2对偶理论

-x1 - x2 ≥ -5
x1，x2≥0
结论：原问题与对偶问题之间是互为对偶的关系。
2.2 原问题与对偶问题（三）
原问题（对偶问题）
目标函数 m数 min n个 ≥ ≤ = 约束条件右端项 m个 ≥0 变 量 ≤0 无约束 目标函数中变量的系数 约 束 条 件
n个
≥0 ≤0 无约束 目标函数中变量的系数 约 m个 束 ≤ 条 ≥ 件 变 量
例3：写出例1中对偶问题的对偶。 min w =15y1+24y2+5y3 解： max( -w )= -15y1-24y2-5y3 6y2+y3≥2 -6y2 -y3 ≤ -2 5y1+2y2+y3≥1 -5y1 -2y2 -y3 ≤ -1 y1 ，y2 ，y3 ≥0 y1 ，y2 ，y3 ≥0 max z= 2x1+x2 5x2≤15 6x1+2x2≤24 x1+ x2≤5 x1，x2≥0 min z’= -2x1 -x2 -5x2 ≥ -15 -6x1 -2x2 ≥ -24
2.2 原问题与对偶问题（一）
（原问题 ） max Z=c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn a11x1 + a12 x2 + ... + a1nxn b1 ...... am1x1 + am2x2 + ...+ amn xn bm
x1 , x2 , ... , xn 0
管 理原 者问 模题 型 租 对 赁 偶 者 问 模 题 型
Max z = 50x1 + 100x2 x1 + x2 ≤300 2x1 + x2 ≤ 400 2x2 ≤ 250 x 1 , x2 ≥ 0
Min w = 300y1+ 400y2 + 250y3 y1+2y2 ≥ 50 y1+ y2+2y3 ≥100 y1, y2 , y3 ≥ 0
产品 原料 A B C 价格 （元/件）
解：设变量xi为第i种（甲、 乙）产品的生产件数（i＝1， 2）。则有
Max z = 50x1 + 100x2 x1 + x2 ≤ 300 2x1 + x2 ≤ 400 2x2 ≤ xj ≥ 250 0(j=1, 2)
甲
1 2 0 50
乙
1 1 2 100
原料数量 （吨）
对偶单纯形法
典式对应原规划的 基本解的检验数
所有
所有 否
停
没 有 最 优 解
计算 是 所有 否 计算
所有
否 计算
以为中心元素进行迭代
以为中心元素进行迭代
单纯形法和对偶单纯形法步骤
从对偶单纯形法的求解过程可见，该方法有很大的局 限性，因此，准确地说对偶单纯形法是辅助求解线性规划 问题的方法。
通过单纯形法和对偶单纯形法的对比学习，应掌握两 种方法的适用情况和题型，现总结如下： 原问题 可行解 可行解 非可行解 对偶问题 可行解 非可行解 可行解 结论或继续计算的方法 各自问题的最优解 单纯形法进一步求解 对偶单纯形法进一步求解
j c j CB B 1 Pj c j aij yi
i 1
m
式中cj表示第j种产品的单位产值；YA表示生产一单位第j 种产品所需的各种资源的影子价格的总和，即一单位第j种 产品的隐含成本。当产品产值大于隐含成本时，生产该产 品有利可图；反之，不应该生产该产品。
2.5 对偶单纯形法（一）
正确理解影子价格，利用影子价格进行经济分析
1.影子价格是一种易变价格。在单纯形法迭代过程中，同 一变量在不同单纯形表的检验数一般不同，即不同变量 在不同生产计划下的估价也不同。
2.影子价格是一种边际价格。
z
yb
i 1 i
m
i

yi z / bi
上式表明，增加一个单位的第i 种资源所引起的目标函 数的增量即为既定条件下第i 种资源的影子价格。 3.影子价格是一种机会成本。由于影子价格有别于市场价格， 因此可以根据影子价格与市场价格之间的关系进行决策。当 影子价格高于市场价格时，应买入该资源；当影子价格低于 市场价格时，应卖出该资源。
4.互补松弛性的经济解释 根据互补松弛性可以得出一下结论：
ˆ a x
j 1 ij
n
j
ˆ ˆ ˆ bi yi 0; yi 0 aij x j bi
j 1
n
上式表明，如果某种资源在生产过程中有剩余，则该资源 的影子价格一定为0；如果某种资源的影子价格大于0，则 该资源在生产过程中一定已经完全消耗。 5.检验数的经济解释
2.线性规划的对偶理论
2.1 对偶问题的提出 2.2 原问题与对偶问题 2.3 对偶问题的基本性质 2.4 影子价格 2.5 对偶单纯形法 2.6 灵敏度分析
2.1 对偶问题的提出
例1 某工厂拥有A、B、C三种类 型的原料，生产甲、乙两种产品。 每件产品在生产中消耗的原料数 量，每件产品的价格以及三种原 料可利用的数量如下表所示：问 题：工厂应如何安排生产可获得 最大的总收益？
-15 -24 y1 0 -5 -15 0 -5 -15 -5/4 y2 (-6) -2 -24 1 0 0 1 0 0
-5 y3 -1 -1 -5
0 y4 1 0 0
0 y5 0 1 0 0 1 0 1/4
1/6 -1/6 (-2/3) -1/3 -1 0 1 0 -4 -1/4
-6y2 - y3 + y4
300 400 250
现在考虑
现假定某企业欲收购该工厂拥有的资源，至少应付出多大代价， 才能使其愿意放弃生产活动而出让资源？
该工厂放弃自己组织生产活动的条件是：出让同等数量资源的收 益应不低于用其组织生产活动创造的产值。
设 y1 ，y2 ，y3 分别为每设备工时（或原料） 每单位的收取费用，则有 Min w = 300y1+ 400y2 + 250y3 y1+2y2 ≥ 50（不少于甲产品的利润） y1+ y2+2y3 ≥100（不少于乙产品的利润） y1,y2 ,y3 ≥ 0
2.2 原问题与对偶问题（二）
例2：写出下述线性 规划的对偶问题。
max z= 2x1+x2 解：根据对偶问题的提出，有： 2 0 6 1 1 5 2 1 15 24 5 0 6 1 2 5 2 1 1
5x2≤15
6x1+2x2≤24 x1+ x2≤5 x1，x2≥0
15 24 5
min w =15y1+24y2+5y3 6y2+y3≥2 5y1+2y2+y3≥1 y1 ，y2 ，y3 ≥0



弱对偶性：设 X, Y分别是原问题和对偶问题的可行解， 则 CX Yb。 最优性：设 X, Y分别是原问题和对偶问题的可行解，且 CX =Yb，则X, Y 为各自问题的最优解. 无界性：若原问题无界解,则对偶问题无可行解.
2.3 对偶问题的基本性质

强对偶性：若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解， 且max z=min w. 互补松弛性： 原问题变量>0 对偶约束为紧 对偶变量 > 0原问题约束为紧 原问题约束为松 对偶变量=0 对偶约束为松 原问题变量=0
根据对偶理论，单纯形法的解体思路可以总结为：在保 证原问题为可行解的前提下，通过迭代使对偶问题的解 不断由非可行解转化为可行解，当原问题与对偶问题同 为可行解时，就得到了各自问题的最优解。 能否在保证对偶问题为可行解的前提下，通过迭代使原 问题的解不断由非可行解转化为可行解，当两个问题同 为可行解时，也可以得到各自问题的最优解。 ——这就是对偶单纯形法的解体思路。 注意：对偶单纯形法是与单纯形法并列的另一种求解 线性规划问题的方法，并不能因为方法中带有“对偶” 字样而认为该方法只能用来求解对偶问题，因为原问 题与对偶问题本身就是相对而言的。
（对偶问题） min W=b1 y1+ b2 y2+ ... + bm ym a11y1+ a21 y2+ ... + am1 ym c1 ...... a1ny1+ a2n y2+ ... + amnym cn y1 , y2 , ... , ym 0
一 对 互 为 对 偶 的 模 型
-5y1 - 2y2-y3
＝-2
+ y5 ＝-1
-24 y2 1/4 -5
y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥0
y3 1/2 15/2 cj－ zj -15/2
1/2 -3/2 -7/2 -3/2
单纯形法 典式对应原规划的 基本解是可行的 是 否 计算 是 没 有 最 优 解 得到 最优解 是
同一张单纯形表中，原问题与对偶问
题之间的关系。
用单纯形法求解线性规划问题时,迭代的每一步 在得到原问题一个基本可行解的同时,其检验数 行各变量检验数的相反数是其对偶问题的一个 基本解;在单纯形表中,原问题的松弛变量对应 对偶问题的变量,对偶问题的剩余变量对应原问 题的变量;这些互相对应的变量如果在一个问题 的解中是基变量,则在另一问题的解中是非基变 量;将这两个解代入各自的目标函数中有z=w。
解： max w =24y +15y +30y 1 2 3
≥ 7 -4y1 -3y2 2y1 -6y2+5y3 = 4 -6y1 -4y2+3y3≤ -3 y1≤0 , y2≥0 , y3 无约束
x1≤0 , x2无约束, x3 ≥0
24 15 30 -4 -3 0 7 2 -6 5 4 -6 -4 3 -3
2.4 影子价格
根据对偶理论的基本性质，单纯形表迭代的每一步中, 原问题与对偶问题的目标函数恒有