14-15一阶微分方程及可降阶的高阶微分方程ppt课件

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例 5．求方程 dy 4 y x y 的通解。
dx x
解：把方程 dy 4 y x y 改写为 dy 4 y x y ，
dx x
dx x
令 z y 或 y z2 ，则有 dy 2z dz ， dx dx
代入原方程，得 2z dz 4z2 zx ， dx x
即 dz 2z x ，这是线性方程。 dx x 2
1 ln(1 2
u2 )
ln
x
ln C1 ，
arctan u ln C1 x 1 u2 e ， arctanu C1 x 1 u2 ，
将u
y
代入，得原方程的通解：e
arctan
y x
C
x2 y2 。
x
6
（二）形如 y f (ax by) 的方程
令 u ax by ， y 1 (u ax) ， y 1 (u a) ，
， dy dx
( y )2 x， y 1
x
令 y u ，则 y ux ， dy u x du ，代入原方程得
x
dx
dx
u
x
du dx
u2 u1
，
dx x
u u
1
du ，
dx x
(1
1 )du u
，
ln x u ln u C1 ，ln xu u C1 ， xu eC1 eu ，
b
b
代入原方程得： u a bf (u) ，
即 du a bf (u)，这是可分离变量方程。 dx
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例 3．求方程 y sin(x y) 的通解。
解：令 u x y ，则 y x u ， y 1 u ，
代入原方程得：1 u sin u ，即 du 1 sin u ，
dx
1
du sin
u
dx
，
1
du sin
u
dx
，
而
1
du sin
u
1 sin udu cos2 u
(sec2 u tan usec u)du tan u sec u C1 ，
∴ tan u secu x C 。
将 u x y 代入，得原方程的通解：
tan( x y) sec( x y) x C 。
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（三）形如
y
f
(
a1 a2
x x
b1 b2
y y
c1 c2
)(a1b2
b1a2 ) 的方程
例 4．解微分方程 y x y 5 。 x y1
解分：析令：x这个u 方h程，不y是齐v 次k方，程则，xx它与yy 齐 15次方uu程 h的h差vv别 kk
5 1
，
在一令于种分变hh子换 kk与，分使15母新 多的00 了表常达kh数式项中32，不。为出∴了现消常x 去数u常项数，3 ，项借，用y 通平v过面 2 ，
z
e
2 dx
x[
x
e
2 dx
x dx
C]
x2[1
ln
x
C]，
2
2
把 y z2 代入，得通解： y x4 ( 1 ln x C )2 。
2
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例 6．求下列方程的通解。 （1）( x2 y2 2x 2 y)dx 2( y 1)dy 0 ；
分解析：：令观z察方y2程，2 y发，现则dydz前的2(因y 子 12)d( y ， 1) 恰与 原方程y2改写2 y为有( x导2 数2关x 系 z，)d故x 令dzz0y，2 2 y 。
∵
d(
y1n )
(1
n) yn
dx
dy ，
dx
dx
∴有 1 d ( y1n ) P( x) y1n Q( x) ，
1 n dx
令 z y1n ，得 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x) ， dx
求出通解后，再用 y1n代替 z ，便得伯努利方程的解。
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例 4．求方程 dy y a(ln x) y2 的通解。 dx x
第一节 微分方程 的初等积分法
1.4 可利用变量代换求解的几类一阶微分方程
（一）齐次型微分方程的解法
1、 定义：若当 t 0 时，有 f (tx, ty) f ( x, y) ，则称
方程 dy f ( x, y)为齐次方程。
dx
在等式 f (tx, ty) f ( x, y) 中令 t 1 ，得
将u
y
代入，得原方程的通解：
y
y
Ce x
。
x
（其中 C eC1 为任意常数.）
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例 2．求 y x y 的通解。
x y
解：
y
1 1
y
x y
，令
y x
u
，则
y ux ， dy u x du ，
dx
dx
x
代入原方程得：
u
x
du dx
1 1
u u
，
1u 1 u2
du
dx x
，
arctan u
arctan y2
原方程的通解 e x3 C
( x 3)2 ( y 2)2 。
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（四）伯努利 (Bernoulli) 方程的解法
形如 dy P( x) y Q( x) yn (n 0, 1) dx
的方程
称为伯努利方程，其中 P( x)、Q( x) 为 x 的连续函数。
用 yn 除 方程两端，得到 yn dy P( x) y1n Q( x) ，
x
f ( x, y) f (1, y ) ( y ) ，
x
x
故齐次型微分方程的一般形式为 dy ( y )
dx x
2
在 dy (， dy u x du ，
dx
dx
代入原方程得: u x du (u) ，
dx
即 x du (u) u ，为可分离变量方程。
解： y2 dy 1 y1 a ln x ， dx x
令 z y1 ，则得 dz 1 z a ln x ， dx x
∴
z
e
1 dx
x[
(a
ln
x
)e
1 x
dx
dx
C
]
x[
a
ln xdx x
C]
x[C
a 2
(ln
x)2 ]
，
将 z y1 代入，得原方程的通解： xy[C a (ln x)2 ] 1 。 2
解析d几x 何d中u坐，标d平y 移d的v 思。路可解决这个问题。
原微分方程就可化为齐次方程型 dv u v
1
v u
，
du u v 1 v
u9
原微分方程就可化为齐次方程型
dv
u
v
1
v u
，
du u v 1 v
其解由例
2
可得
arctan
e
v u
C
u2 v2
，
u
将 u x 3 ， v y 2 代入，得原方程的通解：
dx
注意：用变量代换求解时，必须换回原变量。
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例 1．求方程 y2dx ( x2 xy)dy 0 的通解。
y
y Ce x
例 2．求 y x y 的通解。 x y
arctan y
e x C
x2 y2
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例 1．求方程 y2dx ( x2 xy)dy 0 的通解。
解： dy dx
y2 xy x2