平面图的无圈边染色
不含3-圈平面图的线性染色
图 Ｇ的一个 正常染 色是 从顶 点集 合 （ ） Ｇ 到颜 色 集合 ｛ ， ， ， ｝ １２ … ｋ 的一 个 映射 ， 得 任 意 ２个 相邻 使 的顶 点染 不 同的颜 色 ； Ｇ的一 个线 性 ｜染 色是 一个 正常染 色 ， 图 ｉ ｝ 一 使得染 任 意 ２种颜 色 的顶点集 合导 出 的 子 图是一 些点 不交 的路 的并 ； Ｇ的线 性色数 ｌ（ ） 义为 Ｇ的所有 线性 ｜染色 中最小 的 ｋ ． 图 ｃＧ定 ｊ ｝ 一 值
１ ｇ ）１ △ ）３ ｌＧ： ｆ ； ） （ ≥ 且 （ ≥， 。 ） Ｉ ＋ 若 Ｇ ６ Ｇ 则（ 垒 １
２ ｇ ）１贝ｃ ）Ｆ Ｉ ； ） （ ≥ ，ｌＧ－ 若 Ｇ ００（ ＜ ＋ ２
３ ｇ ）８ ｌＧ 『 Ｉ ． ） （ ≥， ） ＋ 若 Ｇ 则 （≤ ３
定理 ２ 设 Ｇ是一个 平面 图 ， 则
基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目（０ ７ １７ ｌ０ １２ ） 浙江省 自然科学基金重点资助项 目（ ６ ９ １０ １７ １９ ；１７ ２ ３ ； ｚ００５ ） 作者简 介： 王 侃 （９ １一） 男 ， １８ ， 浙江义乌人 ， 讲师 ． 研究方向 ： 运筹学 ； 图论 ．
１６ ３
２ 极 小 反 例 的性 质
假 设定理 ４不 成 立． Ｇ是 一 个 极 小 反 例 ， Ｇ是 一个 没 有 ３圈 的平 面 图 ， 足 △（ ≤Ｍ， 设 即 一 满 Ｇ） 且
第 ２期
王
侃： 不含 ３圈平 面图的线性染 色 更 的没 ．的 面 ，足△Ｈ≤ （） ， ｃ ） Ｊ ＋， 任 的 个 数 小 、有３ 平 图 满 （） △Ｇ≤ 有 （ 但 圈
平面图无圈边着色的一个结果
平面图无圈边着色的一个结果杨文娟;谢德政【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(029)004【摘要】An acyclic edge coloring of Graph G is a proper edge coloring without bichromatic cycles. The acyclic edge chromatic number of a graph G,denoted by x＇a（G） ,is the minimum chromatic number in acyclic edge coloring. In this paper,we prove that x＇a（G）≤△（G）＋1. if the plane graph G satisfies that the vertex in D is not incident with a 3-face ,a 3-vertex is not adjacent to the vertex in D and△（G）≥6.%图G的无圈边着色是指图G的一个正常边着色且不合双色的圈．图G的无圈边色数是指图G的无圈边着色中所用色数的最小者，用x＇a（G）表示；证明了如果G是一个D中的顶点不与3-面相关联，3-顶点不与D中的顶点相邻且△（G）≥6的平面图，则x＇a （G）≤△（G）＋1．【总页数】3页(P17-19)【作者】杨文娟;谢德政【作者单位】重庆大学数学与统计学院,重庆401331;重庆大学数学与统计学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O157.5【相关文献】1.不含5-圈的平面图的无圈边着色 [J], 吴燕青;谢德政;赵灿鸟2.不含短圈平面图的无圈边染色的一个结果 [J], 张埂3.不含3,4圈的平面图的无圈边染色的一个结果 [J], 张埂4.关于无5-圈,8-圈和9-圈平面图的3-选色 [J], 张海辉5.1-树与外平面图的无圈边着色 [J], 许振宇因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
平面二部图的无圈边染色
（ Ｇ） ≤
中起到至关重要 的作用。 引理 ２ ： 设 Ｇ是简单 平面图 ， ６ （ Ｇ） ≥２ 。 如果 Ｇ中不含奇 圈， 且任意一个度 为 ３的顶 点至多关联于一个 度为 ４的面 ， 则 下面三种情形至少有一种成立： （ １ ） Ｇ中存在一个 ２ 一点邻接于一个 ≤４ 一点 ， （ ２ ） Ｇ中存在一个 ３ 一点邻接于两个 ３ 一点 ， （ ３ ） Ｇ中存在一个 ｄ 一点 ，邻接于至少 ｄ 一 ３个 ≤３ 一点并 且其中有一个为 ２ 一点 ， 其中ｄ ≥５ 。 证 明： 用反证法 。设 Ｇ是满 足引理条件的一个反例 ， 即 情形（ １ ） 、 （ ２ ） 和（ ３ ） 均不成立 ， 不妨令 Ｇ具有最少 的边 。 将 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ 公式 Ｉ ｖｆ Ｇ １ ｌ — Ｉ Ｅ （ Ｇ ） Ｉ ＋ Ｉ Ｆ （ Ｇ ） １ ＝ ２做 简单 变 形可 以改 写成 如下 形
△（ Ｇ） ＋ ３ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ｐ ｌ ｎａ ａ ｒ ｒａ ｇ ｐ ｈ ｓ ； ｐ ｌ ａ ｎ ａ ｒ ｂ ｉ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ｔ ｅ ｒａ ｇ ｐ ｈ ｓ ； ａ ｃ ｙ ｃ ｌ ｉ ｃ ｅ ｄ ｇ ｅ
ｃ ｏ ｌ ｏ ｒ ｉ ｎ ｇ ； Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ ’ Ｓ ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ａ
总第 ２ ９ １ 期 ２ ０ １ ４ 年９ 月
敏 ≈ ｆ ‘
Ｔ ｈ ｅ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ａｒ ｔ ｉ ｃ ｌ ｅ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｃ ｔ ｓ
ｒ ０ ｔ ａ １ ． ２ ９ １
Ｓ ｅ ｐ ｔ ｅ ｍｂ ｅ ｒ ２ ０ １ ４ （ ｃ ）
ａ ｎ ｙ ａ ｐ ｅ ｘ ｏ ｆ ３ ｄ ｅ ｒｅ ｇ ｅ ｉ ｓ ｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｅ ｄ ｔ ｏ ｎ ｏ ｍｏ ｒ ｅ ｈａ ｔ ｎ ｏ ｎ ｅ ｐ ｌ ａ ｎ ｅ ｏ ｆ ４ ｄ ｅ －
图论中的平面图与染色问题
图论中的平面图与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，平面图与染色问题是重要的研究方向。
一、平面图平面图是指可以在平面上画出的图，其中任意两条边都不相交，任意两个顶点之间都只有一条边相连。
平面图可以用来描述许多实际问题，如地图、电路等。
在平面图中，有一个重要的定理，即欧拉定理。
欧拉定理是数学家欧拉在1736年提出并证明的，它给出了平面图中顶点数、边数和面数的关系。
根据欧拉定理，对于连通的平面图，满足公式：V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
二、染色问题染色问题是图论中的一个经典问题，即给定一个图，如何用有限种颜色对图的各个顶点进行染色，使得相邻的顶点之间的颜色不相同。
这是一种常见的应用问题，如地图着色、课程表安排等。
在染色问题中，有一个重要的定理，即四色定理。
四色定理是染色问题中的一个著名定理，它指出任何平面图都可以用至多四种颜色对其顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不同。
三、平面图与染色问题的关系平面图与染色问题之间有着紧密的联系。
通过合理的染色方案，可以将一个平面图的顶点进行染色，满足相邻顶点颜色不同的要求。
同时，染色问题的解法与平面图的结构和性质也有关系。
在研究平面图与染色问题时，可以通过绘制平面图的平面嵌入图来分析和求解染色问题。
平面嵌入图是平面图在平面上的一种表示形式，可以把平面图的顶点和边绘制在平面上，形成一种更加直观的图形。
在解决染色问题时，可以借助平面嵌入图的结构和特性，通过一定的算法进行染色。
例如，可以利用贪心算法对顶点进行依次染色，确保相邻顶点染不同的颜色。
四、应用举例平面图与染色问题在实际中有广泛的应用。
一个典型的例子是地图着色问题。
在地图上，每个国家或地区可以用一个顶点表示，国家或地区之间的边表示它们的相邻关系。
通过对地图进行染色，可以实现相邻国家或地区的颜色不同，从而更加方便地辨认。
另一个例子是课程表安排问题。
不含3圈的平面图的无圈边染色
文章 编号
１ ０ ０ ０— ５ ２ ６ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ０ ０ ９— ０ ４
不 含 ３圈的 平 面 图的 无 圈边 染 色
张 江 ， 张 埂
（ １ ． 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室 ， 四川 成都 ６ １ ０ ０ ３ １ ； ２ ． 重庆大学 自动化学 院， 重庆 ４ ０ ０ ０ ３ ０ ）
对 Ｖ ｕ ∈Ｅ（ Ｇ）， 盯（ ）表 示 边 所 染 的颜 色 。
集， 它表示与顶点 邻接的全体 顶点构成的集合。 ｄ （ ）表示 顶点 的度 数且 ｄ （ ） ＝Ｉ Ⅳ（ ）Ｉ， 如 果
ｄ （ ）＝ｋ， 则 称 是一个 ｋ一点 ， 如果 ｄ （ ）≥ ｋ（ 或 ｄ （ ）≤ ｋ） ， 则称它 是一个 ｋ 一点 （ 或ｋ 一 一点 ） 。 记Ｊ ７ 、 ｒ （ ）＝ ｛ ∈ Ｎ（ ）Ｉ ｄ （ “ ）＝ｋ ｝且 ｎ （ ） ＝
第３ ０卷 第 ５期
２ ０ １ ３年 １ Ｏ月
贵州大学学报 （ 自然科 学版 ） Ｊ ｏ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｆ Ｇ ｕ ｉ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
Ｖ ｏ １ ．３ ０ Ｎｏ ．５ ０ ｃ ｔ ．２ ０ １ ３
对 Ｖ ∈Ｖ （ Ｇ ）， 叮 ｒ （ ） 表 示 全体 与顶 点 关 联 的边
所 染 的颜 色 。如果颜 色 ∈ 叮 Ｔ （ ）， 则称 颜 色 Ｏ ／ 在 顶 点 表 现 。 对 Ｖ Ｗ ｃ Ｖ （ Ｇ），叮 Ｔ（ ） ＝ ｕ （ ／ ３ ）． 设 ／ ｔ ． ， 是 图 Ｇ 的 两 个 不 同 的 顶 点 ， 记
色Ｏ ／ 和颜 色 ． 设 ｋ是 一个 正 整 数 ， Ｇ是 一 个 简 单 图 ， 如果 Ｇ 是 一个 ｋ一最小 反例 图 ， 则 图 Ｇ满 足 。 （ Ｇ）＞ｋ， 且 对 图 Ｇ的任 意 一个 真子 图 日都 有 。 （ Ｈ）≤ ｋ．
最大度是6且不含有弦的小圈的可平面图的边染色
Ｎｉ ｅ ｐ ｎ Ｗ ｉｉ ｇ
（ ｃｏｌ ｆＭ ｔｅ ｔ ｓａｄＳａｓ ｃ，Ｚｏｈ ａｇＵ ｉｅｓｙ Ｚ ｏｈ ａｇ ２ ７６ Ｃ ｉａ Ｓｈｏ ａｈｍａｃ ｎ ｔｉｉｓ ａｚｕｎ ｎｖｒｉ ， ａｚｕｎ ， ７ ０， ｈｎ ） ｏ ｉ ｔｔ ｔ １
Ａ ｓ ａ ｔＬ ｔ ｅａｐａａ ａｈｏ ｍ ｘｍ ｍ ｄｇｅ △， ｓ ａ ｅｃ ｓ １ｆ Ｇ △ ａｄｃａｓ ｘ （ ）＝ ＋ ｂ ｔ ｃ：ｅ Ｇｂ ｌｎｒ ｒｐ ｆ ａｉ ｕ ｅｒｅ Ｇｉ ｓｉ ｔ ｂ ｌ ｓ Ｘ （ ）： ｎ ｌｓ ２ｉ Ｇ Ａ ｒ ｇ ｄｏ ａ ｉ ｆ １ ｈｒＸ （ ，ｗ ｅｅ Ｇ）ｄｎｔｓｈ ｒｍ ｔ ｄｘ ｆ ．Ｉ １６ ， ｉｎ ｒｖｄｔ ｔ ｖｒ ｌｎｒ ａｈｏ ｘｍ ｍ ｄｇｅ ｔ ｅｏｅ ｅｃ ｏ ａ ｃｉ ｅ ｎ ９ ５ Ｖｚ ｇｐｏｅ ａ ｅｅｙｐａａ ｐ ｆ ｔ ｈ ｉ ｎ ｏＧ ｉ ｈ ｒ ｇ ｍａｉｕ ｅｒｅａ
（ ４≤ ｋ≤ ７ ． ）
［ 关键词 ］ 平 面图 ， 边染色 ， 最大度 ， 圈
［ 中图分类号 ］Ｏ ５ ． ［ １７ ５ 文献标志码 ］Ａ ［ 文章编号 ］０ １ ６ ６ ２ １ ） ３０ １－６ １０ － １ （ ０ １ ０ － ９０ ４ ０
Ｅｄｇ ｌ ｒｎ ｆＰｌ ｎ ｒ Ｇ ｒ ｐ ｉｈ △ ＝６ ｅ Ｃｏ ｏ ｉ ｇ ｏ ａ ａ ａ ｈｓＷ ｔ Ｗ ｉｈｏ ｈｏ ｔＣｙ ｌｓ Ｃｏ ｔ ｉ ｔ ｕｔＳ ｒ ｃｅ ｎ ａ ｎ Ｃｈｏ ｄｓ ｒ
图的平面图与染色问题
图的平面图与染色问题在图论中，图的平面图与染色问题是一类常见的研究课题。
图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图，而染色问题则是指给图的顶点赋予不同的颜色，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
本文将探讨图的平面图与染色问题的相关概念、算法和应用。
一、图的平面图图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图。
平面图可以使用点和线的形式进行表示，其中点代表图的顶点，线代表图的边。
一个简单无向图能够成为平面图的条件是它不包含K₅图和K₃，₃图作为子图。
为了更直观地表示一个平面图，可以使用图的嵌入的概念。
图的嵌入是指将图的顶点和边映射到平面上的一种方式，使得边之间不会相互交叉。
在图的嵌入中，每个边都被分配了一个方向，在绘制时需要保证边的方向一致，并且边不相交。
二、染色问题染色问题是在给定的图中为每个顶点赋予一个颜色的问题，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
通常染色问题可以使用图的顶点着色表示，其中每个顶点都被赋予一个颜色。
在染色问题中，可以使用不同的策略来进行顶点的染色。
最简单的策略是贪心算法，即从一个顶点开始，按顺序为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
然而，对于某些特殊的图，贪心算法可能无法找到最少的颜色数。
为了解决染色问题，还涌现出了许多其他的算法和策略。
其中一种常见的算法是Welsh-Powell算法，该算法按顶点的度数进行排序，然后依次为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
这种算法通常能够找到比贪心算法更少的颜色数。
染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在地图着色中，地图的不同区域可以用不同的颜色表示，而相邻的区域则需要使用不同的颜色进行区分。
另外，在调度问题中，染色算法可以用于安排任务和资源的分配，以避免冲突。
三、应用举例1. 地图着色假设有一幅地图，地图被划分为若干个区域，每个区域都代表一个顶点，而相邻的区域则由边相连。
为了使得相邻的区域具有不同的颜色，可以使用染色算法对地图进行着色。
最大度是4的可平面图的边染色
其 中 Ｅ （ Ｇ） Ｌ Ｇ）， （ ＪＦ（ 用 ）表 示 点 的 度 数 为 的 邻 点 的 个 数 ， （ ｄ ＋ ）表 示 点 的 度 数 不 小 于 的 邻 点 的 个 数 ．度 数 为 的 点 （ 面 ）称 为 一 点 （ 后 一 面 ）， 数 不 小 于 尼 或 或 度 的 点 （ 面 ）称 为 一 点 （ 后 或 或 一 面 ） 若 存 在 映 射 ： Ｇ）一 ｛ ２， ｝ 使 得 Ｇ 中 任 意 ． Ｅ（ １， … ，
（ ｄ（ ３） ） ＋ ｄ（ｕ） ≥ Ａ ＋ ２．
引 理 １ ２” ．
２， ５ 习ｌ 么
设 Ｇ 是 一 个 △ 一 临 界 图 ， ≥ ３ ｘ ∈ （Ｇ） 满 足 ｄ（ ） ＋ （ Ａ ．ｙ Ｙ） ＝ Ａ ＋
（ １）每 个 ∈ Ⅳ（｛ ，－ ） ＼｛ ， ｙ｝ Ｙ｝是 Ａ 一 点 ； （ ２）每 个 宦 Ⅳ（ （｛ Ｙ｝ Ⅳ ｘ， ）） ＼｛ ， Ｙ｝， 足 ｄ（ 满 ） ≥ △ 一 １；
（ 面 ）关 联 于 同 一 个 顶 点 ， 这 两 个 圈 （ 面 ） 相 交 ． 或 称 或
Ｖｉｉ ｇ ［ ｚｎ ２］给 出 了 Ａ ∈ ｛ ３， ５｝的 简 单 平 面 图 存 在 第 二 类 的 例 子 ． 近 ， 献 ［ ２， ４， 最 文 ７］ 证 明 了 一 个 围 长 为 ｇ 的 简 单 平 面 图 Ｇ满 足 △ ≥ ４且 ｇ ≥ ５， Ｇ是 第 一 类 的 ． 献 ［ 则 文 ８］证 明 了 ： ＝ ４ 的 简 单 平 面 图 Ｇ， 不 含 长 度 为 ｉ的 圈 ， 中 ４ ≤ ｉ≤ １ 则 Ｇ 是 第 一 类 图 ； △ 若 其 ４， 若
平面图染色问题的研究
平面图染色问题的研究引言平面图染色问题是一个经典的组合优化问题，它在图论中具有重要地位。
平面图染色问题旨在寻找一种给定的平面图的一种可行染色方案，使得相邻的顶点都获得不同的颜色。
自从1973年Gerhard Reinelt提出平面图染色问题以来，该问题一直是图论研究的热点之一。
本文旨在深入探讨平面图染色问题的研究现状和进展，以期为相关研究提供参考和启示。
正文部分1、平面图染色问题的概念平面图染色问题是指对于给定的平面图G，寻找一种映射f: V(G) →C，其中V(G)表示图的顶点集合，C表示颜色集合，使得对于任意相邻的顶点u和v，都有f(u) ≠ f(v)。
换句话说，平面图染色问题要求将图的顶点染上颜色，使得相邻顶点的颜色不同。
2、平面图染色模型及其应用平面图染色模型在诸多领域都有广泛的应用，如电路设计、蛋白质结构预测、印刷电路板设计、网页排版等。
例如，在电路设计中，通过将电路元件染上不同的颜色，可以避免电路短路和断路，提高电路的可靠性和稳定性。
在蛋白质结构预测中，通过将不同的氨基酸单元染上不同的颜色，可以帮助科学家们理解蛋白质的三维结构。
3、平面图染色问题的研究深入探讨自Reinelt提出平面图染色问题以来，大量的研究者致力于该问题的研究。
根据染色的方法和要求的不同，平面图染色问题可以分为多种类型，如k-染色、列表染色、反色数等问题。
其中，k-染色是最为常见的一种染色问题，它要求将图的顶点染上k种颜色，使得相邻顶点的颜色不同。
列表染色则要求对于每个顶点，都给出一个可行的颜色列表，使得该顶点的所有相邻顶点都不在其颜色列表中。
反色数则研究的是给定一个图，如何找到最少颜色数的染色方案。
结论部分本文对平面图染色问题进行了深入研究，总结了前人在该领域取得的研究成果，并指出了该领域存在的不足之处以及未来可能的研究方向。
虽然平面图染色问题已经被广泛研究了几十年，但是仍然有许多问题需要进一步探讨。
例如，对于特定类型的图，如何设计高效的染色算法？如何理解不同染色问题的最优解？此外，将平面图染色问题的研究成果应用于实际问题中，也是未来值得的方向之一。
不含4,5,6-圈的平面图的均匀染色
＋ ＋， Ｇ ＝Ａ， ． Ａ（ ） ． 那么
在平 面 图方 面 ， ａ Ｙ ｐ和 Ｚａｇ ［］ ｈｎ 在 ４ 中首先 证 明 了 ： 如果 图 Ｇ是 一个连 通 的外平 面 图 ， △≥３那 么 图 Ｇ存 ，
在 均匀△ 染色 ， ［ ］ 一 在 ５ 中证 明了任意平面 图 Ｇ， Ｇ ≥１ ， △（ ） ３ 对任意 整数 ｍ≥Ａ（ ） 都存在均 匀 ｍ 染 色 。 Ｇ ， 一
Ａ ｓ ａ ｔ Ａ ｐｏｅ ｒ ｘ ｏ ｒ ｇ声ｏ ａｇ ｐ ａ ｅ ｕ ａ ｌ ｃｌ ｎ ｔ ｕ ｂ ｒ ｏ ｖｒｃｓｉ ａｙｔｏｃｌ ｂ ｔ ｃ ： ｒ ｒ ｅ ｅ— ｌ ｎ ｒ ｐ ｖｔ ｃ ｏ ｉ ｆ ａ ｈ Ｇ ｉ ｃｌ ｄａ ｅ ｉ ｂｅ ｏ ｒ ｇｏ Ｇ ｉ ｈ ｎｍ ｅ ｔ ｅ ｎｎ － ｏ ｒ ｓ ｌ ｎ ｑｔ ｏ ｉ ｆ ｆ ｅ ｓ ｆｅｉ ｗ ｏ ｒ
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第 ４ 卷 第 ６期 ３
Ｖｏ ． ３ １４
Ｎｏ． ６
山
东
大
学
学
报
（ 理
学
版）
２０ ０８年 ６ 月
Ｊｎ．２ ｏ ｕ ０８
Ｊｕｎｌ ｆ ｈｎ ｏｇＵ ｉ ｒｔ（ ａｕ ｌ ｃ ｎｅ ｏｒａ ｏ ａｄｎ ｎ ｅｓｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ ） Ｓ ｖ ｉ ｒ ｅ
Ｏ 引 言
本 论文 所 考虑 的 图均为 简单 的有 限 的无 向 图 。设 Ｇ是一 个 图 ， Ｖ Ｇ ，Ｉ ，Ｅ（ ，ｅ Ｇ） △（ ） 用 （） Ｉ Ｇ Ｇ） （ ， Ｇ ， （ 和 ｇ Ｇ） Ｇ） （ 分别 表示 Ｇ的项点 集 合 ， （ 阶 顶点 数 ） 边 集 合 ， 数 ， 大 度 ， 小 度 和 围 长 。在 不 引起 混淆 ， 边 最 最 的情况 下 ， Ｇ ， （ 和 ｇ Ｇ） △（ ） Ｇ） （ 可分别 简 记为 △， 和 ｇ 图 Ｇ的一 个 缸顶 点染色 是 指 ｋ种 颜 色 １２ … ， 。 ，， ｋ
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３４ ９
淮阴师范学院学报 （ 自然科学 ）
第ｌ Ｏ卷
性质 ｌ 如果 图 Ｇ是平 面图并且 它 的 围长 为 ｇ， Ｍａ（ ）＜ 则 ｄＧ
． 文 ［］ 见 ８．
引理 ２ 如 果 图 Ｇ的 Ｍａ（ ）＜４且 （ ｄＧ ， Ｇ）≥ ２ 则 图 Ｇ至少包 含下 面几 种情况 之一 ． ，
的颜色 ， 以及 图 Ｇ中不含 有 ２色 圈 ， ． 换句 话说 即图 Ｇ 中任何 染 两种 颜 色 的边 的 导 出子 图是 一 棵 森林 ． 关键 词 ： 圈染 色 ；平面 图；围长 ；最 大平 均度 无
中图分类 号 ： １７５ Ｏ ５ ． 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：６ １ ８ ６ ２ １ ）５０ ９ ．６ １７ ． ７ （ ０ １０ ．３ ３０ ６
０ｃ ．２ １ ｔ ０１
平面图的无圈边染色
段娟娟 ，丁 伟
（ 中国矿业大学 理学院 ， 江苏 徐州 ２ １１） ２ １６
摘 要 ： 用差 值转 移的方 法证 明 了， 利 如果 ｇ（ ） ４则有 Ｘ， ＧＩ ＞ ≤△（ ＋４ 图 Ｇ＝（ ， 是 简 Ｇ） ． Ｅ）
单图， 映射 Ｃ Ｅ ［ ］被称作是图 Ｇ的一个无 圈ｋ ：一 ｋ ， 边染色． 如果任意相邻的两个边染有不同
情况 ６ 一个 ６ 度点至少邻接邻接 ５ ３ 个 度点 ， 和一个度数小于等于 △ Ｇ 一１ （） ； 情况 ７ 一个 ７度 点邻接 ７个 ３ 点 ； 度
情况 ８ 一个 点 当ｄ ） （ ≥６ ， 时 点 至少邻接 ｄ 一３ ２ （ ） 个 度点其 中的一个可以是 ３ 度点 ．
情况 １ 一个 ２ 度点至少邻接一个度数小于等于 ４ 的点 ； 情况 ２ 一个 ３度点 至少 邻接 一个小 于等 于 ４度 的点和 一个 ５ 的点 ； 度
情况 ３ 一 个 ４度点 至少 邻接 一个 ２ 点 ； 度 情况 ４ 一个 ５度 点至少 邻接 一个 ２ 点和一 个 ３ 点 ； 度 度
现在对于猜想任意图的无圈边色数 Ｘ ≤ Ａ Ｇ ＋２ （ ） 很难解决 ， 但是对于一 ＋ ． （ ） ２在文［］ 给出了一类平面图的无圈边色数的上界 五， Ａ Ｇ ＋２ ． ５ 中， ≤２ （ ） ９ 在文 ［］ ６ 中作者证明了对于平面图 Ｇ当ｇ Ｇ ≥ ５ 有 ｘ， （） 时， ｏ ≤Ａ Ｇ ＋２ 当 ｇ Ｇ ≥６ （） ， （ ） 或图 Ｇ中不含 有 ４ ６ ８ ， 圈时有 ｘ， Ａ Ｇ ＋１当平面图不含有 ４ 圈， 圈， 圈 ９ ｏ≤ （ ） ， 圈时有 ｘ， ｏ≤△ Ｇ ＋１ ． （ ） ５ 在文［］ ７ 中证 明了对于平面图 Ｇ当它的围长大于等于４ 时已经证明了它的无 圈边色数 ｘ， （ ） ５本文中我们利 ｏ≤Ａ Ｇ ＋ ．
了 。 ／ Ｇ ＋ 对几乎所有的 Ａ Ｇ 一正则图都成立， ≤Ｘ ） ２ （ （） 同时对于某常数 Ｃ 如果 △ Ｇ 一正则图 Ｇ的 ， （）
围长 （ 最小 圈边 的长 ）是 ｃ・ Ｇ）・ｏ△（ 时 ， ， △（ ｌｇ Ｇ） 猜想 也是 成立 的 ． 用概率 的方法 Ｍ ｌｙ Ｒ ｅ 在文 也 ｏｌ 和 ｅｄ ｏ ［］ 明 了对 于任 意图 Ｇ， ４证 都有 。≤ １Ａ（ ． ６ Ｇ）
０ 引 言
本文所引用的图都是简单有限图， 于简单图 Ｇ 用 （ ） 对 ， Ｇ 表示图 Ｇ的顶点集 ， （ ） Ｅ Ｇ 表示图 Ｇ 的边
集 ， （ 表示 图 Ｇ的最大 度 ， Ｇ） △ Ｇ） （ 表示 图 Ｇ的最小 度 ， （ ） 示 图 Ｇ的围长 ． 于本 文所没 有定 义 的 ｇＧ表 对 概念 可 以参 见 文献 ＿ ． Ｇ的一个 无 圈 ｋ 色 ， １图 Ｊ 染 是一个 映射 Ｃ： Ｇ 一 ｛ ，， ， ｝是使得 图 Ｇ中任意 Ｅ（ ） １２ … ｋ ，
相邻的两条边染不同颜色 ， 且图 Ｇ中不含 ２ 色圈 ． ． 使图 Ｇ有无圈边染色的最少颜色数称为图 Ｇ的无圈 边色数 ， 定义为 无圈边色数最早是由 Ｇｔｂｕ 提 出．ｌ 等 人猜想对任意图有 Ｘ。 Ａ Ｇ ＋ ｒ ａｍ ｉ ｎ Ａｏ ｎ ≤ （ ）
２ 同时 ， 他们用 概率 的方 法证 明了对 任意 图 Ｇ， 都有 Ｘ。≤ ６Ａ（ ）用 同样 的方法他 们在 在文 ［］ ４ Ｇ， ２ 中证 明
用平 面 图的最 大平均 度小 于 ４ 证 明了 图 Ｇ的 围长大 于等 于 ４时 △≥ ８无 圈边 色 ， △ Ｇ）＋４ ， ， ≤ （ ．
１ 平 面 图的 无 圈 边 色数
引理 １ 如 果 图 Ｇ是最 大度 为 ３的非 正则 的连 通 图 ， Ｘ，Ｇ 则 ａ ）≤ ４ （ ．
此定理的证 明文［］ ４ 中已经给出了证明， 在此我们就不再叙述 。 定理 １ 设图 Ｇ是简单图， 如果有 ｇ Ｇ ≥ ４则有 ，Ｇ ≤△ Ｇ ＋４ （） ， （） （） 定义 １ 我们首先要了解图的最大平均度的定义 ， 在文 ［］ ８ 中定义 了一个 图的最大平均度 ：
Ｍ（ ＝ａ ： ｝ ａＧ ｍ｛ ｄ） ｘ ２ Ｈ ． Ｇ
收 稿 日期 ：２１—８０ ０ １０．１
基金项 目：中央高校基本科研业务费专项基金资助项 目（００ Ｋ Ｘ ６ ２ １Ｌ Ｓ ０ ） 作者简 介： 段娟娟（９６） 女 ， １８．， 山东临清人 ， 硕士研究生 ， 研究方向为图的边染色
第 １ ０卷第 ５期
２１ 年 １ ０１ ０月
淮阴师范学院学报（ 自然科学 ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｕ ＩＩ Ｅ Ｃ Ｅ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ（ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＨ Ａ ＹＮＴ Ａ Ｈ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｕ ｅ
Ｖ １ １ Ｎｏ ５ ｏ．０ ．
证明 我们利用 差值转移方法 来证 明此 引理 ． Ｇ ＝ （ ， ）的最大平均度 Ｍ ｄ Ｇ 图 ＶＥ ａ （ ）＜４且 （ ） ２我们定义 函数 ｆ ） Ｇ ≥ ． （ 在图 Ｇ的顶 点集 中， 对任意 ∈ Ｖ让ｆ ）＝ ｄ （ （ ）由 Ｍ ｄ Ｇ ａ（ ）≥ 蝴 撒 ，