生命表构造理论共38页共38页
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第二章 生命函数与生命表理论
第八节 有关分数年龄的假设
基本原理:插值法 基本原理 插值法 1）均匀分布假定(线性插值 ）均匀分布假定 线性插值) 线性插值 2）常数死亡力假定 几何插 ）常数死亡力假定(几何插 值) 3）Balducci假定 调和插值 假定(调和插值 ） 假定 调和插值)
均匀分布假定(线性插值 均匀分布假定 线性插值) 线性插值
选择和终极表：选择效果和终极表合在一起 选择和终极表：选择效果和终极表合在一起. 表2-3 假定两位老人今年都是65岁 例.假定两位老人今年都是 岁，甲老人是今年刚刚体检合 假定两位老人今年都是 格购买的保险，乙老人是10年前购买的保险 年前购买的保险， 格购买的保险，乙老人是 年前购买的保险，至今仍在保障 范围内。使用表2-3的选择 的选择-终极生命表估计两位老人分别活 范围内。使用表 的选择 终极生命表估计两位老人分别活 岁的概率。 到73岁的概率。 岁的概率
剩余寿命的期望和方差
∞ w−x
o
期望剩余寿命：剩余寿命的期望值 均值 均值),简记 期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值 简记 ex
ex = E(T(x)) = ∫ t ⋅ fT (t)dt =
0
o
∫
0
t
pxdt
o2
剩余寿命的方差： 剩余寿命的方差：
Var(T(x)) = E(T(x)2 ) − E(T(x))2 = 2 ∫ t ⋅ t pxdt −ex
s(x + t) = (1−t)s(x) +ts(x +1) , 0 < t <1
q[x]+n 编制的生命表称为选择生命表 编制的生命表称为选择生命表.
若选择期为r年 投保期超过 年的同一年龄上的死亡概率 若选择期为 年，投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率 相等. 相等
第二章 生命表函数与生命表构造
设生存分布函数
s(t ) e , t 0, 其中 0为参数。 求死亡力（t）,（t）,F t）。 f （
t
例1.1答案
(t ) e t -s 根据定义：（t）= t s (t ) e f (t ) - s(t ) e
t t
死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x x t
px exp{ s ds} exp{ x s ds}
x 0
t
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
死力的性质
1、当x 0时， x 0； 2、对于任意x 0，都有 3、 x 是死力，则
＋ t 0 ＋ x
s ds ；
p x s ds 1
死力性质2的证明
s( x t ) 证：性质 、显然成立,由于t p x＝ 13 , 且 lim s( x) 0 s ( x) x 故有lim t p x＝lim
/(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
0
x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 fT (t ) & g (t )
s ( x) s ( x t ) FT (t ) t qx 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t fT (t ) FT (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
第二章 生命函数与生命表理论
1 x
x2
2
0
0
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。 T(x)=X-x，如新生儿的剩余寿 命T(0)=X。 分布函数 t qx ：
t
qx Pr(T ( X ) t ) Pr( x X x t X x) s ( x) s ( x t ) s( x t ) 1 s ( x) s ( x)
t
0
t
px dt ex
o 2
剩余寿命期望的推导过程
E (T )
x
0
td (1 t px ) td t px
x
x
0
t t px |0
x
t 0
பைடு நூலகம்
x
t
0
px dt
px dt
剩余寿命方差的推导过程
Var (T ) E (T 2 ) [ E (T )]2
剩余寿命
剩余寿命的生存函数 t px ：
t
px Pr(T ( x) t ) Pr( X x t X t ) s( x t ) s ( x)
特别：
x
p0 s( x)
剩余寿命
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1 qx
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 p x 1 px
De Moivre模型(1729)
x 1 s ( x) 1 x x , 0 x
注：死亡年龄X在[0，ω]上服从均匀分布。 Gompertze模型(1825)
第一章 生命表
从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。这个过程有如下的 特征： 1. 存在两种状态：生存和死亡。 2. 单个的人──经常称作生命个体──可被划分为生存者或死亡者， 也就是说，我们可说出他们所处的状态。 3. 生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。 4. 任何个体的未来生存时间都是未知的，所以我们应从生存或死亡概 率的探讨而着手生存状况的研究。 5. 生存模型就是对此过程建立的一个数学模型，用数学公式进行清晰 的描述，从而对死亡率的问题作出了一些解释
本章结构
寿命分布
生命表
生命表 各年龄内的寿命分布
1.1
寿命分布
主要内容
寿命X的分布（分布函数和生存分布） 未来寿命（余命）的分布 死力（瞬时死亡率） 重点掌握： a. 各函数的符号表示及理解其涵义 b. 各种函数之间的关系
1.1.1
寿命X的分布函数
连续型死亡年龄
1. X: 死亡年龄（从生存到死亡的时间长度） 是一连续型随机变量
含义：
(x)生存t 年后，在x+t岁与x+t+u岁之间死亡的概率 (x)在活过 t 年后的u年内死亡的概率等于(x)在x+t岁时 仍活着的条件概率与(x+t)在以后的u年内死亡的概率之积。
1.1.3
未来寿命T的分布
t u
其他特殊符号b 特别地
p x t p x u p x t
平均余命
ex E[T ( x)]
0
0
tfT (t ) dt
t
0
p x dt
1.1.3
未来寿命T的分布
其他特殊符号a
s( x t ) s( x t u ) t T ( x) t u ] t | u q x Pr[ s ( x) t u qx t qx t px t u px t px u qx t
第四章 生命表
生命表起源
• 生命表的定义
– 生命表是用表格的行使来反映生命的变化规 律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量 的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了 整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概 率分布情况。
• 生命表的发展历史
– 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡 名单,写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表 的最早起源。 – 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬 统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用 了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因 而把Halley称为生命表的创始人。
s '( x) f ( x) x [ ln s( x)]' s ( x ) 1 F ( x)
• 死亡效力与生存函数的关系
s( x) exp{ s ds}
0 t x
(1.4)
px exp{ s ds}
x
x t
• 含义：
s ( x) s ( x x ) x lim x0 x s ( x) P{x将在 x x岁之前死亡} lim x0 x x瞬间死亡的比率
生命表基本函数
• lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。 • ndx：在x~x+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dx • nqx：x岁的人在x~x+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx
生存分布
• 一、新生儿的生存函数
• 二、x岁余寿的生存函数
• 三、死亡力
• 四、整值平均余寿与中值余寿
• 人类的“浴盆曲线”意味着：
– 刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都 会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。 – 青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属 于良好运作阶段，身体属于“偶然失效期”。 – 中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老 化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。
生命表理论
解2.4
e • 在常数死亡力下， t px t ，则
e e e t
p25
15
0.04t
p25
, 0 t 15
p t15 40
0.0415
0.06(t 15)
,t 15
.
• 25岁的人在未来25年内的期望存活时间为
0
25
e25:25 0 t p25dt
死亡效力
•
( 定义：
x)
的瞬时死亡率，简记
x
x
S ( x) S ( x)
f (x) S ( x)
ln[S(x)]
• 死亡效力与生存函数的关系
x
S(x) exp{ sds} 0 xt
t px exp{ sds} x
人类的死亡效力曲线图示
死亡效力
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
lx l0 S (x)
• l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期
望个数n：dx
特别：n=1时，记作d x
n dx lx lxn lx n qx dx lx lx1 lx qx
生命表的构造
l0
t Lx
• 个新生生命在年龄x至xx+t t区间共存活年数：
t)
g(t)
d G(t) dt
d dt
S(x) S(x t)
S(x)
S(x t)xt
S(x)
t
px xt
例2.2
• 已知给出生存函数
S(x) 100 x 20
《生命表分析》课件
02
生命表的基本概念
生命期望
总结词
生命期望是描述一个个体预期能够生存的年数，基于其年龄和性别。
详细描述
生命期望是生命表分析中的一个重要指标，它表示一个个体预期能够生存的年数。这个指标基于年龄和性别进行 计算，反映了不同年龄和性别的个体在特定条件下的预期寿命。生命期望的计算有助于了解不同人群的生命风险 和生存状况，为制定相关政策和措施提供依据。
生命表分析在保险精算中发挥着关键作用，通过对不同年 龄、性别、地区等人群的生命数据进行统计分析，评估保 险产品的风险和价值，为保险公司制定保险策略、产品设 计等提供科学依据。
健康风险评估
总结词
健康风险评估是生命表分析在健康领域的应用，通过分 析人口健康数据，评估个人和群体的健康风险。
详细描述
生命表分析在健康风险评估中发挥着重要作用，通过对 健康状况、疾病发病率、死亡率等数据的分析，评估个 人和群体的健康风险，为制定健康管理策略、预防措施 等提供科学依据。同时，生命表分析还可以用于评估新 药、新治疗方法的疗效和安全性。
风险函数
总结词
风险函数描述了在给定年龄段内个体死亡或 患病的概率。
详细描述
风险函数是生命表分析中用于描述个体在给 定年龄段内死亡或患病的概率的函数。这个 函数提供了关于健康风险的综合信息，有助 于深入了解不同年龄段的健康状况和潜在的 健康问题。通过比较不同群体或不同时期的 风险函数，可以评估健康状况的变化趋势，
未来人口变化的不确定性问题
总结词
未来人口变化的不确定性是生命表分析面临的另一个 挑战。
详细描述
生命表分析通常需要对未来人口变化进行预测和估计， 但这些预测和估计可能存在不确定性。未来人口变化受 到多种因素的影响，如生育率、死亡率、移民率等，这 些因素的变化可能难以准确预测和估计。此外，未来人 口变化的趋势也可能受到政策和环境变化的影响，进一 步增加了预测的不确定性。因此，在生命表分析中，需 要充分考虑未来人口变化的不确定性问题，并采取适当 的策略和方法来处理和减少这种不确定性对分析结果的 影响。
第三章-单生命生存模型与生命表-第二节-生命表PPT课件
二、生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人 群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号
新生生命组个体数：l 0
年龄：x
极限年龄：
l 0 个新生生命能生存到年龄 x的期望个数：l x
-
4
二、生命表的构造
l 0 个新生生命中在年龄 x与xn之间死亡的期望个
数：n d x
实务中，通常设定一个年限r，当选择经过了r年后， 我们q 认[x 为k] 这k个j r年qx就j称;j为0 选,1 择, 期。
由选择期内的死亡率构造的生命表就称为选择表。 在选择期结束后，死亡率只与到达年龄有关，与 选择年龄无关。以选择影响消失后的死亡率构造 的生命表称为终极表。习惯上，将终极表并列在 选择表的右边，就构成了选择-终极表。
-
11
思考题
（1）相比较新旧两个生命表，从数据上反映了 十年间有哪些变化？
（2）试分析这些变化的原因。
（3）这些变化对保险公司开发险种，设立保险 条款，确定保险费以及准备金等将产生什么 影响？
注：以上问题没有标准答案，就其所能尽量
发挥。
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12
三、选择-终极生命表
选择-终极生命表构造的原因
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新 成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成 员。因此那些在投保时健康状况良好的被保险人 的死亡率低于没有接受健康状况检查的人。
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6
例2.10答案
利用旧生命表中的数据，有 （1）80p20ll1200098 31 91 14 100.003986.
（2）5 0q 2 0 1 5 0p 2 0 1 ll7 2 0 09 6 8 8 1 7 1 0 4 7 0 40 .2 9 9 7 2 .