平方根 (4)
开方的运算法则公式
开方的运算法则公式开方运算在数学中可是个挺重要的家伙呢！咱们先来说说啥是开方。
开方啊，简单说就是求一个数的平方根或者立方根等等。
比如说，4 的平方根是多少？咱们都知道是±2，因为2 的平方是4，-2 的平方也是 4 嘛。
这就是开方运算的一个小例子。
那开方的运算法则公式都有啥呢？咱们一个一个来看。
先说平方根的运算法则。
对于正数 a，它的平方根记作±√a。
这里要注意啦，如果 a 是正数，那就有两个平方根，一正一负；要是 a 等于 0 呢，那平方根就只有 0 啦；可要是 a 是负数，那就没有实数平方根了哦。
再来说说立方根。
正数 a 的立方根记作³√a。
不管 a 是正数、负数还是 0 ，都只有一个立方根。
比如 8 的立方根是 2，因为 2 的立方是 8；-8 的立方根就是 -2 咯。
开方运算还有一些公式，像√(ab) = √a × √b（a≥0，b≥0）。
这个公式啥意思呢？给您举个例子，比如说要算√12，咱们可以把 12 拆成4×3，那√12 就等于√4×√3，也就是2√3。
还有√(a/b) = √a / √b（a≥0，b＞0）。
比如说√(18/2) ，就等于√18 / √2 ，算出来是 3。
我记得之前教过一个学生，叫小明。
这孩子啊，刚开始学开方的时候，那叫一个迷糊。
给他讲平方根和立方根的区别，他总是搞混。
有一次做作业，题目是求9 的平方根，他居然给我写了个3 就交上来了。
我把他叫到办公室，耐心地给他又讲了一遍：“小明啊，你想想，哪个数的平方是 9 呀？”他眨眨眼睛，想了一会儿说：“3 啊。
”我笑着摇摇头说：“还有 -3 呢，所以 9 的平方根是 ±3 ，记住啦！”从那以后，小明可认真了，每次遇到开方的题目都会多想一想。
在实际应用中，开方运算也特别有用。
比如说，您要计算一个正方形的边长，知道了面积，就得通过开方来求边长。
再比如，建筑工人在计算一些材料的尺寸时，也会用到开方运算。
平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解
平方根、算术平方根、立方根例题解说第一部分：知识点解说1、学前准备【旧知回首】2.平方根（ 1）平方根的定义：一般的，假如一个数的平方等于a ，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。
即若 x2 a ，( a 0) ，则x叫做a的平方根。
即有 x a ，（a 0 ）。
（ 2）平方根的性质：（ 3）注意事项：x a ， a 称为被开方数，这里被开方数必定是一个非负数（a0 ）。
（ 4）求一个数平方根的方法：（5）开平方：求一个数平方根的运算叫做开平方。
它与平方互为逆运算。
3.算术平方根（ 1）算术平方根的定义：若x2 a ， (a 0) ，则x叫做a的平方根。
即有x a ，（ a 0 ）。
此中x a 叫做 a 的算术平方根。
（ 2）算术平方根的性质：（ 3）注意点： 在此后的计算题中，像 22， 5 分别指的是 2 和25 （ - 2） ，此中 5 的算术平方根。
4. 几种重要的运算：①aba ?b a 0, b 0,a ?b ab a 0,b 0② aa0),a a 0,b0)b(a 0,bb(abb③( a ) 2a ( a 0) ,2，2aaa（ - a ） ★★★ 若a b 0 ，则 ( a b ) 2 a ba ba b5. 立方根（1）立方根的定义： 一般地，假如一个数的立方等于a ，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。
即若x 3 a ，则 x 叫做 a 的立方根。
即有 x3a 。
（2）立方根的性质：（ 3）开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算。
6.几个重要公式：3ab 3 3,3 3b3ab③ a ? b a ?a 3 3a a3a (b 0), 3 (b 0) b3 3b bb④ 3 3 3 3 ，3 3( a ) a (a能够为任何数）, a a （- a）-a 第二部分：例题解说题型 1：求一个数的平方根、算术平方根、立方根。
1.求平方根、算术平方根、立方根。
平方根与立方根
2 ○
4 ○
6 ○
50 3 −1 51 73 − 11 1 6 + 5−2 5 + 11
8 − 2 12
8 ○
14 − 8 3
10 ○
5 − 21
33
3-2 立方根
在本單元裡，我們將討論立方根的性質和運算規則。 不同於平方根的被開方數必須是非負的數，立方根的被開方數可以是 任意實數。當實數 a 為某個實數 b 的三次方時，我們就稱 b 為 a 的立方根， 並記作 3 a = b ，其中 3 a 讀作「三次根號 a」 ，並稱 a 為「被開方數」 。例 如：27= 33 及 −8 = (−2)3 ，所以 3 27 = 3 及 3 −8 = −2 。顯然的，被開方數與 它的立方根同號。我們只討論被開方數為有理數的立方根。
(3) (1) (2)
18 2
3 × 12 = 36 = 6
(4)
【解】
1 45 1 45 9 3 × = × = = 5 4 5 4 4 2
(3)
18 18 = = 9 =3 2 2
6 2 6 2 6 15 ÷ = ÷ = × = 9 =3 5 15 5 15 5 2
(4)
【類題練習 1】計算下列根式：
當被開方數為整數且不是一個完全立方數時，如同平方根的情形，我們 可以利用數的標準分解式及立方根的乘法，來化簡根式。例如：化簡 3 720 時，我們先將 720 寫成 2 4 × 32 × 5 = 2 3 × 2 × 32 × 5 ，再利用乘法公式求得
3
720 = 3 23 × 2 × 32 × 5 = 2 3 90 。
【根式分母的有理化】
如同方根，一般來說，我們會把根式化為分母不含根號的形式。現在 以下面的例子做說明。 【範例 5】將下列各式化為分母不含根號的根式： 1 1 (2) (1) 2 +1 3− 2 【解】
(完整版)七年级数学《平方根》典型例题及练习
七年级数学《平方根》典型例题及练习【知识要点】1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），2、算术平方根：3、平方根的性质：（1）一个正数有 个平方根，它们 ；（2）0 平方根，它是 ；（3） 没有平方根．4、重要公式：（1）=2)(a （2）{==a a 25、平方表：1.正数有_____________个立方根, 0有__________个立方根,负数有__________个立方根,立方根也叫做_______________.2.一个正方体的棱长扩大3倍,则它的体积扩大_____________.3.若一个数的立方根等于数的算术平方根,则这个数是_____________.4. 0的立方根是___________.(-1)2005的立方根是______________.182726的立方根是________. 5. 312726-=____________. 【典型例题】例1、判断下列说法正确的个数为（ ）① -5是-25的算术平方根；② 6是()26-的算术平方根；③ 0的算术平方根是0；④ 0.01是0.1的算术平方根；⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根．A ．0 个B ．1个C ．2个D ．3个例2、36的平方根是（ ）A 、6B 、6±C 、 6D 、 6±例3、下列各式中，哪些有意义？（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310-例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A ．()1+aB ．()1+±aC ．12+aD ．12+±a例5、求下列各式中的x ：（1）0252=-x （2）4(x+1)2-169=0【巩固练习】一、选择题1． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．812．下列计算正确的是（ ）A±2 B636=± D.992-=-3．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3 B24． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）A ．4B ．18C ．-14D ．146．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7．以下语句及写成式子正确的是（ ）A 、7是49的算术平方根，即749±=B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=-C 、7±是49的平方根，即749=±D 、7±是49的平方根，即749±=8．下列语句中正确的是（ ）A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、 9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个10．下列语句中正确的是（ ）A 、任意算术平方根是正数B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根11．下列说法正确的是（ ）A ．任何数的平方根都有两个B ．只有正数才有平方根C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数D ．2a 的平方根是a ±12．下列叙述中正确的是（ ）A ．（-11）2的算术平方根是±11B ．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大C ．大于零而小于1的数的平方根比原数大D ．任何一个非负数的平方根都是非负数13．25的平方根是（ ）A 、5B 、5-C 、5±D 、5±14．36的平方根是（ ）A 、6B 、6±C 、 6D 、 6±15．当≥m 0时，m 表示（ ）A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．m 的算术平方根D ．一个正数 16．用数学式子表示“169的平方根是43±”应是（ ）A ．43169±=B ．43169±=±C ．43169=D ．43169-=-17．算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0.如果一个数的平方根与立方根是同一个数,那么这个偶数是( )A. 8B. 4C. 0D. 1618．0196.0的算术平方根是（ ）A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0±19．2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 20．下列各数有平方根的个数是（ ）（1）5； （2）（-4）2； （3）-22； （4）0； （5）-a 2； （6）π； （7）-a 2-1A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 21．2)5(-的平方根是（ ）A 、 5±B 、 5C 、5-D 、5±22．下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根 23．下列命题正确的是（ ）A ．49.0的平方根是0.7B ．0.7是49.0的平方根C ．0.7是49.0的算术平方根D ．0.7是49.0的运算结果24．若数a 在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（ ）A ．aB ．a -C ．2a -D ．3a26．下列各式中，正确的是（ ） A. 2)2(2-=- B. 9)3(2=- C. 39±=± D. 393-=-27．下列各式中正确的是（ ）A ．12)12(2-=-B ．6218=⨯C ．12)12(2±=-D ．12)12(2=-±28.若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为（ ） (A) 1± (B) 4 (C) 3或5 (D) 529.若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）(A) 2- (B) 5± (C) 5 (D) 5-30．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A.a S = B.S 的平方根是a C.a 是S 的算术平方根 D.S a ±=31. 若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ）A.0≥aB.0≤aC.0=aD.0≠a 32.22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、 42)4(+xB 、22)4(+xC 、42+xD 、42+x33．2)5(-的平方根是（ ）A 、 5±B 、 5C 、5-D 、5±34.下列各式中，正确的是（ ） A. 2)2(2-=- B. 9)3(2=- C. 39±=± D. 393-=-35．下列各式中正确的是（ ）A ．12)12(2-=-B ．6218=⨯C ．12)12(2±=-D ．12)12(2=-±36.下列各组数中互为相反数的是（ ）A 、2)2(2--与B 、382--与C 、2)2(2-与D 、22与- 二、填空题：1．如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的 ，所以的平方根是2．非负数a 的平方根表示为3．因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是4_______；9的平方根是_______．5的平方根是 ，25的平方根记作 ，结果是6．非负的平方根叫 平方根7．2)8(-= ， 2)8(= 。
完全平方数和平方根的计算
完全平方数和平方根的计算完全平方数，即一个数的平方等于另一个整数的情况。
例如，4是完全平方数，因为2的平方等于4。
平方根，则是指一个数的平方等于另一个数的非负数根。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。
在日常生活和数学中，计算完全平方数和平方根的值非常常见。
本文将介绍一些常见的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、计算完全平方数的方法1. 直接计算法：通过对给定的数进行平方运算，判断结果是否是另一个整数。
例如，判断16是否是完全平方数，我们可以计算4²=16，所以16是完全平方数。
2. 累加法：这是一种更为高效的判断方法。
我们可以从1开始，每次将该数加上连续的奇数（即1、3、5...），并判断累加的结果是否等于给定的数。
如果等于，则该数是完全平方数；如果超过给定的数，则不是完全平方数。
例如，判断36是否是完全平方数，我们可以进行如下计算：1 + 3 = 4 (不等于36)4 +5 = 9 (不等于36)9 + 7 = 16 (不等于36)16 + 9 = 25 (不等于36)25 + 11 = 36 (等于36)因此，36是完全平方数。
3. 公式法：对于一个数n，如果它是完全平方数，那么它可以表示为一个整数x的平方，即n = x²。
我们可以通过求平方根的方法得到x 的值，从而判断是否是完全平方数。
例如，判断100是否是完全平方数，我们可以计算√100 = 10，因此100是完全平方数。
二、计算平方根的方法1. 试探法：通过尝试不同的数值来逼近给定数的平方根。
例如，为了计算√16，我们可以从1开始尝试，直到找到一个数x，使得x²≈16。
可以发现4²=16，因此√16 = 4。
2. 牛顿迭代法：这是一种更为精确的计算平方根的方法。
首先，我们猜测一个初始的平方根近似值x₀，然后通过不断迭代计算来逼近实际的平方根值。
具体步骤如下：a) 计算 x₁ = (x₀ + n / x₀) / 2b) 重复上述计算直到 xₙ 与 xₙ₋₁的差值足够小（通常小于给定的精度要求）例如，我们要计算√16，可以选择一个初始值x₀=4，然后进行如下迭代计算：x₁ = (4 + 16 / 4) / 2 = 6x₂ = (6 + 16 / 6) / 2 = 4.6667x₃ = (4.6667 + 16 / 4.6667) / 2 ≈ 4.5826...迭代若干次后，当计算结果足够接近实际平方根值时，我们可以得到近似的平方根。
根号口诀表的计算方法
根号口诀表的计算方法
一。
说起根号，那可是数学里的一个重要角色。
要想把根号的计算弄明白，咱得先搞清楚啥是根号。
1.1 根号其实就是一个数学符号，表示求一个数的平方根。
比如说，根号 4 ，那就是问 4 的平方根是多少，答案是 2 。
1.2 这根号的计算啊，有个小窍门，就是记住一些常见数字的平方根。
像 1 、
4 、 9 、 16 、 2
5 这些，它们的平方根分别是 1 、 2 、 3 、 4 、 5 。
二。
那根号的计算具体咋操作呢？
2.1 咱先来说说简单的整数。
要是求根号 9 ，因为 3 的平方是 9 ，所以根号 9 就等于 3 。
2.2 要是遇到小数，比如说根号 0.25 ，这也不难， 0.5 的平方是 0.25 ，那根号 0.25 就是 0.5 。
2.3 还有分数，比如根号 4/9 ，那就等于 2/3 ，因为 2/3 的平方是 4/9 。
三。
接下来，再给您说说复杂点的情况。
3.1 要是一个数不能直接开出来，咱就可以用近似值的方法。
比如说根号 7 ，这就约等于 2.65 。
3.2 还有一种情况，就是多个根号相加或相减。
这时候，得先把能化简的根号化简了，再进行计算。
比如说，根号 8 加上根号 18 ，先把它们化简成 2 根号 2 加上3 根号 2 ，最后结果就是 5 根号 2 。
根号的计算说难不难，说简单也不简单，只要您多练习，多琢磨，肯定能把它拿下！别害怕，大胆去算，数学的世界等着您去征服！。
数学自学指南 实数之平方根、立方根
自学资料一、平方根【知识探索】1．如果一个正数x的平方等于a，即，如果x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根（arithmetic square root）．a的算术平方根记为“”，读作“根号a”，a叫做被开方数．【说明】规定：0的算术平方根是0．2．开平方与平方互为逆运算．【说明】（1）一个正数的平方根的平方等于这个数；（2）一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）．3．正数a的两个平方根可以用“”表示，其中“”表示a的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号a”；“”表示a的负平方根，读作“负根号a”．零的平方根记作“”，．【总结】（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根．【说明】负数没有平方根，或者说负数不能进行开平方运算，这个结论只是在实属范围内正确．【错题精练】例1．若（k是整数），则k=（）第1页共10页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D例2．已知m的平方根是a+3与2a﹣15，求m的值．【答案】解：当a+3与2a﹣15是同一个平方根时，a+3+2a﹣15=0，解得a=4，此时，m=49．例3．已知（2x+y）2+=0，求x﹣2y的平方根．【答案】例4．一个正偶数的算术平方根是a，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（）A. a+2B.C.D.【答案】C例5．求下列式子中的x28x2-63=0．第2页共10页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】±【举一反三】1．下列计算正确的是（）A.B. =﹣2C.D. （﹣2）3×（﹣3）2=72【解答】A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据乘方运算法则计算即可判定．【答案】B2．一个正方形的面积是9平方单位，则这个正方形的边长是（）长度单位A. 3B.C. ±D. ±【答案】A3．下列判断正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则第3页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】B4．的平方根是（）A.B.C.D.【答案】A5．已知边长为a的正方形的面积为8，则下列说法中，错误的是A. a是无理数B. a是方程x2﹣8=0的解C. a是8的算术平方根D. a满足不等式组【答案】D6．9的平方根是__________ ，9的算术平方根是__________【答案】±3|37．求x值：（x﹣1）2=25【答案】x=6，或x=﹣48．已知，则a﹣b的值是__________ ．第4页共10页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】【答案】9．观察数表：根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第8个数是__________ ．【解答】【答案】二、立方根【知识探索】1．任意一个数都有立方根，而且只有一个立方根．（1）正数的立方根是一个正数；（2）零的立方根是零；（3）负数的立方根是一个负数．2．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cube root）或三次方根．即，如果x3＝a，那么x就叫做a的立方根．用“”表示，读作“三次根号a”．中的“a”叫做被开方数，“3”叫做根指数．【错题精练】例1．我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；第5页共10页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训（2）若与互为相反数，求的值．【解答】【答案】见解析例2．一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的表面积。
人教版七年级下册 第六章 实数 第一讲 平方根 讲义(解析版)
实数第一讲 平方根【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．考点一、算术根 知识讲解定义：如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根；，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.补充：1.有意义时，≥0，≥0. 2. 规定0的算术平方根还是0.3.算术平方根等于他自己本身的有0和1. 典型例题例1.下列说法正确的是（ ）A.0的算术平方根是0B.9是3的算术平方根C.±3是9的算术平方根D.-3是9的算术平方根 【答案】A【考点】算术平方根的定义课堂巩固1. 下列说法正确的是 ( )A.因为 5² =25，所以 5 是 25 的算术平方根.B.因为(-5)²=25，所以-5 是 25 的算术平方根.C.因为(±5)²=25，所以 5 和-5 都是 25 的算术平方根.D.以上说法都不对. 【答案】A2. 下列各式正确的是 （ ）3- .3B - 3C ± 3±【答案】B3. 算术平方根等于它本身的数是_______ 【答案】0和1例2.求下列各数的算术平方根 （1）100 （2）0.04 （3）1681（4）()22- （5）0 （6）10 x a 2x a =x a a a a a a【答案】（1）10 （2）0.2 （3）49（4）2 （5）0 （6课堂巩固1. 求下列各数的算术平方根（1）121 （2）169 （3）964 （4）1121 （5）0.01 （6）225⎛⎫- ⎪⎝⎭（7）149【答案】（1）11 （2）13 （3）38 （4）111 （5）0.1 （6）25（7）32. 求下列各式的值 （1； （2； （3；（4【答案】1000 （2（3）0.7 （4）9 【点睛】算术平方根为正数的算术平方根是______的算术平方根的相反数是______ 【答案】2，-3例3.. 【答案】6【解析】解：∵25＜35＜36即5＜＜6 ∵35比较接近36， 6.课堂同步1. ）A. 4 和 5 之间B. 5 和 6 之间C. 6 和 7 之间D. 7 和 8 之间 【答案】C2. .估计与1最接近的整数<35【答案】33.比较下列各数的大小（1 （2） （3）5 （4）12与32【答案】（1 （2） （3） （4）12>32【解析】（4）244>；13>；则12>32例4. 7的a ，7b ，求a +b 的值【答案】a +b=12【解析】273<<，2；7的整数部分是9；即a =9475<-<,7∴74=3=3b .综上，a +b=12 课堂巩固1. a ，小数部分是 b ，求2a b +的值.【答案】20+2. 设4+a ，b ，求a +b 的值. 【答案】13. 已知：m与n互为相反数，c与d互为倒数，a()2m n a+-的值是_____【答案】-1例5（1的取值范围是______________．【答案】≥；【解析】＋1≥0，解得≥.有意义时，≥0，≥0. （2）若，为实数，且|＋1|＝0，则的值是（）A.0B.1C.－1D.－2011【答案】C；【解析】＋1＝0，－1＝0，解得＝－1；＝1．＝－1. （3）已知9y=，求()264xy-的算术平方根.【答案】1课堂巩固1.已知()280x-+=，则xy=【答案】-322. 已知2y x=，则=y xxx1-x x1-a ax y x2013xy⎛⎫⎪⎝⎭x y x y2013xy⎛⎫⎪⎝⎭【答案】163.83b -互为相反数，求()2ab 的值. 【答案】164例6 按要求填空 （1）填表（2）根据你发现的规律填空：;.61.64,=则=x 【答案】【总结】被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位课堂同步 1已知，，则= ．【答案】578.9； 【解析】解：∵，∴=578.9．故答案为：578.9．2. 2.28422.84≈≈.填空：(1≈ ;（20.02284,=则x ≈【答案】（1）0.2284,228.4 （2）0.0005217 【点睛】被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位..考点二、平方根 知识点讲解定义：如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0． 补充：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 平方根的性质典型例题例1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.的平方根是－4D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.＝5，所以本说法正确；B.＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确； C.＝±4，所以本说法错误；250=25= 2.5=0.25=2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥()24-D.因为＝0＝0，所以本说法正确；课堂巩固1.判断下列各题正误，并将错误改正：（1）没有平方根．（ ） （2．（ ） （3）的平方根是．（ ） （4）是的算术平方根．（） 【答案】√ ；×； √；×，【点睛】被开方数都是非负数2、填空：（1）是的负平方根． （2表示 的算术平方根，． （3的算术平方根为 ．（4，则 ，若，则 ． 【答案】(1)16；(2)(3) (4) 9；±3例2 下列各数有平方根的是（ ）()3.1A - .B - 2.1C m - 2.D a【答案】D课堂巩固判断下列各数是否有平方根，若有，求其平方根，若没有，请说明理由 （1）()23- （2）24- （3）625 （4）()21a -+ （5）m【答案】9-4=±21()10-110±25--4254-=3=x =3=x =11;16413例3 求下列各数的平方根 （1）0.81 （2）916 （3）121 （4）164（5）49 （6）0.25 【答案】（1）0.9±；（2）34±；（3）11±；（4）18±；（5）±7；（6）±0.5.【点睛】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．课堂巩固1 求下列各数的平方根 （1）81；（2）0.0009；（3）259；（4）7； (5)100； (6)0； (7)925； (8)169.【答案】（1）9±；（2）0.03±；（3）53±；（4）；（5）10±；（6）0；（7）35±；（8）13±.2．求下列各数的平方根、算术平方根，并用式子表示出来.（1）|225|-； （2）4121； （3； （4.【答案】（1）15=±15=;（2）2,11=±211=.（3）0.2=±0.2=;（4）==.3．求下列各式的值：（1 ； （2 ；（3 （4 【答案】（1）74±；（2）6；（3）-0.5；（4）53例4求下列各式中的x 的值．（1）2(-1)16x =； （2）()31-3-255x =． （3）()318x -= （4）()242289x +=【答案】（1）15=x ，23x =-； （2）2x =-．（3）3x =；（4）1 6.5x =，210.5x =-．【详解】解：（1）2(-1)16x = -14x =± 15=x ，23x =-；（2）()31-3-255x =． ()3-3-125x = -3-5x = 2x =-． （3）()318x -= 12x -= 3x =； （4）()242289x += ()2272.25+=x28.5x +=±1 6.5x =，210.5x =-．课堂巩固求下列各式中x 的值：（1）25(x －1)2＝49 （2） (x ＋2)2－36=0；（3）2(1)7290x --= （4）16x 2＝25（5）（x -3）2＝4 （6）()232x + =16． （7）2272x =； （8）2490x -=.（9）24(2)16x += （10）25x 2﹣36＝0．【答案】（1）125x =或25x =-；（2）14x =，28x =-；（3）x 1=28，x 2=-26．（4）54=±x ；（5）x ＝5或1．（6）x=23或x=﹣2．（7）6x =±;（8）32x =±.（9）x=0或x=-4（10）x ＝±65. 【详解】（1）解：25(x －1)2＝49 即：249(1)25x -= ∴227(1)5x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴715x -=± 解得：125x =或25x =-． （2）解：∵2(2)360x +-=，∴26x +=±，∴14x =，28x =-；（3）由题意可知：x-1=±27，∴x 1=28或x 2=-26 （4）解：因为：16x 2＝25，所以：22516=x ，所以：54=±x ； （5）因为：2(3)4x -=，则32x -=或32x -=-，故x ＝5或1．（6）解：因为()23x 2+=16，开方得3x+2=4或3x+2=﹣4，解得：x=23或x=﹣2． （7）解： 2272x =，系数化为1，得236x =．开平方得6x =±． （8）2490x -=，移项，得249x =．系数化为1，得294x =．开平方，得32x =±． （9）()24216x += (x+2)2=4 x+2=±2 解得x=0或x=-4. （10）整理得，x 2＝3625，∴x ＝±65．故答案为x ＝±65．例5已知2a －1的平方根是±3，3a ＋b －1的平方根是±4，求a ＋2b 的平方根. 【答案】3±【详解】解：∵2a －1的平方根是±3，3a ＋b －1的平方根是±4，∴()()22213931416a ab ⎧-=±=⎪⎨+-=±=⎪⎩解得：52a b =⎧⎨=⎩∴3==±即a ＋2b 的平方根为：3±.1．若5a+1和a ﹣19是数m 的平方根．求a 和m 的值．【答案】a=3，m=256．【详解】解：根据题意得：（5a+1）+（a ﹣19）=0，解得：a=3，则m=（5a+1）2=162=256．2．如果一个正数x 的平方根是a +6和2a ﹣15，（1）求a 的值？（2）求正数x =？【答案】（1）3；（2）81【详解】（1）∵一个正数的平方根有两个，且互为相反数，∴6(215)0a a ++-=，解得3a = ；（2）当3a =时，69a +=，∴2981x == ．3．已知正实数x 的平方根是a 和a ＋b ．（1）当b ＝6时，求a ；（2）若a 2x ＋(a ＋b)2x ＝6，求x 的值．【答案】（1）a=-3；（2）x =【详解】解：（1）∵正实数x 的平方根是a 和a ＋b ，0a a b ∴++=，6b =，260a ∴+=，3a ∴=-；（2）∵正实数x 的平方根是a 和a ＋b ，2()a b x ∴+=，2a x =，22()6a x a b x ++=，226x x ∴+=，23x ∴=，0x ，x ∴=．4．一个正数x 的两个不同的平方根分别是21a -和 2.a -+（1）求a 和x 的值；（2）化简23a a x -+【答案】（1）-1；9 （2）8-+【详解】（1）根据题意知，()()2120a a -+-+=解得1a =-，所以-a+2=3，可得9x =，故答案为：-1；9；（2）把1a =-，9x =代入23a a x ++，()21319=--⨯-+，268=-+=-+8-+一、单选题1．9的算术平方根是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．81 【答案】A2．下列计算正确的是（ ）A 3=±B ．239-=C ．|5|5-=D ．()328-= 【答案】C【详解】解：A 3=，故本项错误；B 、239-=-，故本项错误；C 、|5|5-=，故本项正确；D 、()328-=-，故本项错误；3，则x 等于( )A ．1040.4B ．10.404C ．104.04D ．1.0404 【答案】C4．下列说法不正确的是（ ）A ．—2是4的一个平方根B ．立方根等于它本身的数只有1和0C ．平方根等于它本身的数只有0D ．平方等于它本身的数只有0和1 【答案】B【详解】解：A 、 4的一个平方根有±2，故—2是4的一个平方根，故A 正确；B 、立方根等于它本身的数有±1和0，故B 选项的说法不正确；C 、平方根等于本身的数只有0，故C 正确；D 、平方等于它本身的数只有0和1，故D 正确；5．如果一个实数的算术平方根与它的立方根相等，则这个数是（ ）A ．0B ．正整数C ．0和1D ．1 【答案】C6．下列五个命题：①只有正数才有平方根；②−2是4的平方根；③53的平方根；⑤(−2)2的平方根是−2；其中正确的命题是( )A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②④ 【答案】D【详解】解：①、由于0有平方根，故此选项错误；①、－2是4的一个平方根，此选项正确；①、5①3的平方根，此选项正确； ①（－2）2的平方根是±2，此选项错误．故正确的命题是①①．7．下列说法正确的是（）A ．一个数的算术平方根一定是正数B ．1的立方根是±1C 5=±D ．2是4的平方根 【答案】D【详解】A 、一个数的算术平方根一定是正数，错误，例如0的算术平方根是0；B 、1的立方根是1，错误；C 5=，错误；D 、2是4的平方根，正确； 8．下列各式中，正确的是（ ）A ＝﹣2B 3C 3D ．±3 【答案】D9( ) A ．±12 B ．±14 C ．14 D ．12【答案】A10．若x 使(x ﹣1)2=4成立，则x 的值是( )A ．3B ．﹣1C ．3或﹣1D ．±2【答案】C【解析】∵①x-1①2=4成立，∴x-1=±2①解得：x 1=3①x 2=-1①二、填空题11()230y -=，则x y +=______．【答案】1()230y -=()20,30y =-=∴2,3x y =-=∴231x y +=-+=故答案为1.12 1.732, 5.477≈≈≈______．【答案】0.5477【详解】解：30 5.477≈，0.5477≈≈故答案为：0.5477．13①15.906①__________.【答案】503.6【详解】解故答案为503.6① 14．如果a +3和2a ﹣6是一个数的平方根，这个数为_____．【答案】16或144【详解】解：根据题意得：a +3+2a ﹣6＝0，或a +3＝2a ﹣6，移项、合并同类项得：3a ＝3或﹣a ＝﹣9，解得：a ＝1或a ＝9，则这个数为（1+3）2＝16或（9+3）2＝144， 故答案为：16或144．15．若1- 2a 与3a -4是同一个数的平方根，则a 的值为_____．【答案】3或1 ．【详解】解： 依题意可知：12(34)0a a 或1234a a ， 解得：3a =或1a =．故答案为： 3或1 ．16．已知2x 2+3＝35，则x ＝_____．【答案】±4．【详解】∵22335x +=，∴2232x =，则216x =，解得：x =±4．故答案为：±4．三、解答题17z 是64的方根，求x y z -+的平方根【答案】【详解】+ ，∴x+1=0,2-y=0，解得x=-1，y=2，∵z 是64的方根，∴z=8所以，x y z -+=-1-2+8=5，所以，x y z -+的平方根是18．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：（1）表格中x= ；y= ；（2）从表格中探究a 数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ≈3.16≈；②已知=180，则a= ；（3 2.289≈0.2289=，则b= ．【答案】（1）0.1，10；（2）31.6，32400；（3）0.012.【详解】（1）x=0.1，y=10，故答案为：0.1，10；（2，② 3.24=1.8，∴a=32400，故答案为：31.6，32400；（4 2.289≈，∴b=0.012，故答案为：0.012．19．已知2a －1的平方根是±3，3a ＋b －1的平方根是±4，求a ＋2b 的平方根.【答案】3±【详解】解：∵2a －1的平方根是±3，3a ＋b －1的平方根是±4，∴()()22213931416a ab ⎧-=±=⎪⎨+-=±=⎪⎩ 解得：52a b =⎧⎨=⎩∴3==±即a ＋2b 的平方根为：3±. 20．已知x ﹣2和y ﹣2互为相反数，求x +y 的平方根．【答案】±2【详解】解：∵x ﹣2和y ﹣2互为相反数，∴x ﹣2+y ﹣2＝0，∴x +y ＝4，4的平方根是±2．故x +y 的平方根是±2．21．计算：（1）2|2|(3)-+-（2）()22125x -=【答案】（1）9；（2）3x =或2x =-【详解】（1）2|2|(3)2929-+--=+-=；（2）∵()22125x -=，∴215x -=±，∴215x -=或215x -=-， ∴3x =或2x =-.22．阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 2(1)4x -=∵2(1)4x -=（1） 12x ∴-=（2）3x =（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号） 原因是____________________________________请写出正确的解答过程．【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数 ，解答过程见解析【详解】∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数，∴上述解答过程有错误，步骤（2）出现了错误；故答案为：（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数 ，正确的解答过程如下：∵2(1)4x -=，∴12x -=±，∴x=3或x=-1.。
数的开方知识点
平方根与立方根知识点1、平方根：（1）定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，a叫做被开方数（2）开平方：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方。
（3）平方根的性质：A一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数B零有一个平方根，它是零本身C负数没有平方根（4）平方根的表示：一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“﹣”表示，a的平方根合起来记作“”，其中“”读作“二次根号”，“”读作“二次根号下a”．当根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“”读作“正、负根号a”.（5）算术平方根：注：1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数；3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1.2．平方根说明：平方根有三种表示形式：±a，a，－a，它们的意义分别是：非负数a的平方根，非负数a的算术平方根，非负数a的负平方根。
要特别注意：a≠±a。
3．算术平方根性质：算术平方根a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0.②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。
4.平方根与算术平方根的区别与联系：区别：1定义不同 2个数不同：3表示方法不同：联系：①具有包含关系：②存在条件相同：2、立方根：1.（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，a叫做被开立方数（2）开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开平方。
（3）立方根的性质：A正数有一个正立方根 B负数有一个负立方根 C零的立方根是零3a（4）立方根的表示：数a的立方根我们用符号来表示，读作"三次根号a"，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数，3且不能省略，否则与平方根混淆。
注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；2）立方根等于本身的数有0、1、-1.3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ·（a≥0,b ≥0）。
平方根(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)
专题2.1 平方根（知识讲解）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】【知识点一】算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根”，叫做被开方数.特别说明：0，≥0. 【知识点二】平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为是的算术平方根.【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【知识点四】平方根的性质【知识点五】平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者x a 2x a =x a a a a a a 2x a =x a a a a 0)a ≥a 0||000aa a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥向左移动1位..【典型例题】类型一、求一个数的平方根1．求下列各数的算术平方根． (1)169； (2)481； (3)0.09； (4)(﹣3)2． 【答案】(1)13； (2)29； (3)0.3； (4)3 【分析】根据算术平方根的定义解答 解：(1)∵132＝169，∵169的算术平方根是13， 13； (2)∵（29）2＝481， ∵481的算术平方根是29，29； (3)∵0.32＝0.09，∵0.09的算术平方根是0.3， ＝0.3； (4)∵32＝9＝（﹣3）2，∵（﹣3）2的算术平方根是3， 3．【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 【变式】 求下列各数的算术平方根： (1) 0.64 (2) 4981【答案】(1) 0.8； (2)79【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 解：（1）因为0．82=0.64，所以0.64的算术平方根是0.8． （2）因为2749()981=，250=25= 2.5=0.25=所以4981的算术平方根是7979． 【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键， 正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．类型二、利用算术平方根非负性求解2．已知223y x x =-+--，求(x +y )2022的值 【答案】1【分析】根据二次根式的性质得到2x =，计算出1x y +=-，从而计算出最终的答案．解：∵3y =∵2020x x -≥⎧⎨-≥⎩得22x x ≥⎧⎨≤⎩∵2x =∵33y ==- ∵202220222022()(23)(1)1x y +=-=-= ∵2022()1x y +=．【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．举一反三：【变式】 已知实数a 、b 、c |1|a +=(1) 求证：b c =；(2) 求a b c -++的平方根． 【答案】(1)见分析 (2)3±【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得,,a b c 的值，进而求得a b c -++的平方根．(1)证明：0≥0，0,0b c c b -≥-≥，b c ∴=；(2)解：|1|a +=b c =，10a -=，1,4a b ∴=-=， 4c b ∴==，1449a b c ∴-++=++=，9的平方根是3±．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分3．已知21a-＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是113的整数部分，求a+b+2c 的平方根．【答案】±5【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．解：＝3，∵2a﹣1＝9，解得：a＝5，∵3a﹣b+1的平方根是±4，∵15﹣b+1＝16，解得：b＝0，∵1011，∵c＝10，∵a+b+2c＝5+0+2×10＝25，∵a+b+2c的平方根为±5．【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．举一反三：【变式】已知a b－1是400【答案】6a的值，进而利用算术平方根的定义得出b 的值，即可得出答案．解：∵a∵a＝15，∵b－1是400的算术平方根，∵b－1＝20，解得：b＝21，6．【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a 的值是解题关键．类型四、算术平方根相关规律问题4.先填写表，通过观察后再回答问题：(1)表格中x ＝ ，y ＝ ；(2)从表格中探究a∵ ；∵8.973＝89.73，用含m 的代数式表示b ，则b ＝ ；(3)a 的大小．【答案】(1)0.1，10(2)∵31.6；∵100b m =(3)当0a =a =；当1a =a =；当01a <<a ；当1a >a 【分析】（1）根据算术平方根的性质，即可求解；（2）根据题意可得当a 扩大10010倍，∵≈3.16，即可求解；∵8.973＝89.73，即可求解；（3）分四种情况：当0a =时，当1a =时，当01a <<时，当1a >时，即可求解．(1)解：根据题意得：0.1,10x y ====；(2)解：根据题意得：当a 扩大10010倍，，31.6；8.973＝89.73， ∵100b m =；(3)当0a =0=a =；当1a =1=a =；当01a <<时，根据a a >；当1a >时，根据a a ；综上所述，当0a =a =；当1a =a ；当01a <<a >；当1a >时，a <．【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 举一反三：【变式】 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：221+=； 221+=；221+=；⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）请用含n （n 为正整数）的等式表示上述交化规律：______；（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；（3的长度；（4）若S 表示三角形面积，121OP P S S =△，232OP P S S =△，343OP P S S =△⋅⋅⋅，计算出222212310S S S S +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）221+=；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）554． 【分析】（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得； （2）根据等式和图形即可得；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，可得6OP 出点7P ，连接7OP 即为所求；（4）先分别求出123,,S S S 的值，再归纳总结出一般规律得出n S 的值，从而可得10S 的值，然后代入求和即可．解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为221+=故答案为：221+=；（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；（3）先作5OP 的垂线，再在垂线上截取561P P =，连接6OP ，即可得6OP 作点7P ，连接7OP ，则7OP 即为所求，如图所示：（4）121111122OP P S S==⨯⨯==2321122OP P S S ==⨯343112OP P S S==⨯归纳类推得：1112n n n OP P S S +==⨯当10n =时，101110112OP P S S==⨯=则222222221231010()2S S S S +++⋅⋅⋅+=++++ 123104444=++++123104++++=554=． 【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．类型五、算术平方根的实际应用5.如图，用两个边长为18cm 的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为230cm 请说明理由．【答案】不能，理由见分析【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．解：不能，∵2+2=36（cm 2）， ∵大正方形的边长为6cm ，设截出的长方形的长为2b cm ，宽为b cm ， ∵2b 2=30，∵b∵2b =6=，∵不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm 2的长方形纸片．【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键． 举一反三：【变式】 小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为1S 、2S ）．(1)如图1，121,1S S ==，拼成的大正方形1111D C B A 边长为___________； 如图2，121,4S S ==，拼成的大正方形2222A B C D 边长为___________； 如图3，121,16S S ==，拼成的大正方形3323A B C D 边长为___________．(2)若将（1）中的图3沿正方形3333A B C D 边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∵3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；【答案】(2)不能用正方形3333A B C D 纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析 【分析】（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．(1)解：如图1，当S 1=1，S 2=1，拼成的大正方形A 1B 1C 1D 1的面积为1+1=2，因此其边如图2，当S 1=1，S 2=4，拼成的大正方形A 2B 2C 2D 2的面积为1+4=5如图3，当S 1=1，S 2=16，拼成的大正方形A 3B 3C 3D 3的面积为1+16=17，(2)解：不能，理由如下：设长方形的长为4x ，宽为3x ，则有4x •3x =14.52， 所以x 2=1.21， 即x =1.1（x ＞0），因此长方形的长为4x =4.4，宽为3x =3.3， 因为（4.4）2=19.36＞17，所以不能用正方形A 3B 3C 3D 3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形． 【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．类型六、平方根概念的理解6.已知10﹣3a 的平方根是±1，a ﹣b +2的算术平方根是2，求3a +b 的值． 【答案】10【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a 与b 的值，然后代入3a +b 即可． 解：∵10﹣3a 的平方根是±1，∵()21031a -=±， 解得，a ＝3，∵a ﹣b +2的算术平方根是 2， ∵222a b -+=， 解得，b ＝1，∵333110a b +=⨯+=．【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 举一反三：【变式】 已知一个正数的两个不相等的平方根是6a +与29a -． （1）求a 的值及这个正数；（2）求关于x 的方程()2280ax --=的解． 【答案】（1）a =1，这个正数是49；（2）8x =± 【分析】（1）由正数的两个平方根互为相反数得到6a ++29a -=0，求解即可得到答案；（2）将a =1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可． 解：（1）由题意得6a ++29a -=0，解得a =1，∵这个正数是2(6)49a +=；（2）将a =1代入方程()2280ax --=，得2x -64=0， 解得8x =±．【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．类型七、求一个数的平方根7.先用平方根符号表示下列各数，再求值： (1)9(2)1625【答案】(1)记为3±(2)±记为45± 【分析】（1）根据平方根的概念与性质，计算即可； （2）根据平方根的概念与性质，计算即可．(1)解：原式=3=±(2)解：原式45=±【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a 的正的平方根，用符号表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a 的负平方根用“表示，根指数是2时，通常略去不写．如“根号a ”，“正、负根号a ”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．举一反三：【变式】 求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)4964；(4)1.21．【答案】(1)±10(2)±8(3)78±(4)±1.1【分析】（1）根据2100±=（10）计算即可． （2）根据264±=（8）计算即可．（3）根据2749864±=（）计算即可． （4）根据2 1.21±=（ 1.1）计算即可．解：(1)∵2100±=（10），∵100的平方根是±10．(2)∵264±=（8），∵64的平方根是±8． (3)∵2749864±=（） ∵4964的平方根是78±． (4)∵2 1.21±=（ 1.1），∵1．21的平方根是±1．1．【点拨】本题考查了平方根即如果2x a =（a 是非负数），则称x 是a 的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．类型八、求代数式的平方根8.若2x +的算术平方根是3，求34+x 的平方根．【答案】5±【分析】根据2x +的算术平方根是3，求出x 的值后，代入34+x 中，再求34+x 的平方根．解：∵2x +的算术平方根是3，∵29x +=，∵7x =，∵3425x +=，∵34+x 的平方根为5±．【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．举一反三：【变式】k 是64的平方根，求m -n+k 的平方根．【答案】【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n -0，解得m=-1，n=2；由k 是64的方根，得出k=±8，再代入m 、n 、k 的值求得m -n+k 的值，求其平方根即可．解：0，又，∵m+1=0，2-n-0，∵m=-1，n=2，∵k是64的平方根，∵k=±8；当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；综合上述可得：m-n+k的平方根为【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．类型九、已知一个数的平方根，求这个数9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？【答案】25【分析】直接利用平方根的性质求解．解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，∵a＝﹣1，∵3a﹣2＝﹣5，∵x＝25．【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．【答案】a和x的值分别为﹣1，25【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，∵4a﹣1+（4﹣a）＝0，解得a＝﹣1，∵x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．答：a和x的值分别为﹣1，25．【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．类型十、利用平方根解方程10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．解方程：（x－1）2＝4解：∵（x－1）2＝4（1）∵x－1＝2（2）∵x＝3（3）上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.请写出正确的解答过程.【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．解：上述过程中有错误，错在步骤（2），原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，正确的解答过程为：解：∵（x－1）2＝4∵x－1＝±2∵x＝3或x＝－1故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．举一反三：【变式】求下列式子中的x：(1)25(x﹣35)2＝49；(2)12(x+1)2＝32．【答案】(1)x1＝2，x2＝45(2)x1＝7，x2＝﹣9【分析】（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．(1)解：25（x﹣35）2＝49，（x﹣35）2＝4925，x﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75， 解得：x 1＝2，x 2＝45-； (2)12（x +1）2＝32，（x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64，x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键． 类型十一、平方根的应用11.如图∵所示是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图∵的方式拼成一个正方形．(1)图∵中阴影部分的正方形的边长等于______________(2)请用两种不同的方法列代数式表示图∵中阴影部分的面积：方法一：________________________________________________方法二：________________________________________________(3)根据（2）直接写出22(),(),m n m n mn -+这三个代数式之间的等量关系．(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：对于任意的有理数x 和y ，若9,18x y xy +==，求x y -的值．【答案】(1)m n -(2)2()m n -，2()4m n mn +-(3)22()()4m n m n mn -=+-(4)3±【分析】（1）利用小长方形的长减去宽即可得；（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；（4）先利用（3）中的等式求出2()x y -的值，再根据平方根的性质即可得．(1)解：由题意得：小长方形的长为m ，宽为n ，则图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，故答案为：m n -．(2)解：方法一：图∵中阴影部分的正方形的边长等于为m n -，则其面积为2()m n -；方法二：图∵中大正方形的边长为m n +，四个小长方形的长均为m ，宽均为n ，则图∵中阴影部分的面积为2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-．(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，所以22()()4m n m n mn -=+-．(4)解：9,18x y xy +==，222()()494189x y x y xy ∴-=+-=-⨯=，3x y ∴-=±．【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图∵中阴影面积的两种求解方法是解题关键．举一反三：【变式】 已知|2020|a a -=，求22020a -的值．【答案】2022【分析】根据算术平方根的非负性确定a 的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．解：∵20220a -≥，∵2022a ≥．∵20200a -<，∵原式化简为2020a a -+=，2020=，∵220222020a -=，故220202022a -=．【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定a 的范围化简绝对值是解题的关键．。
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有，0的平方根是0 有，49的平方根是±7 没有，因为负数没有平方根
3. 3 有没有平方根 ？ 若有 ，怎样表示？
一个数的平方根的表示方法：
m的平方根 表示为：
正的平方根表示为：
2
m
负的平方根表示为：
2
m
简写为± m
2 m
如：49 的平方根是 ± 49
即： ± 49 =±7
3的平方根是：
1 2 2
1 4
144的平方根是12和-12
1
1
的平方根是
和
1
4
22
请认清：
2
x
=
a
如果一个数的平方等于a,那么这个数 叫做a的平方根
试一试
1） 100的平方根是什么？
2） 169的平方根是什么？
3）
4 的平方根是什么？
25
4） 0的平方根是什么？
5）-4有没有平方根？为什么？
D、4或－4
A、0.5 B、0.05
C、－0.5 D、0.5或－0.5
4、数（－6）2的平方根是（ C ）
A、－6 B、6
C、6或－6 D、无平方根
我能行
2.下列各数有没有平方根，如果有平方根，试求出它的
Байду номын сангаас
平方根；
（1）81
有，81的平方根是±9
（2）－81 没有，因为负数没有平方根
（3）0
（4） (7)2
回顾 & 思考☞
1、我们已经学习过哪些运算？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方 五种运算。
加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
§11.1.1 平 方 根
填空 32 9
32 9
9的平方根是3和-3
122 144
(12 )2 144
1 2 1 2 4
解：
x2 36 x 36 x 6
练习、求下列各式的x
(3)64 x2 9
解： x2 9 64
x 9 64
x3 8
(4)( x 1)2 81
解：
x 1 81 x 1 9
当x-1=9时，x=10 当x-1=-9时，x=-8
练习、求下列各式的x
（3）若15是m的一个平方根，则m的另一个平方
根是________. （4）9平方根是________，361的平方根是 ________.
（5）25(x 5)2 196
2
课后思考
已知y 2x 1 1 2x 1 ,求 1 1 的值. 2 xy
再 见!
（4）1 的平方根是 1 ；
（× ）
（5）7的平方根是±49.
(× )
（6）若X2 = 16 则X = 4
（× ）
寻寻觅觅
1、在0、－9、2、（－2）2 中，有平方根的是（ C）
A、1个 B、2个
C、3个
D、4个
2、数16的平方根是（ D ）
A、4
B、 16
C、 －4
3、数0.25的平方根是（ D）
正数的平方根有几个？0的平方根是多少？负 数有平方根吗？
一个数的平方根的性质：
得出：1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 2.零有一个平方根，它是零本身； 3.负数没有平方根。
火眼金睛
1.判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3;
(× )
（2）49的平方根是7 ；
(× )
（3）（－2）2的平方根是±2 ； （ √ ）
±3
请熟悉：
根指数
简写为：
m
根号
2m
被开方数 （m≥0)
读作： 二次根号m
读作： 根号m
点拨
例题：求121的平方根。 我们可以这样考虑： 解：
(11)2 121 121的平方根是11
121 11
练习：求下列各数的平方根。
①81
②225
③0.36
④4900
⑤ 25 64
⑦ 361 289
(5)( x 1)2 1 0
(6)25(x 1)2 196
归纳提升：
这节课我们学到了哪些知识？
（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数 叫做a的平方根；
（2）正数a的平方根有两个，它们互为相反 数，零的平方根是零，负数没有平方根；
自测
（1）如果－5是某数的平方根，那么这个数是 ________ （2）36的平方根记作________值是________
⑥0 ⑧28 4
9
例题、求下列各式的x
(1)x2 25
解：x2 25 x 25 x 5
(2)x2 81 0
x2 81 0 x2 81 x 81 x 9
练习、求下列各式的x
(1)x2 100 (2)x2 6 30
解：
x 100 x 10