归纳与技巧：指数与指数函数(含解析)
指数及指数函数知识点总结及经典例题
高中数学必修1知识点总结—指数及指数函数1、 根式na （一般的，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈且.）35325325n n n ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩正数的次方根是正数如当是奇数时，负数的次方根是负数如20,n a n an ⎧>±⎪⎨⎪⎩正数的次方根有个，且互为相反数如：则次方根为当是偶数时，负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作0n2、nna的讨论 n nn a a =当是奇数时，；,0,0n n a a n a a a a ≥⎧==⎨-≤⎩当是偶数时， （2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mnmna a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,,,m mmnnnaa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr saa aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈一、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a ________=sraa _____)(=s r a ______)(=r ab )1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm，________=n na 练习 计算下列各式的值：计算下列各式的值：（1）)4()3)((636131212132b a b a b a ÷- （2）()322175.003129721687064.0+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛---（3）421033)21(25.0)21()4(--⨯+-- （4）33)3(625π-+-2．已知31=+-x x ，则=+-22x x 已知23=a,513=b，则=-ba 23＝____________. 3. 若21025x x =，则10x x-等于_________________【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数）指数函数函数名称函数名称指数函数指数函数定义定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数叫做指数函数图象图象1a >01a <<定义域定义域 R 值域值域(0,)+∞过定点过定点 图象过定点(0,1)，即当0x=时，1y =．奇偶性奇偶性 非奇非偶非奇非偶单调性单调性在R 上是增函数上是增函数在R 上是减函数上是减函数函数值的函数值的 变化情况变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．越大图象越低．题型1、求函数经过的点 1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、函数y=4+a x -1的图象恒过定点P 的坐标是________________3.已知指数函数图像经过点)3,1(-p ，则=)3(f题型2、 图像问题1.下列说法中：下列说法中：①任取x ∈R 都有3x >2x ； ②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x ；③函数y =(3)－x 是增函数；④函数y =2|x |的最小值为1 ；⑤在同一坐标系中，y =2x 与y =2－x 的图象对称于y 轴。
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点数学中的指数与指数函数是非常重要且常见的概念。
在我们的日常生活中，指数和指数函数可以用来描述各种自然现象、科学问题以及经济趋势等。
本文将详细介绍指数与指数函数的定义、性质以及一些常见应用，以加深读者对这一概念的理解。
一、指数的定义和性质在数学中，指数是一种表示幂次方的数学运算。
指数是由两个数构成，其中一个为底数，另一个为指数。
底数表示要进行幂运算的数字，指数表示底数要乘以自身多少次。
例如，2的3次方即为2的指数为3的结果，即2x2x2=8。
指数函数是指数的一种特殊形式，即以常数为底数的幂函数。
指数函数的一般形式为y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是指数函数的值。
指数函数的图像通常具有特定的特征，例如，当底数大于1时，指数函数呈现递增趋势；当底数在0和1之间时，指数函数呈现递减趋势。
指数有一些基本的性质。
首先，任何数的0次方都等于1，即a^0=1。
其次，任何非零数的负指数都是倒数，即a^(-n)=1/(a^n)。
此外，指数相乘等于底数不变指数相加，即a^m * a^n = a^(m+n)。
二、指数函数的应用指数函数在各个领域都有广泛的应用。
以下是指数函数在生活和科学中的一些常见应用：1. 经济增长：经济学家常常使用指数函数来描述一个国家或地区的经济增长趋势。
经济增长往往呈现指数增长的形式，即以固定的增长率逐渐增加。
指数函数可以帮助经济学家预测未来的经济趋势和制定相应的政策。
2. 生物衰变：在生物学的研究中，指数函数可以用来描述物种的衰变过程。
例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数进行建模。
指数函数的形式可以提供准确地描述和计算物种在特定时间内的衰减情况。
3. 自然增长：人口学家使用指数函数来研究人口的自然增长过程。
指数函数可以帮助人口学家了解一个地区的人口趋势和人口变化的因素，为政府提供人口规划和政策制定方面的参考。
4. 电子电路：在电子学中，指数函数可以用来描述电路中的电流和电压变化。
决战2020年高考数学(理)函数与导数专题： 指数与指数函数(解析版)
函数与导数函数 指数与指数函数一、具体目标：指数函数（1） 了解指数函数模型的实际背景.（2） 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3） 理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4） 体会指数函数是一类重要的函数模型.二、知识概述： 根式和分数指数幂 1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质(注意逆用) (1),(,,0)rsr sa a a r s Q a +⋅=∈>(2),(,,0)r s r s a a a r s Q a -÷=∈>【考点讲解】(3)(),(,,0)r s rs a a r s Q a =∈>．(4)(),(,0,0)s s sab a b s Q a b =∈>> 2.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质：a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数3. 指数型函数有如下的性质： 形如. ()(0,1)f x y a a a >≠＝一类函数，有如下结论：（1）()(0,1)f x y aa a >≠＝的定义域、奇偶性与()f x 的定义域、奇偶性相同；（2）先确定()f x 的值域，再利用指数函数的单调性，确定()(0,1)f x y a a a >≠＝的值域；（3）()(0,1)f x y aa a >≠＝的单调性具有规律“同增异减”，即(),u u f x y a ==的单调性相同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是增函数，(),u u f x y a ==的单调性不同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是减函数.【真题分析】1.【2019优选题】若4a 2－4a ＋1＝3（1－2a ）3，则实数a 的取值范围是________．【解析】左边＝（2a －1）2＝||2a －1，右边＝1－2a, 即||2a －1＝1－2a, ∴2a －1≤0，解得a ≤12.【答案】⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a ≤122.【2019优选题】计算14030.75333264()(2)162---⎡⎤--++⎣⎦= . 【解析】化简:4164164331==-，1612])2[(4343==--，81161161161643434375.0====--，原式=11191416816-++=-.【答案】916-3.【2019优选题】若x ,x-1122为方程x 2－3x ＋a ＝0的两根，则-33222232x x x x -+-=+-________． 【解析】因为-1122x ,x 为方程x 2－3x ＋a ＝0的两根，所以-11223x x ,+=所以3322x x-+=()111221x x x x --⎛⎫+⋅+- ⎪⎝⎭2111122223x x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝3×(32－3)＝18，x 2＋x -2＝()212x x-+-x x -⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22112222＝(32－2)2－2＝47，所以33222232x x x x --+-=+-18314723-=-.【答案】134.【2018优选题】函数y ＝(a 2－5a ＋5)a x 是指数函数，则a 的值为________．【解析】∵函数y ＝(a 2－5a ＋5)a x 是指数函数，∴a 2－5a ＋5＝1，解得a ＝1或a ＝4.又∵指数函数y ＝a x 的底数a 需满足a >0且a ≠1，∴a ＝4. 【答案】45.【2018优选题】函数y ＝a x +2－2(a ＞0，且a ≠1)的图像恒过点(m ，n )，则2m n a -=_______．【解析】令x ＋2＝0，则x ＝－2, y ＝a x +2－2＝a 0－2＝－1，∴函数y ＝a x +2－2的图像恒过点(－2，－1)，即m ＝－2，n ＝－1，∴m-n-a a a +===22201.【答案】16. 【2015山东，5分】已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1) 的定义域和值域都是[]－1，0，则a ＋b ＝________． 【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在定义域上是增函数，∴f (0)为函数最大值，f (－1)为函数最小值，∴1110b a b -+=-⎧⎨+=⎩,,无解，不符合题意，舍去；当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在定义域上是减函数，∴f (－1)为函数最大值，f (0)为函数最小值，∴1110b a b -+=-⎧⎨+=⎩,,解得b ＝－2，a ＝12，∴a ＋b ＝－32.【答案】－327.【2019优选题】若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)【解析】∵2x (x －a )<1，∴x －a <12x .∵存在正数x 使2x (x －a )<1成立，即存在正数x 使x －a <12x 成立，即存在正数x 使函数y ＝x －a 的图像在函数y ＝12x 的图像的下方．在坐标系中画出图像，如下图：由图像可知当－a <1，即a >－1时，存在正数x 使2x (x －a )<1成立． 【答案】D8. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ． 【答案】B9.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确.故选C ． 【答案】C10.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【答案】D11.【2019优选题】比较大小：(Ⅰ)a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1434-⎛⎫⎪⎝⎭，则它们的大小关系是________．(Ⅱ)a ＝(－3)3，b ＝-125，c ＝.π03，则它们的大小关系是________．(Ⅲ) 53532a ,b ,c ===，则它们的大小关系为________．【解析】：(Ⅰ) 113433,55a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， 函数y ＝⎝⎛⎭⎫35x为减函数,11433355--⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭315⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴a >b >1.14110441434555154434b c ---⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭===>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∵， ∴b >c ，∴a >b >c .(Ⅱ)∵a ＝(－3)3<0，0<b ＝125-<50＝1, c ＝π0.3>π0＝1，∴a <b <c .(Ⅲ)∵53532a ,b ,c ===，∴101021055525a (),c ====(2)10＝25＝32，∴a 10<c 10，∴a <c .∵b 6＝(33)6＝32＝9，c 6＝(2)6＝23＝8，∴b 6>c 6，∴b >c .综上，a <c <b . 【答案】(Ⅰ)a >b >c (Ⅱ)a <b <c (Ⅲ)a <c <b12.【2016高考江苏卷】已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==.（1）求方程()2f x =的根； （2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
指数对数幂函数知识点汇总
指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固一、知识框图二、知识要点梳理知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.2.n次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.指数函数函数性质：函数指数函数名称定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向象的影响看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义(1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.2.对数函数性质：函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.知识点六：幂函数1.幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限 无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象 关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象 限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：具体函数具体讨论(5)图象特征：幂函数当时，在第一象限，图像与32,x y x y ==的图像大致趋势一样,当10<<α时，在第一象限，图像与21x y =的图像大致趋势一样,当0<α时，在第一象限，图像与1-=xy 的图像大致趋势一样一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或RR 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅ ∅ 的解集)0(02>≤++a c bx ax{}21x x xx ≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=a b x x 2∅。
专题09 指数与指数函数(学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.指数及指数运算(1)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题09指数与指数函数根式的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中(1n >，)n N *∈，n 称为根指数，a 称为根底数．(2)根式的性质：当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数.当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算(0)n a a ≠中的一个参数，a 为底数，n 为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂()n n a a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个；②零指数幂01(0)a a =≠；③负整数指数幂1(0nn aa a-=≠，)n N *∈；④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①+(0m n m n a a a a >=，m ，)n Q ∈；②()(0m n m n a a a >=，m ，)n Q ∈；③()(0mm mab a a b >=，0b >，)m Q ∈(0mn a a >=，m ，)n Q ∈．2.指数函数⑥既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1.指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论．(2)当01a <<时，x →+∞，0y →；a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快．当1a >时x →+∞，0y →；a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快．(3)指数函数x y a =与1()xy a=的图象关于y 轴对称．【题型归纳目录】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式题型二：指数函数的图像及性质题型三：指数函数中的恒成立问题题型四：指数函数的综合问题【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式例1．（2022·四川凉山·三模（文））计算：)2ln31e 1lg 4lg 0.254-⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭______．例2．（2022·河北邯郸·一模）不等式10631x x x --≥的解集为___________.例3．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））甲､乙两人解关于x 的方程220x x b c -+⋅+=，甲写错了常数b ，得到的根为2x =-或x =217log 4，乙写错了常数c ，得到的根为0x =或1x =，则原方程的根是（）A ．2x =-或2log 3x =B ．1x =-或1x =C ．0x =或2x =D ．1x =-或2x =例4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()4322x x f x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（）A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞例5．（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0).（3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【方法技巧与总结】利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如20xx a Ba C ++=或2)00(x x a Ba C ++ 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质例6．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数2()()-+=-x xx m f x a a ，的图象如图所示，则（）A ．0,01<<<m aB ．0,1<>m aC ．0,01m a ><<D ．0,1>>m a 例7．（2022·全国·高三专题练习）函数()21xf x m =--恰有一个零点，则m 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．{}()01,∞⋃+C ．{}[)01,∞⋃+D ．[)1,+∞例8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数()11e xf x -=+，下列关于函数()f x 的说法错误的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的值域为()0,1C ．不等式()12f x >的解集是()0,∞+D ．()f x 是增函数例9．（2022·河南·三模（文））已知()1f x -为定义在R 上的奇函数，()10f =，且()f x 在[)1,0-上单调递增，在[)0,∞+上单调递减，则不等式()250xf -<的解集为（）A ．()22,log 6B ．()()2,12,log 6-∞⋃C ．()2log 6,+∞D ．()()21,2log 6,⋃+∞例10．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________.例11．（2022·北京·高三专题练习）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.例12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()22x x f x k -=+⋅（k 为常数，k ∈R ）是R 上的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若函数()y f x =在区间[]1,m 上的值域为15,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求m n +的值．【方法技巧与总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题例13．（2022·北京·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2xf x -=，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()2f x f x m -≥恒成立，则正数m 的取值范围为（）A ．m 1≥B ．1mC ．01m <<D ．01m <≤例14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()33x xf x -=-．(1)利用函数单调性的定义证明()f x 是单调递增函数；(2)若对任意[]1,1x ∈-，()()24f x mf x ⎡⎤+≥-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围．例15．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()3(21xf x a a =-+为实常数).（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意[]1,6x ∈，不等式()2xuf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.例16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数1()421x x f x a +=-+ ．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()f x x =，1()2xg x m⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）当[1,3]x ∈-时，求()f x 的值域；（2）若对[]0,2x ∀∈，()1g x 成立，求实数m 的取值范围；（3）若对[]10,2x ∀∈，2[1,3]x ∃∈-，使得12()()g x f x 成立，求实数m 的取值范围．【方法技巧与总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题例18．（2022·天津河西·二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6例19．（2022·北京·二模）若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,4D ．()2,4例20．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()4sin 22x x f x =++，则124043202220222022f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()121f x f x +=-，且当(]1,1x ∈-时，()12x f x -=，则()2020f =______．例22．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数()221010,231,2x x x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，则不等式()()10f x f x +-<的解集为___________.例23．（2022·江西·二模（文））设函数()2,111,12x a x f x x x --⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若()1f 是函数()f x 的最大值，则实数a 的取值范围为_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·北京通州·模拟预测）已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）A ．是偶函数，且在R 是单调递增B ．是奇函数，且在R 是单调递增C ．是偶函数，且在R 是单调递减D ．是奇函数，且在R 是单调递减2．（2022·安徽淮南·二模（理））1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolicrate 》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的34次幂成正比，即340F c M =，其中F 为基础代谢率，M 为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率1.7783≈）（）A ．5.4倍B ．5.5倍C ．5.6倍D ．5.7倍3．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））英国著名数学家布鲁克-泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式：23e 126!nxx x x x n =+++++++ ，其中R,N x n ∈∈的近似值为（精确到0.01）（）A ．1.63B ．1.64C ．1.65D ．1.664．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数()()1331,1log 52,1x x f x x x +⎧-≥⎪=⎨-+-<⎪⎩，且()2f m =-，则()6f m +=（）A ．26B ．16C ．－16D ．－265．（2022·四川成都·三模（理））若函数()9x f x =0x ，则()0091xx -=（）．A ．13B ．1CD ．26．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））若关于x 的不等式()221xxa x ⋅>+∈R 有实数解，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞7．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知函数()f x 满足：对任意x ∈R ，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当[1,0)x ∈-时，()31x f x =-，则()3log 90=f （）A ．19B ．19-C ．1727D ．1727-8．（2022·上海宝山·二模）关于函数131()(22xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（）A ．若3m n -<<，则()()f m f n <B ．若0m n <<，则()()f m f n <C ．若()()f m f n <，则22m n <D ．若()()f m f n <，则33m n <二、多选题9．（2022·湖南·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数x y a =与()log 2a y x =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（2022·全国·模拟预测）已知0a b >>，下列选项中正确的为（）A 1=，则1a b －＜B ．若221a b －＝，则1a b －＜C ．若22=1a b -，则1a b －＜D ．若22log log 1a b -=，则1a b －＜11．（2022·广东肇庆·模拟预测）若a b >，则下列不等式中正确的有（）A ．0a b ->B ．22a b>C ．ac bc>D ．22a b >12．（2022·全国·模拟预测）已知函数14sin ,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩，若存在三个实数，使得()()()123f x f x f x ==，则（）A ．123x x x ++的取值范围为()2,3B ．()23x f x 的取值范围为5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123x x x 的取值范围为51,362⎛⎫⎪⎝⎭D ．()13x f x 的取值范围为1,23⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题13．（2022·安徽淮北·一模（理））2log142-⎛⎫++= ⎪⎝⎭___________.14．（2022·四川·模拟预测（理））已知两个条件：①,,()()()a b f a b f a f b ∈+=⋅R ；②()f x 在(0,)+∞上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________.15．（2022·河南·模拟预测（文））函数()1423x x f x +=-+在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦的值域为______．16．（2022·山西·二模（理））已知函数()322x xx f x -=-给出下列结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在()0, +上是增函数；③若0t >，则点()(),t f t 与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·全国·高三专题练习）由于突发短时强降雨，某小区地下车库流入大量雨水.从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，雨停后，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示.(1)求y 关于t 的函数关系式；(2)已知该地下车库的面积为25602m ，当积水深度小于等于0.05m 时，小区居民方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，小区居民才能进入地下车库？18．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：1294⎛⎫- ⎪⎝⎭（﹣9.6）0﹣22327283--⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知1122a a-+=3，求22112a a a a --++++的值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|ax －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围．20．（2022·全国·高三专题练习）设函数()(0x x f x ka a a -=->且1)a ≠是定义域为R 的奇函数；（1）若()10f >，判断()f x 的单调性并求不等式(2)(4)0f x f x ++->的解集；（2）若()312f =，且22()4()x xg x a a f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值．21．（2022·北京·高三专题练习）定义在D 上的函数()f x ，如果满足:对任意,x D ∈存在常数0,M >都有()M f x M -≤≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知()422x x f x a =+⋅-.（1）当2a =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的值域，并判断函数()f x 在()0,∞+上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数()f x 在(),0-∞上是以2为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.(1)设12,2a b ==，求方程()2f x =的根；(2)设12,2a b ==，若对任意x ∈R ，不等式()()26f x f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；(3)若01,1a b <<>，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.。
指数与指数函数知识点
指数与指数函数知识点一、指数运算的基本性质1.任何数的0次方等于12.非零数的负指数等于该数的倒数。
3.相同底数的指数之间的乘方运算，底数保持不变，指数相加。
4.相同指数的指数之间的乘方运算，指数保持不变，底数相乘。
二、指数运算的规律1.法则1：a的m次方乘以a的n次方，等于a的m加n次方。
2.法则2：a的m次方除以a的n次方，等于a的m减n次方。
3.法则3：（a的m次方）的n次方，等于a的m乘n次方。
4.法则4：a的m次方的p次方，等于a的m乘p次方。
5.法则5：零的任何正次方都是0，零的0次方没有意义，规定为1三、指数函数的定义与性质指数函数的定义为：y=a^x，其中a>0且a≠1，a为底数，x为指数。
指数函数可以看作是以底数为底，自变量为指数的函数。
指数函数的性质如下：1.底数a大于1时，指数函数是递增的，即自变量x的增大，函数值y也增大。
2.底数a介于0和1之间时，指数函数是递减的，即自变量x的增大，函数值y也减小。
3.指数函数的图象都经过点(0,1)，即当x=0时，y=14.指数函数的图象在直线x=0和y=0上均没有交点。
5.指数函数的图象没有水平渐近线，但有一条过点(0,0)的铅直渐近线。
指数函数常见的应用有：1.在金融领域中，指数函数可以用来描述货币的增长规律，例如复利计算。
2.在自然科学领域中，指数函数可以用来描述人口增长、病原体传播等现象。
3.在电路中，指数函数可以用来描述电容、电感等元件的充放电过程。
4.在计算机领域中，指数函数可以用来描述算法的时间复杂度、空间复杂度等特性。
总结：。
指数与指数函数高考知识点
指数与指数函数高考知识点指数和指数函数是高考数学中的重要知识点，涉及到数学中的指数概念、指数运算、指数函数及其性质等内容。
本文将以深入浅出的方式，详细介绍指数与指数函数的相关知识。
一、指数的概念及性质指数是数学中常用的表示方式，用于表示一个数的乘方。
指数的定义为：若a为非零实数，n为自然数（n≠0），则aⁿ称为以a为底的指数。
其中，a称为底数，n称为指数。
指数的性质有以下几点：1. 任何非零数的0次方都等于1，即a⁰=1（a≠0）；2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹=a（a≠0）；3. 指数相同、底数相等的两个指数相等，即aⁿ=aᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 任何数的负整数次方都可以表示为其倒数的相应正整数次方，即a⁻ⁿ=1/(aⁿ)（a≠0，n≠0）；5. 不同底数、相同指数的指数大小可以通过底数的大小来判断，当0<a<b时，aⁿ<bⁿ（a，b，n都是实数且n>0）。
二、指数运算法则指数运算是指在进行乘方运算时，如何将指数进行运算。
在指数运算中，有以下几条法则：1. 乘法法则：同底数的指数相加，保持底数不变，指数相加，即aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；2. 除法法则：同底数的指数相减，保持底数不变，指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；3. 乘方法则：一个数的乘方再乘以另一个数的乘方，底数不变，指数相乘，即(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 开方法则：一个数的乘方再开方，底数不变，指数取两个数的最小公倍数，即(aⁿ)^(1/ᵐ)=aⁿ/ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）。
三、指数函数的定义与图像指数函数是一种特殊的函数形式，具有以下定义：形如y=aᵘ（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数。
在指数函数中，a称为底数，u称为自变量，y称为因变量。
指数函数的图像特点如下：1. 当底数0<a<1时，函数图像呈现下降趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；2. 当底数a>1时，函数图像呈现上升趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；3. 当底数a=1时，函数图像为水平直线y=1，与自变量无关。
指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）
指数以及指数函数的整理讲义经典-（含答案）指数与指数函数⼀、指数（⼀）n 次⽅根：1的3次⽅根是( )A ．2B ．－2C ．±2D ．以上都不对 2、若4a －2＋(a －4)0有意义，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a ≥2且a ≠4C ．a ≠2D ．a ≠4（⼆）、 n 为奇数，a a n n = n 为偶数,??<-≥==0,0,a a a a a a n n1．下列各式正确的是( )＝－3 ＝a ＝2 D ．a 0＝12、.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b 3、若xy ≠0，那么等式 4x 2y 2＝－2xy y 成⽴的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <0 4、求下列式⼦(1)．334433)32()23()8(---+-(2)223223--+132811621258---????；；；243的结果为 A 、5B 、5C 、－5D 、－53、把下列根式写成分数指数幂的形式：（1）32ab （2）()42a -（3）3432x x x（四）、实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）sr r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．1．对于a >0，b ≠0，m 、n ∈N *，以下运算中正确的是( )A ．a m a n ＝a mnB ．(a m )n ＝am ＋nC ．a m b n ＝(ab )m ＋nD ．(b a )m＝a －m b m2、若0,x >则13111424（2x +3）(2x -3)-4x ＝ .3．计算－13－(－78)0＋[(－2)3]－43＋16－＋|－|12＝________.题型⼀： 1、求值：（1-；（22、已知*N n ∈，化简()()()()=+++++++++----11111233221n n Λ_____。
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归纳与技巧：指数与指数函数基础知识归纳一、根式 1．根式的概念2．两个重要公式(1)na n＝⎩⎨⎧a ， n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0)， n 为偶数；(2)(n a )n ＝a (注意a 必须使na 有意义)． 二、有理数指数幂 1．幂的有关概念(1)正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(2)负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q)； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q)； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q)． 三、指数函数的图象和性质图象特征在x 轴上方，过定点(0,1)性 质定义域 R 值域(0，＋∞)单调性减函数增函数函数值变化规律当x >0时，y >1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1当x <0时，0<y <1； 当x ＝0时，y ＝1基础题必做1．(教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9解析：选B 原式＝(26)12－1＝7.2．(教材习题改编)函数f (x )＝1－2x 的定义域是( ) A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析：选A ∵1－2x ≥0，∴2x ≤1，∴x ≤0. 3．已知函数f (x )＝4＋a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(1,5) B ．(1,4) C ．(0,4)D ．(4,0)解析：选A 当x ＝1时，f (x )＝5.4．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a 的值为________． 解析：∵a 2－3a ＋3＝1，∴a ＝2或a ＝1(舍)． 答案：25．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)解题方法归纳1.分数指数幂与根式的关系：分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程．2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．指数式的化简与求值典题导入[例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数)． (1)(a 23·b －1)－12·a －12·b 136a ·b 5；(2)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748. [自主解答] (1)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. 解题方法归纳指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．以题试法1．计算：(1)(0.027)－13－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0；(2)⎝⎛⎭⎫14－12·(4ab －1)30.1－2(a 3b －3)12.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－13－(－1)－2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫25912－1 ＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝412·432100·a 32·a －32·b 32·b －32＝425a 0·b 0＝425.指数函数的图象及应用典题导入[例2] 函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )[自主解答] 法一：令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a >1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，且过(1,0)，排除选项A 、B ； 当0<a <1时，y ＝a x －a 是由y ＝a x 向下平移a 个单位，因为0<a <1，故排除选项D. [答案] C解题方法归纳1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．以题试法2．(1) 在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________．解析：(1)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＝2－x ，∴它与函数y ＝2x 的图象关于y 轴对称． (2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解． 答案：(1)A (2)1指数函数的性质及应用典题导入[例3] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a .则函数f (x )的单调递增区间为________，单调递减区间为________．[自主解答] 令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增， 又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]， 单调递减区间是[0，＋∞)． [答案] (－∞，0] [0，＋∞)在本例条件下，若f (x )的最大值等于94，则a ＝______.解析：由于f (x )的最大值是94，且94＝⎝⎛⎭⎫23－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，从而a ＝2. 答案：2解题方法归纳求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．以题试法3．(1) 已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a(2) 已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .(2)结合函数图象求解．因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a |在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a ≤1.答案：(1)A (2)(－∞，1][典例] 函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在x ∈[－3,2]上 的值域是________．[常规解法] y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－⎝⎛⎭⎫12x ＋1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x －122＋34， 因为x ∈[－3,2]，所以14≤⎝⎛⎭⎫12x ≤8.当⎝⎛⎭⎫12x ＝12时，y min ＝34；当⎝⎛⎭⎫12x ＝8时，y max ＝57.所以函数y 的值域为⎣⎡⎦⎤34，57. [答案] ⎣⎡⎦⎤34，57 ——————[高手支招]—————————————————————————— 1．解答本题可利用换元法，即令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，把函数化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域．2．对于含a x 、a 2x 的表达式，通常可以令t ＝a x 进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系．——————————————————————————————————————[巧思妙解] 因为x ∈[－3,2]，若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8.则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34. 当t ＝12时y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.答案为⎣⎡⎦⎤34，57. 针对训练若0<a <1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________． 解析：令t ＝a x (0<a <1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t >0)．因为0<a <1，x ∈[－1,1]，所以t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14. 所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16， 所以a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.答案：131．下列函数中值域为正实数集的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝1－2x解析：选B ∵1－x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x的值域是正实数集， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫131－x 的值域是正实数集．2．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：选B 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3， 两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝7.3．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )解析：选B ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <1，∴根据分段函数即可画出函数图象．4．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9]D ．[1，＋∞)解析：选C 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因f (x )＝3x－2在[2,4]上是增函数，可知C 正确．5． 设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( ) A ．f (－2)>f (－1) B ．f (－1)>f (－2) C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析：选A ∵f (2)＝4，∴a－|2|＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |，∴f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x是增函数，∴x <0时，f (x )是减函数，∴f (－2)>f (－1)．6．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞C ．(－1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2解析：选D 因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1，解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12；解2m ＋1>m 2＋m －1，即m 2－m －2<0，得－1<m <2. 综上所述，m 的取值范围是5－12≤m <2. 7.⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：28．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．解析：∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)． 函数f (x )＝a x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案：m >n9．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)且f (1)＝9.则f (x )的单调递减区间是________． 解析：由f (1)＝9得a 2＝9，∴a ＝3.因此f (x )＝3|2x －4|，又∵g (x )＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，∴f (x )的单调递减区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]10．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19.解：(1)显然定义域为R. ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， 且y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数． ∴⎝⎛⎭⎫122x －x 2≥⎝⎛⎭⎫121＝12. 故函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. (2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2，∵y ＝3x 为增函数，∴2x －1≥－2， 即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－19≥0，∴y ≥0.即函数的值域为[0，＋∞)．11．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解：当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.12．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值． 解：由3－4x ＋x 2＞0，得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3，或x ＜1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎫2x －162＋2512. ∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2， ∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．1． 函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)>f (1) B ．f (－4)＝f (1) C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定解析：选A 由题意知a >1，又f (－4)＝a 3，f (1)＝a 2，由单调性知a 3>a 2，∴f (－4)>f (1)． 2． 已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是________．①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.解析：画出函数f (x )＝|2x －1|的图象(如图)， 由图象可知，a <0，b 的符号不确定，c >0. 故①②错；∵f (a )＝|2a －1|，f (c )＝|2c －1|， ∴|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1， 故2a ＋2c <2，④成立； 又2a ＋2c >22a ＋c ，∴2a ＋c <1，∴a ＋c <0，∴－a >c ，∴2－a >2c ，③不成立． 答案：④3．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令t ＝－x 2－4x ＋3，由于t (x )在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是[－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.1．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象如图， 由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.2．求函数y ＝a 2x －2a x －1(a >0，a ≠1)的单调区间和值域． 解：y ＝(a x －1)2－2(a >0，a ≠1)，设u ＝a x .∵y ＝(u －1)2－2在u ∈[1，＋∞)时是关于u 的增函数，在u ∈(－∞，1)时是关于u 的减函数，∴当a x ≥1时，原函数的单调性与u ＝a x 的单调性相同；当a x <1时，原函数的单调性与u ＝a x 的单调性相反．若a >1，a x ≥1⇔x ≥0；a x <1⇔x <0，∴在[0，＋∞)上，函数y ＝a 2x －2a x －1是增函数； 在(－∞，0)上，函数y ＝a 2x －2a x －1是减函数． 若0<a <1，a x ≥1⇔x ≤0；a x <1⇔x >0，∴在(0，＋∞)上，函数y ＝a 2x －2a x －1是增函数； 在(－∞，0]上，函数y ＝a 2x －2a x －1是减函数． ∵a x >0，∴函数值域是[－2，＋∞)．对数与对数函数基础知识归纳1．对数的概念 (1)对数的定义：如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．当a ＝10时叫常用对数．记作x ＝lg_N ，当a ＝e 时叫自然对数，记作x ＝ln_N .(2)对数的常用关系式(a ，b ，c ，d 均大于0且不等于1)： ①log a 1＝0. ②log a a ＝1.③对数恒等式：a log a N ＝N . ④换底公式：log a b ＝log c blog c a.推广log a b ＝1log b a ，log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(3)对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log am M n ＝nmlog a M .2．对数函数的概念(1)把y ＝log a x (a >0，a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)是指数函数y ＝a x 的反函数，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象关于y ＝x 对称．3．对数函数的图象与性质 y ＝log a xa >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数基础题必做1．(教材习题改编)设A ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，0<x <1，则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(0,2)解析：选C ∵A ＝{y |y >0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |12<y <1，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |12<y <1.2．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1,0)D ．(0,1)解析：选C 当x ＝1时y ＝0. 3．函数y ＝lg |x |( )A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：选B y ＝lg |x |是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．4． 函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．解析：由1－2log 6x ≥0，解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．答案：(0， 6 ]5． 已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.解析：由f (ab )＝1得ab ＝10，于是f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2(lg a ＋lg b )＝2lg(ab )＝2lg 10＝2.答案：2解题方法归纳1.在运用性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M n＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数)．2．对数值取正、负值的规律：当a >1且b >1，或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1，或0<a <1且b >1时，log a b <0. 3．对数函数的定义域及单调性：在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．对数式的化简与求值典题导入[例1] 求解下列各题．(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________；(2)若2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.[自主解答] (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. (2)由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10. ∵1a ＋1b＝2， ∴log m 10＝2，即m 2＝10. 解得m ＝10(∵m >0)． [答案] (1)12 (2)10解题方法归纳对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．以题试法1．化简：(1)lg 37＋lg 70－lg 3－lg 23－lg 9＋1；(2)⎝⎛⎭⎪⎫lg 4－lg 60lg 3＋lg 53－45×2－11.解：(1)原式＝lg 37×703－lg 23－2lg 3＋1＝lg 10－(lg 3－1)2＝1－|lg 3－1|＝lg 3. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 4－(lg 4＋lg 15)lg 153－210×2－11＝⎝⎛⎭⎪⎫－lg 15lg 153－2－1＝－32.对数函数的图象及应用典题导入[例2] (1) 函数y ＝ln(1－x )的图象大致为( )(2) 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[自主解答] (1)由1－x >0，知x <1，排除选项A 、B ；设t ＝1－x (x <1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x )为减函数，可排除D 选C.(2)法一：构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，可知，f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1.法二：∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除选项C ，D ；取a ＝12 ，x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1，显然4x <log a x 不成立，排除选项A.[答案] (1)C (2)B若本例(2)变为：若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，实数a 的取值范围为________．解析：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立； 当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，又即log a 2≥1.所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]． 答案：(1,2]解题方法归纳1．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．以题试法2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (1－x )的大致图象是( )解析：选C 由题意可得f (1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x ≥0，log 13(1－x )，x <0，因此当x ≥0时，y ＝f (1－x )为减函数，且y >0；当x <0时，y ＝f (1－x )为增函数，且y <0.对数函数的性质及应用典题导入[例3] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (x )定义域为R ，求a 的取值范围； (2)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(3)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． [自主解答] (1)因为f (x )的定义域为R ， 所以ax 2＋2x ＋3>0对任意x ∈R 恒成立． 显然a ＝0时不合题意，从而必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4－12a <0，解得a >13.即a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，＋∞. (2)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (3)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0， 则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎨⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.解题方法归纳研究复合函数y ＝log a f (x )的单调性(最值)时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数u ＝f (x )及y ＝log a u 的单调性(最值)情况确定函数y ＝log a f (x )的单调性(最值)(其中a >0，且a ≠1)．以题试法3．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)由a x －1>0得a x >1，当a >1时，x >0； 当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2， 故0<ax 1－1<ax 2－1， ∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)． ∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．1．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为( ) A ．(0,8] B ．(2,8] C ．(－2,8]D ．[8，＋∞)解析：选C 由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg 10，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为(－2,8]．2． (log 29)·(log 34)＝( ) A.14B.12 C ．2D ．4解析：选D (log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：选A f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x .4． 已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：选B a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96， y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96， ∴a ＞c ＞b .5． 函数y ＝log 2|x |x的大致图象是( )解析：选C 由于log 2|－x |－x ＝－log 2|x |x ，所以函数y ＝log 2|x |x 是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.6．已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 解析：选C 依题意得f (3)＝log 122＝－1<0，log 122<f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232<log 121，即－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0，又f (0)＝log 121＝0，因此有f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)． 7． 对任意的非零实数a ，b ，若a ⊗b ＝⎩⎨⎧b －1a，a <b ，a ＋1b ，a ≥b ，则lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝________.解析：∵lg 10 000＝lg 104＝4，⎝⎛⎭⎫12－2＝4， ∴lg 10 000⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝4＋14＝54.答案：548．函数y ＝log 12(x 2－6x ＋17)的值域是________．解析：令t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，y ＝log 12t 为减函数，所以有log 12t ≤log 128＝－3.答案：(－∞，－3]9．函数f (x )＝log a x (a >1)在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a 等于________．解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上为增函数． ∴log a 2a －log a a ＝12，解得a ＝4.答案：410．计算下列各式． (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)(lg 3)2－lg 9＋1·(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2.解：(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1·⎝⎛⎭⎫32lg 3＋3lg 2－32(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝(1－lg 3)·32(lg 3＋2lg 2－1)(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝－32.11．说明函数y ＝log 2|x ＋1|的图象，可由函数y ＝log 2x 的图象经过怎样的变换而得到．并由图象指出函数的单调区间．解：作出函数y ＝log 2x 的图象，再作其关于y 轴对称的图形得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的递减区间为(－∞，－1)，递增区间为(－1，＋∞)． 12．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)，且log 2f (x )＜f (1)． 解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b .由已知得(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1，即a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4.∴b ＝4－a 2＋a ＝2.故f (x )＝x 2－x ＋2. 从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2 ＝⎝⎛⎭⎫log 2x －122＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－log 2x ＋2＞2，log 2(x 2－x ＋2)＜2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或0＜x ＜1，－1＜x ＜2⇒0＜x ＜1.1． 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(8－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－3解析：选D 依题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝[f (1)－f (0)]－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3. 2．已知f (x )是周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝lg x ．设a ＝f ⎝⎛⎭⎫65，b ＝f ⎝⎛⎭⎫32，c ＝f ⎝⎛⎭⎫52，则( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b解析：选D 已知f (x )是周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝lg x ，则a ＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 45>0， b ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－lg 12>0， c ＝f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＝lg 12<0. 又因为lg 45>lg 12，所以0<－lg 45<－lg 12.所以c <a <b .3．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)，满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，求实数a 的取值范围．解：因为对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，所以函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a2上单调递减． 令t ＝x 2－ax ＋3，则二次函数t ＝x 2－ax ＋3的对称轴为x ＝a2，其在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上单调递减．由复合函数的单调性，可知y ＝log a x 为单调增函数，故a >1.由对数函数的定义域，可知在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a2上，t >0恒成立，即x 2－ax ＋3>0在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上恒成立．而函数t ＝x 2－ax ＋3在区间⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上的最小值为⎝⎛⎭⎫a 22－a ×a 2＋3＝3－a 24.故3－a24>0，解得|a |<2 3.综上可得a 的取值范围是(1,23)．1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，log 2(－x )，x <0，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是( )。