最小函数依赖集
最小函数依赖集Fmin求解算法研究及实现
最小函数依赖集Fmin求解算法研究及实现
邸振山
【期刊名称】《电脑编程技巧与维护》
【年(卷),期】2012(000)018
【摘要】函数依赖反映了现实世界中数据的完整性约束,对关系数据库的分析和设计起着重要的作用.最小函数依赖集和模式规范化是规范化理论和模式分解中的两个最重要概念.研究并实现了最小函数依赖集的求解算法.
【总页数】3页(P14-15,21)
【作者】邸振山
【作者单位】秦皇岛市人力资源和社会保障局信息中心,河北秦皇岛066004【正文语种】中文
【相关文献】
1.关系模式最小函数依赖集的求解与应用 [J], 裴祥喜;李珉;赵福伟
2.一个用于求解关系模式上最小函数依赖集合（F）min的算法 [J], 庆振
树;chen,PP
3.函数依赖最小覆盖集求解算法——在数据库设计中的应用 [J], 邹炜;周定康
4.LR最小替换集求解算法研究 [J], 郝忠孝;刘国华;姚春龙
5.用最小不动点理论求解最小函数依赖集 [J], 谢宝永;李磊
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数据库系统概论候选码的求解方法
3 ST,ZIP +包含CSZ的所有属性,所以 ST,ZIP 是一个 候选 码，
4 ST,CITY +也包含CSZ的所有属性,所以 ST,CITY 是一个 候选码，
例：设有关系模式R A,B,C,D,E ,其函数依赖集 F=A→BC,CD→E,B→D,E→A,求R的所有候选码， 解： 1 Fm=A→B, A→C,CD→E,B→D,E→A 2 A,B,C,D,E五个属性在F中各个函数依赖的右边和左边都出现 了,所以候选码中可能包含A,B,C,D,E，
候选码为：SI,SB,SQ,SO
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3 在F2中去掉多余的依赖， 对于CD→B,在剩下的函数依赖中,由于 CD +=CDAEGB,所以CD→B是多余 的,则Fm=AB→C,C→A,BC→D,D→E, D→G,BE→C, CG→B ,CG→D,CE→G 或者对于CG→B,由于 CG +=ABCDEG,所以CG→B是多余的,则 Fm=AB→C,C→A,BC→D,CD→B,D→E, D→G,BE→C,CG→D,CE→G
例：设有关系模式R A,B,C,D,E,P ,其函数依赖集 F=A→D,E→D,D→B,BC→D ,DC→A,求R的所有候选码，
解：考察F发现,C、E两属性是L类属性,由上面定理1可知,C、E 必是R的候选码的成员；
P是N类属性,由上面的定理3可知,P也是R的候选码的成员，
又因为 CEP +=ABCDEP,所以CEP必是R的唯一候选码，
数据库之极小化的原理
数据库之极⼩化的原理极⼩函数依赖集求解⽅法每⼀个函数依赖集F均等价于⼀个极⼩函数依赖集F m。
称F m为F的最⼩依赖集。
1. 逐⼀检查F中各函数依赖FDi:X->Y,若Y=A1A2 Ak,k>=2,则⽤{X->Aj|j = 1,2, ,k}来取代 X -> Y2. 逐⼀检查F中各函数依赖FDi:X->A,令G = F -{X -> A},若A ∈ XG+,则从F中去掉此函数依赖（因为F与G等价的充要条件A）3. 逐⼀检查F中各函数依赖FDi:X->A，设X = B1B2 Bm,逐⼀考查Bi(i =1,2, ,m),若A ∈ (X - Bi)F+,则以X - Bi 取代X(因为F与F-{X->A}∪{Z->A}等价的充要条件是A∈ZF+,其中Z = X - Bi)。
###以上是极⼩化的算法思想，下⾯举⼀个例⼦进⾏详细的解释F = {B -> CD,C -> D,DE -> C,CE -> AB,E -> C},求其极⼩依赖集。
1、分解右部为多属性的函数依赖得：F={B -> C,B -> D,C -> D,DE -> C,CE -> A,CE -> B,E -> C} 2、去多余函数依赖 考查B -> C:G = F-{B->C},因为 C 不属于 (B)的G的闭包{BD},所以不能去掉B->C。
考查B->D:G=F-{B->D},因为D ∈(B)G+={BCD},所以应该去掉B->D。
F = {B->C,C->D,DE->C,CE->A,CE->B,E->C} 考查C->D:G=F-{C->D},因为D 不属于（C）G+ = {C}，所以不能去掉C ->D。
考查DE ->C:G = F-{DE->C},因为C ∈ (DE)G+={DECAB},所以应该去掉 B->D。
一个用于求解关系模式上最小函数依赖集合（F）min的算法
一个用于求解关系模式上最小函数依赖集合（F）min的算法庆振树;chen,PP
【期刊名称】《计算机工程》
【年(卷),期】1989(000)006
【摘要】本文介绍一个采用DDHD技术求解关系模式上最小函数依赖集合(F)min 的算法,采用这种方法可以方便地从任意给定的函数依赖集合F直接求得相应的最小函数依赖集合,这种方法是关系数据库设计和规范化的有用工具。
【总页数】11页(P32-42)
【作者】庆振树;chen,PP
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】TP311.13
【相关文献】
1.关系模式最小函数依赖集的求解与应用 [J], 裴祥喜;李珉;赵福伟
2.最小函数依赖集Fmin求解算法研究及实现 [J], 邸振山
3.函数依赖最小覆盖集求解算法——在数据库设计中的应用 [J], 邹炜;周定康
4.用最小不动点理论求解最小函数依赖集 [J], 谢宝永;李磊
5.大型Petri网模型最小trap (siphon)集合的快速求解算法 [J], 廖晶静;王明哲;倪枫;郭法滨
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函数依赖的公理系统资料
定义4.15 最小覆盖. 满足下列条件的函数依赖集F称为最小覆盖(最 小依赖集, 极小依赖集)，记作Fmin：
(1) 单属性：F中任一函数依赖 XA，A必是单属 性。 (2) 无冗余性：F中不存在这样的函数依赖X A， 使得 F与 F {X A}等价。 (3) 既约性：F中不存在这样的函数依赖 X A， X是多属性，在X中有真子集 Z，使得 F 与 F {X A} {Z A}等价。
2
函数依赖集的闭包F+
定义 4.12 在关系模式 R<U，F> 中，被 F 所 逻辑蕴涵的函数依赖的全体所构成的集合称 作F的闭包，记作 F+ = {XY | F├ XY} + 显然，F F 。 F+的计算很麻烦，F不大，其F+也可能很大。 例如： 设 R<U, F>, U={X, Y, Z}, F = {XY, YZ} F+ = { XX， XY，X Z, YY, YZ, Z Z, XYX，XYY，XYXY, XZ→X, ……}
函数依赖的公理系统
建立函数依赖推理系统的目的:
(1) 求关系模式的候选码 (2) 判断关系模式的范式级别 (3) 给定一组函数依赖，需要导出另外一些函数依赖， 或判断另外的函数依赖是否成立。例如： FD={A B，B C}，判断 A C是否成立？
本节内容:
1. 逻辑蕴涵； 2. Armstrong函数依赖公理系统； 3. 函数依赖集的闭包； 4. 属性集闭包； 5. 函数依赖集的等价和覆盖； 6. 最小函数依赖集。
XY
t[XZ] = s[XZ]
t[Y] = s[Y] t[Z] = s[Z]
t[YZ] = s[YZ]
函数依赖及范式
函数依赖及范式函数依赖基本概念：•函数依赖：FD(function dependency)，设有关系模式R(U)，X，Y是U的子集，r 是R的任一具体关系，如果对r的任意两个元组t1,t2,由t1[X]=t2[X]导致t1[Y]=t2[Y], 则称X 函数决定Y,或Y函数依赖于X，记为X→Y。
X→Y为模式R的一个函数依赖。
•部分函数依赖：即局部依赖，对于一个函数依赖W→A，如果存在X W(X包含于W)有X→A成立，那么称W→A是局部依赖，否则称W→A为完全函数依赖。
•传递依赖：在关系模式中，如果Y→X，X→A，且X Y（X不决定Y），A X（A不属于X）,那么称Y→A是传递依赖。
•函数依赖集F的闭包F+: 被逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成的集合，称为F的闭包(clo sure),记为F+。
•最小依赖集：如果函数集合F满足以下三个条件(1)F中每个函数依赖的右部都是单属性；(2) F中的任一函数依赖X→A，其F-{X→A}与F是不等价的；(3)F中的任一函数依赖X→A，Z为X的子集，（F-{X→A}）∪{Z→A}与F不等价。
则称F为最小函数依赖集合，记为Fmin。
函数依赖的公理系统：设有关系模式R(U)，X，Y，Z，W均是U的子集，F是R上只涉及到U中属性的函数依赖集，推理规则如下：•自反律：如果Y X U,则X→Y在R上成立。
•增广律：如果X→Y为F所蕴涵，Z U，则XZ→YZ在R上成立。
(XZ表示X∪Z，下同) •传递律：如果X→Y和Y→Z在R上成立，则X→Z在R上成立。
以上三条为Armstrong公理系统•合并律：如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ成立。
•伪传递律：如果X→Y和WY→Z成立，那么WX→Z成立。
•分解律：如果X→Y和Z Y成立，那么X→Z成立。
这三条为引理注意：•函数依赖推理规则系统(自反律、增广律和传递律)是完备的。
•由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖。
四种范式的含义：•如果某个数据库模式都是第一范式的，则称该数据库模式是属于第一范式的数据库模式。
最小函数依赖集F‘的最优算法
作者： 徐爱芸
作者机构： 江汉大学数学与计算机科学学院,湖北武汉430056
出版物刊名： 江汉大学学报：社会科学版
页码： 20-22页
主题词： 最优算法;属性集;函数依赖集闭包;属性集闭包;逻辑蕴含;最小函数依赖集;数据库原理
摘要：在数据库设计中，依据函数依赖集的定义及Armstrong公理，求出的是一个可能存在冗余的函数依赖集。
为了判断一个函数依赖是否为某一函数依赖集逻辑蕴含，只要用求属性闭包的方法求出函数依赖中决定子的属性闭包，判断依赖子是否包含在属性闭包中即可。
本文从求属性闭包的角度出发，给出一个求最小函数依赖集的算法。
最小函数依赖集F‘的最优算法
２ 属性闭包 ． ２
设有 关 系模式Ｒ ｕ （ ，Ｆ） Ａ Ｕ， ，ｒ ＿ Ｃ
一 能 由 Ｆ根 据 Ａ ｍｓ ｏ ｇ 理 导 出 ｝ ｒ ｔｎ 公 ｒ
＝ Ｉ 似
则 函数 依 赖 Ｗ － ＷＹ是冗 余 的 ．在 关 系 数 Ｘ－ ￣
据 库 的设 计 中 ， 多 设 计 算 法 都 是基 于一 个 无 冗 许 余 的 函数 依 赖 集 ，尤 其 是 关 系设 计 的属 性综 合 法 ， 基 本 思 想 是将 具 有 相 同决 定 子 的所 有 函数 其 依 赖 中 的属 性 构 成 一个 关 系模 式 ， 就要 求 给 出 这
由 函数 依 赖 的定 义 及 函数 依 赖 的 公 理 系统 （ ｒ ｔｎ Ａ ｍｓｏ ｇ公 理 ） ｒ ，我 们 能 由已 知 的 函数 依 赖 推 导 出新 的 函数 依 赖 ，则 在一 个 函数 依 赖集 Ｆ 中 ， 可 能 会 有 冗 余 的 函数 依 赖 ．例 如 ：给定 关 系 模 式 Ｒ ｕ， （ 及 函数 依 赖集 Ｆ＝ ｛ 一ｙ ， ｚ ， ， ｗＹ｝ 由 —ｙ及 ｕ中 ， 推 出函数 依 赖 ， 可
依 赖 是 现 实 世 界 属性 间相 互 联 系 的抽 象 ， 数 据 是 的 内在 性 质 ， 是语 义 的 体 现 ， 数依 赖 的确 定 决 函 定 于 设 计 者 对 相 关语 义 的理 解 ．
２１ 函数依赖集的闭包 ．
设 有 函数依 赖集 Ｆ，它 的闭 包 就 是 能够 和用 Ｊ 推 导规 则 由 Ｆ推 导 出来 的所 有 函数 依 赖 的集 合 ．
收 稿 日期 ： ２ ０ ０ ０ ２— ３—２ ５
称 为属 性 关 于 函数 依 赖集 Ｆ的 闭 包 ．
由属 性 闭包 的定 义 可 以证 明 判 断 ｙ 是用 Ａ ｍ— ｒ
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最小函数依赖集
定义：如果函数依赖集F满足下列条件，则称F为最小函数依赖集或最小覆盖。
①F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性；
②F中不存在这样一个函数依赖X→A，使得F与F-{X→A}等价；
③F中不存在这样一个函数依赖X→A，X有真子集Z使得
F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。
求最小函数依赖集分三步:
1.将F中的所有依赖右边化为单一元素
此题fd={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已经满足
2.去掉F中的所有依赖左边的冗余属性.
作法是属性（只检查左边不是单一属性的函数依赖）中去掉其中的一个,看看是否依然可以推导
此题:abd->e,去掉a,则(bd)+不含e,故不能去掉,同理b,d都不是冗余属性
ab->g,也没有
cj->i,因为c+={c,j,i}其中包含i，所以j是冗余的.cj->i将成为c->i F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};
3.去掉F中所有冗余依赖关系.
做法为从F中去掉某关系,如去掉(X->Y),然后在F中求X+,如果Y在X+中,则表明x->是多余的.需要去掉.
此题如果F去掉abd->e,F将等于{ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h},而(abd)+={a,d,b,f,g,h},其中不包含e.所有不是多余的.
同理(ab)+={a,b,f}也不包含g,故不是多余的.
b+={b}不多余,c+={c,i}不多余
c->i,g->h多不能去掉.
所以所求最小函数依赖集：F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};。