED，
∴=
∴AE2=EF•ED．
“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△
ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．
【例8】如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=
【解答】解：∵∠BAC=∠D，，
∴△ABC∽△ADE．
故选：C．
=
条件②，．
=
=
=，
=，=1.2
=
11。
初中数学三角形相似模型含答案
三角形相似模型知识框架相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E AB CD ABCDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．例题精讲一、沙漏模型【例 1】 四边形ABCD 被AC 和DB 分成甲乙丙丁4个三角形，已知BE=80,CE=60,DE=40,AE=30,问：丙、丁两个三角形之和是甲乙两个三角形面积之和的多少倍？【考点】沙漏模型 【难度】1星 【题型】解答【解析】 因为AE:CE=BE:DE=1:2，所以AD BC ，即ABCD 为梯形，并且三角形AED 与三角形BEC相似。
因此:::1:2:2:4∆∆∆∆=AED AEB CED CEB S S S S 。
故():()(22):(41)4:5S S S S ++=++=乙甲丙丁【答案】54。
【巩固】 梯形ABCD 的上底长为3厘米，下底长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米。
则整个梯形的面积为多少？【考点】沙漏模型 【难度】1星 【题型】解答【解析】 同上题，△AOD 与△BOC 形状相同，大小成比例，这个比例为：AD ：BC ＝1：3，所以它们的面积比为1：9。
而△AOB 的面积则是二者之间的过渡量，即比例中的3份。
把△AOB 的面积看成3份，那么1份是：12÷3＝4（平方厘米）。
相似三角形经典题(含答案)
类似三角形经典习题之杨若古兰创作例1 从上面这些三角形中，选出类似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 以下命题中哪些是准确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都类似．（2）所有的等腰三角形都类似．（3）所有的等腰直角三角形都类似．（4）所有的等边三角形都类似． 例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，而且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点构成的小三角形与ABC ∆类似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮忙小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8格点图中的两个三角形是否是类似三角形，说明理由．例9 根据以下各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否类似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，以下每个图形中，存不存在类似的三角形，如果存在，把它们用字母暗示出来，并简要说明识此外根据．例115、12、13例1226例13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高米的竹竿竖立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时候目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E恰好在同不断线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为米，如许即可晓得旗杆的高．你认为这类测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点EA，再在河的这一边选点B和C定BC与AE的交点为D岸之间AB的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC 和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），而且AB、CD 和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在不断线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在不断线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代成绩）例16如图，已知△ABC的边AB AC＝2，BC边上的高AD （1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．类似三角形经典习题答案例1．解①、⑤、⑥类似，②、⑦类似，③、④、⑧类似例2．1：3．例3分析证实例4．分析（1）不准确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，是以直角三角形的外形分歧．（2）也不准确，等腰三角形的顶角大小不确定，是以等腰三角形的外形也分歧．（3）准确．设有等腰直角三角形ABCa、b、c（4答：（1）、（2）不准确．（3）、（4）准确．例5．解：画法略．例6．分析BCBC的长．解，∴，∴∽．∴杆的高为6米．例7．分析的类似关系就明确了．解m）．例8．分析这两个图如果不是画在格点中，那是没法判断的．实际上格点有形中给图形增加了条件——长度和角度．解说明碰到格点的题目必定要充分发现其中的各种条件，勿使漏掉．例9．解（1（2（3两角相等；（2两角相等；例10．解（1（3（5角相等．例11．分析有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底成比例推出线段之间的比例关系．∴说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形类似，这是判断两个三角形类似最经常使用的方法，而且根据相等的角的地位，可以确定哪些边是对应边．（2方式．例12分析26，可以求解三边顺次为∴例13．分析判断方法是否可行，应考虑利用这类方法加之我们现有的常识能G，交CE于H，可知否求出旗杆的高．按这类测量方法，过FGF、HF、EH可求，如许可求得AG，故旗杆AB可求．F G，交CE于H所解（米）所以旗杆的高为米．说明在具体测量时，方法要理想、切实可行．例14.AB大致相距100米．例15.例16. 分析：请求BC的长，需画图来解，因AB、AC都大于高AD，那么有两种情况存在，即点D在BC上或点D在BC的耽误线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长．解：（1）如上图，由AD⊥BC，由勾股定理得BD＝3，DC＝1，所以BC ＝BD＋DC＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD－CD＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC＝4，ABC是直角三角形．由AE G F是正方形，设G F＝x，则FC＝2－x，∵G F∥AB，∴，即．∴，∴如下图，当BC＝2，AC＝2，△ABC是等腰三角形，作CP⊥AB于P，∴AP在Rt△APC中，由勾股定理得CP＝1，∵GH∥AB，∴△C GH∽△CBA，∵，∴。
专题13 A字型和反A字型相似模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题13A 字型和反A 字型相似模型【模型1】A 字型相似模型如图13-1，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ABC ∆，只要知道BC DE //即可。
【模型2】反A 字型相似模型如图13-2，A A ∠=∠，要证ADE ∆∽ACB ∆，只要再知道一组对应角相等即可，即只需知道ACB ADE ∠=∠或ABC AED ∠=∠。
【例1】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ＝2，EC ＝3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（）A ．4：25B ．2：3C ．4：9D ．2：5【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解析】解：∵AE =2，EC =3，∴AC =AE +EC =5，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴2224525ADE ABC S AE S AC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：A ．【例2】如图，已知D 是BC 的中点，M 是AD 的中点．求:AN NC的值．【答案】12【分析】解法1：过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDH BCN ∽和DHM ANM ∽，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法2：过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出BDM BCH △∽和AMN CHN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法3：过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ，构造“A ”型和“8”型，得出AHM DBM △∽△和AHN CBN △∽△，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；解法4：过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ，根据三角形中位线定理得出AN NH CH ==，即可得出答案；【解析】解法1：如图2，过点D 作AC 的平行线交BN 于点H ．因为//DH AC ．所以BDH BCN ∽，所以DH BD CN BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DH BD CN BC ==．因为//DH AN ，所以DHM ANM ∽，所以DH DM AN AM=．因为M 为AD 的中点，所以1DH DM AN AM ==．所以DH AN =，所以12AN CN =．解法2：如图3，过点C 作AD 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//DM CH ，所以BDM BCH △∽，所以DM BD CH BC=．因为D 为BC 的中点，所以12DM BD CH BC ==．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以12AM CH =．因为//DM CH ，所以AMN CHN △∽△，所以12AN AM CN CH ==．解法3：如图4，过点A 作BC 的平行线交BN 的延长线于点H ．因为//AH BD ，所以AHM DBM △∽△，所以AH AM BD DM=．因为M 为AD 的中点，所以AM DM =，所以AH BD =．因为//AH BD ，所以AHN CBN △∽△，所以AN AH CN BC=．因为D 为BC 的中点，且AH BD =，所以12AN BD CN BC ==．解法4：如图5，过点D 作BN 的平行线交AC 于点H ．在ADH 中，因为M 为AD 的中点，//MN DH ，所以N 为AH 的中点，即AN NH =．在CBN 中，因为D 为BC 的中点，//DH BN ，所以H 为CN 的中点，即CN HN =，所以AN NH CH ==．所以12AN CN =．【例3】【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．【定理应用】如图②，在矩形ABCD 中，AC 为矩形ABCD 的对角线，点E 在边AB 上，且AE =2BE ，点F 在边CB 上，CF =2BF ．O 为AC 的中点，连结EF 、OE 、OF ．（1）EF 与AC 的数量关系为__________．（2）OEF 与ABC 的面积比为___________．【答案】【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1）EF 与AC 的数量关系为13EF AC =；（2）OEF 与ABC 的面积比为2:9．【分析】定理证明：先根据相似三角形的判定与性质可得1,2DE AD ADE ABC BC AB ==∠=∠，再根据平行线的判定即可得证；定理应用：（1）先根据线段的比例关系可得13BE BF BA BC ==，再根据相似三角形的判定与性质即可得；（2）如图（见解析），先根据三角形中位线定理可得11,22OM BC ON AB ==，设,BE a BF b ==，再根据三角形的面积公式分别求出OEF 与ABC 的面积，由此即可得出答案．【解析】定理证明： 点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，12AE AD AC AB ∴==，在ADE 和ABC 中，12AE AD AC AB A A⎧==⎪⎨⎪∠=∠⎩，ADE ABC ∴ ，1,2DE AD ADE ABC BC AB ∴==∠=∠，//DE BC ∴，且12DE BC =；定理应用：（1）2,2AE BE CF BF == ，13BE BF BA BC ∴==，在BEF 和BAC 中，BE BF BA BC B B⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，BEF BAC ∴~ ，13EF BF AC BC ∴==，即13EF AC =；（2）如图，过点O 作OM AB ⊥于点M ，作ON BC ⊥于点N ，四边形ABCD 是矩形，90B ∴∠=︒，即AB BC ⊥，//,//OM BC ON AB ∴，点O 是AC 的中点，OM ∴、ON 是ABC 的两条中位线，11,22OM BC ON AB ∴==，设,BE a BF b ==，则332,3,2,3,,22AE a AB a CF b BC b OM b ON a ======，1122BEF S BE BF ab ∴=⋅= ，1322AOE S AE OM ab =⋅= ，1322COF S CF ON ab =⋅= ，1922ABC S AB BC ab =⋅= ，OEF ABC BEF AOE COF S S S S S ab ∴=---= ，2992OEF ABC S ab S ab ∴== ，即OEF 与ABC 的面积比2:9．一、单选题1．如图．在△ABC 中，DE ∥BC ，∠B =∠ACD ，则图中相似三角形有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解析】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴△ACD ∽△ADE ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC =∠DCB ，∵∠B =∠DCE ，∴△CDE ∽△BCD ，故共4对，故选：C ．2．如图，已知,ADE ABC V :V 若:1:3,AD AB ABC =V 的面积为9，则ADE 的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．9【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出即可．【解析】解：∵△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：3，∴21=3ADE ABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ABC 的面积为9，∴1=99ADE S ，∴S △ADE ＝1，故选：A ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，D ，E 分别在AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为（）A ．12B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】试题解析：由题意得：DE ⊥AC ，∴∠DEA =90°，∵∠C =∠DEA ，∵∠A =∠A ，∴△AED ∽△ACB ,∴DE BC =AE AC,∵A ′为CE 的中点，∴C A ′=E A ′，∴C A ′=E A ′=AE ，∴AE AC =DE BC =13，∴DE =1.故选D.二、填空题4．如图，P 是ABC ∆内一点，过点P 分别作直线平行于ABC ∆各边，形成三个小三角形面积分别为1233,12,27S S S ===，则ABC S ∆=__________【答案】108【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．【解析】解：过P 作BC 的平行线交AB 、AC 于点D 、E ，过P 作AB 的平行线交AB 于点I 、G ，过P 作AC 的平行线交AC 于点F 、H ，∵DE//BC ，IG//AB ，FH//AC ，∴四边形AFPI 、四边形PHCE 、四边形DBGP 均为平行四边形，△FDP ∽△IPE ∽△PGH ∽△ABC ，∵12331227S S S ===，，，∴FP ：IE ：PH=1：2：3，∴AI ：IE ：EC=1：2：3，∴AI ：IE ：EC ：AB=1：2：3：6，S △ABC ：S △FDP =36：1，∴S △ABC =36×3=108．故答案为:108．5．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果3AD =，ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，则AC 的长为________．【答案】5【分析】由∠ADE=∠C ，∠DAE=∠CAB ，根据相似三角形的判定得到△DAE ∽△CAB ，根据相似的性质得S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后把三角形面积代入计算即可．【解析】解：∵∠ADE=∠C ，而∠DAE=∠CAB ，∴△DAE ∽△CAB ，∴S △DAE ：S △CAB =2AD AC ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵△ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，∴△ABC 的面积=9+16=25，∴2925AD AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AC=5．故答案为5．三、解答题6．如图，△ABD 中，∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ．某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，运动的时间为ts ．（1）求t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 值．【答案】（1）14t =，22t =；（2）t ＝3或245【分析】（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t 的值．【解析】解：（1）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，∴△AMN 的面积＝12AN •AM ＝12×（12﹣2t ）×t ＝6t ﹣t 2，∵∠A ＝90°，AB ＝6cm ，AD ＝12cm ∴△ABD 的面积为12AB •AD ＝12×6×12＝36，∵△AMN 的面积是△ABD 面积的29，∴6t ﹣t 2＝2369⨯，∴t 2﹣6t +8＝0，解得t 1＝4，t 2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；（2）由题意得DN ＝2t （cm ），AN ＝（12﹣2t ）cm ，AM ＝t cm ，若△AMN ∽△ABD ，则有AM AN AB AD =，即122612t t -=，解得t ＝3，若△AMN ∽△ADB ，则有AM AN AD AB =，即122126t t -=，解得t ＝245，答：当t ＝3或245时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABD 相似．7．在ABC 中，()0AB m m =>，D 为AB 上一点，过D 作DE ∥BC 交AC 于点E ，连接CD ．设21,DCE ABC S S S S == ，求21S S的取值范围．【答案】21104S S <≤【分析】作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，首先结合相似三角形的判定与性质推出DE BC 和GF AF的值，然后结合面积公式进行列式，得出二次函数解析式，最后结合二次函数的性质以及自变量的取值范围进行判断即可．【解析】解：如图所示，作AG ⊥BC 于F 点，交DE 于G 点，设AD =x ，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴DE AD AG AE x BC AB AF AC m ====，∴GF m x AF m-=，∴()2211212DE GF x m x S DE GF x m x S BC AF m m m BC AF --==⨯=⨯= ，整理得：22222111124S x m x x S m m m ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵点D 在AB 上，0m >，∴0x m <<，210m -<，∴抛物线21S S 的开口向下，且当2m x =时，21S S 取得最大值为14，当0x =和x m =时，均有210S S =，综上分析，21S S 的取值范围是21104S S <≤．8．Rt ABC 中，90C ∠=︒，20cm AC =，15cm BC =，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．（1）求运动时间为多少秒时，P 、Q 两点之间的距离为10cm?（2）若CPQ 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．（3）当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）()22204cm S t t =-；（3）3t =或4011t =【分析】（1）根据题意得到AP =4t cm ，CQ =2t cm ，AC =20cm ，CP =（20-4t ）cm ，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为t s ，则CP =（20-4t ）cm ，CQ =2t cm ，利用三角形的面积计算公式，即可得出S =20t -4t 2，再结合各线段长度非负，即可得出t 的取值范围；（3）分①Rt CPQ Rt CAB ∽△△和②Rt CPQ Rt CBA ∽△△，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【解析】（1）解：由运动知，AP =4tcm ，CQ =2t cm ，∵AC =20cm ，∴CP =（20-4t ）cm ，在Rt △CPQ 中，222CP CQ PQ +=，即()()222204210t t -+=；∴3t =秒或5t =秒（2）由题意得4AP t =，2CQ t =，则204CP t =-，因此Rt CPQ 的面积为()()2212042204cm 2S t t t t =⨯-⨯=-；（3）分两种情况：①当Rt CPQ Rt CAB ∽△△时，CP CQ CA CB =，即20422015t t -=，解得3t =；②当Rt CPQ Rt CBA ∽△△时，CP CQ CB CA =，即20421520t t -=，解得4011t =．因此3t =或4011t =时，以点C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似．9．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且DE ∥BC ，AF AE FE EC =．（1）求证：DF ∥BE ；（2）如且AF ＝2，EF ＝4，AB ＝ADE ∽△AEB ．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得AD AE BD EC =，则有AF AD FE BD =，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知12AD AF BD EF ==，然后可得AD =AE AD AB AE ==，最后问题可求证．【解析】解：（1）∵DE ∥BC ，∴AD AE BD EC =，∵AF AE FE EC =，∴AF AD FE BD =，∴DF ∥BE ；（2）∵AF ＝2，EF ＝4，∴由（1）可知，12AD AF BD EF ==，AE =6，∵AB ＝∴13AD AB ==∴363AE AD AB AE ====，∴3AE AD AB AE ==，∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△AEB ．10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，点D 为圆上一点且∠ADC =∠AOF ，OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）判断CD 与⊙O 的位置关系；（2）若sin C =13，BD =8，求EF 的长．【答案】（1）CD 与⊙O 相切；（2）2EF =．【分析】（1）要判断CD 与⊙O 的位置关系，可连接OD ，判断OD 与CD 能否垂直即可；（2）观察图形可知：EF =OF -OE ，所以要求EF ，只需设法分别求出OF 和OE 的长度即可；由于AB 是⊙O 的直径，可以判断出OF 与BD 平行的位置关系，从而利用OAE BAD △∽△和OCF BCD △∽△，即可分别求出OF 和OE 的长度．【解析】（1）CD 与⊙O 相切．证明：连接OD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADO +∠BDO =∠DAO +∠B =90°，∵OF ⊥AD ，OD =OA ，∴∠AOD =2∠AOF ，∠DAO =∠ODA ．∵∠AOD =2∠B ，∴∠ADC =∠B ．∴∠ADC +∠ADO =90°．∴OD ⊥CD ．∴CD 是⊙O 的切线．∴CD 与⊙O 相切．（2）设⊙O 的半径为r ．在Rt △OCD 中，∵1sin 3C =，∴13OD OC =，∴3OD r OC r ==，．∵OA =r ，∴AC =OC -OA =2r ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°．又∵OF ⊥AD ，∴OF ∥BD ．∴OAE BAD △∽△且OCF BCD △∽△．由OAE BAD △∽△，得，12OE OA BD AB ==．∴118422OE BD ==⨯=．由OCF BCD △∽△，得，34OF OC BD BC ==．∴338644OF BD ==⨯=．∴642EF OF OE =-=-=．11．如图，在ABC ∆中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC ∆∆ ；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD=．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF ∥BC ，于是可得△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，再根据相似三角形的性质即可推出结论．【解析】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵EAF BAC ∠=∠，AE AB AF AC =，∴△AEF ∽△ABC ；（2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ，∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴EG AG BD AD =,FG AG CD AD =，∴EG FG BD CD=．12．如图，已知，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，点E 在AB 上，过点E 作EF ⊥BC ，点G 在FE 的延长线上，且GA=GE ．（1）求证：AG 与⊙O 相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接OA ，由OA=OB ，GA=GE 得出∠ABO=∠BAO ，∠GEA=∠GAE ；再由EF ⊥BC ，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA ，最后得出∠GAO=90°求得答案；（2）BC 为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF ∽△BCA ，求得EF 、BF 的长，进一步在△OEF 中利用勾股定理得出OE 的长即可．【解析】（1）连接OA ，∵OA=OB，GA=GE∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE ∵EF⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ABO+∠BEF=90°，又∵∠BEF=∠GEA，∴∠GAE=∠BEF，∴∠BAO+∠GAE=90°，即AG与⊙O相切．（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，∴BC=10，∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴BF BE EF BA BC AC==∴EF=1.8，BF=2.4，∴OF=OB-BF=5.2．4=2.6，∴=．13．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F 在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）6273xyx-=-，0＜x＜3；2763xyx-=-，3＜x＜4.5；（3）x＝2或32或29 12【分析】（1）由AB CD∥得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．【解析】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB CD∥，∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴1,2CF EC CF NC AM AE BM NB ===,∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴26 5BNBN-=，∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF BC∥，此时△BEN不存在，∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由CF NCBM NB=得，692x BNx BN-=-，∴1843x BNx-=-，∴y＝12BN EG⋅＝11843 23xx-⋅⨯-＝6273xx--；如图3，当3＜x ＜4.5时，由BN BM CN CF=得，926BN x BN x-=+∴CN ＝2(92)3x x --，∴y ＝12(92)323x x -⋅⨯-＝2763x x --；（3）如图4，∵EG AB ∥，∴13CG EG CB AB ==，∴CG ＝13CB ＝2，∴GB ＝CB ﹣CG ＝4，∴BE ＝5，当BM ＝BE ＝5时，9﹣2x ＝5，∴x ＝2，如图5，当EM ＝EB ＝5时，作EH ⊥AB 于H ，∴BM ＝2BH ＝2EG ＝6，∴9﹣2x ＝6，∴x =32，如图6，当EM ＝BM 时，作MH ⊥BE 于H ，在Rt △BMH 中，BH ＝1522BE =，cos ∠MBH ＝cos ∠BEG ＝35EG BE =，∴BM ＝355252cos 6BH MBH ==∠，∴9﹣2x ＝256，∴x ＝2912，综上所述：x ＝2或32或2912．14．如图，在平行四边形ABCD 中，90ADB ∠=︒，10cm AB =，8cm AD =，点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为2cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，速度为1cm/s .当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P 作//PE BD 交AB 于点E ，连接PQ ，交BD 于点F .设运动时间为()()s 04t t <<.解答下列问题：（1）当t为___________时，//PQ AB？（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为()2cmy，求y与t的函数关系式.（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？（4）若点F关于AB的对称点为'F，是否存在某一时刻t，使得点P，E，'F三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）83；（2）233244y t t=--+；（351；（4）2425．【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即8-2t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=35t，根据平行线分线段成比例定理可得DP BEAD AB=，可得出BE=52t，根据y=S四边形APQB-S△BEQ即可求解；（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得PE APDB AD=，可得PE=6-32t，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=35t，可得出BH=45t，根据勾股定理得出EH2+HQ2=EQ2，列出方程即可求解；（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则1524BN EN BE t===，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出BF=2，然后证明△BNF∽△BDA，根据相似三角形的性质即可得t的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四边形PABQ是平行四边形，∴AP=BQ，∴8-2t=t，∴t =83，∴当t =83时，PQ ∥AB ；故答案为：83；（2）如图，过点Q 作QH ⊥AB 交AB 的延长线于点H ，∵∠ADB =90°，∴BD 2=AB 2-AD 2=100-64=36，即BD =6，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A =∠QBH ，又∵∠ADB =∠BHQ =90°，∴△ADB ∽△BHQ ，∴BD AB QH BQ =，即610QH t=，∴35QH t =，∵PE ∥BD ，∴DP BE AD AB =，即2810t BE =，∴52BE t =，∴y =S 四边形APQB -S △BEQ =211533(82)632422254t t t t t t -+⨯-⨯⨯=--+；（3）如图：∵PE ∥BD ，∴∠APE =∠ADB ，∵∠A =∠A ，∴△APE ∽△ADB ，∴PE AP DB AD =，即8268PE t -=，∴362PE t =-，∵点E 在线段PQ 的垂直平分线上，∴EQ =362PE t =-，由（2）得35,52QH t BE t ==，∴222234()55BH BQ QH t t =-=-=∴45335210EH BH BE t t t =+=+=，Rt △EQH 中，EH 2+HQ 2=EQ 2，∴2223333()()(6)1052t t t +=-，即t 2+2t -4=0，解得：1251,510t t =-=-<（舍去），∴当t 51时，点E 在PQ 的垂直平分线上；（4）连接FF '交AB 于点N ，∵点F 关于AB 的对称点为F ′，∴∠FEB =∠F ′EB ，FN ⊥EB ，∵点P ，E ，F ′三点共线，PE ∥AB ，∴∠F ′EB =∠ABD ，∴∠FEB =∠ABD ，∴EF =FB ，∴15,24BN EN BE t ===，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DPF =∠FQB ，∵DFP =∠BFQ ，∴△DPF ∽△BQF ，∴2DF DP BF BQ==，∴DF =2BF ，∴2BF +BF =6，∴BF =2，∵∠FBN =∠ABD ，∠FNB =∠ADB ，∴△BNF ∽△BDA ，∴BN BD BF AB=，∴564210t =，解得：t =2425，∴存在某一时刻t ，使得点P ，E ，F ′三点共线，t 的值为2425．15．如图，在矩形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE 并延长和DA 的延长线交于点G ，过点E 作CG 的垂线与CD 的延长线交于点H ，与DG 交于点F ，连接GH．（1）当tan 2BEC ∠=且4BC =时，求CH 的长；（2）求证：DF FG HF EF ⋅=⋅；（3）连接DE ，求证：CDE CGH ∠=∠．【答案】（1）10CH =；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据已知条件先求出CE 的长，再证明∠=∠BEC ECH ，在Rt △CHE 中解三角形可求得EH 的长，最后利用勾股定理求CH 的长；（2）证明∽∆∆GFE HFD ，进而得出结果；（3）由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，进而sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，再结合∠=∠ECD DCE ，可得出∽∆∆CDE CGH ，进一步得出结果.【解析】（1）解：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴90∠=︒=∠=∠BCD CEH B .而90BEC BCE ∠+∠=︒，90∠+∠=︒BCE ECH ，∴∠=∠BEC ECH ，又∵4BC =，tan 2BEC ∠=，∴2BE =，易得CE ==∴tan 2∠==EH ECH CE ，∴EH =∴10CH ==.（2）证明：∵矩形ABCD ，EH CG ⊥，∴∠=∠CEH HDG ，而∠=∠GFE DFH ，∴∽∆∆GFE HFD ，∴=DF FH EF FG，∴⋅=⋅DF FG EF FH ；（3）证明：由（2）∽∆∆GFE HFD 得∠=∠EGF FHD ，∴sin sin ∠=∠EGF FHD ，即=CD CE CG CH，而∠=∠ECD DCE ，∴∽∆∆CDE CGH ，∴CDE CGH ∠=∠．。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形典型习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x xx -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
相似三角形”A“字模型(含详细答案)-经典.docx
教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时△ ABC与厶AB C ■相似，AH是厶ABC中BC边上的高线，AH ■是△ ABC ■中BC ■边上的高线，则有AB _ BC AB^BCAC AHk =AC AH（k为相似比）.进而可得S∆ ABCS∆ ABC1BC AH211BC AH2BC AH 2kBC AH、相似三角形的判定1.平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.2•如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似•可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似.3•如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.4. 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似.5. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.6•直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7.如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底三、相似证明中的基本模型A字形图①A字型，DE//BC ;结论: AD _ AE _ DE AB 一AC 一BC，【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在∆ABC中，点D, E, F分别在边AB, AC, BC上，且DE// BC, DF// AC, 求证：∆ADEs∆ DBF.证明：①又∙∙∙DF//AC,②∙∙∙DE// BC,③∙∙∙∠ A= ∠ BDF,④∙∙∙∠ ADE=∠ B,A.③②④①B.②④①③C.③①④②D.②③④①【解答】证明：②I DE// BC,④∙∠ADE=∠ B,①又∙∙∙DF// AC,③∙∠A= ∠ BDF,•••△ ADE^∆DBF.故选：B.故选：A .【练1】如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90, BC=16cm, AC=12cm ,点P 从点B 出发，以2cm∕秒的速度向点 C 移 动，同时点Q 从点C 出发，以1cm∕秒的速度向点 A 移动，设运动时间为与厶ABC 相似.【解答】 解：CP 和CB 是对应边时，△ CPQ^△ CBA 所以，C e ICB CA即-■ -I --t1512解得t=4.8;CP 和CA 是对应边时，△ CPQ^△ CAB, 所以，丄二二，CA CBIMtt 12^16 解得t=-综上所述，当t=4.8或斤一时，△ CPQ 与厶CBA 相似. 故答案为4.8或〒二.AE AD DE 图②反A 字型，∠ ADE ∠ B 或∠仁∠B 结论：==AC AB BCt 秒，当t= 4.8或空秒时，△ CPQ---------- 11-【例2】如同，在△ ABC 中，点D , E 分别在边AB , AC 上，下列条件中不能判断厶 ABC^△ AED 的是（ ）AD AE AB =AC AD AC-'AB【解答】 解：τ∠ DAE=∠ CAB,•••当∠ AED=∠ B 或∠ ADE=∠ C 时，△ ABC ^△ AED; AD .AC'AE∙≠∙件二 ι∙WA . B.C.∠ ADE=∠ C D .∠ AED=∠ B时，△ ABC ^△ AED. 当—昱L 二一―即【例3】如图，P 是厶ABC 的边AB 上的一点.（不与A 、B 重合）当∠ ACP=∠ B 时，△ APC 与厶ABC 是否相 似；当 AC AP 、AB 满足 丄二丄 时，△ ACP 与厶ABC 相似.— AC AB-【解答】解：τ∠ A= ∠ A ,∠ ACP=∠ B ,故答案为：B ；寺二二【练习1】如图，D 、EABC 的边AC 、AB 上的点，当 ∠ ADE=∠ B 时，△ ADE ^△ ABC.其 中D 、E 分别对应B 、C.（填一个条件）. 【解答】解：当∠ ADE=∠ B ,∙∠ EAD=∠ CAB,• △ ADE ^△ ABC. 故答案为∠ ADE=∠ B .【练习2】如图，在△ ABC 中，D E 分别在AB 与AC 上，且AD=5, DB=7, AE=6, EC=4 求证：△ ADE ^△ ACB.【解答】证明：• AD=5, DB=7, AE=6, EC=4, • AB=5+7=12, AC=6+4=10,.AD = 5 _1 AE = 6 _1 • AC 10 T r AB 12 = 2， .AP =Ag• AC AB ， 又∙∠ A= ∠ A , • △ ADE ^△ ACB.【练习3】如图，AB=AC, ∠ A=36° , BD 是∠ ABC 的角平分线，求证：△ ABC^△ BCD. 【解答】证明：• AB=AC, ∠ A=36°, ∙∠ ABC=∠ C=72 , • BD 是角平分线，∙∠ ABD=∠ DBC=36 , ∙∠ A= ∠ CBD, 又∙∠ C=∠ C, • △ ABC^△ BCD.•丄二丄''[I∠ A= ∠ A ,【练习4】已知：如图，△ ABC 中，∠ ACD=∠ B ,求证：△ ABC^△ ACD. 【解答】 证明：τ∠ ACD=∠ B ,∠ A= ∠ A ,【例4】如图，在△ ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，∠ AED=∠ ABC,∠ BAC 的平分线 AF 交DE 于点G ,• △ ABC^△ AED.τ∠ AED=∠ ABC,∠ EAG=∠ BAF,• △ AEG^△ ABF.【练习5】如图，已知 AD?AC=AB?AE 求证：△ ADE^△ ABC. 【解答】证明：I AD?AC=AE?AB— =AEAB AC在厶ABC 与厶ADE 中 ■: 一.AEAB AC• △ ABC^△ ADE.【练习6】已知：如图，在厶ABC 中，D , E 分别为AB 、AC 边上的点，且AD 匚AE,连接DE.若AC=4, AB=5.求 证：△ ADE ^△ ACB【解答】证明：∙∙∙ AC=3, AB=5, ADjL 匕,5.AC _ AB厂-Λ,τ∠ A= ∠ A ,• △ ADE ^△ ACB.图③双A 字型交BC 于点F .(1)试写出图中所有的相似三角形，并说明理由.3'2BC的值. 【解答】 解：(1 )∙∙∙∠ AED=∠ ABC,∠ EAD=∠ BAC,,∠ A= ∠ A , R3(2)若,求小τ∠ EDG=∠ ACF, ∠ DAG=∠ CAF , •••△ ADG sA ACF.•••△ ADG sA ACF,」丄 .A.-. 3GF 5【练习1】如图，在△ ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 上的点，AE=4, AB=6, AD : AC=2: 3,A ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F .(1) 请你直接写出图中所有的相似三角形； (2) 求AG 与GF 的比.【解答】 解：(1 )△ ADG sA ACF △ AGE^A AFB,A ADE sA ACB;(2).• AE _4」2 AD _2(∙ TiTE =可，疋=可胚. -AE)AB '又 τ∠ DAE=∠ CAB,• △ ADE sA ACB,∙∠ ADG=∠ C ,∙∙∙ AF 为角平分线，∙∠ DAG=∠ FAE• △ ADG sA ACF,AG. 3GF 2(2)AG . Ar 2 ^^' AC 3 =2.AG GF图④内含正方形 A 字形，结论AH a=_^ ( a 为正方形边长) AH BC【例5】如图，△ ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm ,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH 使它的一边EF 在BC 上，顶点 G 、H 分别在 AC, AB 上，AD 与HG 的交点为 M .(2)的周长;(3)是否存在一个实数 a ,当HEFa 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在,请说明理由.【解答】(1)证明：•••四边形 HEFG 为矩形, ∙∙∙ HG // EF, 而 AD ⊥ BC,∙ AM 丄 BC, •••△ AHGsA ABC,AJfl HGAD - S BC(2)解：设 HE=X HG=2X,•这个矩形 EFGH 的周长=2x+4x=6x=72 (Cm );(3) 存在.AD BC(1)求证:30-x i 2x30 - _40,解得x=12,则30-a . .HG 30当HE=a,则• HG=- 430_ 2X 〔申 即当HEF Cm 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大.4• S 矩形 HEFG Fa (- a+30) F -a 2+30a ,当a=- 454时，S 矩形HEFG 最大, 试求出a ；若不存在,【练习1】如图，△ ABC ,是一张锐角三角形的硬纸片， AD 是边BC 上的高，BC=80cm , AD=60cm ,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH 使它的一边 EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC, AB 上,AD 与HG 的交点为M .(2)求这个矩形 EFG H 的面积.∙∙∙ EF// GH, ∙∙∙∠ AHG=∠ ABC,又 τ∠ HAG=∠ BAC,AJI L L … ADBC(2)解：设 HE=XCm, MD=HE=xcm , ■/ AD=60cm ,• AM= (60 - x ) Cm , ∙∙∙ HG=2HE, • HG=2xcm,AD ~BC'解得，x=24, 故 HE=24, HG=2x=48, 则矩形 EFGH 的面积=24 × 12=1152cm 2.【例6】如图，在△ ABC 中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，且 求证：AD=EB【解答】证明：过D 点作DH / BC 交AB 于H,如图, ∙/ DH // BC, • △ AHD ^△ ABC,∙/ DH // BE ,M L .HG AD BC的理由;(1)试说明:&0-x. -2x60 ' SO可得【解答】(1)证明：I 四边形 EFG H 为矩形,AD DH AC CS B CAD ACBC,即GH5DED-2.-EF HD DP , AC EFBC ' -Il =■> DF ADHD DH,∙∙∙ AD=EB.【例7】如图，在△ ABC中，∠ BAC=90, BC的垂直平分线交BC于点E,交CA的延长线于D,交AB于点F,求证：AE=EF?ED【解答】解：τ∠BAC=90 ,∙∠B+∠ C=90, ∠ D+∠ C=90 ,∙∠B=∠ D,∙∙∙ BC的垂直平分线交BC于点E,∠ BAC=90 .• BE=EA∙∠B=∠ BAE∙∠D=∠ BAEτ∠FEA=∠AED,• △ FEA^△ AED,.恆=DE•EP =AE•AE=EF?ED旋转型”相似三角形，如图•若图中∠仁∠ 2,∠ B=∠ D（或∠ C=∠ £）,则厶ADE∞^ABC,该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的.【例8】如图，在厶ABC与厶ADE中，∠ BAC=∠ D,要使△ ABC与厶ADE相似，还需满足下列条件中的（）AC AB AD=AE AC BC AD==DE【解答】解：τ∠BAC=∠D, • △ ABC^△ ADE.AC ABAD=DEAC ABADAC BCAE ==AEA. B.C D.E故选：C.【练习1】如图所示，在厶ABC 与厶ADE 中，AB?ED=AE?BC 要使△ ABC 与厶ADE 相似，还需要添加一个条件, 这个条件是∠ B=∠ E （答案不唯一）（只加一个即可）并证明.【解答】解：条件①，∠ B=∠ E 证明：∙∙∙ AB?ED=AE?BCAEECAD•••△ ABC^△ AED.故答案为：∠ B=∠ E （答案不唯一）【练习 2】如图，已知：∠ BAC=∠ EAD, AB=20.4, AC=48, AE=17, AD=40. 求证：△ ABC^△ AED.【解答】证明：I AB=20.4, AC=48, AE=17, AD=40. • AB =20. 4 =1 2 AC 座=1 2• AE .,而 40 .， •塑座'二=「，∙∙∙∠ BAC=∠ EAD,• △ ABC^△ AED.【练习3】如图，在△ ABC 和厶ADE 中，已知∠ABC^△ ADE.【解答】 解：如图，τ∠ BAD=∠ CAE, ∙∠ BAD+ ∠ BAE=∠ CAE+ ∠ BAE , 即 ∠ DAE=∠ BAC. 又τ∠ B= ∠ D ,• AB - BCAE F.C∙∙∙∠ B= ∠ E ,• △ ABC^△ AED.条件②, AD==AEAC证明：•• • AB? ED=AE?BC• AB = BCAE EC-AE --- ,AC AB AB =BC = AC B= ∠ D ,∠ BAD=∠ CAE 求证：△C• △ABC^△ADE.【练习4】如图，△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠ PDE=90 .(1)若将△ DEP的顶点P放在BC上(如图1) , PD PE分别与AC、AB相交于点F、G.求证:(2)若使△ DEP的顶点P与顶点A重合(如图2), PD、PE与BC相交于点F、似吗？为什么？【解答】(1)证明：如图1,•••△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形,∙∙∙∠B=∠ C=∠ DPE=45 ,∙∙∙∠BPG+∠ CPF=135,在厶BPG 中，τ∠B=45,∙∠BPG+∠ BGP=135 ,∙∠BGP=∠ CPF,τ∠B=∠C,•••△ PBG∞^ FCP(2)解：△ PBG与厶FCP相似.理由如下：如图2, •••△ ABC △ DEP是两个全等的等腰直角三角形,∙∠B=∠C=∠DPE=45 ,∙∙∙∠ BGP=∠C+∠CPG=45 + ∠CAG,∠CPF=Z FPGF ∠CAG=45 + ∠CAG,∙∠AGP=∠CPF,τ∠B=∠C,•••△ PBG∞^ FCP.课堂小结: △ PBG∞^ FCPG.试问△ PBG与厶FCP还相。
初中数学经典几何模型08-相似三角形中的基本模型(含答案)
初中数学经典几何模型专题08相似三角形中的基本模型【专题说明】相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。
复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。
【模型】一、“8”字型及其变形模型展示：(1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ABCD＝OAOC＝OBOD.(2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ABCD＝OAOD＝OBOC.图1图21、如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，BD和CE相交于点F.如果DF＝2，那么线段BF的长度为____.2、已知：如图，AD·AB＝AF·AC，求证：△DEB∽△FEC.【模型】二、“A ”字型及其变形模型展示：(1)如图1，DE ∥BC ⇔△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC.(2)如图2，∠AE D ＝∠B ⇔△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC.(3)共边共角模型，如图3，∠ACD ＝∠B ⇔△ADC ∽△ACB ⇔AD AC ＝AC AB ＝CD BC.图1图2图31、在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A .已知BC ＝22，AB ＝3，则BD ＝____.2、如图，已知BE ，CD 是△ABC 的两条高，连接DE ，求证：△ADE ∽△ACB .3、如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：1AB＋1CD＝1EF.【模型】三、“手拉手”旋转型模型展示：如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.【模型】四、“子母(双垂直)”型模型展示：如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.1、如图，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D .如果AC ＝3，AB ＝6，那么A D 的值为()A .32B .92C .332D ．332、如图，AD ∥BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB .证明：△AEF ∽△ABE .【模型】五、“三垂直”模型与“一线三等角”模型模型展示：(1)“三垂直”模型如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.1、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE.(1)求证：△ABE∽△ECD；(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.【基础训练】1.（2019浙江杭州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．＝B．＝C．＝D．＝2.如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（）A．B．C．D．3.如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．54.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：95.如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6.已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（）A．2B．C．3D．7.如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（）A．（2，﹣4）B．（1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（﹣4，2）（二）填空题1.在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．2.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．3.已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为．4.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．5.如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k的值为．6.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是．7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CD的长是．8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝．【巩固提升】1.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP 绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是1，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．2.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE＝CF；（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．3.如图①，在R t△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．4.阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”……老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”（1）求证：∠BAE＝∠DAC；（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．5.已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．6.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B 重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．7.已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．（1）求证：直线OD是⊙E的切线；（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标（直接写出）；②求的最大值．8.在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝°；（2）如图2，连接AF．①填空：∠FAD＝∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；②求证：点F在∠ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．专题08相似三角形中的基本模型答案【专题说明】相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。
相似三角形”A“字模型(含详细问题详解)-经典
教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==， 【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：△ADE∽△DBF．证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【解答】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．故答案为4.8或．图②反A字型，∠ADE=∠B或∠1=∠B结论：AE AD DE==AC AB BC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE=∠B．【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，∴====，∴=，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠CBD，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【练习4】已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．【解答】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．【练习5】如图，已知AD•AC=AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，∴=在△ABC与△ADE 中∵=，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE．【练习6】已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=4，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．图③双A字型【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC 的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若=，求的值．【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，∴△ABC∽△AED．∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF，∴△AEG∽△ABF．∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF，∴△ADG∽△ACF．（2）∵=，∴=，∵△ADG∽△ACF，∴==．【练习1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；（2）求AG与GF的比．【解答】解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；（2）∵==，=，∴=，又∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADG=∠C，∵AF为角平分线，∴∠DAG=∠FAE∴△ADG ∽△ACF ， ∴==，∴=2．图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）【例5】如图，△ABC ，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，AD=30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M ． （1）求证：=；（2）求这个矩形EFGH 的周长；（3）是否存在一个实数a ，当HE=a 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a ；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形HEFG 为矩形， ∴HG ∥EF ， 而AD ⊥BC ， ∴AM ⊥BC ，。
相似三角形中的常见五种基本模型(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-几何模型篇
模型探究相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复.模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型与反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）模型四、共边角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型考点一、A 字相似模型【例1】．如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．➢变式训练 【变式1-1】．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AH ⊥BC 于点H ，与DE 交于点G ．若，则＝ ．例题精讲【变式1-2】.如图，在△ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AE＝AB，连接EM 并延长，交BC的延长线于D，则＝__________.【变式1-3】．如图，在△ABC中，点D在边AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分线AE交CD于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的长度．考点二、8字与反8字相似模型【例2】．如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值➢变式训练【变式2-1】．如图，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则下列结论中错误的是（）A．B．C．D．【变式2-2】．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为（）A．8B．10C．12D．14【变式2-3】.如图，锐角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，则DE：BC＝．考点三、AX型相似模型（A字型及X字型两者相结合）【例3】.如图，在△ABC中，点D和E分别是边AB和AC的中点，连接DE，DC与BE交于点O，若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为（）A．6B．9C．12D．13.5➢变式训练【变式3-1】.如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝．【变式3-2】．如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF ＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．【变式3-3】.如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，，．（1）求证：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．模型四、子母型相似模型【例4】.如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．➢变式训练【变式4-1】.如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．D．【变式4-2】.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2【变式4-3】．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则P A+PB 的最小值为．模型五、手拉手相似模型【例5】.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为．➢变式训练【变式5-1】.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求证：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．【变式5-2】.如图，点D是△ABC内一点，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．【变式5-3】．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为．（用含k的式子表示）实战演练1．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．＝B．C．D．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为（）A．2：3B．2：5C．4：9D．：3．如图，菱形ABCD中，E点在BC上，F点在CD上，G点、H点在AD上，且AE∥HC ∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？（）A．CF B．FD C．BE D．EC4．如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ＝CE时，EP+BP的值为（）A．6B．9C．12D．185．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′＝2，则AA′等于（）A．B．2C．D．6．如图，已知，△ABC中边AB上一点P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，则BP＝．7．如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD 于点F，如果△AEF的面积是4，那么△BCE的面积是．8．如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为．9．如图，已知Rt△ABC中，两条直角边AB＝3，BC＝4，将Rt△ABC绕直角顶点B旋转一定的角度得到Rt△DBE，并且点A落在DE边上，则sin∠ABE＝．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．11．如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC 于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求ME的长．12．[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，①填空：＝；②求的值．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于点M、N，连接EN、EF．（1）求证：△ABN∽△MBE；（2）求证：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周长；②若点G、F分别是EF、CD的中点，连接NG，则NG的长为．14．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．15．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的数量关系BG＝DE及所在直线的位置关系BG⊥DE；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a ≠b，k＞0），则线段BG、线段DE的数量关系＝及所在直线的位置关系BG ⊥DE；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接写出BE2+DG2的值为．。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A ”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD 、BC 相交于点O ，连接AB 、CD ；结论：①A B C D ∠+∠=∠+∠；②AB CD AD BC +<+。
8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP 平分∠BAD ，线段CP 平分∠BCD ；结论：2∠P =∠B +∠D例1．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ∠，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应（填“增加”或“减少”）度．【答案】减少10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如图，连接CF并延长，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，若只调整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此应将∠D减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠K 的度数．【答案】540°【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，然后由多边形的内角和公式可求得答案．【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∠A ＋∠B ＝∠IJL ，∠C ＋∠D ＝∠MLJ ，∠H ＋∠K ＝∠GIJ ，∠E ＋∠F ＝∠GML ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠K ＝∠IJL ＋∠MLJ ＋∠GML ＋∠G ＋∠GIJ ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段,AB CD 相交于点O ，连接,AC BD ，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：A C B D ∠+∠=∠+∠；(2)如图2，若CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，且与,CD AB 分别相交于点M N 、．①若100,120B C ∠=︒∠=︒，求P ∠的度数；②若角平分线中角的关系改为“11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠”，试探究P ∠与,B C ∠∠之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①110︒；②()123P B C ∠=∠+∠【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；（2）①根据角平分线的定义得到CAP BAP ∠=∠，BDP CDP ∠=∠，再根据“8字形”得到,CAP C CDP P BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，两等式相减得到C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P B C ∠=∠+∠，即可求解．②根据11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，可得23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得()2C P P B ∠-∠=∠-∠，即可求解．【详解】（1）证明：在AOC 中，180A C AOC ∠+∠=︒-∠，在BOD 中，180B D BOD ∠+∠=︒-∠，∵AOC BOD ∠=∠，∴A C B D ∠+∠=∠+∠；（2）解：①∵CAB ∠和BDC ∠的平分线AP 和DP 相交于点P ，∴,CAP BAP BDP CDP ∠=∠∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠①，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠②，由-①②，得：C P P B ∠-∠=∠-∠，即()12P C B ∠=∠+∠，∵100,120B C ∠=︒∠=︒，∴()11001201102P ∠︒=︒︒=+；②∵11,33CAP CAB CDP CDB ∠=∠∠=∠，∴23BAP BAC ∠=∠，23BDP BDC ∠=∠，∵CAP C CDP P ∠+∠=∠+∠，BAP P BDP B ∠+∠=∠+∠，∴()111333C P BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，()222333P B BDC BAC BDC BAC ∠-∠=∠-∠=∠-∠，∴()2C P P B ∠-∠=∠-∠，∴()123P B C ∠=∠+∠），故答案为：()123P B C ∠=∠+∠．【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD BC +与AB CD +的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE OF =，连接PE ，PF ．求证：PE PF =；(3)如图3，在ABC 中，AB AC >，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB PC BD CD ->-．【答案】(1)AD BC AB CD +>+；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE BE AB +>，CE ED CD +>，两式相加即可得出结论；（2）根据SAS 证OEP OFP △≌△即可得出结论；（3）在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F ，证APE APC ≌，即PC PE =，同理证CD DE =，然后同理（1）得PB CD PC BD +>+，变形不等式即可得出结论．【详解】（1）解：AD BC AB CD +>+，理由如下：AE BE AB +> ，CE ED CD +>，AE BE CE ED AB CD ∴+++>+，即AD BC AB CD +>+；（2）证明：OC 平分AOB ∠，EOP FOP ∴∠=∠，在OEP 和OFP △中，OE OF EOP FOP OP OP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OEP OFP SAS ∴ ≌，PE PF ∴=；（3）证明：在AB 上取一点E ，使AE AC =，连接DE 交BP 于点F，AD 是BAC ∠的角平分线，EAP CAP ∴∠=∠，在APE V 和APC △中，AE AC EAP CAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()APE APC SAS ∴ ≌，PE PC ∴=，同理可证DE DC =，EF PF EP +> ，BF FD BD +>，EF PF BF FD EP BD ∴+++>+，即PB DE EP BD +>+，PB CD PC BD ∴+>+，PB PC BD CD ∴->-．【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．例5．（2023春·江苏苏州·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论A B C D ∠+∠=∠+∠．我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论AOC A C P ∠=∠+∠+∠．(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，说明：()12P B D ∠=∠+∠．(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，若30B ∠=︒，20D ∠=︒，求P ∠的度数．②在图4中，AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系（直接写出结果，无需说明理由）．【答案】(1)见解析(2)①25︒；②()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③()190+2P B D ∠=︒∠+∠【分析】（1）根据角平分线的定义可得1234∠=∠∠=∠，，再根据题干的结论列出3214P ABC P ADC ∠+∠=∠+∠∠+∠=∠+∠，，相加得到22314P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，继而得到2P ABC ADC ∠=∠+∠，即可证明结论；（2）①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，根据（1）的结论得到()1252H B D ∠=∠+∠=︒，再由角平分线的定义和平角的定义证明90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，再根据题干的结论可推出25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，则由四边形内角和定理可得()11802P B D ∠=︒-∠+∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，由角平分线的定义得到1122BAP BAO BCP BCE ==∠，∠，再求出1902BCP BCD =︒-∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，由此可得()1902P B BAP BCP B D =++=︒++∠∠∠∠∠∠．【详解】（1）解：∵AP CP 、分别平分BAD BCD ∠∠、，∴1234∠=∠∠=∠，，∴2314∠+∠=∠+∠，由题干的结论得：32P ABC ∠+∠=∠+∠，∠14P ADC +∠=∠+∠，∴21324P ABC ADC ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠，∴2P ABC ADC ∠=∠+∠，∴()12P ABC ADC ∠=∠+∠，即()12P B D ∠=∠+∠；（2）解：①如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()1252H B D ∠=∠+∠=︒，∵PC HC ，分别平分BCE BCD ∠，∠，∴1122BCP BCE BCH BCD ==∠，∠，∵180BCD BCE ∠+∠=︒∴119022BCP BCH BCD BCE +=+=︒∠∠∠∠，∴90PCH ∠=︒，同理可得90PAH ∠=︒，由题干的结论可得P PAH H PCH +=+∠∠∠∠，∴25P H ==︒∠∠；②如图所示，分作BAD BCD ∠∠，的角平分线交于H ，由（1）的结论可知()12H B D ∠=∠+∠，，同理可得90PCH ∠=︒，90PAH ∠=︒，∴()13601802P PAH PCH H B D =︒---=︒-+∠∠∠∠∠∠；③由题干的结论可得P B BAP BCP =++∠∠∠∠，∵AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，∴1122BAP BAO BCP BCE ==∠∠，∠∠，∵180BCE BCD =︒-∠∠，∴1902BCP BCD =︒-∠∠，由题干的结论可知B BAO D BCD +=+∠∠∠∠，∴BAO D BCD B =+-∠∠∠∠，∴P B BAP BCP =++∠∠∠∠119022B BAO BCD =++︒-∠∠1111902222B D BCD B BCD =++-+︒-∠∠∠∠()1902B D =︒++∠∠．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8”字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．模型2、“A ”字模型结论：①∠3+∠4=∠D +∠E ；②∠1+∠2=∠A +180°。
相似三角形重要模型—(双)A字型与(双)8字型—2023-2024学年九年级数学上册(解析版)
相似三角形重要模型-（双）A 字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X ）字模型．A 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1. “A ”字模型 【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31）“A ”字模型 条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DEBC. 2）反“A ”字模型 条件：如图2，∠AE D ＝∠B ；结论：△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DEBC .3）同向双“A ”字模型条件：如图3，EF ∥BC ；结论：△AEF ∽△ABC ，△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ⇔EG FG AGBD CD AD== 例1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，DE 1BC 4=．(1)若8AB =，求线段AD 的长．(2)若ADE 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明ADE ABC △△∽，得到DE ADBC AB=即可求出； （2）利用平行条件证明ADE EFC ∽，分别求出ADE EFC 与、ADE ABC 与的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出EFC S V 、ABCS，最后通过BFEDABCEFCADESSSS=−−求出．(1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，∴ADE ABC △△∽，∴DE ADBC AB=， ∵DE 1BC 4=，∴AD 1AB 4=，∴118244AD AB ==⨯=； (2)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，EF AB ∥，DE =BF ，∴,AED ECF EAD CEF ∠=∠∠=∠，∴ADE EFC ∽∴2ADE EFCSDE SFC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵DE 1BC 4=，DE =BF ，∴43FC BC DE DE DE DE =−=−=， ∴133DE DE FC DE ==，∴221139ADE EFCS DE SFC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵ADE ABC △△∽，DE 1BC 4=，2211416ADE ABCS DE SBC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵1ADE S =△，∴9,16EFCABCSS==，∴16916BFEDABCEFCADES SSS=−−=−−=．【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．例2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高．求证：ACB AED ∽V V ．【答案】见详解【分析】先证明ACE ABD ∽，即有AE ACAD AB =，再结合A A ∠=∠，即可证明ACB AED ∽V V ．【详解】∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，∴90AEC ADB ∠=∠=︒， ∵A A ∠=∠，∴ACE ABD ∽，∴AE ACAD AB =，又∵A A ∠=∠，∴ACB AED ∽V V ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键． 例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD =是ABC 的高．8,6BC AD ==，那么EH 的长为____________．【答案】245##4.8【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出E H B C ∥，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为△AEH 的高，可得出AM EHAD BC =，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH 是矩形，∴E H B C ∥，∴AEF ABC ∽， ∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，∴,AM EH DM EF AD BC ==，∴6AM AD DM AD EF EF =−=−=−，∵=2EH EF ，代入可得：6268EF EF −=，解得12=5EF ， ∴1224=255EH ⨯=，故答案为：245．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DEBC的值． (3)如图3，在ABCD 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5+【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△，利用相似比即可证明此问； （2）由（1）得DG EG =，CG DE ⊥，得出DCE 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出DEBC的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长． (1)解：∵DE BC ∥，∴,ADG ABF AEG ACF △△△△， ∴,==DG AG EG AG BF AF CF AF ，∴DG EGBF CF=．∵BF CF =，∴DG EG =． (2)解：由（1）得DG EG =，∵CG DE ⊥，∴6CE CD ==． ∵3AE =，∴9AC AE CE =+=．∵DE BC ∥，∴ADEABC ．∴13DE AE BC AC ==． (3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．在ABCD 中，,45=∠=∠=︒BO DO ABC ADC ． ∵EG BD ∥，∴由（1）得=ME GE ，∵⊥EF EG ，∴10==FM FG ，∴∠=∠EFM EFG ． ∵40∠︒=EGF ，∴40EMF ∠=︒，∴50EFG ∠=︒． ∵FG 平分EFC ∠，∴50∠=∠=︒EFG CFG ， ∴18030∠=︒−∠−∠−∠=︒BFM EFM EFG CFG ．∴．在Rt FMN 中，sin 305,cos30=︒==︒=MN FM FN FM∵45,∠=︒⊥MBN MN BN ，∴5==BN MN ，∴5=+=+BF BN FN【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．例5. （2022•安庆一模）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥AB ．（1）若点D 是边BC 的中点，且BE ＝CF ，求证：DE ＝DF ；（2）若AD ⊥BC 于D ，且BD ＝CD ，求证：四边形AEDF 是菱形；（3）若AE ＝AF ＝1，求+的值．【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE 是△ABC 的中位线，进而可得DE ＝FC ，同理可得DF ＝BE ，即可解答；（2）根据已知易证四边形AEDF 是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD ＝∠CAD ，然后利用平行线的性质可得∠＝∠CAD ，从而可得∠BAD ＝∠EDA ，进而可得EA ＝ED ，即可解答； （3）根据A 字模型相似三角形可知△BED ∽△BAC ，△CDF ∽△CBA ，从而可得＝，＝，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵点D 是边BC 的中点，DE ∥CA ，∴点E 是AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝AC ，∵点D 是边BC 的中点，DF ∥AB ，∴点F 是AC 的中点， ∴FC ＝AC ，∴DE ＝FC ，同理可得：DF ＝BE ，∵BE ＝FC ，∴DE ＝DF ；（2）证明：∵DE ∥CA ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形， ∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD ，∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF是菱形；（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF，DF＝AE，∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值为1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键．模型2. “X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“8”字模型条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔ABCD＝OAOC＝OBOD.2）反“8”字模型条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔ABCD＝OAOD＝OBOC.3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB∥C D；结论：AE BE ABDF CF CD==4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△B O C，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.例1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则（1）AB 与CD 是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE ＝______．【答案】 是【分析】（1）证明△ACG ≌△CFD ，推出∠CAG =∠FCD ，证明∠CEA =90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB 的长，证明△AEC ∽△BED ，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：（1）如图：AC =CF =2，CG =DF =1，∠ACG =∠CFD =90°， ∴△ACG ≌△CFD ， ∴∠CAG =∠FCD ， ∵∠ACE +∠FCD =90°，∴∠ACE +∠CAG =90°，∴∠CEA =90°，∴AB 与CD 是垂直的，故答案为：是；（2）AB ∵AC ∥BD ，∴△AEC ∽△BED ，∴AC AEBD BE =，即23AE BE =，∴2AE BE =∴AE =25BE【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．例2.（2022·广西·中考模拟）如图，已知在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BA •BC ＝BD •BE ．（1）求证：△ABD ∽△EBC ；（2）求证：AD 2＝BD •DE ．【答案】见解析【解答】证明：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBC ， ∵BA •BC ＝BD •BE ．即AB BC=BD BE，∴△ABD ∽△EBC ；（2）∵△ABD ∽△EBC ，∴∠BAD ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠BCE ， ∵∠AED ＝∠BEC ，∴∠BAD ＝∠AED ，∴△ADE ∽△BEC ， ∴△AED ∽△ABD ，∴AD BD=DE AD，即AD 2＝BD •DE ．例3.（2023·浙江九年级期中）如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．（1）求证：∠A ＝∠D ．（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．【答案】【解析】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．∴OB OC =AO DO，∵∠AOB ＝∠COD ，∴△OAB ∽△ODC ，∴∠A ＝∠D ． （2）∵∠A ＝∠D ，∴AB ∥CD ， ∴AE DF =OE OF ，BE CF =OE OF ，∴AE DF =BECF． ∵AE ＝BE ，∴CF ＝DF ．例4．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC =，AD 与BC 相交于点O ． (1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AOAD的值为______； (2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE ． ①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC =，求OE 的长；②如图3，当60ACB ∠=︒时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB ⊥．【答案】(1)等腰三角形，13(2)①OE =②见解析【分析】（1）过点C 作CH ⊥BD 于H ，可得四边形ABHC 是矩形，即可求得AC =BH ，进而可判断△BCD 的形状，AC 、BD 都垂直于l ，可得△AOC ∽△BOD ，根据三角形相似的性质即可求解．（2）①过点E 作EF AD ⊥于点H ，AC ，BD 均是直线l 的垂线段，可得//AC BD ，根据等边三角形的性质可得30BAD ∠=︒，再利用勾股定理即可求解．②连接CD ，根据//AC BD ，得60CBD ACB ∠=∠=︒，即BCD △是等边三角形，把ABD △旋转得90ECD ABD ∠=∠=︒，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到13AF AO AB AD ==，则可得AOF ADB △∽△，根据三角形相似的性质即可求证结论． (1)解：过点C 作CH ⊥BD 于H ，如图所示：∵AC ⊥l ，DB ⊥l ，CH ⊥BD ，∴∠CAB =∠ABD =∠CHB =90°，∴四边形ABHC 是矩形，∴AC =BH ， 又∵BD =2AC ，∴AC=BH=DH ，且CH ⊥BD ，∴BCD △的形状为等腰三角形， ∵AC 、BD 都垂直于l ，∴△AOC ∽△BOD ，122AO AC AC DO DB AC ∴===，即2DO AO =， 133AO AO AD AO DO A AO O ∴===+，故答案为：等腰三角形，13．(2)①过点E 作EF AD ⊥于点H ，如图所示：∵AC ，BD 均是直线l 的垂线段，∴//AC BD ，∵ADE 是等边三角形，且AE 与AC 重合，∴∠EAD =60°，∴60ADB EAD ∠=∠=︒，∴30BAD ∠=︒，∴在Rt ADB 中，2AD BD =，=AB ，又∵2BD AC =，32AC =，∴6,AD AB ==∴132AH DH AD ===，又Rt ADB ，∴EH =又由（1）知13AO AD =，∴123AO AD ==，则1OH =，∴在Rt EOH △中，由勾股定理得：OE =②连接CD ，如图3所示：∵//AC BD ，∴60CBD ACB ∠=∠=︒，∵BCD △是等腰三角形，∴BCD △是等边三角形，又∵ADE 是等边三角形， ∴ABD △绕点D 顺时针旋转60︒后与ECD 重合，∴90ECD ABD ∠=∠=︒， 又∵60BCD ACB ∠=∠=︒，∴30ACF FCB FBC ∠=∠=∠=︒， ∴2FC FB AF ==，∴13AF AO AB AD ==，又OAF DAB ∠=∠，∴AOF ADB △∽△， ∴90AFO ABD ∠=∠=︒，∴OF AB ⊥．【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．模型3. “AX ”字模型（“A 8”模型） 【模型解读与图示】图1 图2 图3 1）一“A ”一“8”模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ，△DEF ∽△CBF ⇔AD AE DE DF FEAB AC BC FC BF====2）两“A ”一“8”模型条件：如图2，DE ∥AF ∥BC ；结论：111BC DE AF+=. 3）四“A ”一“8”模型 条件：如图3，DE ∥AF ∥BC,1111BC DE AF AG+==；结论：AF =AG 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立．．．的是（ ）A ．AD AEDB EC= B ．DE DFBC FC= C ．DE AEBC EC= D ．EF AEBF AC= 【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A ，根据相似三角形的性质即可判断B 、C 、D ． 【详解】解：∵∥DE BC ，∴AD AEBD EC =，△DEF ∽△CBF ，△ADE ∽△ABC ，故A 不符合题意； ∴DE DF EF CB CF BF ==，DE AECB AC =，故B 不符合题意，C 符合题意； ∴EF AEBF AC =，故D 不符合题意；故选C ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．例2．（2023·浙江·杭州九年级期中）如图， ABC 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．（1）求AGGF的值．（2）如果BD =4DF =，请找出与BDA V 相似的三角形，并挑出一个进行证明．【答案】（1）3；（2）BDA FGE ∽△△，证明见解析 【分析】（1）先证明AGE ADC △∽△，再证明GEF DBF ∽△△，得到2DF GF =，则问题可解； （2）根据题意分别证明BDA FDB ∽△△，BDA FGE ∽△△问题可证． 【详解】解：（1）D Q 是BC 的中点，E 是AC 的中点，BD CD ∴=，AE CE =，//GE BC ，AGE ADC ∴∽△△，12AG GE AE AD CD AC ∴===，AG GD ∴=，2GE CD BD ==，//GE BC ，GEF DBF ∴∽△△，12GE GF BD DF ∴==，2DF GF ∴=，3AG DG GF ∴==，3AGGF ∴=．（2）当BD =4DF =时，由（1）可得 122GF DF ==，36AG DG GF ===，212AD AG ==，12GE BD ==44BD DF ==AD BD ==，AD BD BD DF ∴=，又BDG ADB ∠=∠，BDA FDB ∴∽△△，3GEGF =AD BD ==，AD GE BD GF ∴=，//GE BC ，ADB EGF ∴∠=∠，BDA FGE ∴∽△△．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似． 例2.（2023·广东九年级期中）如图，在菱形ABCD 中，∠ADE 、∠CDF 分别交BC 、AB 于点E 、F ，DF 交对角线AC 于点M ，且∠ADE ＝∠CDF ．（1）求证：CE ＝AF ；（2）连接ME ，若CE BE ＝CDCE，AF ＝2，求ME 的长．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠DAF ＝∠DCE ， 又∵∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE ﹣∠EDF ＝∠CDF ﹣∠EDF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，在△ADF 和△CDE 中，ADF CDFAD CD DAF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADF ≌△CDE ，∴CE ＝AF ．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，由（1）得：CE ＝AF ＝2，∴BE ＝BF ，设BE ＝BF ＝x ，∵CE BE ＝CDCE，AF ＝2，∴222x x +=，解得x1，∴BE ＝BF1，∵CE BE ＝CD CE ，且CE ＝AF ，∴CE BE ＝CD CE ＝CD AF， ∵∠CMD ＝∠AMF ，∠DCM ＝∠AMF ，∴△AMF ∽△CMD ，∴CD CMAF AM=， ∴CD CM CEAF AM BE==，且∠ACB ＝∠ACB,∴△ABC ～△MEC, ∴∠CAB ＝∠CME=∠ACB ，∴ME=CE=2．例3. （2022·浙江九年级期中）如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，AB CD =12，BFCF =12．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴AB CD =BE ED =12，∵BF CF =12，∴BE ED =BFFC，∴EF ∥CD ，∴AB ∥EF ． （2）设△ABE 的面积为m ．∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴S △ABE S △EDC =（AB CD ）2=14，∴S △CDE ＝4m ，∵AE CE =AB CD =12，∴S △BEC ＝2m ， ∴S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ＝m ：2m ：4m ＝1：2：4．例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ． （1）如图①，若四边形ABCD 为矩形，过点O 作OE ⊥BC ，求证：OE ＝CD ．（2）如图②，若AB ∥CD ，过点O 作EF ∥AB 分别交BC 、AD 于点E 、F ．求证：＝2．（3）如图③，若OC 平分∠AOB ，D 、E 分别为OA 、OB 上的点，DE 交OC 于点M ，作MN ∥OB 交OA 于一点N ，若OD ＝8，OE ＝6，直接写出线段MN 长度．【分析】（1）由OE ⊥BC ，DC ⊥BC ，可知EO ∥CD ，且OB ＝OD ，可得结论； （2）由△DFO ∽△DAB ，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF ∥OB 交OC 于点F ，连接EF ，可知△ODF 是等腰三角形，得DO ＝DF ＝8，由△DMF ∽△EMO ，可得EM ＝，由△DMN ∽△DOE ，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴O 是AC 中点，AB ⊥BC ， ∵OE ⊥BC ，∴OE ∥AB ，∴E 是BC 中点，∴OE ＝； （2）证明：∵EF ∥AB ，∴△DFO ∽△DAB ，∴， 同理，，，∴＝，∴，即； （3）解：作DF ∥OB 交OC 于点F ，连接EF ，∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝∠BOC ，∵DF ∥OB ，∴∠DFO ＝∠BOC ＝∠AOC ， ∴△ODF 是等腰三角形，∴DO ＝DF ＝8，∵DF ∥OE ，∴△DMF ∽△EMO ，∴，∴EM ＝，∴，∵MN ∥OE ，∴△DMN ∽△DOE ，∴，∴，∴MN ＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．课后专项训练1. （2021·山东淄博·中考真题）如图，,AB CD 相交于点E ，且////AC EF DB ，点,,C F B 在同一条直线上．已知,,AC P EF r DB q ===，则,,p q r 之间满足的数量关系式是（ ）A ．111r q p+=B ．112p r q+= C ．111p q r += D ．112q r p+=【答案】C【分析】由题意易得BEF BAC ∽△△，CEF CDB ∽，则有EF BF AC BC =，EF CF BD BC =，然后可得1EF EFAC BD +=，进而问题可求解．【详解】解：∵////AC EF DB ，∴BEF BAC ∽△△，CEF CDB ∽， ∴EF BFAC BC =，EF CF BD BC =，∴1EF EF BF CFAC BD BC BC +=+=，∵,,AC P EF r DB q ===， ∴1r r p q +=，即111p q r +=； 故选C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 九年级校考期末）如图，ABC 中，:PEDPDGS S=（ 【答案】A【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质可知PEH △是等腰三角形，再根据相似三角形的判定与性质可知12ED EH FD PF ==，进而解答即可． 【详解】解：过点E 作PF EH ∥AD 的延长线于点H ， ∵AD 是ABC 的角平分线， ∴BAD CAD ∠=∠， ∵PE AB ∥，PF AC ∥，∴BAC EPD ∠=∠，CAD DPF ∠=∠， ∴EPD FPD ∠=∠， ∵EH PF ∥， ∴H DPF ∠=∠， ∴EPD H ∠=∠， ∴PEH △是等腰三角形， ∴PE EH =， ∵3PE =，∴3PE EH ==， ∵EH PF ∥， ∴PFD HED ∠=∠， ∴EDH FDP ∽， ∴ED EHFD PF =， ∵6PF =，∴3162ED EH FD PF ===， ∴2FD ED =，∴设ED a =，2FD a =， ∴3EF ED FD a =+=， ∵G 是EF 的中点，∴1322EG EF a ==， ∴3122DG EG ED a a a=−=−=， 过P 作PM ED ⊥，垂足为M ， ∴12PEDSED PM=⋅⋅，12PDGS DG PM =⋅⋅，∴122:11122PED PDGED PMSaS DG PM a ⋅⋅===⋅⋅，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，中点的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC，BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为( )A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】先利用平行四边形的性质得AD BC ∥，AD=BC ，由AE BC ∥可判断△AEF ∽△CBF ，根据相似三角形的性质得12EF AF AE BF CF BC ===，然后根据三角形面积公式得16AEF ABC S S ∆∆=，则=6=12ABC AEF S S ∆∆．【详解】∵平行四边形ABCD ∴AD BC ∥，AD=BC ∵E 为边AD 的中点 ∴BC=2AE ∵AE BC ∥ ∴∠EAC=∠BCA 又∵∠EFA=∠BFC ∴△AEF ∽△CBF如图，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，FG ⊥BC 于点G ， 则12EF AF AE HF BF CF BC FG ====，∴111221362AEF ABC AE FH BC FHS S BC FH BC HG ∆∆⋅⋅⋅===⋅⋅⋅，∵△AEF 的面积为2 ∴66212ABC AEF S S ∆∆==⨯=故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题．A ．43AC =，123BD = C ．6AC =，83BD = 【答案】D【分析】过点B 作BO AD ∥交AC 于点O ，证明AED OEB ∽，可求得OE AO =理求出BO 的长，进而可求出AC 的长，再根据勾股定理求出BE 的长，进而求出BD 的长． 【详解】过点B 作BO AD ∥交AC 于点O ，如图所示：∵AC AD ⊥，BO AD ∥， ∴90DAC BOA ︒∠=∠=． ∵AED OEB ∠=∠， ∴AED OEB ∽， ∴BE EO BODE AE DA ==． ∵3DE BE =，∴13EO BO AE DA ==．∵AE =，∴OE∴AO =∵AB AC =，75ACB ∠=︒， ∵75ABC ACB ∠=∠=︒， ∴30BAC ∠=︒， ∴2AB BO =．在Rt AOB △中，222BO AO AB +=，即(()2222BO BO +=，解得：4BO =，∴8AB AC ==．∵OE 4BO =，∴BE ==∴3DE BE ==∴BD BE DE =+= 故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE 的长度．A ．45B ．54【答案】C【分析】先由平行四边形性质得到AB CD ∥，AB CD =，证明AOB COE ∽△△得到249AOB COE S AB CE S æöç÷==ç÷èø△△，进而得到221AB DE ==，再证明AFB DFE ∽求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ∥，AB CD =， ∴ABO E ∠=∠，BAO ECO ∠=∠，∴AOB COE ∽△△， ∴249AOB COE S AB CE S æöç÷==ç÷èø△△， ∴23AB CE =，则221AB DE ==，∵AFB DFE ∠=∠，ABF E ∠=∠， ∴AFB DFE ∽， ∴2AF ABDF DE ==，故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．6．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计50cm AB AC ==，风筝顶角BAC ∠的度数为110︒，在AB AC ，上取D ，E 两处，使得AD AE =，并作一条骨架AF DE ⊥．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B ，C 两点间的距离大约是（ ）（参考数据：sin550.82cos550.57tan55 1.43︒≈︒≈︒≈，，）A ．41cmB ．57cmC ．82cmD ．143cm【答案】C【分析】设AF 与DE 交于点G ，连接BC ，交AF 于点H ，根据已知易证ADE ABC △△∽，然后利用相似三角形的性质可得ADE ABC =∠∠，从而可得DE BC ∥，进而可得BC AF ⊥，再利用等腰三角形的三线合一性质可得2BC BH =，1552BAH BAC ∠=∠=︒，最后在Rt BAH 中，利用锐角三角函数的定义求出BH 的长，即可解答．【详解】解：设AF 与DE 交于点G ，连接BC ，交AF 于点H ，AD AE =，AB AC =，∴AD AEAB AC =， DAE BAC ∠=∠， ADE ABC ∴△△∽， ADE ABC ∴∠=∠， DE BC ∴∥，AF DE ⊥，BC AF ∴⊥，AB AC =，AF BC ⊥，2BC BH ∴=，1552BAH BAC ∠=∠=︒，在Rt BAH 中，50cm AB =，sin 55500.8241cm BH AB ∴=⋅︒≈⨯=， 282cm BC BH ∴==，B ∴，C 两点间的距离大约是82cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2023·广东深圳·校考三模）如图，在Rt ABC 中，906ACB AC BC ∠=︒==，，D 是AB 上一点，点E 在BC上，连接CD AE ，交于点F ，若452CFE BD AD ∠=︒=，，则CE ＝ ．【答案】2【分析】过D 作DH 垂直AC 于H 点，过D 作DG AE ∥交BC 于G 点，先利用解直角三角形求出CD 的长，其次利用CDG CBD ∽，求出CG 的长，得出BG 的长，最后利用BDG BAE ∽，求出BE 的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过D 作DH 垂直AC 于H 点，过D 作DG AE ∥交BC 于G 点，∵在Rt ABC 中，6AC BC ==，∴AB =又∵2BD AD =，∴AD =，∴在等腰直角三角形AHD 中，2AH DH ==， ∴624CH =−=，在Rt CHD 中，CD =∵DG AE ∥，∴45CFE CDG ∠=∠=︒，45B ∠=︒， ∴CDG B ∠=∠， 又∵DCG BCD ∠=∠，∴CDG CBD ∽， ∴CD CGCB CD =， ∴ 2CD CG CB =⋅，即206CG =， ∴CG =103 ，∴BG BC CG =−=108633−=，又∵DG AE ∥，∴BDG BAE ∽， 又∵2BD AD ＝， ∴23BD BG BA BE ==，又83BG =，∴342BE BG =⨯=，∴642CE =−=， 故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．8．（2023春·山东东营·八年级统考期末）如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 上的点，且DE BC ∥，EF AB ∥，:2:3AD DB =，20cm BC =，则BF = cm ．【答案】8【分析】首先根据平行四边形的判定证明四边形BDEF 是平行四边形，则BF DE =，然后根据相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵DE BC ∥，EF AB ∥， ∴四边形BDEF 是平行四边形， ∴BF DE =． ∵:2:3AD DB =， ∴:2:5AD AB =． ∵DE BC ∥， ∴ADE ABC △△∽，∴::2:5DE BC AD AB ==，即:202:5DE =， ∴8DE =， ∴8BF =． 故BF 的长为8cm ． 故答案为：8【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些性质及判定是解题的关键．九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，【答案】【分析】如图所示，取AC 中点H ，连接DH ，先求出5BC =，再由线段垂直平分线的性质得到DE DB ⊥，点D 为AB 中点，证明BD DE =得到DE BD ===AD BD ==得到12.52DH BC DH BC ==∥，，进而证明DFH EFC △∽△，得到57DF DE ==，利用勾股定理可得AF ==．【详解】解：如图所示，取AC 中点H ，连接DH ， ∵61BE CE CE ==，， ∴6BE =， ∴5BC =，∵DE 垂直平分线段AB ， ∴DE DB ⊥，点D 为AB 中点， 又∵=45ABC ∠︒，∴9045E DBE =︒−=︒∠∠， ∴E DBE =∠， ∴BD DE =，∴2DE BD ===∴AD BD ==∵点H 为AC 中点，点D 为AB 中点， ∴DH 为ABC 中位线， ∴12.52DH BC DH BC ==∥，，∴DFH EFC △∽△， ∴2.5512DF DH EF CE ===，∴577DF DE ==，∴AF ==，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．【答案】45【分析】如图所示，延长CD 交各格线于点D ，证明AOC BOD ∽，即可得到45OA AC OB BE ==． 【详解】解：如图所示，延长CD 交网格线于点D ， 由网格的特点可知点E 在格点处， ∵AC BE ， ∴AOC BOD ∽， ∴45OA AC OB BE ==， 故答案为：45．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．11.已知：如图，点D ，F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，CD 2＝CF •CA ． （1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC •CF ＝BC •CE ，求证：BD 2＝DE •BA ．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵DE ∥AB ，∴CD AC =CE CB，∵CD 2＝CF •CA ．∴CD AC=CF CD，∴CF CD=CE CB，∴EF ∥BD ；（2）∵EF ∥BD ，∴∠CEF ＝∠CBD ，∵AC •CF ＝BC •CE ，∴AC BC =CECF ，且∠C ＝∠C ，∴△CEF ∽△CAB ，∴∠CEF ＝∠A ，∴∠DBE ＝∠A ，∵DE ∥AB ，∴∠EDB ＝∠DBA ，且∠DBE ＝∠A ，∴△BAD ∽△DBE ，∴BA BD =BDDE∴BD 2＝BA •DE12．[阅读理解]构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，D 是△ABC 边AB 上一点，E 是AC 的中点，过点C 作CF ∥AB ，交DE 的延长线于点F ，则易证E 是线段DF 的中点．[经验运用]请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，且满足AE ＝CF ，连接EF 交AC 于点G ．求证：①G 是EF 的中点；②CG ＝2BE ； [拓展延伸]（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，且满足AE ＝2CF ，连接EF 交AC 于点G ．探究BE 和CG 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若点E 在BA 的延长线上，点F 在线段BC 上，DF 交AC 于点H ，BF ＝2，CF ＝1，（ 2）中的其它条件不变，请直接写出GH 的长．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）BE ，理由详见解析；（3．【分析】（1）①过点E 作EI ∥BC 交AC 于点I ，证明△EIG ≌△FCG （ASA ），得出EG ＝FG 即可；②由等腰直角三角形的性质得出 AI ，由平行线得出AIAE＝IC EB IC ，由全等三角形的性质得出IG ＝CG ＝12IC ，即可得出结论；（2）作EI ∥BC 交AC 于点I ，由三角函数证出AE ＝2IE ，得出IE ＝CF ，证△EIG ≌△FCG （ASA ），得出EG ＝FG ，IG ＝CG ，设IE ＝a ，则AE ＝2a ，求出AE AI，则IC EB ＝AI AE ，得出IC EB ，即可得出结果；（3）作FP ∥AB 交AC 于P ，则FP ∥CD ，∠CFP ＝∠ABC ＝90°，∠CPF ＝∠CAB ，则tan ∠CPF ＝CF PF＝tan ∠CAB ＝BCAB＝12，求出AE ＝PF ＝2，BC ＝3，CD ＝AB ＝2BC ＝6，AC ＝△CPF ∽△CAB ，得出PCAC ＝CF BC ＝13，求出PC ＝13AC PA ＝AG ＝PG △PFH ∽△CDH ，得出PH CH ＝PF CD ＝13，得出PH ＝14PC 【详解】（1）证明：①过点E 作EI ∥BC 交AC 于点I ，如图1所示：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠AEI ＝∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝45°， ∴∠AIE ＝∠BAC ＝45°，∴AE＝EI，∵AE＝CF，∴CF＝EI，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，EIG FCG EI FCIEG CFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，∴G是EF的中点；②在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，AE＝EI，∴△AEI是等腰直角三角形，∴AI，∴AI AE∵EI∥BC，∴AIAE＝ICEB∴IC，∵△EIG≌△FCG，∴IG＝CG＝12IC，∴CG＝12＝2BE；（2）解：BE和CG之间的数量关系为：BE；理由如下：过点E作EI∥BC交AC于点I，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，∴tan∠IAE＝IEAE＝BCAB＝12，∴AE＝2IE，∵AE＝2CF，∴IE＝CF，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，EIG FCG EI CFIEG CFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，IG＝CG，设IE＝a，则AE＝2a，在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，∴AI，cos∠IAE＝AEAI，即AEAI，∵EI∥BC，∴ICEB＝AIAE，∴ICEB，∵IG＝CG＝12IC，∴CG，∴BE；（3）解：作FP∥AB交AC于P，如图3所示：则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，∴tan∠CPF＝CFPF＝tan∠CAB＝BCAB＝12，∴PF＝2CF，∵AE＝2CF，∴AE＝PF＝2，同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），∴AG＝PG，∵BF＝2，CF＝1，∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，∴AC∵FP∥AB，∴△CPF∽△CAB，∴PCAC＝CFBC＝13，∴PC＝13AC PA＝AC﹣PC＝∴AG＝PG＝12PA ∵FP∥CD，∴△PFH∽△CDH，∴PHCH＝PFCD＝26＝13，∴PH＝14 PC∴GH＝PG+PH＝【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；作辅助线构建全等三角形与相似三角形是解题的关键．13．（2022·湖南常德·九年级校考期中）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．（1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE 与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②16:15．【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．（2）如图1，证明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根据等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行线分线段成比例定理得：2DE DGDF AD==，由此可得结论；（3）①如图2△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论；②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得14AF ADEG DG==，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，根据AH∥PD，得123164PD BD aAH AB a===，设PD=3h，AH=4h，根据EG∥AC，同理得41164BG BE aAB BC a===，设BE=y，BC=4y，利用三角形面积公式代入可得结论．【详解】（1）证明：∵AC=AB，∴∠ACB=∠B，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，∴∠BDE=∠ACD；（2）证明：如图1，∵EG∥AC，∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，由（1）知：∠DCA=∠BDE，∵DC=DE，∴△DCA≌△EDG（AAS），∴AD=EG，∵∠B=∠ACB=∠BEG，∴EG=BG=AD，∴DG=AB，∵DE=2DF，AF∥EG，∴2 DE DGDF AD==，∴DG=2AD=2AG，∴AB=DG=2AG；（3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，则有∠A=∠G，∵AB=AC，CD=DE，∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，∴∠ACD=∠EDG，在△DCA和△EDG中，∵ACD EDGA GCD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，∴AC BC EG BE=，∵EG=AD，AC=AB，∴AB•BE=AD•BC；②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD，∵AF∥EG，∴AF AD DF EG DG DE==，∵DE=4DF，∴14 AF ADEG DG==，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴123164 PD BD aAH AB a===，设PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴41164 BG BE aAB BC a===，设BE=y，BC=4y，∴S△ABC=12BC•AH=4•42y h=162yh=8yh，S△DCE=12CE•PD=5•32y h=152yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：152yh=16：15．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示各线段的长是本题的关键，综合性较强．，将BCP沿直线【答案】(1)见解析(2)或2 5(3)13或3或555【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形得到AD BC ∥，则E CBE =∠∠，由折叠可知，EBF CBE ∠=∠，则E EBF ∠=∠，即可得到结论；（2）过点B 作BM AE ⊥于点M ，分点F 在点D 的右侧和点F 在点D 的左侧两种情况进行求解即可；（3）分五种情况，分别画出图形，分别进行求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴E CBE =∠∠，由折叠可知，EBF CBE ∠=∠，∴E EBF ∠=∠，∴BF EF =；（2）过点B 作BM AE ⊥于点M ，则3tan 4BM A AM ==，设3,4BM x AM x ==，且0x >，∵10AB =，四边形ABCD 为菱形，∴10AB BC CD AD ====，在Rt ABM 中，222AM BM AB +=，即()()2224310x x +=，解得2x =，∴6,8BM AM ==，∴1082DM AD AM =−=−=，当点F 在点D 的右侧时，如图，。