第二章 分析化学中的误差与数据处理
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分析化学误差和分析数据处理2
重现性：由不同实验室的不同分析工作者 和仪器，共同对同一样品的某物理量进行 反复测量，所得结果接近的程度。
15
（三）准确度与精密度的关系
1. 准确度高，要求精密度一定高，精密度高 是准确度高的前提，但精密度好，准确度不一 定高。 2. 准确度反映了测量结果的正确性，精密度 反映了测量结果的重现性。
12
例： 两人分析同一试样中Cu的含量，其结果ω如下： 甲 0.3610 0.3612 0.3608 乙 0.3641 0.3642 0.3643 已知其含Cu的量的真实值为0.3606，试问何人结果的准 确度高？ 解：
x RE % 100% 100%
甲： X ＝0.3610
16
四、提高分析准确度的方法
1．选择恰当的分析方法 例：测全Fe含量 K2Cr2O7法 40.20% ±0.2%×40.20% 比色法 40.20% ±2.0%×40.20% （常量组分的分析，常采用化学分析，而微量和痕量分 析常采用灵敏度较高的仪器分析方法） 2．减小测量误差 1）称量 例：天平一次的称量误差为 0.0001g，两次的称量误差为 0.0002g，RE%≤ 0.1%，计算最少称样量？
n x
100%
10
滴定分析中时， R d 一般要求<0.2﹪
3. 标准偏差(standard deviation)与相对标准偏差 （1）.标准偏差S
S
( xi x)
i 1
n
2
n 1
n
di
i 1
n
2
n-1=f
自由度
n 1
当n→∞，标准偏差用б表示
( xi ) 2 μ 为无限多次测定的平均值(总体平均值) 若无系统误差存在，µ 就是真实值 i 1 n
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（三）准确度与精密度的关系
1. 准确度高，要求精密度一定高，精密度高 是准确度高的前提，但精密度好，准确度不一 定高。 2. 准确度反映了测量结果的正确性，精密度 反映了测量结果的重现性。
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例： 两人分析同一试样中Cu的含量，其结果ω如下： 甲 0.3610 0.3612 0.3608 乙 0.3641 0.3642 0.3643 已知其含Cu的量的真实值为0.3606，试问何人结果的准 确度高？ 解：
x RE % 100% 100%
甲： X ＝0.3610
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四、提高分析准确度的方法
1．选择恰当的分析方法 例：测全Fe含量 K2Cr2O7法 40.20% ±0.2%×40.20% 比色法 40.20% ±2.0%×40.20% （常量组分的分析，常采用化学分析，而微量和痕量分 析常采用灵敏度较高的仪器分析方法） 2．减小测量误差 1）称量 例：天平一次的称量误差为 0.0001g，两次的称量误差为 0.0002g，RE%≤ 0.1%，计算最少称样量？
n x
100%
10
滴定分析中时， R d 一般要求<0.2﹪
3. 标准偏差(standard deviation)与相对标准偏差 （1）.标准偏差S
S
( xi x)
i 1
n
2
n 1
n
di
i 1
n
2
n-1=f
自由度
n 1
当n→∞，标准偏差用б表示
( xi ) 2 μ 为无限多次测定的平均值(总体平均值) 若无系统误差存在，µ 就是真实值 i 1 n
分析化学中的误差及数据处理
0 0
0.0001 0.2176
100
0 0
＝
0.05
0 0
(二)、精密度(precision)
精密度：几次平行测定结果之间的符合程度，用偏差衡量。 偏差：测定值与平均值的差值，用d 表示。
例如：在相同条件下，对某一量重复测定5次，结果如 偏下差：（1（绝相）2对对0）.1偏偏00差差.，100，.200.，d0dr80，x.2xdx05i .，x0119x00，0.x1%205n.，120，.0dd08rx.n1，1，精1n精i密n密1 x度i度
E xT
100%
E ，准确度 Er ，准确度
例：用分析天平称量两物体的质量分别为2.1750g 、0.2175g, 若两者的真实质量各为2.1751g , 0.2176g， 则它们的E 和 Er？
解： 两者绝对误差都是 -0.0001g 相对误差：
0.0001 2.1751
100
0 0
＝
0 .005
图 2-1 不同分析人员的分析结果
结论：
1. 精密度高是准确度高的前提； 2. 精密度高不一定准确度高；
系统误差！
精密度和准确度都高 — 结果可靠
例4 下面论述中正确的是（ ）B
A. 精密度高，准确度一定高 B. 准确度高，一定要求精密度高 C. 精密度高，系统误差一定小 D. 分析中，首先要求准确度，其次才是精密度
R2 A2 B2 C 2
四、提高分析结果准确度的方法
(一) 、选择合适的分析方法（灵敏度与准确度）
化学分析法：准确度较高，但灵敏度较低，适用 于常量组分的测定； 仪器分析方法：灵敏度较高，但准确度较低，适 用于微量组分的测定。
例如：测定某一铁含量为40.00%的标准试样，
第二章 误差与分析数据的统计处理
《分析化学》第二章
随机误差
1. 随机误差 由于某些难以控制和无法避免的原因所造成的
误差。如温度、湿度、电流强度等的偶然波动，给试验结果 带来的影响。
2. 随机误差的特点
①分布对称可抵偿：绝对值相同的正负误差出现机会相等， 它们的总代数和等于0； ②单峰且有界：小误差出现的机会大，大误差出现的机会小， 极大误差出现的机会趋于零。
《分析化学》第二章
分 析 化 学
Analytical Chemistry
西北大学化学与材料科学学院
《分析化学》第二章
第二章 误差与分析数据的统计处理
《分析化学》第二章
2-1 定量分析中的误差 2-2 分析结果的数据处理
内容
2-3 误差的传递 2-4 有效数字及其运算规则 2-5 标准曲线的回归分析
吸光度A
0 0.032
0.02 0.135
0.04 0.187
0.06 0.268
0.08 0.359
0.10 0.435
试列出标准曲线的回归方程并计算未知试样中Mn的含量。
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.05 0.1 0.15 y = 3.9543x + 0.0383 R 2 = 0.9953
《分析化学》第二章
第二章
小
结
2.1 误差的基本概念: 准确度与精密度、误差与 偏差、系统误 差与随机误差;
2.2 有限数据的统计处理:
异常值的检验（Q检验法，G检验法）；
2.4 有效数字：定义、修约规则、运算规则 。 2.5 标准曲线的回归分析
《分析化学》第二章
本章作业
P27---P28
习题2、6、10、11
G计算 x x1 s
分析化学中的误差与数据处理
系统误差可以用对照试验、空白试验、校准仪器等办 法加以校正。
⒉随机误差
随机误差又称不可测误差或偶然误差。它是由测量 过程中某些偶然因素造成的。如测定时环境的温度、湿 度和气压的微小波动，仪器性能的微小变化，分析人员 操作技术的微小差异等。其影响有时大、有时小；有时 为正，有时为负。偶然误差难以察觉，也难以控制。但 是，在消除了系统误差后，在同样条件下进行多次测定， 则可发现偶然误差的分布完全服从一般的统计规律。
测定结果（ x ）与真实
误差
值（ xT ）之间的差值称为 误差（ E ），即
E ＝x－xT
通常用误差表示分析结果的准确度。误差表示方法有 绝对误差和相对误差。 绝对误差表示测定值与真实值之差，即 绝对误差（Ea）＝测得值（x）－真实值（xT） 相对误差（ Er或RE）表示误差在测定结果中所占的 百分率。即：
值得注意的是：平均偏 差不计正负号，而个别测定 值的偏差要记正负号。
总体标准偏差
当测定次数为无限多次时，各测量值对总体平均值μ 的偏 离，用总体标准偏差σ表示。
样本标准偏差
当测量值不多，总体平均值又不知道时，用样本的标准 偏差S 来衡量该组数据的分散程度。样本标准偏差的数学表 达式为：
当测量次数非常多时
准确度和精密度的关系
系统误差是定量分析中误差的主要来源，它影响分析结 果的准确度；偶然误差影响分析结果的精密度。获得良好的 精密度并不能说明准确度就高（只有在消除了系统误差之后， 精密度好，准确度才高）。准确度高一定需要精密度好，但 精密度好不一定准确度高。
图2· 1
例如甲、乙、丙、 丁三人同时测定一铁矿 石中的 Fe 2 O 3 的含量。 各分析四次：
相对标准偏差
单次测量结果的 相对标准偏差（又称 变异系数）为：
第2章 分析化学中的误差及数据处理
第2章 误差及分析数据 的统计处理
本章所要解决的问题：
对分析结果进行评价，判断误 差产生的原因，尽量采取措施减少 误差。
2013-6-28 1
2.1 定量分析中的误差
• • •
•
误差客观存在 定量分析数据的归纳和取舍（有效数字） 计算误差，评估和表达结果的可靠性和精密 度 了解原因和规律，减小误差，测量结果→真 值(true value)
19
1. 系统误差(systematic error)
由一些固定的原因所产生，其大小、正 负有重现性，也叫可测误差。 1.方法误差 分析方法本身所造成的 误差。 2.仪器和试剂误差 3.操作误差 4.主观误差
2013-6-28
20
系统误差的性质可归纳为如下三点：
1）重现性 2）单向性 3）数值基本恒定 系统误差可以校正。
2013-6-28 15
7、重复性
r 2 2Sr
R 2 2SR
8、再现性
SR
2013-6-28
j 1 i 1
m
n
( xij x j )
m( n 1)
16
2.1.3 准确度和精密度的关系
准确度(accutacy)：测量值与真实值相接 近的程度。用误差来评估。 精密度(precision)：各个测量值之间相 互接近的程度。用偏差来评估。 实际工作中并不知道真实值，又不刻意区 分误差和偏差,习惯把偏差称做误差。但 实际含义是不同的。 系统误差是分析误差的主要来源，影响结 果的准确度 偶然误差影响结果的精密度
4. 校正方法 (correction result ) 用其它方法校正某些 分析方法的系统误差。
本章所要解决的问题：
对分析结果进行评价，判断误 差产生的原因，尽量采取措施减少 误差。
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2.1 定量分析中的误差
• • •
•
误差客观存在 定量分析数据的归纳和取舍（有效数字） 计算误差，评估和表达结果的可靠性和精密 度 了解原因和规律，减小误差，测量结果→真 值(true value)
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1. 系统误差(systematic error)
由一些固定的原因所产生，其大小、正 负有重现性，也叫可测误差。 1.方法误差 分析方法本身所造成的 误差。 2.仪器和试剂误差 3.操作误差 4.主观误差
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系统误差的性质可归纳为如下三点：
1）重现性 2）单向性 3）数值基本恒定 系统误差可以校正。
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7、重复性
r 2 2Sr
R 2 2SR
8、再现性
SR
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j 1 i 1
m
n
( xij x j )
m( n 1)
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2.1.3 准确度和精密度的关系
准确度(accutacy)：测量值与真实值相接 近的程度。用误差来评估。 精密度(precision)：各个测量值之间相 互接近的程度。用偏差来评估。 实际工作中并不知道真实值，又不刻意区 分误差和偏差,习惯把偏差称做误差。但 实际含义是不同的。 系统误差是分析误差的主要来源，影响结 果的准确度 偶然误差影响结果的精密度
4. 校正方法 (correction result ) 用其它方法校正某些 分析方法的系统误差。
分析化学2第二章 分析化学中的误差和数据处理
测量方法的误差，测量环境引发的误差，人 为的误差，计算的误差，统计误差等等。
误差的客观性： 误差是客观的，是不以人的意志而改变的。
根据误差的性质与产生的原因，可将误差 分为系统误差、偶然误差两类。
三、系统误差和随机误差
1.系统误差
也叫可测误差，它是由于分析过程中某 些经常发生的、比较固定的原因所造成的。 系统误差的性质是:
一、 有效数字
4.与实验有关的注意点
（2）称量仪器 分析天平即万分之一天平（称至0.1mg）： 12.8212g, 0.2338g,1.4562g,0.0561g 千分之一天平(称至0.001g)： 0.234g,1.356g,10.324g 百分之一天平(称至0.01g)： 1.26g,0.23g,14.26g 台秤(称至0.1g)：4.0g,0.5g,16.8g
X>XT，误差为正值，表示测定结果偏高； X<XT，误差为负值，表示测定结果偏低。
E越小，表示测定结果与真实值越接近， 准确度越高；反之，E越大，准确度越低。
可见，误差的大小是衡量准确度高低的尺度。
二、准确度和精密度
2. 精密度
在实际工作中，真实值通常是不知道的，因此
无法求出分析结果的准确度，所以不得不用另一种
使用相对平均偏差表示分析结果的好坏比较简 单，但这个方法有不足之处，因为在一系列的测 定中，小偏差的测定总是占多数，而大偏差的测 定总是占少数，按总的测定次数求相对平均偏差 所得的值偏小，大偏差得不到充分的反映。所以 相对平均偏差在数理统计上一般不采用。
近年来，在分析化学的教学中，越来越广泛地 采用数理统计方法来处理各种测定数据。
方式来判断分析结果的好坏。这种方法是：在相同
的条件下重复测定多次，然后计算n次测定结果的
误差的客观性： 误差是客观的，是不以人的意志而改变的。
根据误差的性质与产生的原因，可将误差 分为系统误差、偶然误差两类。
三、系统误差和随机误差
1.系统误差
也叫可测误差，它是由于分析过程中某 些经常发生的、比较固定的原因所造成的。 系统误差的性质是:
一、 有效数字
4.与实验有关的注意点
（2）称量仪器 分析天平即万分之一天平（称至0.1mg）： 12.8212g, 0.2338g,1.4562g,0.0561g 千分之一天平(称至0.001g)： 0.234g,1.356g,10.324g 百分之一天平(称至0.01g)： 1.26g,0.23g,14.26g 台秤(称至0.1g)：4.0g,0.5g,16.8g
X>XT，误差为正值，表示测定结果偏高； X<XT，误差为负值，表示测定结果偏低。
E越小，表示测定结果与真实值越接近， 准确度越高；反之，E越大，准确度越低。
可见，误差的大小是衡量准确度高低的尺度。
二、准确度和精密度
2. 精密度
在实际工作中，真实值通常是不知道的，因此
无法求出分析结果的准确度，所以不得不用另一种
使用相对平均偏差表示分析结果的好坏比较简 单，但这个方法有不足之处，因为在一系列的测 定中，小偏差的测定总是占多数，而大偏差的测 定总是占少数，按总的测定次数求相对平均偏差 所得的值偏小，大偏差得不到充分的反映。所以 相对平均偏差在数理统计上一般不采用。
近年来，在分析化学的教学中，越来越广泛地 采用数理统计方法来处理各种测定数据。
方式来判断分析结果的好坏。这种方法是：在相同
的条件下重复测定多次，然后计算n次测定结果的
第二章 误差与数据处理
第二章误差与数据处理基本术语分析化学中的误差是客观存在的。
例如，设有一铁的标准样品，其含铁的标准值为T。
对这一铁标准样品进行分析，即使采用最可靠的方法，使用最精密的仪器，由最有经验的分析工作者进行测定，所得的结果也不可能与T完全一致；由同一有经验的分析人员对同一样品进行多次分析，所得的结果也不可能完全一致。
1、准确度准确度表征测定结果与真实值的符合程度。
准确度的高低用误差来衡量。
测量值与真实值之间差别越小，则分析结果的准确度越高。
2、精密度精密度表征几次平行测量值相互符合程度。
精密度的高低用偏差来衡量。
平行测定所得数据间差别越小，则分析结果的精密度越高。
3、精密度与准确度的关系例：A、B、C、D四个分析人员对同一铁标样（w Fe=37.40%）中的铁含量进行测量，结果如图示，比较其准确度和精密度?精密度与准确度的关系可表示为：1.精密度是保证准确度的前提；2.精密度高，不一定准确度高。
4、系统误差系统误差是由某种固定的原因造成的误差。
具有重现性，系统误差的正负、大小都有一定的规律性。
在理论上讲是可以测定的，又称可测误差。
系统误差存在与否决定分析结果的准确度。
1.方法误差，由分析方法自身不足所造成的误差。
如，重量分析法中，沉淀的溶解度大，沉淀不完全引起的分析结果偏低；滴定分析中，指示剂选择不适合，滴定终点与化学计量点不符合引起的误差。
2.仪器误差，由测量仪器自身的不足所引起的误差。
如，容量仪器体积不准确；分光光度计的波长不准确。
3.试剂误差，由于试剂不纯引起的误差。
如，试剂和蒸馏水含有待测组分，使测定结果系统偏高。
4.操作误差由分析人员的主观原因造成的误差。
如分析人员掌握的分析操作与正确的分析操作有差别；分析人员对颜色敏感度的不同等。
5、随机误差(亦称偶然误差)随机误差是由某些不确定的偶然的因素引起的误差。
例如，测量时环境温度、湿度和气压的微小波动；仪器电源的微小波动;分析人员对各份试样处理的微小差别等。
分析化学第二章误差与分析数据处理
选择合适的分析方法
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
根据待测组分的性质和含量选择合适的分析 方法。
空白实验
通过扣除空白值来减小误差。
标准化样品分析
使用标准样品对实验过程进行质量控制。
回收率实验
通过添加已知量的标准物质来评估分析方法 的准确性。
04
有效数字及其运算规则
有效数字的定义与表示
01
有效数字是指测量或计算中能够反映被测量大小的部分数字 ，其位数与被测量的精密度有关。
数据统计
计算平均值、中位数、众数等统计量，以反映数据的集 中趋势和离散程度。
实验结果的评价与表达
误差分析
计算误差、偏差、相对误差 等，评估实验结果的可靠性
。
1
精密度与偏差
通过多次重复实验，评估实 验结果的精密度和偏差。
置信区间
根据实验数据，计算结果的 置信区间，反映结果的可靠 性。
结果表达
选择合适的单位和量纲，将 实验结果以表格、图表等形 式表达，便于分析和比较。
02
表示有效数字时，需保留一位不确定位，采用指数或修约的 形式表示。
03
有效数字的表示方法：科学记数法（a x 10^n）或一般表示法。
有效数字的运算规则
加减法
以小数点后位数最少的数字为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
乘方和开方
运算结果的有效数字位数与原数相同。
乘除法
以有效数字位数最少的数为标准，对 其他数字进行修约，然后再进行运算。
THANKS
准确度检验
通过标准物质或标准方法对比，检验分析结 果的准确性。
线性检验
验证测量系统是否符合线性关系，确保数据 在一定范围内准确可靠。
范围检验
评估分析方法在一定浓度或含量范围内的适 用性。
第二章_误差及数据分析的统计处理--分析化学-检验
一、误差的种类、性质、产生的原因及减免
系统误差也叫可测误差，它是定量分析误差的主要 来源，对测定结果的准确度有较大影响。
(1) 特点
a.对分析结果的影响比较恒定； b. 在 同 一 条 件 下 ， 重 复 测 定 ， 重复出现； c.影响准确度，不影响精密度；
d.可以减小或消除。
产生的原因?
产生的原因
b.滴定管读数
0.4 0.3 0.2 0.1
u xm
y: 概率密度 x: 测量值 μ: 总体平均值 x-μ: 随机误差 σ : 总体标准差
0 -4 -3 -2 -1 0
s
1
2
3
4
-3s -2s -s m-3s m-2s m-s
m
68.3% 95.5% 99.7%
0
s 2s 3s m+s m+2s m+3s
x-m x
u
图3-1标准正态分布曲线
随机误差分布服从正态分布—无限多次测定
特点:
1. 极大值在 x = μ 处. 2. 拐点在 x = μ ± σ 处. 3. 于x = μ 对称. 4. x 轴为渐近线.
随机误差分布的性质： 1.对称性 2.单峰性 3.有界性 4.抵偿性
表1.
称为置信区间：真 实值在指定概率下 出现的区间 随机误差的区间概率
第二章：误差及数据分析的统 计处理
主要内容
3.1 定性分析误差 3.2 有效数字及其应用 3.3 分析数据处理与分析结果的表示方法
在任何测量中误差都是客观存在的
§ 3-1 定量分析中的误差
1.误差及其产生的原因
分析结果与真实值之间的差值称为误差。分析结果 大于真实值，误差为正；分析结果小于真实值，误差为 负。 根据误差的性质与产生的原因，可将误差分为系 统误差和偶然误差两类。
分析化学-第2章 误差.
1 1 d di xi x n n 1 (0.11 0.14 0.04 0.16 0.09)% 0.11% 5
10
续解
2 d i 2 （ x x ) i
s
n 1
n 1
(0.11) 2 (0.14) 2 (0.04) 2 (0.16) 2 (0.09) 2 5 1 0.13%
相对平均偏差：平均偏差与测量平均值的比值
d 相对平均偏差% 100% x
x x
i 1 i
n
nx
100%
7
标准偏差(standard deviation,s ):
s
x x
i 1 i
n
2
n 1
相对标准偏差或变异系数(relative standard deviation, RSD,sr):
25
m ◇分析天平(称至0.1 mg): 12.8228 g(6) , 0.2348 g(4) , 0.0600 g(3) ◇千分之一天平(称至0.001 g): 0.235 g(3)
◇1%天平(称至0.01 g): 4.03 g(3), 0.23 g(2)
◇台秤(称至0.1 g): 4.0 g(2), 0.2 g(1)
第2章 分析化学中的误差和数据处理
2.1 分析化学中的误差 2.2 有效数字及其运算规则 2.3 有限数据的统计处理 2.4 回归分析法
1
2.1 分析化学中的误差
定量分析(Quantitative Analysis)的任务是准 确测定试样组分的含量，因此必须使分析结果具 有一定的准确度。不准确的分析结果可以导致生 产上的损失、资源的浪费、科学上的错误结论。 在定量分析中，由于受分析方法、测量仪器、 所用试剂和分析工作者主观条件等方面的限制， 使测得的结果不可能和真实含量完全一致；即使 是技术很熟练的分析工作者，用最完善的分析方 法和最精密的仪器，对同一样品进行多次测定， 其结果也不会完全一样。这说明客观上存在着难 2 于避免的误差。
10
续解
2 d i 2 （ x x ) i
s
n 1
n 1
(0.11) 2 (0.14) 2 (0.04) 2 (0.16) 2 (0.09) 2 5 1 0.13%
相对平均偏差：平均偏差与测量平均值的比值
d 相对平均偏差% 100% x
x x
i 1 i
n
nx
100%
7
标准偏差(standard deviation,s ):
s
x x
i 1 i
n
2
n 1
相对标准偏差或变异系数(relative standard deviation, RSD,sr):
25
m ◇分析天平(称至0.1 mg): 12.8228 g(6) , 0.2348 g(4) , 0.0600 g(3) ◇千分之一天平(称至0.001 g): 0.235 g(3)
◇1%天平(称至0.01 g): 4.03 g(3), 0.23 g(2)
◇台秤(称至0.1 g): 4.0 g(2), 0.2 g(1)
第2章 分析化学中的误差和数据处理
2.1 分析化学中的误差 2.2 有效数字及其运算规则 2.3 有限数据的统计处理 2.4 回归分析法
1
2.1 分析化学中的误差
定量分析(Quantitative Analysis)的任务是准 确测定试样组分的含量，因此必须使分析结果具 有一定的准确度。不准确的分析结果可以导致生 产上的损失、资源的浪费、科学上的错误结论。 在定量分析中，由于受分析方法、测量仪器、 所用试剂和分析工作者主观条件等方面的限制， 使测得的结果不可能和真实含量完全一致；即使 是技术很熟练的分析工作者，用最完善的分析方 法和最精密的仪器，对同一样品进行多次测定， 其结果也不会完全一样。这说明客观上存在着难 2 于避免的误差。
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⑵ 随机误差 (偶然误差)
(Random error)
① 定义：由随机的偶然的因素造成的。
② 特点：有时大、有时小、有时正、有时负，难以预料
和控制，所以随机误差又叫不定误差或不可测误差。
不可避免，服从统计规律。
⑶ 过失误差 (Gross error, mistake) 由粗心大意引起, 可以避免。 重 例：指示剂的选择
d
A B
0.24 0.24
s 0.28 0.40
含有较大偏差或偏离平均值较大的数据其标 准偏差亦较大。
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
⑸ 平均值的标准偏差
设有一样品，m 个分析工作者对其进行分析，每人测 n 次， 计算出各自的平均值，这些平均值的分布也是符合正态分布的。 样本1 样本2 …… 样本m
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
(二) 精密度 (Precision)
1、定义： 精密度表征平行测量值的相互符合程度。
重复性：同一分析人员在同一条件下得到的结果具有重复性。
2、性质：
再现性：不同分析人员或不同实验室间在各自条件下所得的 结果具有再现性。
E x xT
测定值与真实值
测定值与真实值相符合的程度
_ d=x-x
测定值与平均值
一组平行测定值相互接近的程度
E小
测定值与真实值越接近
d小
测定值相互越接近
准确度高
安徽师范大学2011级化学
精密度高
§2.1 分析化学中的误差 三、准确度与精密度
(一) 准确度 (Accuracy)
1、定义： 准确度表征测量值与真实值的符合程度。 2、衡量标准： 准确度用误差表示。 误差大 误差小 3、影响因素： 系统误差 准确度差 准确度好
n
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 3、中位数( xM ) （Median）
一组测量数据按大小顺序排列，中间一个数据即 为中位数。
奇数个，中位数为中间的一个数据 测量值的个数为 偶数个，中位数为中间相邻两个测量值的平均值
优点：能简便直观说明一组测量数据的结果，且不受
两端具有过大误差数据的影响。
—
1 x x 样本平均值 总体（或母体）：所研究的对象的全体 n • 样本（或子样）：自总体中随机抽出的 一部分 n 样本平均值即为总体平均值 • 样本大小（或容量）：样本中所含测量值的数目 1 lim x lim x n n n
若没有系统误差，且测定次数无限多时，总体平 均值即为真值。
课堂练习：P74 4 ±0.1mg E 解答： Er = xT ×100% = 0.0600g = ±0.2%
±0.1mg E ± 0.01% Er = x ×100% = 1.0000g = T
误差有正负之分 若测定结果＞真实值，则误差为正值，正误差。 若测定结果＜真实值，则误差为负值，负误差。
安徽师范大学2011级化学
用平均值的标准偏差来表示这些平均值的离散程度。统 计学证明，这一组样本平均值的标准差与单次测定值的标准 偏差s的关系是：
sx
s
对于无限次测量：
x
n
n
测定次数增多， 平均值的标准偏差减小
平均值的平均偏差与单次测定值的平均偏差 的关系：
dx
安徽师范大学2011级化学
d n
δ δx = n
1、定义：测定结果( x )与平均结果( x )之间的差值。 表示一组平行测定数据相互接近的程度。
_ d=x-x
2、表示方法 绝对偏差(di)
⑴
相对偏差(di%)
_ di = xi -x di di% = _ × 100% x
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
平均偏差( d ) 单次测量偏差的绝对值的平均值 d1 d 2 d n 1 ⑵ d di n n 没有
第二章 分析化学中的误差与数据处理 1. 2. 3. 4. 5.
分析化学中的误差 有效数字及其运算规则 分析化学中的数据处理 显著性检验 可疑值取舍 回归分析法 提高分析结果准确度的方法 (8个学时)
6. 7.
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 基本概念 一、数值：真值、平均值、中位数、极差、公差 二、误差与偏差 三、准确度与精密度
2 10.37 -0.06
3 10.47 0.04
4 10.43 0.00
5 10.40 -0.03
平均值 10.43
_ _ n 1 _ 平均值 x = n ∑ xi = 1 (10.48 + 10.37 + 10.47 + 10.43 + 10.40) = 10.43 5 i=1 _ n 1 _ _ — 平均偏差 d = n ∑ xi - x = 1 (0.05 + 0.06 + 0.004 + 0.00 + 0.03)= 0.036 5 i=1 _ _ _ 相对平均偏差 dr = d ×100% = 0.036 ×100% = 0.35(%) 10.43 x 1 标准偏差 s √1 Σ d 2 = _(0.052 + 0.062 + 0.042 + 0.002 + 0.032) = 0.046 =
标准偏差
误差与 数据处理
数值 真值 平均值 中位数 极差 公差
分析化学中 的误差
绝对误差 相对误差
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
总体标准偏差( ) 标准偏差（简称标准差）也称均方误差。 σ
(x )2 n
⑶ 样本标准偏差( s ) 衡量该组数据的分散程度。
比较不同
n-1
iHale Waihona Puke √ 4s _ 相对标准偏差（变异系数） sr = x
安徽师范大学2011级化学
0.046 100% = 0.44(%) ×100% = 10.43 ×
§2.1 分析化学中的误差
标准偏差与平均偏差的关系 总体
标准偏差 与单个测定值的平均偏差 之间存 在这样的关系：
x
n
滴定剂体积 应为20～30mL
§2.1 分析化学中的误差 3、误差的分类
⑴ 系统误差 (可测误差) (Systematic error)
系统误差 ① 定义：某种固定的因素造成的误差 ② 特点：具有重复性、单向性，可以校正。 随机误差 ③ 分类：
a 方法误差 (Method过失误差 error) ：溶解损失、终点误差
分类
性质 影响 消除或减 小的方法
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 系统误差的校正
方法系统误差——其它方法校正 仪器系统误差——对照实验校正 试剂系统误差——空白实验校正 主观系统误差——对照实验校正（外检） 课堂练习：P74 2
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 (二) 偏差
s
(x x )
n 1
2
(n-1)为自由度 , 以 f 表示
相对标准偏差(RSD, sr) 又称变异系数 ( CV )。
s sr＝ 100％ x
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
用丁二酮物重量法测定钢中Ni的含量：
实例2-3
序号 Ni (%)
偏差di
1 10.48 0.05
安徽师范大学2011级化学
相对误差 Er
0.0001 100% 0.005% 2.1751 0.0001 100% 0.05% 0.2176
§2.1 分析化学中的误差
得出结论：绝对误差相同，但相对误差不同。 当测量值的绝对误差恒定时，被测定的量越大，
相对误差越小，测定的准确性也就越高。
c. 相对真值 认定精度高一个数量级的测定值作为低一级的 测量值的真值。(例如标准样品的标准值)
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 2、平均值(
x
) (Mean)
若n次平行测定数据 为x1, x2…… xn，则n次 测量数据的算术平均值为：
x1 x 2 x n 1 x xi n n i 1
做！
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 系统误差与随机误差的比较
项目 产生原因 系统误差 随机误差 固定因素，有时不存在 不定因素，总是存在 方法误差、仪器与试剂 环境的变化因素、主 误差、主观误差 观的变化因素等 重现性、单向性 服从概率统计规律、 不可测性 （或周期性）、可测性 准确度 校正 精密度 增加测定的次数
试样总体
x11, x12 , x13 ,......x1n x1 x21, x22 , x23 ,......x2n x2 ...... xm1 , xm 2 , xm3 ,......xm n xm
x1 , x2 , x3 .......xm x
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
安徽师范大学2011级化学
— 相对平均偏差( dr)
_ d dr ＝ 100％ x
正负号
§2.1 分析化学中的误差
此时，单次测量的平均偏差 δ
x
n
实验中一般平行测定3-4次，所以测定结果涉及 到的是测定次数值较少时的平均偏差。
1 d di n
安徽师范大学2011级化学
总体平均值 总体平均偏差 平均偏差 相对平均偏差
更能反映误差状况
?
§2.1 分析化学中的误差
实例2-1
用分析天平称量两物体的重量，计算二者称量的绝对 误差和相对误差各为多少？ 物品 测量值(x) 真值(xT) 绝对误差(E) 相对误差(Er)
(Random error)
① 定义：由随机的偶然的因素造成的。
② 特点：有时大、有时小、有时正、有时负，难以预料
和控制，所以随机误差又叫不定误差或不可测误差。
不可避免，服从统计规律。
⑶ 过失误差 (Gross error, mistake) 由粗心大意引起, 可以避免。 重 例：指示剂的选择
d
A B
0.24 0.24
s 0.28 0.40
含有较大偏差或偏离平均值较大的数据其标 准偏差亦较大。
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
⑸ 平均值的标准偏差
设有一样品，m 个分析工作者对其进行分析，每人测 n 次， 计算出各自的平均值，这些平均值的分布也是符合正态分布的。 样本1 样本2 …… 样本m
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
(二) 精密度 (Precision)
1、定义： 精密度表征平行测量值的相互符合程度。
重复性：同一分析人员在同一条件下得到的结果具有重复性。
2、性质：
再现性：不同分析人员或不同实验室间在各自条件下所得的 结果具有再现性。
E x xT
测定值与真实值
测定值与真实值相符合的程度
_ d=x-x
测定值与平均值
一组平行测定值相互接近的程度
E小
测定值与真实值越接近
d小
测定值相互越接近
准确度高
安徽师范大学2011级化学
精密度高
§2.1 分析化学中的误差 三、准确度与精密度
(一) 准确度 (Accuracy)
1、定义： 准确度表征测量值与真实值的符合程度。 2、衡量标准： 准确度用误差表示。 误差大 误差小 3、影响因素： 系统误差 准确度差 准确度好
n
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 3、中位数( xM ) （Median）
一组测量数据按大小顺序排列，中间一个数据即 为中位数。
奇数个，中位数为中间的一个数据 测量值的个数为 偶数个，中位数为中间相邻两个测量值的平均值
优点：能简便直观说明一组测量数据的结果，且不受
两端具有过大误差数据的影响。
—
1 x x 样本平均值 总体（或母体）：所研究的对象的全体 n • 样本（或子样）：自总体中随机抽出的 一部分 n 样本平均值即为总体平均值 • 样本大小（或容量）：样本中所含测量值的数目 1 lim x lim x n n n
若没有系统误差，且测定次数无限多时，总体平 均值即为真值。
课堂练习：P74 4 ±0.1mg E 解答： Er = xT ×100% = 0.0600g = ±0.2%
±0.1mg E ± 0.01% Er = x ×100% = 1.0000g = T
误差有正负之分 若测定结果＞真实值，则误差为正值，正误差。 若测定结果＜真实值，则误差为负值，负误差。
安徽师范大学2011级化学
用平均值的标准偏差来表示这些平均值的离散程度。统 计学证明，这一组样本平均值的标准差与单次测定值的标准 偏差s的关系是：
sx
s
对于无限次测量：
x
n
n
测定次数增多， 平均值的标准偏差减小
平均值的平均偏差与单次测定值的平均偏差 的关系：
dx
安徽师范大学2011级化学
d n
δ δx = n
1、定义：测定结果( x )与平均结果( x )之间的差值。 表示一组平行测定数据相互接近的程度。
_ d=x-x
2、表示方法 绝对偏差(di)
⑴
相对偏差(di%)
_ di = xi -x di di% = _ × 100% x
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
平均偏差( d ) 单次测量偏差的绝对值的平均值 d1 d 2 d n 1 ⑵ d di n n 没有
第二章 分析化学中的误差与数据处理 1. 2. 3. 4. 5.
分析化学中的误差 有效数字及其运算规则 分析化学中的数据处理 显著性检验 可疑值取舍 回归分析法 提高分析结果准确度的方法 (8个学时)
6. 7.
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 基本概念 一、数值：真值、平均值、中位数、极差、公差 二、误差与偏差 三、准确度与精密度
2 10.37 -0.06
3 10.47 0.04
4 10.43 0.00
5 10.40 -0.03
平均值 10.43
_ _ n 1 _ 平均值 x = n ∑ xi = 1 (10.48 + 10.37 + 10.47 + 10.43 + 10.40) = 10.43 5 i=1 _ n 1 _ _ — 平均偏差 d = n ∑ xi - x = 1 (0.05 + 0.06 + 0.004 + 0.00 + 0.03)= 0.036 5 i=1 _ _ _ 相对平均偏差 dr = d ×100% = 0.036 ×100% = 0.35(%) 10.43 x 1 标准偏差 s √1 Σ d 2 = _(0.052 + 0.062 + 0.042 + 0.002 + 0.032) = 0.046 =
标准偏差
误差与 数据处理
数值 真值 平均值 中位数 极差 公差
分析化学中 的误差
绝对误差 相对误差
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
总体标准偏差( ) 标准偏差（简称标准差）也称均方误差。 σ
(x )2 n
⑶ 样本标准偏差( s ) 衡量该组数据的分散程度。
比较不同
n-1
iHale Waihona Puke √ 4s _ 相对标准偏差（变异系数） sr = x
安徽师范大学2011级化学
0.046 100% = 0.44(%) ×100% = 10.43 ×
§2.1 分析化学中的误差
标准偏差与平均偏差的关系 总体
标准偏差 与单个测定值的平均偏差 之间存 在这样的关系：
x
n
滴定剂体积 应为20～30mL
§2.1 分析化学中的误差 3、误差的分类
⑴ 系统误差 (可测误差) (Systematic error)
系统误差 ① 定义：某种固定的因素造成的误差 ② 特点：具有重复性、单向性，可以校正。 随机误差 ③ 分类：
a 方法误差 (Method过失误差 error) ：溶解损失、终点误差
分类
性质 影响 消除或减 小的方法
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 系统误差的校正
方法系统误差——其它方法校正 仪器系统误差——对照实验校正 试剂系统误差——空白实验校正 主观系统误差——对照实验校正（外检） 课堂练习：P74 2
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 (二) 偏差
s
(x x )
n 1
2
(n-1)为自由度 , 以 f 表示
相对标准偏差(RSD, sr) 又称变异系数 ( CV )。
s sr＝ 100％ x
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
用丁二酮物重量法测定钢中Ni的含量：
实例2-3
序号 Ni (%)
偏差di
1 10.48 0.05
安徽师范大学2011级化学
相对误差 Er
0.0001 100% 0.005% 2.1751 0.0001 100% 0.05% 0.2176
§2.1 分析化学中的误差
得出结论：绝对误差相同，但相对误差不同。 当测量值的绝对误差恒定时，被测定的量越大，
相对误差越小，测定的准确性也就越高。
c. 相对真值 认定精度高一个数量级的测定值作为低一级的 测量值的真值。(例如标准样品的标准值)
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 2、平均值(
x
) (Mean)
若n次平行测定数据 为x1, x2…… xn，则n次 测量数据的算术平均值为：
x1 x 2 x n 1 x xi n n i 1
做！
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差 系统误差与随机误差的比较
项目 产生原因 系统误差 随机误差 固定因素，有时不存在 不定因素，总是存在 方法误差、仪器与试剂 环境的变化因素、主 误差、主观误差 观的变化因素等 重现性、单向性 服从概率统计规律、 不可测性 （或周期性）、可测性 准确度 校正 精密度 增加测定的次数
试样总体
x11, x12 , x13 ,......x1n x1 x21, x22 , x23 ,......x2n x2 ...... xm1 , xm 2 , xm3 ,......xm n xm
x1 , x2 , x3 .......xm x
安徽师范大学2011级化学
§2.1 分析化学中的误差
安徽师范大学2011级化学
— 相对平均偏差( dr)
_ d dr ＝ 100％ x
正负号
§2.1 分析化学中的误差
此时，单次测量的平均偏差 δ
x
n
实验中一般平行测定3-4次，所以测定结果涉及 到的是测定次数值较少时的平均偏差。
1 d di n
安徽师范大学2011级化学
总体平均值 总体平均偏差 平均偏差 相对平均偏差
更能反映误差状况
?
§2.1 分析化学中的误差
实例2-1
用分析天平称量两物体的重量，计算二者称量的绝对 误差和相对误差各为多少？ 物品 测量值(x) 真值(xT) 绝对误差(E) 相对误差(Er)