柱坐标系和球坐标系下的计算法

规定：
z
M ( x, y, z )
0 r ,
0 2,
x
o

r
P(r , )

y
z .
z
r 为常数
圆柱面 半平面 平 面

为常数
z 为常数
z
rd
M ( x, y, z )
z
如图，柱面坐标系中的体积元
o

r
P(r , )
y
dv rdrddz,
4 5 a a 5 3 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10

a
例 4 求曲面 x 2 y 2 z 2 2a 2 与 z 所围 成的立体体积.
x2 y2
解 由锥面和球面围成，
采用球面坐标，
由x
2
y 2 z 2 2a 2 r 2a,
dx
2
4 x 2
4 x 2
dy
3( x 2 y 2 )
16 x 2 y 2
0 d0 rdr 3r 2 2 3r d rdr 0 0 16 r
2
2
16 r 2
f ( r cos , r sin , z )dz
③ 若 关于 yoz 面对称
2
(1) 当 f ( x , y, z ) f ( x , y, z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
I 2 f ( x , y , z )dv
3
3 ( x , y, z ) | ( x , y, z ) , x 0
f ( r cos , r sin , z )dz ,
2
0
2
d d f ( r sin cos ,
0
6 0
4
r sin sin , r cos )r 2 sin dr
4 0
d 5 d f ( r sin cos ,

0
4 0
a cos 0
r sin dr
4 3
4 0
x y z z r,
2 2 2
D: x y a ,
2 2 2
: r z a,
2 2
0 r a,
0
0 2 ,
2 a a 0 r
I ( x y )dxdydz d rdr r 2dz
注
若 积分区域为球体、球壳或其一部分
被积函数呈 通常采用球坐标。
x y z
2 2
2
而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单
补充：利用对称性简化三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性．
一般地，当积分区域 关于 xoy 平面对称，且 被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x , y , z ) 是关于 z 的偶函数，则 三重积分为 在 xoy 平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.

_______________________；其值为__________.
二、计算下列三重积分: 2 2 2 2 2 4 z ( x y ) dv 25 ( x y ) 1、 , 其中 是由曲面 及平面z 5 所围成的闭区域.

2、 ( x 2 y 2 )dv ,其中 由不等式
dz

x
dr
r
f ( x , y, z )dxdydz
y
o
x
d
f (r cos , r sin , z )rdrddz.

然后再把它化为三次积分来计算
积分次序一般是先 z 次 r 后 积分限是根据 r , , z 在积分区域中的变化范围来确定 例1 解
2 2 2 ( x y z )dv , : z
x y
2 2
z
, 4
: 0 r 2a ,
0 , 4

0 2 ,
由三重积分的性质知 V
dxdydz ,
V d d
0 0
2
4
2a
0
r 2 sin dr
3
2
4 0
4 ( 2a ) sin d ( 2 1)a 3 . 3 3
为常数
为常数
z
如图，球面坐标系中的体积元素为d
r sin
dr
r sin d rd d
dv r sindrdd ,
2
r

f ( x , y, z )dxdydz

o

y
d
2 f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r sindrdd .
3
1
注
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。
例2

ez 2 2 dxdydz, : z x y , z 1, z 2 2 2 x y
解
x r cos y r sin , zz
关键在于定出 的变化范围
练习题
一、填空题: 1 、若 由曲面 z 2 3( x 2 y 2 )和 x 2 y 2 z 2 16 所 围, 则三重积分 f ( x , y , z )dv 表示成直角坐标下

的三次积分是_________________;在柱面坐标下 的三次积分是_________________;在球面坐标下 的三次积分是__________________. 2 2 2 2 z 2 x y 及 z x y 2 、若 由 曲 面 所 围, 将 zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,
在柱坐标系和球坐标系下的计算
一、在柱坐标系下的计算法
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,，则这样的三 个数 r , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
x r cos , y r sin , z z.
x
然后把它化成对 r , , 的三次积分
具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是
先r次后
例 3 计算 I ( x 2 y 2 )dxdydz ，其中 是锥面
x 2 y 2 z 2 ， 与平面 z a
解一 用球坐标

(a 0) 所围的立体.
2 (e e ) 2 (e e )dr 2e
2 2 r 1
2
2
二、在球坐标系下的计算法
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，则点M 可用 三个有次序的数 r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按 逆时针方向转到有向线 段 OP 的角，这里 P 为 点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 r，，
za
x y
2
2
a r , cos 2 z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x y )dxdydz d d
2 2
2
5 5 1 a 3 2 sin ( 5 0)d a . 10 5 cos 解二 用柱坐标
就叫做点 M 的球面坐标．
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
规定
z

x
r

M ( x, y, z )
z
0 r ,
o
A

0 , 0 2.
r 为常数
x
y
P

y
球 面 圆锥面 半平面
(1) f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时 I 0 ( 2) 当 f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) 时
1
I 2 f ( x , y , z )dv
2 ( x , y, z ) | ( x , y, z , y 0)

其值为_______.
3、若空间区域 为二曲面x 2 y 2 az 及 z 2a x 2 y 2 所围, 则其体积可表为三重积分 _______________; 或 二 重 积 分 ______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________. 4 、 若 由 不 等 式 x 2 y 2 (z a)2 a 2 , x 2 y 2 z 2 所确定, 将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
六、求半径为a ,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量 (设密度 1) .
练习题答案
一、1 、 dx
2 2 4 x 2 4 x 2 2
dy
16 x 2 y 2 3( x 2 y 2 )
f ( x , y , z )dz f ( x , y , z )dz ,
当f ( x , y, z )关于 ____为奇函数时, f ( x, y, z )dv 0;
z
当f ( x , y , z )关于 ____为偶函数时,
z