一类n阶非齐次微分方程初值问题的解_刘琼
一阶微分非齐次方程的解
一阶微分非齐次方程的解微分方程是数学中的一门重要分支，它研究的是函数的导数与自变量之间的关系。
其中，一阶微分方程是最基本的微分方程之一，它的解法也是微积分学中的重要内容。
本文将介绍一阶微分非齐次方程的解法。
一、一阶微分方程的定义一阶微分方程是指形如y'=f(x,y)的方程，其中y'表示y对x的导数，f(x,y)是已知的函数。
一阶微分方程的解是指满足该方程的函数y(x)。
二、一阶微分齐次方程的解法对于一阶微分齐次方程y'=f(x,y)，如果f(x,y)满足齐次性质，即f(tx,ty)=t^n f(x,y)，其中n为常数，则该方程称为一阶微分齐次方程。
对于一阶微分齐次方程，我们可以采用变量分离法来求解。
具体来说，我们可以将y'表示为dy/dx，然后将dy/dx=f(x,y)移项得到dy/f(x,y)=dx，再对两边同时积分，得到ln|f(x,y)|=x+C，其中C为常数。
因此，我们可以得到y(x)=\phi(f(x,y))，其中\phi为常数函数。
三、一阶微分非齐次方程的解法对于一阶微分非齐次方程y'=f(x,y)+g(x)，其中g(x)为已知函数，我们可以采用常数变易法来求解。
具体来说，我们可以将y(x)=u(x)v(x)，其中u(x)为待定函数，v(x)为常数函数，代入y'=f(x,y)+g(x)中，得到u'v+u(v')=f(x,u(x)v(x))+g(x)，即u'v=f(x,u(x)v(x))+g(x)-u(v')。
因此，我们可以得到u'v=\intf(x,u(x)v(x))+g(x)-u(v')dx，然后对两边同时积分，得到u(x)=\int\frac{g(x)-v'(x)}{v(x)}e^{-\int f(x,v(x))dx}dx+C，其中C为常数。
最后，我们可以得到y(x)=u(x)v(x)=v(x)\int \frac{g(x)-v'(x)}{v(x)}e^{-\int f(x,v(x))dx}dx+Cv(x)，其中C为常数。
一类n阶非齐次线性微分方程特解的证明及应用_段素芳
由二阶常系数非齐次线性微分方程 （ 1 ） 的
+ … + Q（ n －1） ）
n －1 n －2 y* （ n） = eλx （ λn Q + C1 Q' + C2 Q″ + … + nλ nλ n －1 （ n －1） + Q （ n） ） Cn λQ * y* ' ， y * ″， …， y * （ n －1） ， y * （ n） 代入方程（ 2 ） 并 将y ，
* 方 程 （ 2 ） 的 特 解，则 y
的特解求法主要是待定系数法． 该文加以推广得 出一类 n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的 公式及求法．
= x k Q m （ x ） e λx 其 中
1
预备知识
二阶常系数非齐次线性微分方程为 ： y″ + py' + qy = e P m （ x）
λx
Q m （ x） 与 P m （ x） 都是 m 次的多项式， 而k按λ不 是特征方程的根、 是特征方程的 s 重根依次取 0 ， s（ s = 1 ， 2， …， n） ． 证明 （1） n 阶常系数非齐次线性微分方程（ 2 ） 的特征方程为： n n －1 + p2 r n －2 + … + p n = 0 φ（ r ） = r + p1 r （3）
Duan Sufang
（ Qingdao Univerisity of Technology）
Abstract： A proof of a class of n order constant coefficient non － homogeneous linear differential equations is given，Through testing the examples，the conclusion is correct． Keywords： n order； Constant coefficients non － homogeneous linear differential equations； Special solutions； Example （ 责任编辑：于达）
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法
n阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法
非齐次线性微分方程指的是一类数学问题，其特征是一个常系数、高阶数函数来描述某些物理量及其之间间的变化规律。
对于这类物理问题，求解通常使用统一求法，也就是阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法。
阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法是一种微积分解决方案，需要利用数学工具，包括积分学的概念，基础的几何和代数的计算方法，常数及共轭量的对应，解析函数及其分部积分等，这些都是进行解决非齐次线性微分方程问题所必须具备的知识。
在求解特解时，主要是通过计算微分系数，解它们的积分表达式，再通过求和或者其他方法得出最终答案。
计算机科学的发展，给阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法带来了更多便利。
如今，已经有很多种具有优良性能的软件在处理这类数学问题上发挥了关键作用。
这些软件不仅可以提升计算效率，而且有效解决了复杂问题，也使得研究及科学实验更为便捷。
总之，阶常系数非齐次线性微分方程特解的统一求法是解决物理问题所必备的基础方法。
在计算机的帮助下，已经可以解决大量的复杂问题，从而大大提高了研究实验的便捷性。
一阶线性非齐次微分方程的解法探析
一阶线性非齐次微分方程的解法探析汤维曦【摘要】介绍求解一阶线性非齐次微分方程的积分变换法和积分因子法,有助于解决学生学习“常数变易法”中的存疑；通过对三种解法的辨析,明确各种解法的特点与关系；对同一问题,注重采用一题多解的教学方式,从不同角度、采用不同方法加以探究求解,有利于拓宽学生的解题思路,培养学生灵活解题的能力.【期刊名称】《福建教育学院学报》【年(卷),期】2013(014)001【总页数】3页(P122-124)【关键词】一阶线性非齐次微分方程;通解;常数交易法;积分变换法;积分因子法【作者】汤维曦【作者单位】漳州城市职业学院教师教育系,福建漳州 363000【正文语种】中文【中图分类】O175.1形如y′+p（x）y=q（x）的方程称为一阶线性微分方程.当q（x）=0时，称为一阶线性齐次微分方程；当q（x）≠0时，称为一阶线性非齐次微分方程.对于一阶线性齐次微分方程，用分离变量法可得其通解y=ce-∫p（x）dx（c为任意常数），而对于一阶线性非齐次微分方程，其求通解的方法较多也较复杂.许多高等数学教材仅介绍“常数变易法”，其余方法未予介绍.常数变易法虽然解法较为简洁、巧妙，但在教学过程中学生普遍反映思维突兀、不易理解.为此，教师可向学生多介绍其它几种解法：如积分变换法和积分因子法等，变过去“单向的、线性的”教学模式为“多向的、非线性的”教学模式.对同一问题，注重采用一题多解的教学方式，从不同角度、采用不同方法加以探究求解，不但有助于拓宽学生的解题思路，培养学生灵活解题的能力，激发学生探究问题的热情，同时还可弥补一些高等数学教材中仅介绍“常数变易法”这一种解法的不足.1 常数变易法一阶线性非齐次微分方程与一阶线性齐次微分方程y′+p（x）y=0的差异仅在于方程右边的项 q（x）.y′+p （x）y=0 是可分离变量的微分方程，用分离变量法易得其通解为y=ce-∫p（x）dx（c为任意常数），而方程（1）不能用分离变量法求解，但因其形式与y′+p （x）y=0类似，因此，猜测其通解也应有类似的表达式.于是将方程y′+p（x）y=0的通解y=ce-∫p（x）dx中的任意常数 c 换成待定函数 c（x），假设y=c （x）e-∫p（x）dx 为方程（1）的解.为了确定 c（x），将整理得c′（x）=q（x）e∫p（x）dx两边积分，得 c（x）=∫q（x）e∫p（x）dxdx+c（c 为任意常数）代入 y=c（x）e-∫p（x）dx，即可得到一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q （x）的通解y=e-∫p（x）dx（∫q（x）e∫p（x）dx+c）（c为任意常数）上述“常数变易法”解法，是从给定的非齐次方程所对应的齐次方程的通解出发的，把对应的齐次方程的通解中的常数c变易为待定函数c（x），然后通过确定待定函数c（x）的表达式，进而求出非齐次方程的通解.“常数变易法”无疑是求一阶线性非齐次微分方程通解的重要方法，在一般的微积分或微分方程的教学中所采用的多是常数变易法，在解高阶常微分方程时，这种方法更能发挥作用，体现解法优势，所以教学中最常介绍它，很多教材都采用它.这是一种相当简洁、思维巧妙的解法.但正因其解法过于巧妙，学生普遍反映此种解法思维太突然，不易理解：为什么可以把这个任意常数c变易为待定函数c（x）呢?对此，多数教材中并未给予解释.那么，如何才能解决学生在学习“常数变易法”中存在的疑惑，降低思维难度呢?作为教师，需结合教学经验，改变以往教学中一开始就直接向学生介绍“常数变易法”的教法，采用先介绍积分变换法或积分因子法为过渡，然后再介绍“常数变易法”来解一阶线性非齐次微分方程.2 积分变换法将方程（1）改写成y′=-p（x）y+q（x），注意到未知函数 y 的导数是两个代数式-p（x）y 与 q（x）的和，并联想到求导运算中两个函数之积的导数也是两个代数式的和.受此启发，构造函数其中u和z都是关于x的函数.这样求y关于x的函数关系就转化为分别求u关于x的函数关系和z关于 x的函数关系的问题.将（2）代入（1），得如果此时利用分离变量法来求z关于x的函数关系，我们发现无法把 z从（u′+p （x）u）z单独分离出来.注意到若令u′+p（x）u 等于 0，则应用分离变量法，可求得u=e-∫p（x）dx.则方程（3）简化为z′=q（x）u-1，于是可求得z=∫q（x）u-1dx+c=∫q（x）e∫p（x）dxdx+c.将 u 和 z代入（2），即得方程（1）的通解这一解法过程联系学生熟知的两个函数之积的导数公式，再采用变量代换y=uz，从另一角度探究了求一阶线性非齐次微分方程（1）的通解的方法.此法看起来似乎增加了求解过程的复杂度，但实际上是把一个不能直接分离变量的微分方程转化成了两个可以直接分离变量的微分方程，即用u·ν代换y思维自然，简单明了，更易于学生理解和掌握.3 积分因子法对于解一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）（其中q（x）≠0），按照通常思路，可考虑运用积分求解，但此式明显不能直接积分，其原因在于方程左边y′+p（x）y为两项之和，一般来说这样的和式不是一个完全微分式，不可直接积分，联想我们所熟知的乘积的导数公式：由此得到启示，不妨将（1）式两端同乘以一个适当的函数因子 h（x）（h（x）≠0），可得：比较（4）式的右端与（5）式的左端，可知 h（x）应满足：于是（5）式可以写成（h（x）y）′=h（x）q（x）.积分得现在问题归结为求解齐次方程（6），得出 h（x）.对方程（6）应用分离变量法，得 h（x）=e∫p（x）dx，代入（7），得到所求的一阶线性非齐次微分方程（1）的通解称h（x）为积分因子，故上述求解方法称为“积分因子法”，此种解法，思路清晰，方法自然，学生很容易掌握.在实际教学中，若能按上述方法一步一步对学生加以引导，让学生了解解法特点，定能使学生思维顺畅，更好地理解和掌握求解一阶线性非齐次微分方程的过程.4 三种解法的辨析上述积分变换法与积分因子法的求解过程，可以看出：两种解法有着异曲同工之效，其思维切入点相同，都是始于乘积的导数公式的启示从而找到求解思路的，其求解关键都是将不可分离变量的微分方程转化为可以直接分离变量的微分方程，最终达到求解目的.但两种解法的思考角度不同，求解方法也不同，求解步骤各异，解法各有特点.积分变换法这一种解法，应抓住两个关键：其一，巧妙作出变量代换，令y=uz，以u·ν 代换 y，从而将方程化成uz′+（u′+p（x）u）z=q（x），接下来的思路很明确，即分别将u和z求出；其二，在发现无法把z从（u′+p（x）u）z单独分离出来时，令u′+p（x）u=0，不但使计算可行更使计算简化.而积分因子法的关键在于：将一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）乘以一个积分因子 h（x）（h（x）≠0），把方程变形为（h（x）y）′=h（x）q（x），积分可得h（x）y=∫h（x）q（x）dx+c（c为任意常数），只要再设法求出积分因子h（x）即可.比较常数变易法与积分变换法，不难发现，用常数变易法在求一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）对应的齐次方程y′+p（x）y=0时，其实就是积分变换法中求 u 的微分方程u′+p（x）u=0.求得齐次方程y′+p（x）y=0的解为 y=ce-∫p（x）dx，这其实是积分变换法中的 u 被求出而已，最终答案应该是 y=uz，进一步，y=ze-∫p（x）dx.由此得到启发，只要将齐次方程y′+p（x）y=0的解y=ce-∫p（x）dx中的 c 换成关于 x 的函数 z即可得到非齐次微分方程的解.这里的z就相当于常数变易法中由c“变易”而成的待定函数c（x）.通过对常数变易法的“变易”过程的审视可见，常数变易法实际上是未知量代换的过程，常数变易与变量代换是相互渗透相互联系的，二者的本质相同.此法在思路上并无多大突破，只是利用积分变换法现成的结论逆推而得.所以，可以说常数变易法是由积分变换法发展而来的.用通俗的话来说，常数变易法是借用积分变换法“走了一条捷径”，只是教材对于“这条捷径从何来”自始至终未加解释，因而导致读者疑惑茫然.经过以上辨析，能使学生明白常数变易法中为什么可以把这个任意常数变易为待定函数的道理，解决学生在学习“常数变易法”中存在的疑惑.5 结论常数变易法显然不是求一阶线性非齐次微分方程的通解的唯一方法，并且学生在初学时往往觉得有一定难度，不易理解，因此，教师可以尝试改变以往教学中一开始就直接向学生介绍“常数变易法”的教法，采取先介绍积分变换法或积分因子法为过渡，然后再介绍常数变易法.这样做，可以降低思维难度，易于学生接受.同时，向学生介绍不同解法，可使学生了解各种解法的特点，拓宽学生的解题思路，使学生在实际应用中能更好地根据自身情况选择合适的方法求解问题.【相关文献】[1]徐荣聪.高等数学[M].厦门：厦门大学出版社，2003：164-165.[2]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].第五版.北京：高等教育出版社，2002.[3]王高雄等.常微分方程[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.[4]赵奎奇.几个特殊类型微分方程的统一方法[J].高等数学研究，2006（2）：30.[5]汪维刚.关于常数变易法求一阶线性非齐次微分方程通解的两点思考[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2012（6）.。
Banach空间中一类n阶积分-微分方程初值问题的解
Ｂ ｎｃ ａ ａ ｈ空 间 中一 类 ，阶积 分一 分 方程 初 值 问题 的解 ｚ 微
郭 林 ， 邢启江。 。
（．华 中科 技 大 学 数 学 系 ，武汉 １ ４０７） ３ ０ ４
（． 山东 工 商学 院 数 学 系 ，烟 台 ２ ４０ ） ２ ６ ０ ５ （．海 军航 空 工 程 学 院 电 子信 息工 程 系 ，烟 台 ２ ４ ０ ） ３ ６０ １
这 里
ｋ ｔ ）Ｅ ｃ￣ Ｒ＋ ， 一 ｛ × Ｊ，三 ） （， Ｄ， ］ Ｄ （，）∈ ｔ三 ＝ ［ ］ 出 了解 存在 的一 组充分 条件． １给 本文则 采取 了完全不 同与 ［ ］ １ 的方法 讨论更 广 泛的 一类 方程 ：
ｆ ”一 ｆ ｔ“ … ， ＂ Ｔ ， ， ＵＳＵ … ， １） “ （， ， “ 一 ， ｏ … Ｔ一１，ｏ， Ｓ一Ｕ
则 此关 系 的确 是 尺” 的一个 半序 关系 ， 对应 尺 上 的锥 上 并 Ｐ一 ｛ ｚ一 （ １ｚ ， ， ｎ ｌ ， Ｐ， ＝ １ ２ … ， ｚ ， ２… Ｘ ） ｚ ∈ ｉ ， ， ｝
并且 有下 面 的结 论 ：
（ ） 是 正 规 锥 ａＰ 是正 规锥．
（ ） 是正则 锥 ｂＰ
Ｊ０
１， … ， 一 １ ２， ｎ ．
这里 ｋ（，） ｆ ∈Ｃ［ Ｒ ｈ（，） ｆ Ｄ， ，ｉ ５ Ｅｃ［ ￡ Ｊ×Ｊ， ， Ｒ Ｄ一｛ ５ ＥＪＸＪ，三５ ，一１ ２ … ，一１ （，） ￡ ＝） ， ， ｎ ． 三 我们 得 到了解 存在性 中独立 于 ［ ］ １ 的条件 ． 另外 ， １ 中的方 法 ， ［］ 不适 合本 文讨 论 的方程
下 面 的些结论 和 引理是 熟悉 的 ， 详见 ［ ］ Ｅ ３ 设 Ｅ是 Ｂ ｎ ｃ 间 ， Ｅ的 次 自乘 积空 间 按 ２ ，３ ， ａ ａ ｈ空 则
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
如果Q x()≡0,则方程称为齐次的;如果Q x()不恒等于零,则方程称为非齐次的。
a)首先,我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。
分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次,我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
将1的通解中的常数c换成的未知函数u x(),即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() , '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于就是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之与y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程dy dx y x x -+=+21132()的通解。
解:]23)1([1212dx e x c ey dx x dxx ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c ex x +-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知,若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程,求解它只需套用公式。
以下几类为一阶微分方程的简捷求法1 预备知识形如()()dyP x y Q x dx+= (1) 的方程称为一阶线性方程、这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上就是连续的、当()0Q x ≡时,方程(1)变为 ()0dyP x y dx+= (2)方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程、方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解、 形如()()n dyP x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (3) 的方程称为伯努利方程、它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解、现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解、 2 主要结果定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()n ndy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦ (4) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(4)化为 ()()()nnd F x dy F x y Q x dx dx⎡⎤⎣⎦+= ()()()n nF x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyF x F x y Q x dx+= (6) 则它的通解为 1()()y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (7) 定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0nndy F x F x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (8) 则它的通解为 ()n Cy F x =(9) 证明 在定理1的结果1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证、 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyF x F x y dx+= (10) 则它的通解为 ()Cy F x = (11) 定理3 若一阶微分方程具有如下形式()ln ()()ln ()n dyP x y F y Q x y F y dx+= (12) 当1n =时,其通解为 []ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰ (13)当1n ≠时,其通解为其中ln ()F y 在所考虑区间上就是连续的、 证明 若1n =,方程(12)变为()ln ()()ln ()dyP x y F y Q x y F y dx+= (15)此方程为可分离变量的微分方程、分离变量得[]()()ln ()dyQ x P x dx y F y =-[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx F y =-两边积分得[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰此即为方程(15)的通解表达式、若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()ny F y 得11()()ln ()ln ()n n dy P x Q x y F y dx F y -+=令1ln()nz F y -=,则定理3 若一阶微分方程具有如下形式'()()()n dyF x F x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n dy dF x F x y Q x y dx dx+= []()()n d F x y y Q x dx =g方程两端除以ny ,得到 1()()()nndy dF x y F x y Q x dx dx--+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、定理3 若一阶线性微分方程具有如下形式'()()()n n n dy F x F x y Q x y dx⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n nn d F x dy F x y Q x y dx dx⎡⎤⎣⎦+=方程两端除以n y ,得到 1()()()nn nn d F x dy y F x y Q x dx dx--⎡⎤⎣⎦+= 11()()()1n n n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=-令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、。
一阶线性非齐次微分方程
一阶线性非齐次微分方程微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界和社会现象中的变化规律。
而一阶线性非齐次微分方程则是其中一种常见的类型。
本文将介绍一阶线性非齐次微分方程的定义、解法以及应用。
一、定义一阶线性非齐次微分方程可以写成以下一般形式：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中，dy/dx表示y关于x的导数，P(x)和Q(x)是已知函数，而y是未知函数。
二、解法要解一阶线性非齐次微分方程，通常使用以下步骤：1. 首先，解齐次线性微分方程dy/dx + P(x)y = 0。
这个方程可以通过分离变量、变量分离法或者积分因子法进行求解。
假设解为y_h(x)。
2. 其次，找到特解y_p(x)。
可以通过常数变易法、待定系数法或者猜测法来寻找特解。
3. 最后，将齐次方程的通解和特解相加，即可得到一阶线性非齐次微分方程的解。
即 y(x) = y_h(x) + y_p(x)。
三、应用一阶线性非齐次微分方程广泛应用于各个科学领域。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 物理学中的经典力学问题常涉及一阶线性非齐次微分方程。
例如，质点在阻力作用下的运动方程、振动和波动问题等。
2. 经济学中的一些增长模型和市场模型可以通过一阶线性非齐次微分方程进行建模。
例如，人口增长模型、消费模型等。
3. 生物学中的一些生态系统模型也可以通过一阶线性非齐次微分方程进行描述。
例如，捕食者-被捕食者模型、种群增长模型等。
总结：本文介绍了一阶线性非齐次微分方程的定义、解法以及应用。
了解和掌握这一类微分方程的求解方法，是数学和科学学习中的重要内容。
通过对一阶线性非齐次微分方程的研究，我们可以更好地理解和描述自然界和社会现象中的变化规律，为解决实际问题提供有力的工具。
变系数非齐次微分方程组初值问题的一个解法
2
为此证 明
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一类偏微分方程初值问题的近似解析解法
一类偏微分方程初值问题的近似解析解法以《一类偏微分方程初值问题的近似解析解法》为标题，本文将介绍一类偏微分方程初值问题的近似解析解法，包括它的基本概念以及其在实际应用中的研究现状。
首先，什么是一类偏微分方程初值问题的近似解析解法呢？其实，这个近似解析解法指的是针对一类偏微分方程初值问题，采用合理的近似技术，以简化理论的处理方式，以求解无解析解的常微分方程初值问题的一类近似方法。
接下来，我们来看一类偏微分方程初值问题的近似解析解法，可以分为几种不同的类型：第一种是有限差分法。
该法是基于有限差分公式，采用迭代方式求解偏微分方程，以求解形式上更复杂的微分方程。
第二种是有限元法。
该法是基于有限元方法，通过分析有限元对象的本构方程，从而求解偏微分方程。
第三种是多步法。
该法是基于多阶段的数值分析，利用积分公式，求解形式上更复杂的微分方程。
同时，一类偏微分方程初值问题的近似解析解法在实际应用中也有着相当广泛的应用，在物理学、化学、机械制造等方面都有着广泛的应用。
在物理学中，近似解析解法可以用来模拟复杂的物理系统的正确的动力学行为，如洛伦兹振子系统和耦合振子系统的动力行为；在化学方面，近似解析解法可以用来模拟反应速率的变化；在机械制造方面，近似解析解法可以用来模拟材料的损伤变形和弹性疲劳过程等问题。
此外，近年来，随着计算机技术和数值分析技术的发展，一类偏微分方程初值问题的近似解析解法也取得了快速的进展和改进，如基于积分公式的多步法、基于拟牛顿法的一阶算法等等，它们都更加精确地模拟了实际问题的实际行为。
总的来说，一类偏微分方程初值问题的近似解析解法是一种有效的数值分析方法，可以模拟复杂的实际问题，在物理学、化学、机械制造等领域中得到广泛的应用。
近年来，该方法也得到了不断的改进，希望能够在未来继续促进科学技术的进步。
解一阶非齐次常微分方程
一阶线性非齐次微分方程 y'+p(x)y=q(x)。
通解为 y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)e^[∫p(x)dx]dx+C}。
用的方法是先解齐次方程，再用参数变易法求解非齐次。
相关介绍：
微分方程伴随着微积分学一起发展起来的。
微积分学的奠基人Newton和Leibniz 的著作中都处理过与微分方程有关的问题。
微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。
物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。
此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。
只有少数简单的微分方程可以求得解析解。
不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。
在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。
动力系统理论强调对
于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。
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（1）
对于这样的非齐次微分方程的初值问题， 许多人都进行了探索， 方法多种多样， 不管是哪种方法都 是在特定的条件下， 从幂级数的形式寻求求解的可能性， 在有些条件下求出的解表达式比较复杂， 因此 在应用方面价值不大， 对于高次微分方程的求解在初始条件给出的情况下， 解的表达式与系数有着密切 的关系， 即使已经给出了解的表达式， 绝大多数要想求出解， 其过程往往很复杂， 所以要求出解， 系数 的求法很关键， 如在求解过程要引入适当变换， 从而使求解更简单。
［摘 要］ 关于常系数非齐次微分方程初值问题的显示解， 比较常用的是用古典微分方程理论和组合理论 ， 由解的叠加
原理， 给出初值问题的解法及解的表达式。 文中用形式幂级数法， 给出了一种 n 阶非齐次微分方程初值问题的解。
［关键词］ n 阶； 常系数； 非齐次微分方程； 形式幂级数;显示解
［中图分类号］ O175.1
论及应用。
黄立壮 （ 1984- ）， 男， 广西大学硕士研究生， 主要研究方向： 微分方程理论及应用。
李兰， 女， 钦州学院 2012 届数学与应用数学本科学生， 研究方向： 数学与应用数学。
（责任编辑：高 坚）
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［文献标识码］ A
［文章编号］ 1673- 8535（ 2012） 06- 0050- 05
An Explicit Solution to Initial Values Problems for a Class of N-th Order Non-homogeneous Differential Equation
重要的应用， 涉及此类问题的解， 从理论上寻求更一般的解法很有必要， 许多学者在这方面做了大量的工
作， 也取得了一些重要成果。 文献 [1] 研究了常系数线性齐次常微分方程初值问题的解， 根据级数与系数的
关系， 从麦克劳林级数出发， 给出了常系数线性齐次常微分方程解的级数表示,文献 [2] 探讨幂级数自由项常
值问题， 利用系数与初始值函数关系， 根据叠加原理 和比较系数法， 得出了常系数非齐次微分方程初值问 题显示解的表达式， 此类解要求级数在原点范围内一 致收敛， 避免了按通常解法带来的求解相应高次代数
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刘 琼，黄立壮，李 兰：一类 n 阶非齐次微分方程初值问题的解
方程的麻烦， 为计算机解决有关问题提供了方便， 而文献 [4] 分析了关于常系数非齐次微分方程初值问题的 显示解， 引入形式幂级数推出了解的表达式， 文献 [4] 相对于文献 [1-3] 方法比较新， 技巧性强， 因此本文 在文献 [4] 的基础上结合文献 [5] 的组合数学知识， 给出了一种 n 阶非齐次微分方程初值问题的解。 ２ 有关定理
Key words: n-th order; constant coefficient; non-homogeneous differential equation; formal power series; an explicit solution
1 引言
对于常系数非齐次微分方程初值问题的显示解， 有着广泛的应用,尤其是在社会、 经济领域中有着极其
Abstract: As for the explicit solution to initial values problems for a non-homogeneous differential equation, the traditional differential equation theory and portfolio theory are often applied. In this paper, by the method of formal power series, the author gives an explicit solution to initial problem of non-homogenous differential equation with constant coefficients.
Liu Qiong1, Huang Lizhuang2, Li Lan3
(1.2. College of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning 530004, Cnina; 3. College of Mathematics and Computer Science, Qinzhou University, Qinzhou 535000, China)
参考文献：
[1] 乐茂华.常系数线性齐次常微分方程解的级数表示[J].大学数学,1995,20(2):110- 111.
[2] 宫子安,余长安.幂级数自由项常系数线性微分方程 cauchy 问题解[J].松辽学报:自然科学版,1994(1):40- 42.
[3] 余长安.常系数非齐次微分方程初值问题的显示解[J].武汉大学学报:自然科学版,1997(1):39- 43.
为非负整数， 由数论知识知道
的组合有可能：
其中
表示不超过 的最大整数， 由文献 [5] 知
当 k≥n 时， 对 Ck 进行化简得：
由公式 （2） 有 所以 y (x) 的表达式为：
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梧州学院学报 ２０１２ 年 １２ 月 第 ２２ 卷第 ６ 期
３ 结束语
对于常系数非齐次微分方程初值问题的显示解， 很多学者都从不同方面进行了探讨， 得出了这方面很
系数线性微分方程 cauchy 问题解， 得出了 cauchy 问题一般幂级数解的表达式， 但是此类解表达式比较复杂，
不容易掌握,文献 [3] 研究了常系数非齐次微分方程初
收稿日期：２０１２－０９－１２ 基金项目：国家自然科学基金资助项目 （１０８６１００３）， 广 西 自 然 科 学 基 金 项 目 （０８３２０１８ｚ， ０８９５００４－１，０９９２０２７－１）， 钦州学院 “专业综合改 革试点项目” （钦学院发［２０１２］１１９ 号）
多的研究成果， 在引言中已经阐述。 本文主要是从形式幂级数方面入手， 通过引入适当的变换， 从而得出
了一种简便的阶常系数非齐次微分方程初值问题解的表达式， 得出此类解的证明过程往往不是很复杂， 比
较容易掌握。 目的是使解此类问题的过程变得比较简单， 能够在实际问题中解答这方面的问题， 比较快速
得出此类解， 减少运算的工作量， 提高效率。 但是对于这方面更加简便的应用， 有待后续研究。
第 22 卷第 6 期 2012 年 12 月
梧州学院学报
JOURNAL OF WUZHOU UNIVERSITY
No.6Vol.22 Dec.2012
一类 n 阶非齐次微分方程初值问题的解
刘 琼 １ ， 黄立壮 ２，李 兰 ３ （１． ２． 广西大学 数学与信息科学学院，广西 南宁 ５３０００４； ３． 钦州学院 数学与计算机科学学院，广西 钦州 ５３５００１）
[4] 刘琼.关于常系数非齐次微分方程初值问题的显示解[J].广西师院学报:自然科学版,1999(2):49- 53.
[5] C.L.Liu(美),组合数学导.[M].魏万迪译成都:四川大学出版社,1987.
［作者简介］ 刘琼， 湖南益阳人， 广西钦州学院数学与计算机科学学院教授， 硕士生导师， 主要研究方向： 微分方程理
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梧州学院学报 ２０１２ 年 １２ 月 第 ２２ 卷第 ６ 期
令
其中 k＜0 时， F （k） ＝0 ， k=0 时， F (k) =1 ， k＞0 时，
由题意知道
， 即 （3） 式中
（3）
, 由幂级数展开可得到相应的
不含有
因式， 即
· 52 ·
由于
， 其中
刘 琼，黄立壮，李 兰：一类 n 阶非齐次微分方程初值问题的解
定理 2. 1 对于下列常系数微分方程初值问题
的解为：
由题意要解出 y (x)， 因为 （2）
关键是求
, 的表达式有很多种， 由于前 n-1 个初始值已经给出，
因此只需求出
时， ck 的表达式。
证明： 。
由文 [4]， 不妨选取足够小 λ 使
， 引入变量
，则