全等三角形的判定(二)--两角一边
▼基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
(简记为“A.S.A.”或“角边角”）.Байду номын сангаас
A
▼几何语言： 在△ABC和△A′ B′ C′中，
_∠__A_=_∠__A_′___（__已__知__）， _A_B_=_A_′__B_′___（__已__知__），
B
C
A′
_∠__B_=_∠__B_′___（__已__知__），
练一练
1、如图，∠A=∠B，CA=CB， △CAD和△CBE全等吗？CD和CE相
等吗？试试说明理由. 证明: 在△CAD和△CBE中
∠A=∠B
CA=CB
∠C=∠C （公共角） ∴△CAD≌△CBE（A.S.A.）
C
E
D
A
B
∴CD=CE（全等三角形的对应边相等）
2、如图，已知AB与CD相交于点O, ∠A=∠D，CO=BO. 求证：△AOC≌△DOB.
2. 会用A.S.A.，A.A.S.判定两个三角形全等.（难点） 3.灵活地运用所学的判定方法判定两个三角形全等，从而解决线段
或角相等的问题.
问题探究
如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等， 这两个三角形一定全等吗？ （1）两个角及这两角的夹边；
（2）两个角及其中一角的对边.
角-边-角
角-角-边
“角角边”判定方法
▼定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形
全等.(简记为“A.A.S.”或“角角边”）.
A
▼几何语言： 在△ABC和△A′ B′ C′中， ∠A=∠A′ （已知）， ∠B=∠B′ （已知），
B
C
A′
AC=A′ C′ （已知），
B′
C′
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （A.A.S.）
做一做
如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为 这两个角的夹边，画一个三角形．
M N
C
8cm
A
60° 40° B
8cm
步骤：
1.画一条线段AB，图使1它9。等2。于78cm；
2.画∠MAB=60°，∠NBA=40°， MA与NB交于点C.
3.△ABC即为所求.
“角边角”判定方法
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明: ∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°
∠A′＋ ∠B′ ＋∠C′＝180°
（三角形的内角和等于180°） 又∵ ∠A＝∠A′， ∠B＝∠B′
∴ ∠C＝∠C′． 在△ABC和△A′B′C′中
∠A＝∠A′ AC＝A′C′ ∠C＝∠C′ ∴△ABC≌△A′B′C′（A.S.A.）
B′
C′
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （A.S.A.）
例1：如图，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，
求证:△ABC ≌△DCB, AB=DC. A
D
证明：在△ABC和△DCB中
∵ ∠ABC＝∠DCB （已知）
B
C
BC=CB (公共边）
∠ACB＝∠DBC (已知)
∴△ABC ≌△DCB. （A.S.A.）
证明: 在△AOC和△DOB中 ∠A=∠D （已知） ∠AOC=∠DOB （对顶角相等） CO=BO （已知）
∴△AOC≌△DOB（ A.A.S.）
3、如图，四边形ABCD,对角线BD将其分成两个三角形，其中
∠ABD =∠C，∠ADB =∠DBC，此时这两个三角形全等吗？并
说明理由.
解：不全等，因为BD虽然是公 共边，但不是对应边.
华东师大版八年级上册《数学》
13.2.4 全等三角形的判定（二）
温故知新
1、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等． 简记为（S.A.S.）或边角边
2、两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等． 也就是（S.S.A）不能判定全等.
M D
C
AA
BB
华师大版八年级数学上册
1. 通过画图、操作、实验等活动，探索三角形全等的判定方法 （A.S.A.，A.A.S.）.（重点）
小结：
在这节课上，你收获了哪些知识？
“边角边”判定方法：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. (简记为“边角边”或“S.A.S”）.
“角边角”判定方法：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. (简记为“角边角”或“A.S.A.”）.
“角角边”判定方法：有两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三 角形全等.(简记为“角角边”或“A.A.S.”）.
∴AB=DC(全等三角形的对应边相等）
议一议 如图,小明不慎将一块三角形
模具打碎为两块,他是否可以只 带其中的一块碎片到商店去,就 能配一块与原来一样的三角形 模具吗? 如果可以,带哪块去合 适?你能用数学知识解释你的结 论吗?
怎么办？ 可以帮帮我吗？
②
①
例2:
已知：如图，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′
三角形全等的条件两角一边
三角形全等的条件(两角一边)固原市原州区逸辉基金中学李雁祥、教学目标设计1、知识与技能：(1)让学生动手操作经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，培养他们观察分析图形能力、动手能力。
(2)掌握全等三角形的判定方法：角边角、角角边，并能灵活运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题或线段或角相等的问题等。
(3)在课堂中通过对问题的共同探讨，培养学生之间，师生之间的协作、交流能力。
2、过程与方法：(1)经历探索三角形全等条件的过程，培养学生动手画图和观察识图的的能力。
(2)讲评例题的过程中引导学生自主探究、进行分析讨论、交流解法，巩固三角形全等的证明方法。
3、情感、态度与价值观(1)在教学的过程中，有意识的培养学生有条理的思考能力、概括能力和语言表达能力。
(2)注重培养学生积极参与数学学习活动、勤于思考、勇于探索及合作的意识。
(3)在教学过程中，使学生感受到数学与生活的紧密联系，提高用数学的意识•<>、教材内容及重点、难点分析1、教材内容：三角形全等判定方法:ASA,AAS2、教学重点：已知两角一边的三角形全等定理的探究，并能运用其证明两个三角形全等。
3、教学难点：灵活运用三角形全等条件证明。
三、教学对象分析本班学生已经学习了全等三角形的性质，以及也掌握了SSS的判定方法，有过通过动手操作寻找规律的经验，而学生的想象力比较丰富，能通过猜想验证得岀结论。
而学生现在处于逻辑推理论证的初步阶段所以必须加强此方面的练习。
四、教学策略与教法设计采用情境探究法、谈话法等，使学生在自主探究的过程中完成学习的任务。
通过画、观察、比较和猜想等过程，探索、归纳、证明两个三角形全等的条件，并从中得到启发。
四、（课本12页）［例3］如下图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC , Z B= Z［分析］AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD 二AE,只需证明△ADC五、探究问题6 :思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA"推岀“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等(课本 11 页)如图，在△ABC 和△DEF 中，ZA=ZD, ZB=ZE, BC=EF ,AABC 与^ DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗?BC证明：TZ A+ZB+z ：C=ZD+ZE+ZF=180°ZA=ZD, Z B=ZE /. Z A+ ZB=ZD+ZE•••△ABC 幻△DEF (ASA) •两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或思路延伸：探究7.）三角对应相等的两个三角形全等么？、解决情景问题（小明应该带那块玻璃去呢？） 根据ASA 可证明三角形全等，可带第二块去（有两个角和一条夹边）训练学生对新知识 的实际运用捉问引发思考，增进学生对知识的进一步探究。
1.2.-3三角形全等的判定(二)角边角定理
例2:如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，
求证：△ABD≌△ACE 证明：∵ AB=AC，
∴ ∠B= ∠C（等边对等角）
∵ ∠ADB= ∠AEC， AB=AC， ∴ △ABD≌△ACE（AAS）
B D
A
E
C
例 3：若△ABC中 , BE⊥ AD于 E, CF⊥ AD于 F,且 BE=CF,那么 BD与 CD相等吗？为什么？ 证明：∵ BE⊥ AD， CF⊥ AD（已知） ∴∠ BED=∠ CFD= 900 (垂直的定义） 在△ BDE和△ CDF中
A
B
3、如图，△ABC是等腰三角形，AD、BE分 别是∠BAC、∠ABC的角平分线，△ABD和 △BAE全等吗？试说明理由？
思考:如果两个三角形有两个角和其 中一个角的对边分别对应相等,那么 这两个三角形是否全等?
A A′
B
C B′
C′
动脑筋
△ ABC =BC ，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求证：△ABC和 是全等三角形 在△ABC和 △ ABC 中，
B
A
E
图3-35
C
D
证明：
图3-35
练习
1.如图3-37，观察图中的三角形.小强说：“图 中有两个三角形全等.”你认为小强的判断对吗？ 请说明理由.
证明：
图3-37
例2 如图3-39中，已知BE//DF，∠B=∠D，
AE=CF.求证：△ADF≌△CBE.
证明：
图3-39
2.要使下列各对三角形全等，需要增加什 么条件？ （1） （2）
4、判定定理：
如果两个三角形有两个角及其夹边分别 对应相等，那么这两个三角形全等。简 记为A.S.A.(或角边角)
初中数学_三角形全等的判定(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
12.2.2三角形全等的判定（SAS）教学设计一、学习目标在本课的教学中，不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数学思想. 从而激发学生学习数学的兴趣.为此，我确立如下：1.知识与能力：(1)学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程(2)掌握三角形全等的“边角边”的判定方法，能用三角形的全等解决一些实际问题。
2.过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，3.情感与态度：通过“边角边公理”的获得和使用，培养学生严密的逻辑思维品质以及勇于探索、团结协作的精神。
二、学习重点根据本节课的内容和地位，重点确定为：“边角边公理”的内容及应用学习难点发现、验证并归纳边角边公理内容，运用此结论解决实际问题。
三、教法分析鉴于教材特点及初二学生思维依赖于具体直观形象的特点，采用实验发现法，将有利于学生更好地理解与应用数学，获得成功的体验，增强学好数学的信心。
本节课主要采用实验发现法，同时以直观演示教学法、观察法、探究法为辅。
在教法上，尽可能地组织学生自主地通过观察、实验等数学活动，探究三角形全等的特征，通过对数学问题情境、数学活动情境等设计，调动学生学习数学的积极性。
运用多媒体直观演示，化静为动，使学生始终处于主动探索问题的积极状态中，使数学学习变得有趣、有效、自信、成功。
学法指导本节课主要是“边边边”这一基本事实的发现，故我在课堂教学中将尽量为学生提供“做中学”的时空，让学生进行小组合作学习，在“做”的过程中潜移默化地渗透分类讨论的数学思想方法，遵循“教是为了不教”的原则，让学生自得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理。
四、教学过程设计（一）创设情境，引入新知1.由生活中遇到的全等问题情境自然引入。
2．画一画如果两个三角形的两边和一角分别对应相等，那么会有几种情况。
12.2三角形全等的判定_第(2)课时SAS
三角
(3)三个条件 三边 两边一角
两角一边
8cm
8cm
满足下列条件的两个三角形是一定否全等:
(1)一个条件
一边
(2)两个条件
× 只有一个条件对应相等的 一角 × 两个三角形不一定全等。 一边一角 × 只有两个条件对应相 两角 × 等的两个三角形不一 两边 × 定全等。
三角
三边 两边一角 两角一边
1. 三角形全等的判定2：
两边和它们的夹角对应相等的两个三 角形全等。 (边角边或SAS)
2. 求证两个三角形中的边或角相等时， 一般要先证明这两个三角形全等。
证明三角形全等的过程
1、准备条件
2、指明范围
3、摆齐根据
4、写出结论
课堂小测
课本39页练习1.、2。
作业
1.课本43页练习第2题； 2.课本44页第10题
112.2 三角形全等的判定(2)
---边角边公理“SAS”
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
(1)一个条件
一边 一角 一边一角
(2)两个条件
两角
两边 三角
(3)三个条件
三边 两边一角
两角一边
8cm
8cm
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
(1)一个条件
一边 一角 一边一角 两角 两边
×
两角一边
8cm
8cm
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
一个条件 一边 一角
× ×
只有一个条件对应相等的 两个三角形不一定全等。
只有两个条件对应相 等的两个三角形不一 定全等。
两个条件
一边一角 × 两角 × 两边 × 三角 × 三边 两边一角 两角一边
全等三角形判定方法2——“边角边”.
三角形全等的条件 （二）学习要求1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等图3－1图3－2课堂学习检测一、填空题1．全等三角形判定方法2——“边角边” （即______）指的是_________________________________________________________________________________．2．已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．求证：∠D ＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO∴ △AOD ≌△______ （ ）．∴ ∠D ＝∠B （______）．3．已知：如图3－2，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB ∥CD （ ），∴ ∠______＝∠______ （ ），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______∴ Δ______≌Δ______ （ ）．∴ ∠______＝∠______ （ ）．∴ ______∥______（ ）．综合、运用、诊断一、解答题4．已知：如图3－3，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ．求证：∠B ＝∠C ．图3－35．已知：如图3－4，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．图3－46．已知：如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．图3－5拓展、探究、思考7．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．图3－6。
数学人教版八年级上册12.2三角形全等的判定定理2(SAS).2 三角形全等的判定
A
A
B 图一 在图一中， ∠A 是AB和AC的夹角， 符合图一的条件，它可称为 “两边夹角”。
C
B
图二
C
符合图二的条件， 通常 说成“两边和其中一边的对角”
探索边角边
已知△ABC，画一个△A′B′C′使A B =A′B′,A C =A′ C ′, ∠A =∠A′。
画法: 1.画 ∠DA′ E= ∠A； ′ 2.在射线A D上截取A′ B′ =AB,在射线A′ E上截 取A ′C ′=AC; C C′ 3. 连接B ′C′.
补充题：
例1 如图AC与BD相交于点O， 已知OA=OC，OB=OD，说明 △AOB≌△COD的理由。 A B
O
D C C D
例2 如图，AC=BD， ∠CAB= ∠DBA，你能判断 BC=AD吗？说明理由。
A B 归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通 过从它们所在的两个三角形全等而得到。
课堂小结:
A B A′ B′ D
思考： ① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验正？ 思考： ②这两个三角形全等是满足哪三个条件？ 结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等
三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“ SAS ” )
用符号语言表达为：
A D
B
1
那么量出ED的长，就是A、B的 距离.为什么？【要求学生写出 理由即证明过程】
C
2
E
D
例2：点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF
求证（1）△AFD≌△CEB
A 分析：证三角形全等的三个条件 边 AD = CB （已知） 角 ∠A=∠ 边 C AF = CE E F C D
12.2三角形全等的判定(2)(“边角边”判定三角形全等)教案
3.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论、合作完成练习题，提高学生的沟通能力和协作能力。
4.培养学生的创新思维，鼓励学生在掌握基本知识的基础上，探索其他三角形全等的判定方法，激发学生的探究欲望和创新能力。
4.增强学生的数学应用意识，使学生能够将所学的“边角边”（SAS）判定法则应用于解决实际生活中的问题，体会数学知识在实际生活中的价值。
三、教学难点与重点
1.教学重点
- “边角边”（SAS）判定法则的概念及其应用：这是本节课的核心内容，教师需详细讲解“边角边”（SAS）判定法则的原理，并通过实例强调其应用。
-识别和运用“边角边”（SAS）判定条件：教师应指导学生学会在实际问题中识别符合条件的边和角，并运用该法则证明三角形全等。
-解决与“边角边”（SAS）相关的实际问题：通过练习题，让学生掌握如何将“边角边”（SAS）应用于解决具体问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了“边角边”（SAS）判定法则的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对三角形全等判定方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：在三角形ABC中，已知AB=DE，∠B=∠E，BC=DF，证明三角形ABC与三角形DEF全等。
2.教学难点
-理解“边角边”（SAS）判定法则的严格性：学生需要理解该法则的严格性，即边和角的对应关系必须完全一致，不能有丝毫偏差。
全等三角形的判定边角边
汇报人： 日期:
目 录
• 全等三角形的基本概念 • 边角边判定定理 • 边角边判定定理的变式 • 边角边判定定理的实践案例
01
全等三角形的基本概念
全等三角形的定义
01
两个三角形全等是指能够完全重 合，即一个三角形的三个顶点分 别对应另一个三角形的三个顶点 ，且三条边分别对应相等。
那么这两个三角形全等。
角边角定理
如果两个三角形的两个对应角 相等，且这两个角的对应边也 相等，那么这两个三角形全等 。
边边边定理
如果两个三角形的三组对应边 分别相等，那么这两个三角形 全等。
角角边定理
如果两个三角形的两个对应角 相等，且这两个角的夹边也相 等，那么这两个三角形全等。
02
边角边判定定理
3
根据全等三角形的性质得出实际问题的解决方案
对解决实际问题的方法进行总结和反思
总结解决实际问题的方法和步骤
反思在解决问题过程中可能出现的错误和不足之 处
探讨如何将这种方法应用于其他类似的问题，加 深对全等三角形判定定理的理解和应用能力
THANK YOU
感谢观看
这是另一个重要的判定 方法，也被称为 “SAS”定理，因为 “SAS”代表“SideAngle-Side”即边、角 、边的缩写。这个定理 说明如果两个三角形有 两边及夹角对应相等， 那么这两个三角形全等 。
这个判定方法在几何证 明题中非常常见，特别 是在解决涉及两边相等 的问题时。
为了确保两个三角形全 等，必须确保所比较的 两边和夹角是在同一个 三角形中对应的相等。 此外，这个判定方法要 求所比较的两边必须相 等，而不仅仅是角度相 等。
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
三角形全等的判定“角边角与角角边”(6种题型)-2023年新八年级数学题型(人教版)(解析版)
三角形全等的判定“角边角与角角边”（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一：用“角边角”直接证明三角形全等例1.如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在 AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O ．求证：△AEC ≌△BED ；【详解】∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD=∠BOE ．在△AOD 和△BOE 中，∠A=∠B ，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO ，∴∠AEC=∠BED ．在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△AEC ≌△BED （ASA ）．【变式1】如图，AB ＝AD ，∠1，DA 平分∠BDE ．求证：△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠DAC ＝∠2+∠DAC ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠B ，∵DA 平分∠BDE ．∴∠ADE ＝∠ADB ，∴∠ADE ＝∠B ，在△ABC和△ADE中，{∠ADE=∠B AB=AD∠BAC=∠DAE，∴△ABC≌△ADE（ASA）．【变式2】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（）A．角角角B．角边角C．边角边D．角角边【分析】已知两角对应相等，且有一公共边，利用全等三角形的判定定理进行推理即可．【解答】解：在△ABC与△ADC中，{∠1=∠2 AC=AC∠3=∠4，则△ABC≌△ADC（ASA）．∴BC＝CD．故选：B．【变式3】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠DEFBC =EF ∠ACB =∠F，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）． 题型二：用“角边角”间接证明三角形全等例2.如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ．求证：AF ＝DE ．【详解】证明：∵AB //CD ，∴∠B ＝∠C ，在△ABF 和△DCE 中，A D AB CD BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△DCE （ASA ），∴AF ＝DE ．【变式1】已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【变式2】如图，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，且∠ABD ＝∠ACE .求证：BD ＝CE .【详解】∵AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，∴∠BAE +∠CAE ＝90°，∠BAE +∠BAD ＝90°，∴∠CAE ＝∠BAD .又AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACE ，∴△ABD ≌△ACE (ASA ).∴BD ＝CE .【变式3】如图，要测量河两岸相对两点A 、B 间的距离，在河岸BM 上截取BC ＝CD ，作ED ⊥BD 交AC 的延长线于点E ，垂足为点D ．（DE ≠CD ）（1）线段 的长度就是A 、B 两点间的距离（2）请说明（1）成立的理由．【解答】解：（1）线段DE 的长度就是A 、B 两点间的距离；故答案为：DE ；（2）∵AB ⊥BC ，DE ⊥BD∴∠ABC ＝∠EDC ＝90°又∵∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝CD∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴AB ＝DE ．【变式4】如图，G 是线段AB 上一点，AC 和DG 相交于点E.请先作出∠ABC 的平分线BF ，交AC 于点F ；然后证明：当AD∥BC，AD ＝BC ，∠ABC＝2∠ADG 时，DE ＝BF.【答案与解析】证明： ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF 平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【变式5】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN【变式6】如图，已知224m ABC S =△，AD 平分BAC ∠，且AD BD ⊥于点D ，则ADC S =△________2m ．【答案】12【详解】解：如图，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 平分BAC ∠，AD BD ⊥，∴BAD EAD ∠=∠，90ADB ADE ∠=∠=︒．∵AD AD ＝，∴()ADB ADE ASA ≌．∴BD DE =．∴ABD AED S S =△△，BCD ECD S S =． ∴12ABD BCD AED ECD ABC S S S S S =++=△△△△△．即12ADC ABC S S =．∵224m ABC S =△，∴212m ADC S =△．故答案为：12．【变式7】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且BE ∥CF ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）若AE ＝13，AF ＝7，试求DE 的长．【解答】（1）证明：∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∵BE ∥CF ，∴∠DBE ＝∠DCF ，在△BDE 和△CDF 中，，∴△BDE ≌△CDF （ASA ）；（2）解：∵AE ＝13，AF ＝7，∴EF ＝AE ﹣AF ＝13﹣7＝6，∵△BDE ≌△CDF ，∴DE ＝DF ，∵DE +DF ＝EF ＝6，∴DE ＝3．题型三：用“角角边”直接证明三角形全等例3.如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【变式】（202210块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B 分别与木墙的顶端重合．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）求两堵木墙之间的距离．【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC在△ADC 和△CEB 中，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）； （2）解：由题意得：AD ＝2×3＝6（cm ），BE ＝7×2＝14（cm ），∵△ADC ≌△CEB ，∴EC ＝AD ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ，∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ），答：两堵木墙之间的距离为20cm ．题型四：用“角角边”间接证明三角形全等例4、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【变式】已知：如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 是经过点C 的一条直线，过点A 、B 分别作AE CD ⊥、 BF CD ⊥，垂足为E 、F ，求证：CE BF =.【答案与解析】证明：∵ CD AE ⊥，CD BF ⊥∴︒=∠=∠90BFC AEC∴︒=∠+∠90B BCF∵,90︒=∠ACB∴︒=∠+∠90ACF BCF∴B ACF ∠=∠在BCF ∆和CAE ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC AC B ACE BFC AEC∴BCF ∆≌CAE ∆（AAS ）∴BF CE =【总结升华】要证BF CE =，只需证含有这两个线段的BCF ∆≌CAE ∆.同角的余角相等是找角等的好方法.题型五：“边角边”与“角角边”综合应用例5．如图，120CAB ABD ∠+∠=AD 、BC 分别平分CAB ∠、ABD ∠，AD 与BC 交于点O ．（1）求AOB ∠的度数；（2）说明AB AC BD =+的理由．【答案】（1）120°；（2）见解析【详解】解：（1）∵AD ，BC 分别平分∠CAB 和∠ABD ，∠CAB +∠ABD =120°，∴∠OAB +∠OBA =60°，∴∠AOB =180°-60°=120°；（2）在AB 上截取AE =AC ，∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，∴△AOC≌△AOE（SAS），∴∠C=∠AEO，∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，∴∠AEO+∠D=180°，∵∠AEO+∠BEO=180°，∴∠BEO=∠D，又∠EBO=∠DBO，BO=BO，∴△OBE≌△OBD（AAS），∴BD=BE，又AC=AE，∴AC+BD=AE+BE=A B．【变式】如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD-BE，证明见解析．【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．②证明：由（1）知：△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，CD =BE ，∵DC +CE =DE ，∴AD +BE =DE ．（2）成立．证明：∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC =∠BEC =90°，∴∠EBC +∠ECB =90°，∵∠ACB =90°，∴∠ECB +∠ACE =90°，∴∠ACD =∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD =CE ，CD =BE ，∴DE =EC -CD =AD -BE ．题型六：尺规作图——利用角边角或角角边做三角形例6、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形已知：∠α，∠β和线段c ，如图4－4－21所示．图4－4－21求作：△ABC ，使∠A ＝∠α，∠B ＝∠β，AB ＝c .作法：(1)作∠DAF ＝∠α；图4－4－224－4－23(2)在射线AF 上截取线段AB ＝c ；图4－4－24(3)以B 为顶点，以BA 为一边，在AB 的同侧作∠ABE ＝∠β，BE 交AD 于点C .△ABC 就是所求作的三角形．[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 例7.已知：角α，β和线段a ，如图4－4－29所示，求作：△ABC ，使∠A ＝∠α，∠B ＝∠β，BC ＝a .图4－4－29[解析] 本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出∠C ，再利用两角夹边作图． 解： 如图4－4－30所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作线段BC ＝a ；(3)分别以B ，C 为顶点，以BC 为一边作∠CBM ＝∠β，∠BCN ＝∠γ；(4)射线BM ，CN 交于点A .△ABC 就是所求作的三角形．图4－4－30【变式】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图已知：α∠，∠β和线段a ，求作ABC ，使A α∠=∠，2B β∠=∠，AB a =．要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．【详解】解：如图，△ABC即为所求．．【过关检测】一、单选题A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去【答案】A【分析】根据全等三角形的判定可进行求解【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．≌过程中，先作2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在用尺规作图得到DBC ABCDBC ABC ∠=∠，再作DCB ACB ∠=∠，从而得到DBC ABC ≌，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】B 【分析】根据题意分析可得DBC ABC ∠=∠，DCB ACB ∠=∠，再加上公共边BC BC =，根据AAS ，即可判断DBC ABC ≌．【详解】解：∵得DBC ABC ∠=∠， BC BC =，DCB ACB ∠=∠，∴DBC ABC≌()ASA ， 故选：B ．【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，OC 平分AOB ∠，点P 是射线OC 上一点，PM OB ⊥于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，连接PN ，若6PM =，则PN 的长度不可能是（ ）【答案】D 【分析】如图所示，过点P 作PH OA ⊥于H ，证明POH POM △≌△得到6PH PM ==，由垂线段最短可知PN PH ≥，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P 作PH OA ⊥于H ，∵PM OB ⊥，∴90PHO PMO ==︒∠∠，∵OC 平分AOB ∠，∴POH POM ∠=∠，又∵OP OP =，∴()AAS POH POM △≌△，∴6PH PM ==，由垂线段最短可知PN PH ≥，∵(264036=>，∴6，∴四个选项中，只有D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，实数比较大小，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，AD BC ∥，ABC ∠的平分线BP 与BAD ∠的平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ，若4PE =，则点P 到AD 与BC 的距离之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】如图所示，过点P 作FG AD ⊥与F ，延长FP 交BC 于G ，先证明AD FG ⊥，由角平分线的定义得到EBP GBP =∠∠，进而证明EBP GBP △≌△得到4PG PE ==，同理可得4PF PE ==，则8FG PF PG =+=，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点P 作FG AD ⊥与F ，延长FP 交BC 于G ，∵AD BC ∥，∴AD FG ⊥，∵PE AB ⊥，∴90PFA PEA PEB PGB ====︒∠∠∠∠，∵BP 平分ABC ∠，∴EBP GBP =∠∠，又∵BP BP =，∴()AAS EBP GBP △≌△，∴4PG PE ==，同理可得4PF PE ==，∴8FG PF PG =+=，∴点P 到AD 与BC 的距离之和为8，故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线间的距离等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，90C ∠=︒，点M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，且8CB =，则点M 到线段AD 的最小距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】如图所示，过点M 作ME AD ⊥于E ，证明MDE MDC △≌△，得到ME MC =，再根据线段中点的定义得到142ME MC BC ===，根据垂线段最短可知点M 到线段AD 的最小距离为4．【详解】解：如图所示，过点M 作ME AD ⊥于E ，∴90MED C ==︒∠∠，∵DM 平分ADC ∠，∴MDE MDC =∠∠，又∵MD MD =，∴()AAS MDE MDC △≌△，∴ME MC =，∵点M 是BC 的中点，8CB =，∴142ME MC BC ===，∴点M 到线段AD 的最小距离为4，故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点E 在ABC 外部，点D 在ABC 的BC 边上，DE 交AC 于F ，若123∠=∠=∠，AE AC =，则（ ）．A ．ABD AFE △≌△B ．AFE ADC ≌△△ C ．AFE DFC ≌△△D ．ABC ADE △≌△ 【答案】D 【分析】首先根据题意得到BAC DAE ∠=∠，E C ∠=∠，然后根据ASA 证明ABC ADE △≌△．【详解】解：∵12∠=∠，∴12DAC DAC ∠+∠=∠+∠，∴BAC DAE ∠=∠，∵23∠∠=，AFE DFC ∠=∠，∴E C ∠=∠，∴在ABC 和ADE V 中，BAC DAE AC AEC E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABC ADE ≌△△， 故选：D ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．7．（2023·浙江·八年级假期作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．①②③都带去【答案】B 【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA ，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ． 8．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ，8AD BD ==，10AC =，2AE =，则BF 的长为（ ）A ．11.2B ．11.5C ．12.5D ．13【答案】A 【分析】先证明BDE ADC △≌△，可得 6DE DC ==，14BC =，而10AC =，再由等面积法可得答案．【详解】解：∵ABC 的两条高AD 和BF 相交于点E ，∴90ADB ADC BFA ∠=∠=︒=∠，∵AEF BED ∠=∠，∴DBE DAC ∠=∠，∵8AD BD ==，2AE =，∴BDE ADC △≌△，6DE =，∴6DE DC ==，∴14BC =，而10AC =，由等面积法可得：111481022BF ⨯⨯=⨯⨯，解得：11.2BF =；故选A【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等面积法的应用，证明BDE ADC △≌△是解本题的关键． 9．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上；最后，他用步测的办法量出自己与E 点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定ABC DEF ≌△△的理由可以是（ ）A ． SSSB ． SASC ． ASAD ． AAA【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上，∴A D ∠=∠，∵AC BC ⊥，DF EF ^，∴90ACB DFE ∠=∠=︒，∵AC DF =，∴判定ABC DEF ≌△△的理由是ASA ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．10．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，已知BP 是ABC ∠的平分线，AP BP ⊥，若212cm BPC S =△，则ABC 的面积（ ）A ．224cmB ．230cmC ．236cmD ．不能确定【答案】A【分析】延长AP 交BC 于点C ，根据题意，易证()ASA ABP DBP ≌，因为APC △和DPC △同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出2224cm ABC BPC S S ==．【详解】如图所示，延长AP ，交BC 于点D ，，∵AP BP ⊥，∴90APB DPB ∠=∠=︒，∵BP 是ABC ∠的角平分线，∴ABP DBP ∠=∠，在ABP 和DBP 中，ABP DBP BP BP APB DPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA ABP DBP ≌，∴AP DP =,∴ABP DBP S S =△△，∵APC △和DPC △同底等高，∴APC DPC S S =△，∴PBC DPB DPC ABP APC S S S S S =+=+△△△△，∴2224ABC BPC S S cm ==，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．二、填空题 11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，补充一个条件______后，可用“AAS ”判断ABE ACD ≌．【答案】BE CD =或AE AD =【分析】由于两个三角形已经具备B C ∠=∠，A A ∠=∠，故要找边的条件，只要不是这两对角的夹边即可．【详解】解：∵B C ∠=∠，A A ∠=∠，∴若用“AAS ”判断ABE ACD ≌，可补充的条件是BE CD =或AE AD =；故答案为：BE CD =或AE AD =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键．七年级期末）如图，在ABC 中， 【答案】ASA【分析】由AD BC ⊥、AD 平分BAC ∠、AD AD =可得出两个三角形对应的两个角及其夹边相等，于是可以利用ASA 判定这两个三角形全等．【详解】∵AD BC ⊥，∴90BDA CDA ︒=∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴BAD ∠CAD =∠．在ABD △与ACD 中，BDA CDA AD AD BAD CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABD ACD ≌．故答案为：ASA【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是找到两个三角形对应的边角相等． 13．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，AB CD ⊥，且AB CD =，连接AD ，CE AD ⊥于点E ，BF AD ⊥于点F ．若8CE =，5BF =，4EF =，则AD 的长为________．【答案】9【分析】只要证明(AAS)ABF CDE ≌，可得8AF CE ==，5BF DE ==，推出AD AF DF =+即可得出答案．【详解】解：∵AB CD ⊥，CE AD ⊥，BF AD ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒，90A D ∠+∠=︒，90C D ∠=∠=︒，∴A C ∠=∠，∵AB CD =，∴(AAS)ABF CDE ≌，∴8AF CE ==，5BF DE ==，∵4EF =，∴()8549AD AF DF =+=+−=，故答案为：9．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）如图，A ，B 两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF ，且使BF AB ⊥，在BF 上截取BC CD =，过D 点作DE BF ⊥，使E C A ，，在一条直线上，测得16DE =米，则A ，B 之间的距离为______米．【答案】16【分析】根据已知条件可得ABC EDC △≌△，从而得到DE AB =，从而得解．【详解】∵BF AB DE BF ⊥⊥，，∴90B EDC ∠=∠=°，∵90B EDC ∠=∠=，BC CD BCA DCE =∠=∠，，∴()ASA ABC EDC ≌△△，∴DE AB =．又∵16DE =米，∴16AB =米，即A B ，之间的距离为16米．【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．15．（2023·广东茂名·统考一模）如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB DE ∥，AD CF =，添加一个条件，使ABC DEF ≌△△，这个条件可以是______．（只需写一种情况）【答案】BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =（答案不唯一）【分析】先证明A EDF ∠=∠及AC DF =，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解．【详解】解∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =，理由是∶∵AB DE ∥，∴A EDF ∠=∠，∵AD CF =，∴AD CD CF CD +=+即AC DF =，当BC EF ∥时，有BCA EFD ∠=∠，则() ASA ABC DEF ≌， 当BCA EFD ∠=∠时，则() ASA ABC DEF ≌， 当B E ∠=∠时，则() AAS ABC DEF ≌， 当AB DE =时，则() SAS ABC DEF ≌，故答案为∶BC EF ∥或B E ∠=∠或BCA EFD ∠=∠或AB DE =．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理有SAS ， ASA ， AAS ， SSS 是解题的关键． 16．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M 与点O 的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O 处立竖杆PO ，并将顶端的活动杆PQ 对准点M ，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N ，测量点N 与点O 的距离，该距离即为点M 与点O 的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案．【详解】解：在POM 和PON △中，90OP OPPOM PON ⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ASA POM PON ∴≌，∴判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等，故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．【答案】 = 180BCA α∠+∠=︒【分析】①求出90BEC AFC ∠=∠=︒，CBE ACF ∠=∠，根据AAS 证BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，CE AF =即可得出结果；②求出CBE ACF ∠=∠，由AAS 证BCE CAF ≌△△，推出BE CF =，CE AF =即可得出结果．【详解】解：①90BCA ∠=︒，90α∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒，90BCE ACF ∠+∠=︒，CBE ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF V 中，BEC CFACB CA ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BCE CAF ∴△≌△，BE CF ∴=，CE AF =，||||EF CF CE BE AF ∴=−=−，②α∠与BCA ∠应满足180BCA α∠+∠=︒，在BCE 中，180180CBE BCE BEC α∠+∠=︒−∠=︒−∠，180BCA α∠=︒−∠，BCA CBE BCE ∴∠=∠+∠，ACF BCE BCA ∠+∠=∠，CBE ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF V 中，CBE ACF BEC CFACB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BCE CAF ∴△≌△， BE CF ∴=，CE AF =，||||EF CF CE BE AF ∴=−=−，故答案为：=，180BCA α∠+∠=︒．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形的外角性质等知识；解题的关键是判断出BCE CAF ≌△△． ABC 的角平分线，过点【答案】4【分析】延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，利用ASA 证明ABD △和ACF △全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【详解】解：如图，延长CE 与BA 的延长线相交于点F ，90EBF F ∠+∠=︒，90ACF F ∠+∠=︒，EBF ACF ∴∠=∠，在ABD △和ACF △中，EBF ACF AB ACBAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ABD ACF ∴≌， BD CF ∴=，BD Q 是ABC ∠的平分线，EBC EBF ∴∠=∠．在BCE 和BFE △中，BE BECEB FEB ⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA BCE BFE ∴≌， CE EF ∴=，2CF CE ∴=，24BD CF CE ∴===．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，理解题意、灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）首先根据垂直判定AB EF ∥，得到ABC F ∠=∠，再利用AAS 证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得9AB CF ==，4BC EF ==，再利用线段的和差计算即可．【详解】（1）解：∵CD AB ⊥，EF CE ⊥，∴AB EF ∥，∴ABC F ∠=∠，在ABC 和CFE 中，ACB EAC CE ⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABC CFE △△≌； （2）∵ABC CFE △△≌， ∴9AB CF ==，4BC EF ==，∴5BF CF BC =−=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是找准条件，证明三角形全等． 20．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图，A ，C ，D 三点共线，ABC 和CDE 落在AD 的同侧，AB CE ∥，BC DE =，B D ∠=∠．求证：AB CE AD +=．【答案】见解析【分析】证明()AAS ABC CDE ≌，得出AB CD =，BC CE =，即可证明结论．【详解】解：∵AB CE ∥，∴A DCE ∠=∠，∵B D ∠=∠，BC DE =，∴()AAS ABC CDE ≌，∴AB CD =，BC CE =，∴AB CE CD AC AD +=+=．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明ABC CDE △≌△．21．（2022秋·八年级课时练习）已知αβ∠∠，和线段a （下图），用直尺和圆规作ABC ，使A B AB a αβ∠=∠∠=∠=，，．【答案】见解析 【分析】先作出线段AB a =，再根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠，即可得到答案．【详解】解：作法如下图．1．作一条线段AB a =．2．分别以A ，B 为顶点，在AB 的同侧作DAB EBA αβ∠=∠∠=∠，，DA 与EB 相交于点C ．ABC 就是所求作的三角形．【点睛】本题主要考查了三角形的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知ABC ，请根据“ASA”作出DEF ，使DEF ABC ≌．【答案】见解析【分析】先作MEN B ∠=∠，再在EM 上截取ED BA =，在EN 上截取EF BC =，从而得到DEF ABC ≌．【详解】解：如图，DEF 为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 23．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，已知FB CE =，AB DE ∥，ACB DFE ∠=∠，试说明：AC DF =．【答案】见解析【分析】利用ASA 定理证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质分析求解．【详解】解：∵FB CE =，∴FB FC CE FC +=+，即BC EF =，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，在ABC 和DEF 中B E BC EF ACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC DEF ≌△△， ∴AC DF =．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．24．（2020秋·广东广州·八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习）如图，已知：EC AC =，BCE DCA ∠=∠，A E ∠=∠．求证：AB ED =．【答案】见解析【分析】先求出ACB ECD ∠=∠，再利用“角边角”证明ABC 和EDC △全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．【详解】证明：∵BCE DCA ∠=∠，∴BCE ACE DCA ACE ∠+∠=∠+∠，即ACB ECD ∠=∠．在ABC 和EDC △中，∵ACB ECD AC ECA E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABC EDC ≌△△．∴AB ED =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．25．（2023春·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上（F ，C 之间不能直接测量），点A ，D 在l 异侧，测得AB DE =，AB DE ∥，A D ∠=∠．(1)求证：ABC DEF ≌△△； (2)若10BE =，3BF =，求FC 的长度．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由AB DE ∥，得ABC DEF ∠=∠，而AB DE =，A D ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“ASA ”证明ABC DEF ≌△△； （2）根据全等三角形的性质得BC EF =，则3BF CE ==，即可求得FC 的长度．【详解】（1）解：证明：∵AB DE ∥，∴ABC DEF ∠=∠，在ABC 和DEF 中，A D AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ∴()ASA ABC DEF ≌△△； （2）解：由（1）知()ASA ABC DEF ≌△△，∴BC EF =， ∴BF FC CE FC +=+，∴3BF CE ==，∵10BE =，∴10334FC BE BF CE =−−=−−=，∴FC 的长度是4．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明ABC DEF ∠=∠是解题的关键． 26．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，ABC 中，BD CD =，连接BE ，CF ，且BE CF ∥．(1)求证：BDE CDF ≌；(2)若15AE =，8AF =，试求DE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)72【分析】（1）根据平行线的性质可得BED CFD Ð=Ð，根据全等三角形的判定即可证明；（2）根据全等三角形的性质可得DE DF =，即可求得．【详解】（1）证明：∵BE CF ∥，∴BED CFD Ð=Ð，∵BDE CDF ∠=∠，BD CD =，∴()AAS BDE CDF ≌；（2）由（1）结论可得DE DF =，∵1587EF AE AF =−=−=，∴72DE =．【点睛】全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）将两个三角形纸板ABC 和DBE 按如图所示的方式摆放，连接DC ．已知DBA CBE ∠=∠，BDE BAC ∠=∠，AC DE DC ==．(1)试说明ABC DBE ≌△△．(2)若72ACD ∠=︒，求BED ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)36BED ∠=︒【分析】（1）利用AAS 证明三角形全等即可；（2）全等三角形的性质，得到BED BCA ∠=∠，证明()SSS DBC ABC ≌，得到1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒，即可得解．【详解】（1）解：因为DBA CBE ∠=∠，所以DBA ABE CBE ABE ∠+∠=∠+∠，即DBE ABC ∠=∠．在ABC 和DBE 中，ABC DBE BAC BDEAC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， 所以()AAS ABC DBE ≌． （2）因为ABC DBE ≌△△， 所以BD BA =，BCA BED ∠=∠．在DBC △和ABC 中，DC AC CB CBBD BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以()SSS DBC ABC ≌， 所以1362BCD BCA ACD ∠=∠=∠=︒，所以36BED BCA ∠=∠=︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等． 28．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，线段AD 是ABC 的中线，分别过点B 、C 作AD 所在直线的垂线，垂足分别为E 、F ．(1)请问BDE 与CDF 全等吗？说明理由；(2)若ACF △的面积为10，CDF 的面积为6，求ABE 的面积．【答案】(1)BDE CDF ≌△△，见解析 (2)22【分析】（1）利用AAS 证明三角形全等即可．（2）根据中线性质，得到,ABD ACD ACF CDF CDF ==+=△△△△△BDE △S S S S S S ，结合ABEABD BDE S S S =+△△△计算即可． 【详解】（1）BDE CDF ≌△△，理由如下： ∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，∵BE AE ⊥，CF AE ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE 和CDF 中，BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS BDE CDF ≌．（2）∵10ACF S =△，6CDF S =△，BDE CDF ≌，∴10616ACD ACF CDF S S S =+=+=△△△，6BDE CDF S S ==，∵BD CD =∴ABD △和ACD 是等底同高的三角形∴16ABD ACD S S ==△△∴16622ABE ABD BDE S S S =+=+=△△△．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定和性质，中线的性质是解题的关键． 29．（2019·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC 中，点D 是三角形内一点，连接DA 、DB 、DC ，若,=∠=∠AB AC ADB ADC ，求证：AD 平分BAC ∠.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）已知点P 是等边三角形ABC 内的任意一点，过点P 分别作三边的垂线，分别交三边于点D 、点E 、点F .求证PD PE PF ++为定长,即可完成证明；（2）（面积法）过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ，再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.因为ADB ADC ∠=∠，所以ADE ADF ∠=∠，因此(AAS)ADF ADE ≅，得到AF AE =.进而AFC AEB ≅，得到ABD ACD ∠=∠，因此BAD CAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠.【详解】（1） 已知：等边如图三角形ABC ，P 为三角形ABC 内任意一点，PD ⊥AB, PF ⊥AC, PE ⊥BC, 求证：PD+PE+PF 为定值.证明：如图：过点A 作AG BC ⊥，垂足为点G ，分别连接AP 、BP 、CP .∵ABC ABP BCP CAP S S S S =++， ∴11112222BC AG BC PE AC PF AB PD =++又∵BC=AB=AC∴AG=PE+PF+PD,即PD PE PF AG ++=定长.∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（2）过点A 作AE BD ⊥交BD 延长线于点E ，再过点A 作AF CD ⊥交CD 延长线于点F.∵ADB ADC ∠=∠，∴ADE ADF ∠=∠，又∵AD=AD∴(AAS)ADF ADE ≅，∴AF AE =∴AFC AEB ≅，∴ABD ACD ∠=∠，∴BAD CAD ∠=∠，即AD 平分BAC ∠.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键．。
全等三角形的判定2-边角边
全等三角形的判定2-边角边大通五中“目标导学”教学设计科目：八年级第上册第（12）单元单元主题总课时6主备人：李双姐课题全等三角形的判定二-边课型新授课时安排角边1.经历三角形全等的判定方法“边角边”探索过程。
1学习2.会用“边角边”证明两个三角形全等.目标3.通过探究三角形全等的条件，培养学生观察分析图形的能力及发现问题的能力.重点难点重点：运用.“边角边”判定两个三角形全等.难点：总综合应用边边边、边角边证明有关三角形边角相等的问题。
学法采用合作学习的方法，通过相互质疑、争论，加深对知识的理解和掌握，提升指导数学思维能力的训练课前三角板准备个性调整互动教学预设过程从上节课的学习我们知道，三边对应相等的两个三角形全等。
导入那么“两条边及其一个角对应相等”能判定两个三角形全等吗？新课“边角边”探索过程；会用“边角边”当堂.经历三角形全等的判定方法目标证明两个三角形全等.1.阅读课本33、34页的内容2.写出三角形全等的判定方法“边角边”的内容。
3.有两边和期中一边的对角相等的两个三角形全等吗？预习导航4.三个角相等的两个三角形全等吗？探究新知：1.探究：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等吗？做一做：画△ABC，使AB=4cm，∠A=60°AC=5cm。
再换两条线段和一个角试一试：△ABC和△DEF中，AB=DE=3㎝，∠B=∠E=45°，BC=EF=4㎝。
则它们完全重合吗？即△ABC≌△DEF？动画演示，确认△ABC≌△DEF。
推广：在△ABC和△AˊBˊCˊ中，已知AB=AˊBˊ，∠B=∠Bˊ，BC=BˊCˊ，△ABC与△AˊBˊCˊ全等吗？概括“边角边”判定定理。
2.探究“边边角”两个三角形是否全等？做一做：以3cm，4cm为三角形的两边，长度为3cm的边所对的角为45°，动手画一个三角形，把所画的三角形与同桌同学画课堂的三角形进行比较，那么所有的三角形都全等吗？助学结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等。