旋转矩阵
旋转矩阵
三维旋转矩阵三维旋转特性给定单位向量u和旋转角度φ，则R(φ,u)表示绕单位向量u旋转φ角度。
R(0,u)表示旋转零度。
R(φ,u)= R(−φ,−u)。
R(π+φ,u)= R(π−φ,−u)。
如果φ=0，则u为任意值。
如果0<φ<π,则u唯一确定。
如果φ= π，则符号不是很重要。
因为- π和π是一致的，结果相同，动作不同。
由旋转矩阵求旋转角和旋转轴每一个三维旋转都能有旋转轴和旋转角唯一确定，好多方法都可以从旋转矩阵求出旋转轴和旋转角，下面简单介绍用特征值和特征向量确定旋转轴和旋转角的方法。
将旋转矩阵作用在旋转轴上，则旋转轴还是原来的旋转轴，公式表示如下：Ru=u转化得：Ru=Iu =>(R−I)u=0可以确定的是u在R-I的零空间中，角度可有下面的公式求得，Tr表示矩阵的迹：Tr(R)=1+2cosθ从旋转轴和旋转角求旋转矩阵假设给定单位向量u=(ux，uy，u z)T，并且u为单位向量即：u x2+u y2+u z2=1，给定绕u旋转的角度θ，可以得出旋转矩阵R：R=[cosθ+u x2(1−cosθ)u x u y(1−cosθ)−u z sinθu x u z(1−cosθ)+u y sinθu y u x(1−cosθ)+u z sinθcosθ+u y2(1−cosθ)u y u z(1−cosθ)−u x sinθu z u x(1−cosθ)−u y sinθu z u y(1−cosθ)+u x sinθcosθ+u z2(1−cosθ)]上面的公式等价于：R=cosθI+sinθ[u]×+(1−cosθ)u⊗u其中[u]×是单位向量u的叉乘矩阵，⊗表示张量积，I是单位向量. 这是罗德里格斯旋转方程的矩阵表示。
下面给出叉乘和张量积的公式：u⊗u=[u x2u x u y u x u zu x u y u y2u y u z u x u z u y u z u z2][u]×=[0−u z u y u z0−u x −u y u x0]面向旋转轴，逆时针旋转为正方向，此时旋转矩阵的行列式为1，反之为反方向，旋转矩阵的行列式为-1。
8-旋转矩阵
回想：R矩阵的性质
1、R是正交矩阵。即行、列、对角线元素平方和为 “1”,行列式的值是“1”。 1 T R R 2、正交矩阵的逆矩阵是它本身的转置即 。 3、R矩阵的9个元素中只有3个是独立的，是三个旋转 角的函数。 4、无论采用坐标系统如何(旋转参数不同)，但R是不 变的。因为其转换关系是唯一确定的。所以有课本上 2-10的公式。 tan a3 / c3 tan ' b3 / c3 tan A a3 / b3 ' sin b3 sin a3 cos c3 ' tan b1 / b2 tan a / a tan c / c 2 1 1 2
２、若采用以X为主轴的坐标系统，R矩阵中的 九个元素为
a1 cos ' cos ' a 2 sin ' sin ' a3 sin ' b1 cos ' sin ' sin ' sin ' cos ' b2 cos ' cos ' sin ' sin ' sin ' b sin ' cos ' 3 c1 sin ' cos ' cos ' sin ' cos ' c 2 sin ' cos ' cos ' sin ' sin ' c3 cos ' cos '
b1
a1a3b3 a2 c3 2 1 a3
b2 1 b12 b32 c1 a2b3 a3b2 c2 a3b1 a1b3
绕x轴的旋转矩阵
绕x轴的旋转矩阵在几何学和线性代数中，旋转矩阵是一种非常重要的工具。
它可以用于描述物体围绕某个轴进行旋转的变换关系。
本文将重点讨论绕x轴的旋转矩阵及其应用。
绕x轴的旋转矩阵可以表示为：R = | 1 0 0 || 0 cosθ -sinθ || 0 sinθ cosθ |其中，θ代表旋转的角度。
这个旋转矩阵描述了一个刚体绕x轴旋转θ角度的变换关系。
下面我们将分别从几何学和线性代数的角度来解释这个旋转矩阵。
从几何学的角度来看，绕x轴的旋转矩阵可以用于描述一个三维物体在空间中绕x轴旋转θ角度后的位置变化。
通过这个矩阵，我们可以计算出物体的新坐标。
比如，如果一个物体的初始坐标为(x, y, z)，那么它绕x轴旋转θ角度后的新坐标可以通过矩阵乘法来计算：[x', y', z'] = [x, y, z] * R其中，(x', y', z')代表旋转后的新坐标。
通过这个矩阵，我们可以方便地计算出物体在旋转后的位置。
从线性代数的角度来看，绕x轴的旋转矩阵是一个特殊的正交矩阵。
正交矩阵是指矩阵的转置和逆矩阵相等的矩阵。
绕x轴的旋转矩阵具有以下性质：1. 旋转矩阵的行向量和列向量都是单位向量，即它们的模长都是1。
2. 旋转矩阵的行向量和列向量两两之间的内积为0，即它们是相互垂直的。
3. 旋转矩阵的行向量和列向量之间的内积等于它们的转置和逆矩阵之间的内积，即它们是正交的。
这些性质使得绕x轴的旋转矩阵在很多应用中非常有用。
比如在计算机图形学中，我们可以利用旋转矩阵来实现三维物体的旋转效果。
通过不断改变旋转矩阵的参数，我们可以实现物体在空间中的任意旋转。
除了在计算机图形学中的应用，绕x轴的旋转矩阵还可以用于解决其他一些问题。
比如，在机器人学中，我们可以利用旋转矩阵来描述机器人的姿态变化。
通过将旋转矩阵与机器人的运动学模型相结合，我们可以计算出机器人在不同姿态下的运动轨迹。
旋转矩阵的转置
旋转矩阵的转置
旋转矩阵是描述一个空间中旋转变换的矩阵。
对于二维空间，旋转矩阵是一个二阶方阵，对于三维空间，旋转矩阵是一个三阶方阵。
旋转矩阵的转置是指将该矩阵的行和列交换得到的矩阵，也就是将原矩阵的第i行变成第i列，第j列变成第j行。
对于旋转矩阵来说，它的转置矩阵和它的逆矩阵是相等的。
旋转矩阵的转置可以用于旋转变换的逆运算，即将对象从一个旋转后的坐标系转换回原坐标系。
具体而言，如果一个对象在旋转后的坐标系中的坐标为[x', y']，则它在原坐标系中的坐标可以通过旋转矩阵的转置与[x', y']的乘积得到。
旋转矩阵的转置还可以用于解决一些计算问题，比如求解旋转矩阵的特征值和特征向量等。
因为旋转矩阵是一个正交矩阵，它的转置矩阵也是正交矩阵，因此可以方便地对其进行求解。
总之，旋转矩阵的转置是旋转变换的重要操作之一，它可以用于逆运算和解决一些计算问题。
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三维旋转矩阵公式
三维旋转矩阵公式
《三维旋转矩阵公式》
一、基本概念
1.三维旋转矩阵（3D Rotational Matrix）：是一种用来描述物体从一个空间坐标系转换到另一个空间坐标系的方法，可以将物体从旋转后的坐标系映射到旋转前的坐标系，由此可以实现物体旋转到新的坐标系的功能。
2.旋转角(rotation angle): 旋转角为表示旋转轴的夹角，是物体从一个坐标系转换到另一个坐标系的非常重要的参数。
二、旋转矩阵与旋转向量
1.旋转矩阵：旋转矩阵也称为旋转变换矩阵，是三维旋转的的最常用方法，用于表示一个旋转变换，其一般表示方式为：
[U] =[C] × [R] × [C]
其中，U为一个3 x 3的矩阵，C表示旋转中心，R表示旋转角，C表示旋转轴。
2.旋转向量：旋转向量是一种用来表示三维物体的旋转变换的有效方法，它定义的一般表达式为：
[v] = [ sin( θ / 2)] × [ C]
其中，V为一个3×1的矩阵，C表示旋转轴，θ表示旋转角度。
三、三维旋转矩阵的计算
1.通用形式：一般的三维旋转矩阵的表示形式为：
R = cosθ + (1 - cosθ) × [ C ] × [C] + sinθ× [C]
× [ P ]
其中，θ为旋转轴的夹角，C为旋转轴的单位向量，P为旋转轴的单位法线向量。
旋转角度的矩阵
旋转角度的矩阵旋转角度的矩阵是计算机图形学中一项非常基础的数学知识，关乎到3D图形的显示和变形，因此我们有必要深入了解角度矩阵。
一、什么是旋转角度的矩阵？旋转角度的矩阵是一个用来描述旋转向量和旋转角度的矩阵，旋转矩阵可以根据给定的角度和旋转向量，计算出对应的3D坐标系中的旋转变换。
二、旋转角度的矩阵的计算方法？矩阵的计算方法有很多种，其中常用的一种是将旋转向量沿X、Y、Z三个坐标轴分别旋转，再将旋转后的矩阵相乘得到旋转角度的矩阵表示。
具体步骤如下：1. 将旋转向量沿X轴旋转α角度：[1 0 0; 0 cos(α) -sin(α); 0 sin(α) cos(α)]2. 将旋转向量沿Y轴旋转β角度：[cos(β) 0 sin(β); 0 1 0; -sin(β) 0 cos(β)]3. 将旋转向量沿Z轴旋转γ角度：[cos(γ) -sin(γ) 0; sin(γ) cos(γ) 0; 0 0 1]4. 将三个旋转矩阵相乘：[R] = [Z][Y][X]三、常见的旋转角度的矩阵的应用？1. 三维游戏中的角色运动：使用旋转矩阵计算角色的移动姿态，实现3D游戏中的角色移动、跳跃等效果。
2. 三维建模：旋转矩阵可以用来变换3D物体的角度，实现物体的旋转、放大和缩小等操作。
3. 三维空间的识别与匹配：通过计算物体在三维空间中的旋转角度和角度矩阵，实现模型的识别和匹配。
四、如何优化旋转角度的矩阵？1. 使用四元数：四元数是一种比矩阵更快速的旋转表示方法，可以在旋转变换中达到更优质的效果。
2. 对称矩阵优化：对于对称的矩阵，可以通过存储对称矩阵的上/下半部分，以节省内存空间。
3. 多线程优化：将计算旋转角度的矩阵的代码分解成多个线程，以利用CPU多核心的计算能力。
总结：旋转角度的矩阵是3D图形学中一项基础的数学知识，它可以用来描述任意的三维坐标系相对于原始坐标系的旋转状态。
为了提高旋转矩阵的计算效率和准确率，我们可以通过使用四元数、对称矩阵优化和多线程优化等方法来提高算法的性能。
计算旋转矩阵
计算旋转矩阵
计算旋转矩阵是数学中一个重要的概念，它主要用于在几何变换中执行旋转变换。
旋转矩阵定义了一种特定的变换操作，其中一个点经过变换后得到另一个点。
旋转矩阵是一种以列来表示的矩阵，它可以帮助我们理解如何把一个空间中的一个点经过变换得到另一个点的概念。
旋转矩阵的表示方法有多种，通常采用的是正交旋转矩阵的表示法，即：
旋转矩阵R=
（cosθ，-sinθ）
（sinθ，cosθ）
其中，θ代表要进行旋转的角度。
此时，可以看出，旋转矩阵R 是由旋转矩阵乘以平移到新坐标系的旋转矩阵来表示的。
计算旋转矩阵时，需要计算三个步骤：
1、原点进行平移：
先将原点从原有坐标系平移到新坐标系中（即原点变为原点），在此过程中，将原点的坐标记作（x1，y1）。
2、算旋转矩阵：
计算旋转矩阵时，将旋转矩阵的元素表示为：
旋转矩阵R=
[cos，-sin]
[sin，cos]
其中，θ是旋转的角度。
3、算新点的坐标：
将新点的坐标表示为（x2，y2），然后使用下面的公式计算新点的坐标：
x2 = x1 * cosθ - y1 * sinθ
y2 = x1 * sinθ + y1 * cosθ
由于旋转矩阵是一种线性变换，因此，可以使用多个旋转矩阵进行复合变换。
比如，如果将多个旋转矩阵连接起来，就可以得到一个更复杂的矩阵，可以实现更复杂的变换。
总的来说，计算旋转矩阵是一种简单易懂的运算，它能够帮助我们更好地理解空间中的变化，熟练掌握计算旋转矩阵能够大大地提高我们在几何变换、机器人控制、计算图像处理等方面的应用效率。
绕z轴旋转的旋转矩阵
绕z轴旋转的旋转矩阵：
在三维空间中，绕z轴旋转的旋转矩阵可以表示为：
Rz(θ) = [cos(θ) -sin(θ) 0;
sin(θ) cos(θ) 0;
0 0 1]
其中，θ是旋转角度，Rz(θ)是绕z轴旋转θ角度的旋转矩阵，cos和sin分别表示余弦和正弦函数。
这个矩阵的含义是，将一个三维坐标向量绕z轴旋转θ角度后，得到一个新的三维坐标向量。
矩阵中第一行的三个元素表示旋转后x轴方向的分量、第二行表示旋转后y轴方向的分量、第三行表示旋转后z轴方向的分量。
延申：
除了绕z轴旋转的旋转矩阵，还有绕x轴和y轴旋转的旋转矩阵。
它们分别表示为：
Rx(θ) = [1 0 0 ;
0 cos(θ) -sin(θ);
0 sin(θ) cos(θ)]
Ry(θ) = [cos(θ) 0 sin(θ);
0 1 0 ;
-sin(θ) 0 cos(θ)]
其中，θ是旋转角度，Rx(θ)和Ry(θ)分别是绕x轴和y轴旋转θ角度的旋转矩阵。
这些矩阵的含义是，将一个三维坐标向量绕x轴、y轴或z轴旋转θ角度后，得到一个新的三维坐标向量。
它们可以用于计算三维图形的旋转变换，例如在计算机图形学中，可以通过旋转矩阵来实现物体的旋转效果。
此外，这些旋转矩阵还可以与平移矩阵、缩放矩阵等组合使用，实现更加复杂的变换效果。
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性质
设是任何维的一般旋转矩阵:
•两个向量的点积(内积)在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变:
•从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵:
这里的是单位矩阵。
•一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。
正交矩阵的行列式是±1；如果行列式是−1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。
•旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成的一个正交基，就是说在任何两个列向量之间的标量积是零(正交性)而每个列向量的大小是单位一(单位向量)。
•任何旋转向量可以表示为斜对称矩阵A的指数:
这里的指数是以泰勒级数定义的而是以矩阵乘法定义的。
A矩阵叫做旋转的“生成元”。
旋转矩阵的李代数是它的生成元的代数，它就是斜对称矩阵的代数。
生成元可以通过 M 的矩阵对数来找到。
二维空间
在二维空间中，旋转可以用一个单一的角定义。
作为约定，正角表示逆时针旋转。
把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转的矩阵是:
三维空间
在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。
旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。
如果旋转角是θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-i θ)。
从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。
3 维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。
因为只需要三个实数来指定 3 维斜对称矩阵，得出只用三个是实数就可以指定一个 3 维旋转矩阵。
[编辑] Roll, Pitch 和 Yaw
主条目：Tait-Bryan角
生成旋转矩阵的一种简单方式是把它作为三个基本旋转的序列复合。
关于右手笛卡尔坐标系的x-, y- 和z-轴的旋转分别叫做roll和pitch，yaw旋转。
因为这些旋转被表达为关于一个轴的旋转，它们的生成元很容易表达。
•绕x-轴的主动旋转定义为:
这里的是 roll 角。
•绕y-轴的主动旋转定义为:
这里的是 pitch 角。
•绕z-轴的主动旋转定义为:
这里的是 yaw 角。
在飞行动力学中，roll, pitch 和 yaw 角通常分别采用符号, , 和；但是为了避免混淆于欧拉角这里使用符号, 和。
任何 3 维旋转矩阵都可以用这三个角, , 和来刻画，并且可以表示为roll, pitch 和 yaw 矩阵的乘积。
是在中的旋转矩阵
在中所有旋转的集合，加上复合运算形成了旋转群 SO(3)。
这里讨论的矩阵接着提供了这个群的群表示。
更高维的情况可参见Givens旋转。
角-轴表示和四元数表示
主条目：轴角和四元数和空间旋转
在三维中，旋转可以通过单一的旋转角和所围绕的单位向量方向来定义。
这个旋转可以简单的以生成元来表达:
在运算于向量r上的时候，这等价于Rodrigues旋转公式：
角-轴表示密切关联于四元数表示。
依据轴和角，四元数可以给出为正规化四元数Q:
这里的i, j和k是Q的三个虚部。
欧拉角表示
主条目：欧拉角
在三维空间中，旋转可以通过三个欧拉角来定义。
有一些可能的欧拉角定义，每个都可
以依据 roll, pitch 和 yaw 的复合来表达。
依据 "z-x-z" 欧拉角，在右手笛卡尔坐标中的主动旋转矩阵可表达为:
进行乘法运算生成:
因为这个旋转矩阵不可以表达为关于一个单一轴的旋转，它的生成元不能像上面例子那样简单表达出来。
[编辑]对称保持SVD表示
对旋转轴和旋转角，旋转矩阵
这里的的纵列张开正交于的空间而是度 Givens 旋转，就是说。