机械工程控制基础 第四章 传递函数

第四章 传递函数第一节 传递函数的概念与性质一、传递函数的概念对于单输入、单输出的线性定常系统，传递函数定义为“当输入量和输出量的一切初始值均为零时，输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比”。

原函数描述的系统：输入x i （t ）⇒ 系统h （t ）⇒ 输出x 0（t ） 以象函数描述的系统：输入X i （s ）⇒ 系统G （s ）⇒ 输出X 0（s ）传递函数为：)()()(0s X S X s G i =传递函数是描述系统动态性能的数学模型的一种形式，是系统的复数域数学模型 二、传递函数的一般形式线性定常系统的运动微分方程式的一般形式为：imim m im inn n n x b x b x b x b x a x a x a x a ++++=++++---- 1)1(1)(01)1(01)(0......其中a 0、a 1。

a n ，b 0、b 1。

b m 均为实常数。

对上式做拉氏变换即可求得该系统的传递函数。

传递函数具有以下三种常用形式： ==)()()(0s X s X s G i nn n nmm m m a s a s a s a b s b sb sb ++++++++----11101110 (Ⅰ)型 ==)()()(0s X s X s G i ))...()(())...()((212100nma a ab b b s s s s s s a s s s s s s b ------ Ⅱ型==)()()(0s X s X s G i )12()1()12()1(2211122111++++++∏∏∏∏∏∏======s T sT s s s T sT s k al alal l all l l bl blbl l bll ll ζττζτνμλσρηⅢ其中，Ⅱ型中，s b1、s b2、s bm 是G （s ）的零根，s a1、s a2、s an 是G （s ）的极点，也是分母多项式的根。

这些根可以是单根、重根、实根或复根。

若有复根，则必共轭复根同时出现。

Ⅲ型中，k l 称为环节增益；blblblτττ..是环节的时间常数；bl blζζ.是环节的阻尼比。

以上均为实常数，且10≤≤alζ，10≤≤blζ。

在分子、分母多项式中，每个因式代表一个环节。

其中每个因式sτ确定一个零根；每个因式（1+s τ）确定一个非零实根；每个因式)1Tsζ确定一对共+Ts(+2轭复根。

三、传递函数的性质1、传递函数只决定于系统的内在性能，而与输入量大小以及它随时间的变化规律无关。

2、传递函数不说明系统的物理结构，只要动态性能相似，不同的系统可具有同形式的传递函数。

3、分母的最高阶次为n的系统称为n阶系统。

实用上n≥m。

4、s的量纲为时间的倒数，G（S）的量纲是输出与输入之比。

5、所有系数均为实数，原因是：“它们都是系统元件参数的函数，而元件参数只能是实数”。

第二节线性控制系统的典型环节控制系统都是由若干个环节组合而成，无论系统多么复杂，但所组成的环节仅有几种，举例说明。

一、比例环节 传递函数G （s ）=K例：,,ωω1221J J ba(机械系统，不考虑弹性变形)图a(液压系统，不考虑弹性变形，可压缩性和泄漏)图b(t u λ图c图4-1 比例环节G （s ）=Kz z s s i==ΘΘ'110)()(g （t ）=A.V （t ） G （s ）=KA s Q s V ==1)()(u （t ）=R.i （t ） G （s ）=K Rs U s I ==1)()( 二、积分环节传递函数的标准形式：G （s ）TsK 一阶系统G （s ）=22sT K二阶系统例：电感电路系统i 0（t ）=⎰dtt UL i)(1i 0（t ）—输出；u i （t ）—输入L —变换 I 0（s ）=)(1s U cs i G （s ）=TsK Lss U s I i ==1)()(0这里LTK1=λu (t L三、惯性环节一阶惯性环节的传递函数标准形式：1)(+=Ts Ks G 例：阻容电路 )()()()(1)()()()(00000t u t uRC t u dtt i Ct u t u t Ri t u i ti +==+=⎰()()(00su S RCsUs U i +=11)()()(0+==RCs s U s U s G i K=1，T=RC(t )u i 0(t )四、振荡环节 传递函数标准形式：22222212)(nnns sK Ts sT Ks G ωζωωζ++=++=其中 K —比例系数，ζ—阻尼比， T —周期，nω—无阻尼自由振动固有角频率。

例1：质量—弹性—阻尼系统X (t )输入f （t ），输出x （t ） 运动方程：)()()()(t f t kx t x c t x m =++ L —变换：)()()(2s F s X k cs ms =++kcs mss F s X s G ++==21)()()(=nnns sK m k s m csk m kωζωω++=++⨯21222其中，Tkckc km k cm c mk kK n nnn22..22,,1======ωωωζω 例2：阻容感电路（R —C —L 电路）***引人复阻抗概念C)(.)(t i R t U = L —变换 Rs Zs I s Zs I R s U RR===)();()()(.)( ⎰=Tdtt i Ct U 0)(1)(L —变换 sC s Z s I s Zs I s C s U C C.1)();()()(.1)(===dt t di L t U )(.)(= L —变换 Lss Z s I s Zs I s L s U L===)();()()(..)(复阻抗)...()()()(I U R s I s U s Z ==，又称为复数域的欧姆定律。

(t )u i 0(t )LRs )u (s )Z L R Z (s )1Z (s )u s )见题图LSs Z Css Z R s ZL C R===)(,1)(,)()()()()(1R Ls s Z s Z s Z L R+=+=)()()(0s I s Zs U C=得)()()(0s Zs U s I C=)()1()()1)()(()()()()(00101s U RCs LCs s U s Z s Z s U s I s Z s U C i ++=+=+=22222021111)()()(nnni s sK LC s L R sLC RCs LCss U S U s G ωζωω++=++=++==其中，CL RLCK n21,1,1===ζω需要注意的是，只有当012=++RCs LCs 的特征方程具有一对共轭复根时，系统才能称为振荡环节。

否则，称为二阶惯性环节。

即012=++RCs LCs K五、放大器模拟电路举例（第二章已说过12021)()(),()(R R t U t U t i t i i -=≅）(s )u 0i u (s (s )Z 2通式：)()()()()(20s Zs Z s Us Us G i-== 1、若 11)(R s Z = 22)(R s Z = 12)(R R s G -=比例环节 2、若 11)(R S Z =sC s Z 221)(=sC R s G 211)(=积分环节 3、若sC s Z 111)(=22)(R s Z =sC R s G 12)(-= 微分环节 4、若 11)(R s Z =1)(2222+=s CR R s Z 1)(2212+=s C R R R s G 一阶惯性环节 5、若1)(1111+=s C R R s Z 22)(R s Z =21111)(R R s C R s G +=二阶导前环节(tu i 0u (t )(t )u 0i u (t 1第三节 系统框图及其运算 系统有很多环节组成，相互之间如何运算？框图又如何运算？一、系统框图的联接及其传递函数 1、串联 )()()()()()()(032211s X s G s X s G s X s G s X i⇒⇒⇒⇒⇒⇒)().().()()()()()()()()()(321201210s G s G s G s Xs X s X s Xs X s X s X s X s G i i =⨯⨯==2、并联)()()()()()()(3210s X s X s X s X S X S X s G i i ++===)()()(321s G s Gs G ++对于n 个系统∑==nk ks Gs G 1)()(3、反馈联接X i （s ）—输入信号X 0（s ）—输出信号= E （s ）.G 1（s ） E （s ）—偏差信号= X i （s ）± B （s ） B （s ）—反馈信号=H （s ）. X 0（s ） 10、前向传递函数 )()()(01s E s X s G =20、开环传递函数)()()()()(10s H s G s E s B s G == 30、闭环传递函数)()()]()()([)()()]()([)()()()()()(10110s X s G s X s H s X s X s G s B s X s X s G s E s X s X s i i i i i i ±=±===Φ整理得：)()(1)()(11s G s H s G s ±=Φ二、框图的变换 变换的目的：将复杂联接的框图，进行等效变形，使之成为仅包含有串、并、反馈等简单联接方式，以便求算系统的总传递函数。

1、汇交点的分离、合并与易位A+C-BA+C-BA+C-B 2、汇交点与分支点易位A-BAA3、汇交点与方框易位A-B)GA-B)GA G-BA G-B4、分支点与方框易位A GAA A GA G A GA G A G第四节 多变量系统的传递函数 一、有干扰作用时系统的输出 由于是线性系统，可单独考虑输入与干扰的作用。

1、仅有输入)(s X i作用，即)(s N =0时。

(s)(s )Z ii Z (s )(s )前向通道传递函数)(s Gq=)().(21s Gs G系统传递函数)()()(1)()()()(1)()()()(2121011s H s G s G s G s G s H s G s G s X s Xs q q i +=+==Φ2．仅有干扰)(s N 作用，即)(s Xi=0时。

(s )前向通道传递函数)(s G q =)(2s G系统传递)()()(1)()()1)(()(1)()()()(2121022s H s G s G s G s G s H s G s G s N s Xs q q +=--==Φ3、输入)(s Xi和干扰)(s N 同时存在的总输出)(0s X⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΦΦ=++=Φ+Φ=+=)()()()()(1)(,)()()(1)()()()()(,)()()()(1)()()()()()()()()()()()(212212121212212102010s N s X s H s G s G s G s H s G s G s G s G s N s X s s s H s G s G s G s N s G s G s X s N s s X s s Xs Xs X i i i i二、双自由度弹簧、阻尼、质量系统 输入)(1t f 和)(2t f 输出)(1t x 和)(2t x 。