一次函数图象的应用

一次函数图象的应用教学目标与要求：1、能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力。

2、能通过函数图象获取信息，发展形象思维；能利用函数图象解决简单的实际问题，进一步发展数学应用能力。

3、初步体会方程与函数的关系,建立良好的知识体系。

二、学习指导本讲重点：（1）根据所给信息确定一次函数的表达式。

（2）正确地根据图象获取信息。

本讲难点：（1）用一次函数的知识解决有关实际问题。

（2）从函数图象中正确读取信息。

考点指要一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图形解决问题是本节要解决的一个重要问题，这部分内容在中考中占有重要的地位，经常与方程组、不等式等知识联系起来考查． 三．典型例题例1 求下图中直线的函数表达式：分析： 观察图象可知：该一次函数图象经过点（2，0）、（0，3），而经过两点的直线可由待定系数法求出。

解：设y=kx+b ，∵x=2时，y=0；y=3时x=0 ∴2x+b=0且0x+b=3∴3,23=-=b k ∴323+-=x y例2 作出函数y=0.5x+1的图象，利用图象，求: （1）当2,0,4-=x 时，y 的值。

（2）当3,1,21-=y 时，x 的值。

（3）解方程315.0,115.0,2115.0=+=+-=+x x x（4）结合（2）（3），你能得出什么结论？（5）若解方程0.5x+1=0（6）何时y>0，y=0，y<0? 解：列表得描点、连线得函数图象：（1）由图象可知：当2,0,4-=x 时，相应的y 值分别为-1、1、2. （2）由图象可知：当3,1,21-=y 时，相应的x 值分别为-3、0、4. （3）三个方程的解分别为x=-3、x=0、x=4. （4）当一次函数y=0.5x+1的函数值为3,1,21-时，相应的自变量的值即为方程315.0,115.0,2115.0=+=+-=+x x x 的解。

（5）当一次函数y=0.5x+1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0的解。

它的几何意义是：直线y=0.5x+1与x 轴交点的横坐标即为方程0.5x+1=0的解。

（6）由图象可知，当x<-2 时，y<0；当x=-2时，y=0；当x>-2 时，y>0。

说明：要注意一次函数与相应的一元一次方程的关系。

事实上，利用一次函数图象可解决许多实际问题。

例3 一根弹簧长15cm ，它能挂的物体质量不能超过18kg ，并 且每挂1kg 就伸长0.5cm 。

写出挂上物体后的弹簧长度y （cm ） 与所挂物体的质量x （kg ）之间的函数关系式，并且画出它的图象。

解：1521+=x y （0 ≤x ≤18） 经过点A （0，15）、B （18，24）作函数图象说明：要注意函数自变量的取值范围。

本题图象为线段AB ，而不是直线。

例4 某医药研 究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （时）的变化情况如图所示，当成人按规定服药后：（1）服药后 时，血液中含药量最高为每升 微克，接着逐步衰减； （2）服药后5小时，血液中含药量为每升 微克； （3）当x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式是 ； （4）当x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式是 ；（5）如果每毫升血液中含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是 时。

解： 由图象可知：（1）服药后2时，血液中含药量最高为每升6微克，接着逐步衰减。

（2）服药后5小时，血液中含药量为每升3微克。

（3）当x ≤2时，设y=kx ，∵（0，0）、（1，3）在图象上， ∴解得k=3，∴y 与x 之间的函数关系式是y=3x 。

-1（4）当x ≥2时，设y=kx+b ∵(2，6)、(5，3)在图象上，∴⎩⎨⎧=+=+3562b k b k解得⎩⎨⎧=-=81b k∴y 与x 之间的函数关系式是y=8-x 。

（5）如果每毫升血液中含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么由图象可知这个有效时间范围是1～5时。

说明： 由函数图象写函数关系式及由函数图象获取相关信息是本讲的重点内容。

例5 若一次函数y=kx-3的图象与x 轴、y 轴的交点之间的距离为5，求此函数的表达式。

解：由题意k ≠0,且直线y=kx-3与x 轴、y 轴的交点分别为（0,3k）、（3,0-） 由勾股定理得，222)3()3(5-+=k 解得34±=k 334-±=x y 说明：直线y=kx+b 与x 、y 轴的交点分别是（0,kb-）、（b ,0），这在解题时经常用到。

例6 知a 为任意实数，且y=ax+1-2a 的图象经过一个与a 无关的定点，试求该定点的坐标。

解：不妨令a=1，得y=x-1 ；再令a=2，得y=2x-3联立得，x=2、y=1 即它俩都过点（2，1）又因为y=ax+1-2a 中，当x=2时，y=2a+1-2a=1 因此其图象必过定点（2，1）说明：事实上，随着a 的变化，直线y=ax+1-2a 也不相同，但它们都经过定点（2，1）。

这里，先在特殊情形下求交点，再验证一般情形也符合，进而得到一般情形下的结论。

中考试题点拨例1 对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系．从温度计上的刻度可以看出，摄氏（℃）温度x 与华氏（°F ）温度y 有如下的对应关系：（1）通过①描点；②猜测y 与x 之间的函数关系；③求解；④验证等几个步骤，试确定y 与x 之间的函数关系式．（2）某天，南昌的最高气温是8℃，澳大利亚悉尼的最高气温是91°F ，问这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高多少摄氏度（结果保留整数）？思路分析本题主要考查用待定系数法求一次函数的关系式．但结论未定，要求根据点的坐标描点连线，探索，求解并验证．本题既考查了一次函数的基础知识和技能，又考查了能力． 解：（1）①描点连线，如图6－9所示； ②通过观察可猜测：y 是x 的一次函数；③设y=kx+b ． （由于图象是线段，因此猜测是一次函数）将两对数值⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==50y 10x ,32y 0x 分别代入y=kx+b ， 得⎩⎨⎧+==b k 1050b32（待定系数法求函数关系式）解得⎩⎨⎧==32b 8.1k∴y=1.8x+32；④验证：将其余三对数值⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=86y 30x 68y 20x 14y 10x ，，分别代入y=1.8x+32，得 1.8³（－10）+32=14， 1.8³20+32=68， 1.8³30+32=86，（验证是为了看猜测是否正确，让尽可能多的点符合函数关系式） 结果都成立．∴y 与x 之间的函数关系式是y=1.8x+32； （2）当y=91时，由91=1.8x+32，解得 x ≈32.832.8－8=24.8≈25（℃）．（注意：不是91－8，应在同一单位制下进行运算） 答：这一天悉尼的最高温度比南昌的最高温度高约25℃．例2 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图6－10所示．求：（1）y 与x 之间的函数关系式； （2）旅客可免费携带的行李的重量．思路分析本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，同时考查了在直角坐标系中的读图能力．解：（1）设一次函数的关系式为y=kx+b ． ∵当x=60时，y=6，当x=80时，y=10， ⎩⎨⎧=+=+∴10b k 806b k 60（这是一个二元一次方程组）解得⎪⎩⎪⎨⎧-==6b 51k（学会读图）∴所求函数关系式为6x 51y -=（x ≥30）． （2）当y=0时，06x 51=-，（注意自变量的取值范围不能遗漏） ∴x=30．故旅客最多可免费携带30公斤行李．例3 A 市和B 市各有机床12台和6台，现运往C 市10台，D 市8台．若从A 市运1台到C 市、D 市各需要4万元和8万元，从B 市运1台到C 市、D 市各需要3万元和5万元．（1）设B 市运往C 市x 台，求总费用y 关于x 的函数关系式； （2）若总费用不超过90万元，问共有多少种调运方法？ （3）求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？（总费用y 是从A 市、B 市运往C 市和D 市的费用和，现将A 市、B 市运往C 市和D 市的费用分别表示成为含x 的代数式，再求费用和） 解：（1）设B 市运往C 市x 台，∴B 市运往D 市（6－x ）台，A 市运往C 市（10－x ）台，A 市运往D 市[12－（10－x ）]台，根据题意，得y=3x+5（6－x ）+4（10－x ）+8（2+x ）， 即y=2x+86．（2）由题意2x+86≤90，x≤2．∵B市最多可运往C市6台，∴0≤x≤6，∴0≤x≤2，∴x的取值可为0、1、2共三个数，∴总费用不超过90万元的调运方法有3种．（这是一次函数的应用题，自变量x的取值范围应由实际问题决定）（3）由一次函数y=2x+86知，y随x的增大而增大，又∵0≤x≤2，（要学会用一次函数的性质解决问题）∴当x=0时，y取最小值86．∴最低费用是86万元，调运方法是B市运往D市6台，A市运往C市10台，运往D 市2台．例4 如图6－11，公路上有A、B、C三站，一辆汽车在上午8时从离A站10千米的P 地出发向C站匀速前进，15分钟后离A站20千米．（1）设出发x小时后，汽车离A站y千米，写出y与x之间的函数关系式；（2）当汽车行驶到离A站150千米的B站时，接到通知要在中午12点前赶到离B站30千米的C处．汽车若按原速能否按时到达？若能，是在几点几分到达？若不能，车速最少应提高到多少？思路分析这是一道实际问题的应用题，主要考查建立一次函数关系式的能力，求函数值的技能，同时还考查列方程解应用题的能力．解：（1）汽车匀速前进的速度为小时）（千米/4060151020=-， ∴y=40x+10．（2）当y=150+30=180时，（认真阅读题目，理解题意是解答应用题的关键） 40x+10=180．解得x=4.25（时），4.25+8=12.25（点） 因此汽车若按原速不能按时到达．当y=150时，40x+10=150，（理解如何判断能否按时到达） 解得x=3.5．设汽车按时到达C 处，车速至少提高到v 千米/小时，则 [（12－8）－3.5]²v=30， 解得v=60．答：车速至少提高到60千米/小时．例5 科学家通过实验探究出一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强P(千帕)随温度t(℃)变化的函数关系式是P=kt+b ，其图象如图6－11所示的射线AB ． (1)根据图象求出上述气体的压强P 与温度t 的函数关系式；(2)求出当压强P 为200千帕时，上述气体的温度． 解：(1)∵ 函数P=kt+b 的图象过点(0，100)，(25，110)，∴⎩⎨⎧=+=,11025,100b k b 解之，得⎪⎩⎪⎨⎧==.52,100k b故所求函数关系是)0t (100t 52P ≥+=．(2)当P=200时，由(1)得2001052=+t ． 解之，得 t=250．即当压强为200千帕时，气体的温度是250℃．例6如图6－12所示，是某学校一电热淋浴器水箱的水量y （升）与供水时间x （分）的函数关系． （1）求y 与x 的函数关系式；（2）在（1）的条件下，求在30分钟时水箱有多少升水？ 解：（1）由图可知y 与x 的函数关系是一次函数， （将实际问题转化为数学问题） 设这个函数的关系式为y=kx+b （k ≠0），根据题意得⎩⎨⎧=+=+,150b k 50,50b k 10解得⎪⎩⎪⎨⎧==,25b ,25k∴水箱的水量y （升）与时间x （分）的函数关系式是25x 25y +=（10≤x ≤50）． （2）当x=30时，100253025y =+⨯=（升） （将实际问题转化为求函数值） ∴ 在30分钟时水箱有100升水． 巩固练习 1、 选择（1）汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Q （升）与行驶时间t （时）的函数关系用图象表示应为 （ ）Q(件)BDCA（2）某厂今年前五个月生产某种产品的月产量Q （件）关于时间t （月）的函数图象如图所示，则对这种产品来说，下列说法中，正确的是（ ）（A ）1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少。