总第3课时分式的基本性质(一)
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分式的基本性质ppt
应用场景
分式不等式在解决实际问题中非常有用，例如最大值和最小值问题，优化问题 等。
分式与几何知识的结合应用
分式与面积的关系
在几何学中，分式经常用于表示面积的比例关系。例如，在相似三 角形中，边长的比例与对应高线的比例成反比。
分式与体积的关系
在三维几何中，分式可以用来表示体积的比例关系。例如，在圆柱 体中，高与底面积的比例等于体积的比例。
路程问题等，需要使用到约分和通分的技巧。
04
分式的化简与求值
分式的化简方法
01
约分法
通过找出分子和分母的公因式，将 其约去，简化分式。
分子分母同除法
将分子和分母同时除以同一个非零 数，简化分式。
03
02
分子分母分解法
将分子和分母分解为因式，然后约 去公因式，简化分式。
分子分母同乘法
将分子和分母同时乘以同一个非零 数，简化分式。
02
分式的基本性质
分子与分母的运算性质
分子分母同乘除
分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零实 数，分式的值不变。
分子分母同加减
分式的分子和分母可以同时加上或减去同一个数，分 式的值不变。
分子分母同倍数
分式的分子和分母可以同时乘以同一个正整数，分式 的值不变。
分式的加减法性质
同分母分式相加减
应用场景
分式在几何学中的应用非常广泛，例如相似性、比例、面积和体积的 计算等。
THANKS
感谢观看
分数的表示方法
1 2
分数
分数是一种特殊的分式，其分母为1。分数可以 用普通的小数表示，例如1/2可以表示为0.5。
混合数
混合数是一种分数，其分子和分母都是整数。例 如，3/4可以表示为3/4，也可以表示为0.75。
【教学课件】《分式的基本性质》
归纳约分定义：在例2（2）中，我们利用分式的基本性质，约去 a 2 b 2 的分子、 a 2 ab
分母的公因式 ab，这就是约分。
即：把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分。
应用新知
归纳通分定义：在例2（1）中，我们利用分式的基本性质，将分式 a b 的分子、
ab
分母同时乘以a，把 a b 和 a 2 ab 化成同分母的分式，这就是通分。即：
追问：为什么题目没有给出x≠0的条件？
（3）解：∵z≠0，∴
x1x1zxzz
xy xyz xyz
应用新知
例2 填空（在括号内填入适当的整式，使分式的值不变）:
（1）
ab ab
a2b
（2）
a2 a2
b2 ab
a
b
分析：（1）从左边分式到右式，要保证分式的值不变，需根据分式的基本性质对 分式的分子、分母同时乘以a。
(2)分式的基本性质的作用：分式进行变形的依据。
2. 运用基本性质需要注意的问题；
3. 分式基本性质的研究方法。从分数→分式，从特殊→一般。
ab
a 2b
把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
追问：分式通分的依据是什么？ 通分的依据：分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变。
应用新知
25a 2bc3
x2 9
6x2 12xy6y2
例3 约分：(1) 15ab 2c (2) x2 6x 9 (3)
2 a 2 b ab 2 c
x5 x5
分析：通分之前，首先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高
次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
分母的公因式 ab，这就是约分。
即：把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分。
应用新知
归纳通分定义：在例2（1）中，我们利用分式的基本性质，将分式 a b 的分子、
ab
分母同时乘以a，把 a b 和 a 2 ab 化成同分母的分式，这就是通分。即：
追问：为什么题目没有给出x≠0的条件？
（3）解：∵z≠0，∴
x1x1zxzz
xy xyz xyz
应用新知
例2 填空（在括号内填入适当的整式，使分式的值不变）:
（1）
ab ab
a2b
（2）
a2 a2
b2 ab
a
b
分析：（1）从左边分式到右式，要保证分式的值不变，需根据分式的基本性质对 分式的分子、分母同时乘以a。
(2)分式的基本性质的作用：分式进行变形的依据。
2. 运用基本性质需要注意的问题；
3. 分式基本性质的研究方法。从分数→分式，从特殊→一般。
ab
a 2b
把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
追问：分式通分的依据是什么？ 通分的依据：分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变。
应用新知
25a 2bc3
x2 9
6x2 12xy6y2
例3 约分：(1) 15ab 2c (2) x2 6x 9 (3)
2 a 2 b ab 2 c
x5 x5
分析：通分之前，首先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高
次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
分式的基本性质PPT课件(沪科版)(1)
巩固提高
1.下列分式约分正确的是( B ).
A．
－a＋b a－b =1
B．(a－b)2 b－a
=b－a
C． mm2－－nn2=m－n
D．
a2－列分式中是最简分式的是( C ).
A．
4a 6a2b
C．xx2＋＋yy2
B．
2(a－b)2 b－a
D．
x2－y2 x－y
今天作业
1 4x
注意：约分一定要把公因式约完， 约分的结果应是最简分式或整式。
2. 约分：
(1)
x2－9 (x－3)2
；
x2y＋xy2 (2) x2－y2 .
(1)
x2－9 (x－3)2
=
(x＋3)(x－3) (x－3)2 =
x＋3 x－3
x2y＋xy2 xy(x＋y) xy (2) x2－y2 = (x＋y)(x－y)= x－y
课本P94页第6、7题
除以同一个整式，使分式的值不变．所以要找准分子和
分母的公因式，约分的结果要是最简分式或整式． 2.约分分式时，如何寻找分子、分母的公因式？ (1)系数：约去分子、分母中各项系数最大公约数； (2)字母：约去分子、分母中各相同字母(相同整式)
最低次幂； (3)若分子与分母是多项式，应先因式分解后再约分．
例3 约分：
(1)
8xy2 12x2y
；
(2)
a2－b2 a＋b
；
(3)
a2－2a 4－a2
；
(4)
x2－1 x2－2x＋1
.
解：
(1)
8xy2 12x2y
=
4xy • 2y 4xy • 3x
2y = 3x
(2)
分式的基本性质ppt课件
【知识技能类作业】
选做题：
0.4x＋2
5.不改变分式的值，把分式
中分子、分母各项的系数化成
4x＋20
0.5x－1
整数为_5__x_－__1_0_．
课堂练习
x 2－8x y＋16y2
6.分式
约分后的结果为( B )
x 2－16y 2
x ＋4y
x－4y
x ＋4y
A．
B．
C．
D．－8x y
x －4y
x＋4y
4y
课堂练习
【综合实践类作业】
7.先化简，再求值：
（1）x
2
- 4xy 4 (x -2y)3
y2，其中x=
-2
，y
=
3
.
（2）a2 ab
-93bb22，其中a=
-4
，b=
2.
课堂练习
【综合实践类作业】
解：（1）x2
- 4xy 4y (x - 2y)3
2
(x - 2y)2 (x - 2y)3
1， x - 2y
（2） x
2
x2 -9 6x
9
解：（1）-1255aa2bb2cc3
- 5abc 5ac2 5abc 3b
- 5ac2 3b
（2） x
2
x2 -9 6x
9
(x 3)(x -3) (x 3)2
x -3 x 3
新知讲解
【总结归纳】 分式的约分的一般方法： （1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公 因式，即分子、分母系数的最大公约数和分子、分母中的相同字母的 最低次幂的乘积； （2）若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因 式并约去.
分式的基本性质课件
分式的基本性质课件
目录
• 分式的定义与分类 • 分式的基本性质 • 分式的约分与通分 • 分式的运算性质 • 分式在实际生活中的应用
01 分式的定义与分类
分式的定义
分数形式的表示
分式是形如A/B（其中A和B都是 整式，并且B中含有字母）的数学 表达式，表示为分数形式。
分数形式的特性
分式具有分数形式的特性，如分 子、分母、分数线等。
04 分式的运算性质
分式的加减法运算
相同分母分式的加减法
相同分母的分式可以直接进行加减运 算，分母不变，分子进行相应的加减 运算。
不同分母分式的加减法
不同分母的分式需要先通分，再进行 加减运算。通分后，分母变为两个分 母的最小公倍数，分子进行相应的加 减运算。
分式的乘除法运算
分式的乘法
两个分式相乘，直接将分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
分子分母同号性质
分子分母同号，分式值为正
如果分子和分母同为正数或同为负数，则分式的值为正。
分子分母异号，分式值为负
如果分子和分母异号，则分式的值为负。
分子分母异号性质
分式值为负
当分子和分母异号时，分式的值一定是负数。
分子分母同号时，分式值为正
当分子和分母同号时，分式的值一定是正数。
分子分母同倍性质
05 分式在实际生活中的应用
分数在生活中的应用
日常生活中的分数
在日常生活中，我们经常遇到与 分数有关的问题。例如，在食品 包装上，我们经常看到分数的标 注，表示食品的营养成分或成分
比例。
金融领域中的分数
在金融领域中，分数的应用也非 常广泛。例如，在股票交易中， 我们经常听到“五五开”的说法 ，这实际上就是将股票分成五份
目录
• 分式的定义与分类 • 分式的基本性质 • 分式的约分与通分 • 分式的运算性质 • 分式在实际生活中的应用
01 分式的定义与分类
分式的定义
分数形式的表示
分式是形如A/B（其中A和B都是 整式，并且B中含有字母）的数学 表达式，表示为分数形式。
分数形式的特性
分式具有分数形式的特性，如分 子、分母、分数线等。
04 分式的运算性质
分式的加减法运算
相同分母分式的加减法
相同分母的分式可以直接进行加减运 算，分母不变，分子进行相应的加减 运算。
不同分母分式的加减法
不同分母的分式需要先通分，再进行 加减运算。通分后，分母变为两个分 母的最小公倍数，分子进行相应的加 减运算。
分式的乘除法运算
分式的乘法
两个分式相乘，直接将分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母。
分子分母同号性质
分子分母同号，分式值为正
如果分子和分母同为正数或同为负数，则分式的值为正。
分子分母异号，分式值为负
如果分子和分母异号，则分式的值为负。
分子分母异号性质
分式值为负
当分子和分母异号时，分式的值一定是负数。
分子分母同号时，分式值为正
当分子和分母同号时，分式的值一定是正数。
分子分母同倍性质
05 分式在实际生活中的应用
分数在生活中的应用
日常生活中的分数
在日常生活中，我们经常遇到与 分数有关的问题。例如，在食品 包装上，我们经常看到分数的标 注，表示食品的营养成分或成分
比例。
金融领域中的分数
在金融领域中，分数的应用也非 常广泛。例如，在股票交易中， 我们经常听到“五五开”的说法 ，这实际上就是将股票分成五份
《分式的基本性质》PPT课件
2x 1
范围是（ ）
【解析】选D.使分式 x有意义的条件是：2x-1≠0,
2x 1
解得 x 1 2
3.（淮安·中考）当x=
时,分式 1 无意义．
x3
【解析】当x=3时，分式的分母为0，分式无意义.
答案：3
（2）
x2 3x 1 x2 3x 1
.
2 x2
x2 2
【跟踪训练】
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
解析:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.分式的概念： 形如 A (A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的
B 式子，叫做分式.
2.分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘（或除以)同一个不）若分式 1 有意义，则实数x的取值范围 x5
是_______．
解析：由于分式的分母不能为0，x－5在分母上，因此x－ 5≠0，解得x≠5． 答案： x≠5．
2.（东阳·中考）使分式 x 有意义，则x的取值
n
180
,
b ax
.
它们有什么共同特征？类似分数 ,分母中都有字母.
它们与整式有什么不同？ 整式的分母中不含有字母.
2.什么叫分式? 且B中如含果有把字除母法时算，式我A÷们B把写代成数AB式的形AB 叫式做，分其式中，A、其B中都A是叫整做式分,
式的分子，B叫做分式的分母.
【例 题】
例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
范围是（ ）
【解析】选D.使分式 x有意义的条件是：2x-1≠0,
2x 1
解得 x 1 2
3.（淮安·中考）当x=
时,分式 1 无意义．
x3
【解析】当x=3时，分式的分母为0，分式无意义.
答案：3
（2）
x2 3x 1 x2 3x 1
.
2 x2
x2 2
【跟踪训练】
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
解析:
(1)
2x 5y
,
(2)
3a 7b
,
(3)
10m 3n
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.分式的概念： 形如 A (A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的
B 式子，叫做分式.
2.分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘（或除以)同一个不）若分式 1 有意义，则实数x的取值范围 x5
是_______．
解析：由于分式的分母不能为0，x－5在分母上，因此x－ 5≠0，解得x≠5． 答案： x≠5．
2.（东阳·中考）使分式 x 有意义，则x的取值
n
180
,
b ax
.
它们有什么共同特征？类似分数 ,分母中都有字母.
它们与整式有什么不同？ 整式的分母中不含有字母.
2.什么叫分式? 且B中如含果有把字除母法时算，式我A÷们B把写代成数AB式的形AB 叫式做，分其式中，A、其B中都A是叫整做式分,
式的分子，B叫做分式的分母.
【例 题】
例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
分式的基本性质是什么
分式的基本性质是什么
分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
分式的基本性质
1、分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
2、分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除数，分母为除数，分数线起除号（或括号）的作用。
3、分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
4、在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
分式方程
分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).。
《分式的基本性质》PPT课件
活动4
练习巩固 拓展知识
3.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号：
（1）
5y 25x2
;
（2） a ; （3） 4m ;
2b
3n
（4） x ; 2y
你能从中发现规律吗？
引导学生发现规律，归 纳出变号法则.
分式的变号法则（板书）
分式本身及其分子、分母这三处的正 负号中，同时改变两处，分式的值不 改变，即：
2）你能用语言来描述分式的基本性质吗？ 3）那么用式子又怎样表示分式的基本性质呢？
分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 用式子表示为：
A A C , A A C . (C 0) 其中A，B，C是整式. B BC B BC
提出一组问题，学生分组讨论并派代表言，老师从中加以引导，再 由师生共同总结出分式的基本性质.
x y (x y)2
2.不改变分式的值，使分子、分母里的系数变为整数：
x （1）0.2 y
0.5 y 0.3x
;
3x2 y （2） 2 3 .
3 y4x 43
设计意图：练习第1题承接着例题而来，让学生更好地体会
“性质”的应用，并为下一节学习分式的约分做铺垫；第2
题，强化训练为了培养学生用“性质”解决问题的能力.
设计意图：让学生自己运用类比的方法发现分式的基本性质，并
通过合作交流，更好地总结出分式的基本性质，从而实现了学生 主动参与、探究新知识的目的.
活动2
类比得出分式的基本性质
分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 用式子表示为：
分式的基本性质课件
分式的加减乘除实例
例如，计算分式1/3 + 2/3、2/5 - 1/5、3/4 × 2/3、4/7 ÷ 2/5等。
分式的大小比较实例
例如，比较分式1/3和1/4的大小，或者比较 分式2/5和3/7的大小。
练习与评估
分式的基本题型练习
练习简化分式、计算分式的加减乘除、比较分式的大小等各种基本题型。
分式的思考题
分式的基本性质ppt课件
本课件介绍分式的基本性质，包括分式的定义、组成部分、分类以及约分与 通分、加减乘除法、倒数与相反数、比较大小等基本性质。
概述
分式的定义
分式是数学中的一种表示 形式，由分子和分母组成， 用于表示一种比值或比例 关系。
分式的组成部分
分式由分子和分母两个部 分组成，分子表示除号上 面的数，分母表示除号下 面的数。
分式在数学中的应用
分式在数学中有着广泛的应用， 包括比例问题、面积和体积计 算、金融数学等领域。
分式的分类
分式可以分为真分数、假 分数和带分数三种类型， 根据分子和分母的大小关 系进行分类。
分式的基本性质
1
分式的加减乘除法
2
分式可以进行加减乘除运算，按照运
算规则对分子和分母进行相应的操作。
3
分式的比较大小
4
可以通过通分和交叉相乘的方法比较 分式的大小关系，找出较大或较小的
分式。
分式的பைடு நூலகம்分与通分
思考分式在实际问题中的应用，如何利用分式解决实际生活中的计算和比较问题。
总结
分式的基本性质概述
通过本课件的学习，我们已经 了解了分式的基本定义、组成 部分、分类以及约分、通分、 加减乘除、倒数和相反数、比 较大小等基本性质。
《分式的基本性质》PPT教学课件
∴当v=30时，顺水而下所 ∴当v=30，s=600时，逆水
需时间为12小时.
而上所需时间为60小时
学以致用1
仿照例1求下列分式的值
(1) x 3 , 2x 3
其中 x 5
(2) x 3y , yx
其中 x 4, y 2
x 3 当
时,你还能求出分式 x 6 的值吗？为什么？
2x 6
回顾 ：一个分数在什么时候无意义？在什么时候有意义？
10.某班共a名学生参加植树活动，其中男生 b名．
如果只由男生完成，每人需植树5颗，那么由女生
完成时，女生每人需植树 棵。当a=44，b=24时，
女生每人需植树 棵.
根据题意会列分式
会求分式的值
三个 条件
分式无意义的条件 分式有意义的条件 分式的值为零的条件
分母等于零 分母不等于零
分子等于零且分母不等于零
达标检测
1、在下面四个有理式中,分式为( )
A.
2
x 7
5
1
B. 3x
x8
C. 8
D.
2.下列各式： 3
, 7 , a b， 1
x y x2 1
，
，
，是分式的有（
例1：在情景导航3中，如果 V=30 ，S=600，分别
求出客船顺水而下 600 与逆水而上 s 所需航行的
时间？
v 20
v 20
解：当v=30时，
当v=30，s=600时，
当
600 v 20
s v 20
抄
600 = 30 20
600 = 30 20
代
算
= 12（小时）
= 60（小时）
学以致用2
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梁河中学 八 年级 下 册 数学 导学案 总第 3 课时 课题
16.1.2分式的基本性质（一） 课型 新课 教者 申小杰 班级 姓名 课时 1 学习目标
1、理解分式的基本性质。
2、类比分数的约分会用分式基本性质将分式约分。
一、探究交流
【活动一】想一想
1、认真阅读课本例2前的内容体会分式基本性质
（1）文字表达： （2）用式子表示：
【活动二】填一填
1、认真阅读课本例2用例2解题思路填空
（1）()233a a a a =-- ()
22448y xy x y y ++= （2）()222x y xy x y += ()()2220x y x x x y
-=≠ 2、认真分析从左到右分子分母是怎样变化的，应怎样分析？
【活动三】做一做
1、认真阅读例3前内容，从分手的约分类比分式如何约分？
2、约分
（1）2322515a bc ab c - （2）22969x x x -++ （3）22
612633x xy y x y
-+- 二、展示互评
三、达标检测
P8练习1题
四、知识梳理
如何对分式约分？
五、课后精练
1、课本P9,6题
2、若45x y =求分式22
2x y y
-的值 六、拓展提升
请以下列代数式中任选两个构造一个分式并化简分式21
a-；a b b
+
-；b a b。