从高斯定理看电场线的性质
电场的高斯定理
= = =
−σ1 +σ 2ε o
σ1 −σ2
σ
2ε 1+
σo
2
2ε o
σ EA = EC = 0
板外电场为 0 。
E2
=
σ2 2ε o
r 2i
r i
带电平板电容
r 器间的场强 i
EB
=
σ εo
均匀带电体，体密度为ρ，
空腔内任一点的场？
O1
rv1 rv2 O2
E= ρ r 3ε 0
v E1
=
ρ 3ε 0
(3)正确理解 （4）
∑q = 0
，不是E＝0，只是积分为零
r
由库伦定律
E
给定电荷分布 由高斯定理
Φr E
（通常情况） （电荷对称分布）
（5）高斯定律适用于静电场还适用于随时间变化的电场
高斯定理可以证明电场线有如下性质： 电场线发自于正电荷， 终止于负电荷， 在无电荷处不间断。
证： 设P点有电场线发出
解：
r l
选择高斯面——同轴柱面
上下底r面 Err⊥dSr 侧面 E // dS,且同一
r
柱面上E 大小相等。
E
r
r dSr E
∫ ∫ ∫ Φ =
rr E ⋅dS
S
=
rr E ⋅dS +
测
rr E ⋅dS
上下底
= E ⋅ 2πrl Φ = lλ
εo
E= λ 2 πε o r
方向：垂直带电线
无限长均匀带电直线 E = λ
因为 qin = 0 ，有
E=0
S
球层内的空腔中没有电场。
0 (r < R1)
电场中的高斯定理与电场线
电场中的高斯定理与电场线电场是一个物理学中的重要概念，用来描述电荷之间相互作用的力场。
高斯定理是电场理论中的一个基本原理，用来描述电场的分布情况以及电场线的性质。
本文将通过介绍高斯定理和电场线的概念、原理以及相关应用，来探讨电场中的高斯定理与电场线。
一、高斯定理的概念与原理高斯定理是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪提出的。
它指出，闭合曲面上的电通量与该曲面内的电荷量成正比，且与曲面的形状无关。
具体而言，对于一个闭合曲面S，其内部包含一定量的电荷，电场从曲面S的每个点出发的该点处的电通量之和等于该闭合曲面内部的电荷量的1/ε₀倍，其中ε₀为真空介质中的介电常数。
根据高斯定理，我们可以通过计算电场的电通量来确定曲面内部的电荷分布情况。
若曲面内部的电荷量为正，则电场线从内部流向曲面上；若曲面内部的电荷量为负，则电场线从曲面上流向内部。
高斯定理的应用让我们能够更好地理解电场的行为和性质。
二、电场线的概念与性质电场线是用来描述电场分布情况的一种图形表示方法。
在任意给定点处，电场线的方向为该点处的电场强度的方向。
电场线从正电荷流向负电荷，它们总是与等势面垂直相交。
电场线的密度表示了电场的强弱，如果电场线之间的间距越密集，则电场强度越大。
电场线还具有以下性质：首先，电场线不会相交，如果两条电场线交叉，则会形成一个无法确定电场强度的点；其次，电场线从正电荷流向负电荷，这是因为电荷会引起电场的形成，电场力会使电荷发生运动，直到达到相对稳定的态势。
三、高斯定理与电场线的应用高斯定理和电场线在电场理论的研究和实际应用中具有重要意义。
以下是一些它们的应用示例：1. 高斯定理可以用来计算闭合曲面内部的电荷分布情况，从而推导出电场强度的表达式。
通过计算电通量和曲面积分，可以得到与电荷分布相关的电场强度公式。
2. 根据高斯定理，我们可以计算出闭合曲面上的电通量，进而推断该闭合曲面内部的电荷分布情况。
对高斯定理的理解
对高斯定理的理解1．高斯面S是静电场中的任意闭合曲面．但S面上不能有有限的电荷分布。
2．从高斯定理看电力线的性质：高斯定理说明正电荷是发出E通量的源，负电荷是吸收E通最的源。
若闭合面内存在正(负)电荷．则通过闭合面的E通量为正(负)．表明有电力线从面内(面外)穿出(穿入)，即正(负)源电荷发射(吸收)电场线；若闭合面内没有电荷，则通过闭合面的E通量为零，意味着有多少电场线穿入就有多少电场线穿出，说明在没有电荷的区域内电场线不会中断.在闭合面内，电荷空间分布的变化将改变闭合面上各点场强的大小和方向，但只要电量相同．就不会改变通过整个闭合面的E通量：在闭合面外，有无电荷及其如何分布，将会影响闭合面上各处场强的大小和方向，但对通过整个闭合面的E通量没有贡献。
3．利用库仑定律和叠加原理导出高斯定理，库仑定律在电荷分布已知情况下，能求出场强的分布；高斯定理在电场强度分布已知时．能求出任意区域的电荷；当电荷分布具有某种对称分布时．可用高斯定理求出这种电荷系的场强分布，而且这种方法在数学上比用库仑定律简便得多；对于静止电荷的电场，可以说库仑定律与高斯定理是等价的；在研究运动电荷的电场或一般地随时间变化的电场时，库仑定律不再成立，而高斯定理却仍然有效。
所以说：高斯定理是关于电场的普遍的摹本规律。
高斯定理求电场步骤高斯定理的一个重要应用。
是用来计算带电体周围电场的电场强度。
实际上。
对称性不是应用高斯定理求场强的条件，对于具有对称性．且能应用高斯定理求场强的问题，由于具有对称性．总可选择合适的高斯面而使计算较为简便：但在某些非对称情况下，只要高斯定理中的f-E·ds能够进行积分，则无论电荷或电场分布是否具有对称性，均能应用高斯定理求电场强度。
因此对称性不是应用高斯定理求场强的条件，应用高斯定理求场强的关键是看(1)左边的积分能否进行，过分强调对称性，往往导致忽视应用高斯定理求场强的数学条件，造成对高斯定理的误解，应用高斯定理求场强问题的步骤：1．分析场强或电荷分布的特点．进行对称性分析和判断，即由电荷分布的对称性。
高斯定理
3.点电荷在封闭曲面之外 e E dS 左 E dS 右 E dS 0
dS1
E2
E1
e S E dS 0
q+ dS 2
4.点电荷系电场中的电通量
使 q1 , q2 , qn 在曲面内；
使 qn1 qnk 在曲面外。 闭合面上各点场强
e S de S E cos dS
e S E dS
S
2）通过闭合曲面的电通量 规定: n 的方向指向曲面的外侧。
dS1 E 1 1 E2
de E dS EdS cos ( E n ) 90 通量为正； ( E n) 90 通量为负。
2.通过高斯面的电通量仅由高斯面内电荷的代数和决 定，而与面外电荷无关。 1 3.若电荷连续分布 e S E dS S dq
0
利用库仑定律和场强叠加原理，验证高斯定理。
1.点电荷位于球面中心
1 q E 4π 0 r 2 1 q e S E dS S dS 2 4π 0 r 1 q dS 2 S 4π 0 r
E0
例：求均匀带电球体的内外场强分布。设球体半径 为 R ，所带总带电为 Q。 解：选取同心的球面 为高斯面。
R
1 n S E dS qi
r
r
o
Q
E
P
0
i 1
1. r R
Qr E 3 4π 0 R
2. r R
Q 4 3 q 3 πr 4πR 3 3
高斯定理概要
一、电场线 性质：静电场的电场线不相交、不中断。 二、电通量 e S E dS 1 n 三、高斯定理 S E dS qi
电通量高斯定理
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过
从场线角度解释高斯定理和斯托克斯定理
从场线角度解释高斯定理和斯托克斯定理高斯定理和斯托克斯定理是电磁学中最基础的定理之一，它们分别描述了电场和磁场在封闭曲面和闭合曲线上的性质。
从场线角度来解释高斯定理，我们可以将电场看作是由正电荷和负电荷所形成的场线，其密度描述了电场的强度。
高斯定理指出，对于一个封闭曲面，它所包含的电场通量与该曲面所包围的电荷量成正比。
换句话说，电场流出封闭曲面的总量等于该曲面所包围的电荷量。
这个定理的物理意义可以通过一个简单的例子来理解。
假设一个球形曲面内部有一个正电荷，这个电荷所产生的电场线从球心向外扩散，并穿过球面。
由于电场的强度在球面上是连续的，因此球面上每个微小面元所穿过的电场线密度相等。
那么球面所包围的电荷量就等于电场流出球面的总量。
这样，我们就可以通过测量电场在一个封闭曲面上的总通量来计算出该曲面内部所包围的电荷量。
斯托克斯定理则描述了磁场环路积分与该曲线所包围的电流的关系。
从场线角度来讲，磁场线可以看作是由电流所形成的。
这些场线通常是环绕着电流输送磁场能量的。
斯托克斯定理指出，一个闭合曲线内的磁场环路积分与该曲线所包围的电流成正比。
也就是说，磁场沿着一个闭合曲线所形成的环路积分等于该曲线所包围的电流的磁通量。
这个定理的物理意义可以通过一个简单的例子来理解。
假设一个圆形曲线内部有一个电流，这个电流所产生的磁场线环绕着曲线形成一个环路。
由于磁场强度在环路上是连续的，因此在环路上任意一点的磁场积分都相等。
那么该曲线所包围的电流量就等于磁场沿曲线的环路积分。
这样，我们就可以通过测量沿着一个闭合曲线的磁场环路积分来计算出该曲线所包围的电流量。
通过从场线的角度分析，我们可以更加清晰地理解高斯定理和斯托克斯定理的物理意义。
这些定理不仅应用于电磁学，也可以应用于其他领域的物理学和工程学。
真空中静电场(高斯定理)
QR
电场方向、大小
Q P
o
r
E
S
dS
• 选取合适的高斯面(闭合面)
E dS EdS E dS E4 r 2
S
S
S
• 再根据高斯定理解方程
qi内
E4r 2 i 0
E 1
4 0
qi
i
r2
E 1
4 0
qi
ir2ຫໍສະໝຸດ ds E
ds
E ds
S
侧面
两底面
E2rl 0
利用高斯定理解出 E
ds r
l
Eds
E 2rl l 0
E 1 2 0 r
例三. 无限大均匀带电平面的电场分布
分析:无限大带电面两侧电场分布对称
作高斯面如图示:
e
E dS
例四. 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0 求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
由高斯定理
E dS 0
qi内 内dV 0
S
i
V
体积元任取
内 0
证毕
作业
习题P321-322
7-15,7-17,7-18,7-21
讨论
Q P
Ro r
E
S
dS
r R qi 0
i
r R qi Q
i
rR E0
rR
E
1
4 0
Q r2
如何理解面内场强为0 ?
dE1 dE2
P
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
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根据场的对称性做高斯面 求出通过Gauss面的通量
1
r R E E d S
S
S S
0 S内
q
i
Q
0
Q
2 4 r E E EdS E dS
4 0 r 2
2
rR
E dS 4r E 0 EdS
S
E0
讨论：
以上三例电荷分布分别具有球对称性、轴对称性、 面对称性，电荷分布的对称性决定了场的对称性。 用 Gauss定理可以计算具有强对称性场的场强
通量要好算 注意选取合适的Gauss面
Gauss定理可以和场强叠加原理结合起来运用，计 算各种球对称性、轴对称性、面对称性的场。
上述三个例子的结论可以作为已知结论运用，例如： 求两块无限大带电平面板的场分布 求均匀带电球体内外的场分布 求均匀带电的无限长圆柱内外场分布 整体不具有对称性，但局部具有对称性的电荷分布的 电场，可以分别求出场强再叠加
E⊥dS
E 是常数
3.6无限大带电平面的电场
例题9 (p28)
求均匀带正电的无限 大平面的电场分布，设 电荷的面密度为σe。 对称性分析
在直角坐标下分析 对yz平面，镜像反射变 换不变,场也不变 ——Ex=0 对zx平面镜像反射变换 不变，场也不变 ——Ey=0 只有Ez不为零，
S
结论：球壳内E=0；球壳外与点电荷场相同
P26例题7
利用例题6的结果，球外一计算r<R时，高斯面内所包 4r 3 围的电量为 体电荷 q' e
1 4 0 E 1 4 0 Q (r R) 2 r Qr (r R) 3 R
设棒上线电荷密度为+e
作高斯面——以细棒为对称轴的圆柱（l长） 求出通过Gauss面的通量
el E E d S qi 0 0 S内 S
1
上底
E d S E d S E d S 2rlE
下底 侧面
1 e E 2 0 r
3.7 从高斯定理看电场线的性质
电场线疏的地方场强小，密 电场管 的地方场强大 E E1 cos1S1 E2 cos2 S2 0(管内无电荷 ）
E1 cos1 S 2 or：－ ＝ E2 cos 2 S1
电场线起始于正电荷或无穷 远，止于负电荷或无穷远
无限大平面自身具有平 移不变性， Ez与场点 的坐标无关
e S E E d S qi 0 S内 0 S
1
上底
E d S E d S E d S 2ES
下底 侧面
EΔS
e E ,方 向 如 图 2 0
结论：均匀带电的无限大平面板产生的场强大 小与场点到平面的距离无关 图示c板间场强为何？
复习:高斯定理
表述：通过一个任意闭合曲面S的电通量等于 该面所包围的所有电量的代数和除以ε0，与闭 合面外的电荷无关。 面内电量的代 面上的场强，是 公式表示： Gauss 数和，与面外 所有电荷产生的场
电荷无关
E E d S E cosdS
(S ) (s)
1
0
i ( s内）
3
3.5轴对称的电场 例题8 (p27)
求无限长均匀带电棒 外的场强分布
在柱坐标下分析 作平面П1和П2 柱体对П1镜像反射变换是不变的——场分布也不变 但此变换下Eφ分量反向，只有Eφ＝0 柱体对П2镜像反射变换是不变的——场分布也不变 但此变换下Ez分量反向，只有Ez＝0 剩下唯一不可能等于0的分量只有Er 无限长圆柱体具有沿z方向的平移不变性 ——等r处Er相等——轴对称性
q
i
通过任意 闭合曲面 的电通量
Gauss 面
本节内容： 高斯定理的应用
3.4 球对称的电场
说明：当场强的分布具有一定的对称
性时，才能够直接运用高斯定理
例题6
利用高斯定理求电荷面密度均匀 的带电球壳产生的场强分布。
在球坐标下分析：
E( p) ~ Er，E，E
球壳电荷均匀分布，围绕任一直径都是旋转不 变 —— 场强分布也不变，但旋转时 E和 E变 — —只有E＝0和E＝0 只有径向分量Er不为零，r相同Er相同——场呈 球对称分布