2.3晶体的对称性和分类
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晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
矿物结晶学基础：晶体的宏观对称与分类
矿物结晶学基础：晶体的宏观对称与分类晶体的宏观对称晶体的内部质点在三维空间为周期性的重复排列，因此晶体（原石）都具有一个特性----对称性→构成其外部几何形态的面、棱和角顶有规律地重复。
钻石原石海蓝宝原石尖晶石原石与成品对称是有限的不同的宝石矿物由于其内部质点按不同的规律重复排列（格子构造不同），因而会具有不同的对称性。
有的矿物晶体对称性很高(如钻石和尖晶石等)，有的则对称性较低(如托帕石、天河石等)。
只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上体现出来，因此晶体的对称是有限的。
对称性很高的石榴石对称性没那么明显的天河石如何分析对称性？为了研究和分析晶体的对称性，往往要进行一系列的操作----使晶体中相同部分重复而进行的操作，称之为对称操作。
进行对称操作所借助的几何要素(点、线、面)称为对称要素，一般包括对称面、对称轴和对称中心等。
对称面----是一个假想的通过晶体中心的平面，它将晶体平分为互为镜像的两个相等部分，以P来表示，最多可有9个。
对称面与非对称面的对比立方体的九个对称面（记作9P）对称轴----一根假想的通过晶体中心的直线。
怎么确定呢？围绕此直线旋转一周，看晶体中相同部分重复出现的次数，我们把次数叫轴次，且只能出现2、3、4、6次，分别表示为L2、L3、L4、L6。
其中轴次高于2次的对称轴（即L3、L4、L6）称为高次轴。
绿柱石具六次对称轴（可见正六边形的横截面）对称中心----一个假想的位于晶体中心的点，相应的对称操作就是对此点的反伸。
如果通过此点作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端必定可找到对应点。
对称中心用C来表示。
PS：对称中心C最多只有一个。
当存在对称中心时，晶面常成对分布、两两平行、同形等大......对称要素总结一个晶体中所有对称要素（对称面、对称轴和对称中心）的组合称为该晶体的对称型。
例如，萤石晶体存在三个L4、四个L3、六个L2、九个对称面P、一个对称中心C，那么萤石的对称型就是所有这些对称要素的总和。
07-2.3晶体的对称性
2.3.2.1 点群
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____
晶体的对称性理论
1、旋转轴-旋转 对称要素：旋转轴，符号 n 对称动作：旋转 符号：L(α),α为基转角， n为旋转轴的轴次，即阶次，二者的关系 n=360°/α 特点：一条线不动，旋转能使相等图形重合，不能 使左右手重合。
7
2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面
30
问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
11
12
6、螺旋轴-旋转+平移
21
(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。
7
2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面
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问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
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6、螺旋轴-旋转+平移
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(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。
晶体的对称性
x1
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23
a31
a32
a33
（x1’,x2’,x
3’)
θ （x1,x2,x3)
α
x2
由于操作前后，两点间的距离保持不变，即
x1' 2 x2' 2 x3' 2 x12 x22 x32
而 x1'2 x2' 2 x3' 2 x2' x2' AxAx x AAx x12 x22 x32 xx
立方晶系：在立方晶胞4个方向体对角线上均有三重旋转轴 (a=b=c, α=β=γ=90)
六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)
三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对 称面(α=β=γ=90;)
晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示
对称轴度数的符号表
对称轴
2
3
4
6
的度数n
符号
▼
（b）n度旋转-反演轴 若绕某一固定轴u旋转2π/n角度以后，再经过中心反演（即x→ -x ，y → -y，z → -z），晶体能够自身重合，则称u为n度旋转-反演 轴 这。样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的
1 0 0 A 0 1 0
0 0 1
（x1,x2,x3)
x2
（x1,x2,-x3)
A 1
2）基本的对称操作 （a）n度旋转对称轴
晶体的对称性
晶体的对称性晶体因为有了对称，所以才有了他的美丽、永恒，下面重点说下他的对称性一. 对称的概念物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复。
例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、服饰等。
二. 晶体对称的特点晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。
晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和划分晶体具有重要意义。
1.完全性：所有晶体都具有对称性。
（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；2.有限性：晶体的对称要素是有限的。
要受到晶体对称规律的控制：不出现5次或高于6次的对称轴；3.一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。
三。
对称操作（变换）和对称要素的概念对称操作——指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。
如，旋转、反映、反伸、旋转反伸等。
对称要素——指在进行对称变换时所凭借的几何要素（点、线、面）。
四. 晶体宏观的对称要素1. 对称面（P）对称面为一假想的面，相对应的对称变换是反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。
对称面的寻找：1）垂直并平分晶面；2）垂直并平分晶棱；3）包含晶棱并穿过角顶。
注意：a. 晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；b 必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c 寻找对称面时要尽量避免转动模型，以免造成重复；d 对称面的数目写在前面：如，9P。
2. 对称轴（Ln）对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转。
旋转一定角度后可使相同（等）部分重复。
轴次（n）——旋转一周重复的次数；基转角（α）——重复时所旋转的最小角度。
二者之间的关系为n = 360°/ α 。
晶体的对称定律（晶体对称的有限性所决定）：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴（准晶体则可以出现）。
晶体的对称性
点群的Schönflies符号：
主轴：Cn、Dn、Sn、T和O Cn：n次旋转轴； Sn ： n次旋转－反映轴； Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴 T： 四面体群； O： 八面体群。
脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面； v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面； d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。
用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持
两点距离不变的变换： ⎛ x ' ⎞ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ x ⎞
数学上可以写作：
⎜ ⎜⎜⎝
y z
' '
⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
a21 a31
a22 a32
a23 a33
⎟⎟⎟⎠i⎜⎜⎜⎝
y z
⎟ ⎟⎟⎠
其中 Aij 为正交矩阵
从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 (Rotation about an axis)
准晶态结构特点：具有长程取向序，没有长程平移对 称性。
其实准晶可以看作是具有平移对称性的六维超空间在三维真实 空间的投影
黄昆书 47-48 陈长乐书 20-22
1974年Penrose提出的数学游戏
五次对称的黄金分割无理数
边长有两种取值：1， 1+ 5 = 1.618
2
二十面体AlPdMn表面的STM图像
D2、C2V、D2h
C3、S6、D3 C3Ｖ、D3d
C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h C6、C3h、C6h、 D6、C6V、D3h、
D6h T、Th、Td
O、Oh
P、C P、C、I、
F R P、I
H
材料分析方法-李晓娜-3 微观对称性-空间群-实际晶体结构
35
Cu3Au, simple cubic
36
常用晶体学手册及软件介绍
1. 晶体学手册-Pearson’s Handbook （皮尔森手册）介绍
37
2. CaRIne Crystallography 程序简介
3. 晶体结构立体模型 建构软件-Diamond
常用的晶体学软件还有Mercury，Chemdraw，Olex，Atoms……等等，
4
螺旋轴： 旋转+平移
5
6
对称变 换中所 有的轴 对称素
7
滑移面
反映+平移
滑移面可以垂直纸面放置，如左图中虚线表示垂直于纸面的b滑移面的投
影，也可以平行于纸面放置或直接与纸面重合，如右图中右上角的标记表示
n滑移面与纸面重合，所以在图中起始在纸面上方的点，滑移一次后到纸面
下方，用点旁边的正负号分别表示其在纸面上或下，也可由空心圆圈中的点
从高到低用字母a、b、c、d、e、f等表示，称其为乌科夫（
Wyckoff）符号。具有同一个乌科夫符号的位置，属于同一 个等效点系。同乌科夫符号在一起的数字就是它所代表的等 效点系的点数，也就是由空间群对称性联系起来的对称相关 位置数。
17
晶体对称性小结
晶体宏观对称要素：5个旋转轴，5个旋转反轴
按规定组合在一点
40
2. 画出四种平面点阵（它是无限大的）除平移外的所有对称 元素及其所在位置（在有限个阵点画出就可以了）。
41
42
3. 某正交晶系单胞中，在如下位置有单原子存在：①(0, 1/2, 0)，(1/2, 0, 1/2)两种位置都是同类原子；②([1/2, 0,0])， (0, 1/2, 1/2)上是A 原子，(0, 0, 1/2)，(1/2, 1/2, 0)是B 原子。 问上两种晶胞各属于哪一种布喇菲点阵？
Cu3Au, simple cubic
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常用晶体学手册及软件介绍
1. 晶体学手册-Pearson’s Handbook （皮尔森手册）介绍
37
2. CaRIne Crystallography 程序简介
3. 晶体结构立体模型 建构软件-Diamond
常用的晶体学软件还有Mercury，Chemdraw，Olex，Atoms……等等，
4
螺旋轴： 旋转+平移
5
6
对称变 换中所 有的轴 对称素
7
滑移面
反映+平移
滑移面可以垂直纸面放置，如左图中虚线表示垂直于纸面的b滑移面的投
影，也可以平行于纸面放置或直接与纸面重合，如右图中右上角的标记表示
n滑移面与纸面重合，所以在图中起始在纸面上方的点，滑移一次后到纸面
下方，用点旁边的正负号分别表示其在纸面上或下，也可由空心圆圈中的点
从高到低用字母a、b、c、d、e、f等表示，称其为乌科夫（
Wyckoff）符号。具有同一个乌科夫符号的位置，属于同一 个等效点系。同乌科夫符号在一起的数字就是它所代表的等 效点系的点数，也就是由空间群对称性联系起来的对称相关 位置数。
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晶体对称性小结
晶体宏观对称要素：5个旋转轴，5个旋转反轴
按规定组合在一点
40
2. 画出四种平面点阵（它是无限大的）除平移外的所有对称 元素及其所在位置（在有限个阵点画出就可以了）。
41
42
3. 某正交晶系单胞中，在如下位置有单原子存在：①(0, 1/2, 0)，(1/2, 0, 1/2)两种位置都是同类原子；②([1/2, 0,0])， (0, 1/2, 1/2)上是A 原子，(0, 0, 1/2)，(1/2, 1/2, 0)是B 原子。 问上两种晶胞各属于哪一种布喇菲点阵？
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三维晶体的点对称操作通常总可以表示为绕某 一轴的旋转、对某中心的反演和它们的组合. 点对称操作对应的变换矩阵A的具体形式 （1）绕某一轴的旋转(rotation about an axis) 比如：绕x轴的旋转，设转角为θ，则有：
x x y y cos z sin z y sin z cos
x x y y z z
x 1 0 0 x y 0 1 0 y z 0 0 1 z
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
(3) 镜面反映(Reflection across a plane) 一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进 行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于 这个反射面的位臵是等价的,点阵具有镜面反射 对称性.如以xy面为镜面，则(x, y, z) →(x, y, -z)。 用矩阵形式表示，则有
旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。
1次旋转反演轴就等价于对称中心i
1 i
2次旋转反演轴就等价于垂直于该轴的对称镜面m
2m
3次旋转反演轴就等价于3次纯旋转轴加上对称中心, 记为 3 3i 3 3i
1i
1 1
2m
1
3 4
5 1
2
2
6
2
6=3+m 3 3 5 1 5 1 6 2 ' 6 4 4 2 A B C D
第三节
晶体的对称性和分类
本节主要内容:
一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作
二、晶体的微观对称性和微观对称操作 三、群和晶体结构的分类
一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作
物体的性质在不同方向或位臵上有规律地重 复出现的现象称为对称性 对称性的本质是指系统中的一些要素是等 价的，它可使复杂物理现象的描述变得简单、 明了。因为对称性越高的系统，需要独立表征 的系统要素就越少，因而描述起来就越简单， 且能大大简化某些计算工作量。 我们这里要讨论的主要是晶体（晶格或点 阵)的对称性(symmetry of lattice).
2 2 2 2 2 , , , , n 1,6,4,3,2 6 4 3 2
通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称轴，简 称主轴 (但是立方晶系则以3次轴为主轴),其它为副轴. 晶体的对称操作除了旋转、中心反演和镜面反映3种基 本对称操作外，在某些晶体中还存在着等价于相继进行 两个基本对称操作(乘法)而得到的独立对称操作，称为 组合操作，从而出现新的对称元素 如果一个晶体先绕某轴旋转2π/n，再进行中心反演后， 晶体保持不变，称该轴为n次（或n度）旋转反演轴， 上述操作称为非纯旋转操作。 记为 。n 由于晶体周期性的限制，旋转反演轴也必须遵循晶体 的对称性定律 ，即： n 1, 2, 3, 4, 6
一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作
1. 概念解释 晶体的宏观对称性就是晶体外形所包围的点 阵结构的对称性. 晶体的宏观对称性来源于点阵结构的对称性， 相应的宏观对称操作是一种非平移对称操作。 晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描 述,这样以来,晶体变为无限大的空间点阵.从而,晶 体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量,晶格 能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称为 晶体的微观对称性.
0 x 1 y 0 cos z 0 sin x sin y z cos 0
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
0 1 Ax 0 cos 0 sin sin cos 0
T / T / T T T r r r r ( Ar ) ( Ar ) r A Ar
得证.
/ / / / r ( x , y , z ) Ar ( x, y, z )
T / T / r r r r
以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变, 就称这个正交变换是晶体的一个点对称操作.
x a11 a12 r y A a21 a22 z a 31 a32
a13 a23 a33
x x a11 y y a21 z z a 31
例如立方对称有三条4次轴<100>，绕每个4次轴 旋转π/2、π、3π/2都是对称操作，这样对于三 条4次轴，共有9个对称操作；还有四条3次轴 <111>（空间对角线），绕每个3次轴旋转2π/3、 4π/3都是对称操作，这样对于四条3次轴，共有 8个对称操作；再就是六条2次轴<110>（面对角 线），绕每个2次轴旋转π都是对称操作，这样 对于六条2次轴，共有6个对称操作；不动（旋 转2π）本身也是1个对称操作。所以纯旋转操作 加起来共24个，由于立方对称有对称中心，所 以纯旋转操作加上中心反演的组合操作，即非 纯旋转操作共24个，合起来48个。
6次旋转反演轴等价于3次纯旋转 轴加上垂直于该轴的对称镜面m， 记为 6 3 m
只有具有4次旋转反演轴的晶体,既 没有4次纯旋转轴,也没有对称中心 i，但包括一个与4次旋转反演轴重 合的2次轴.
D
C
A
G
G
H
B F
E H E F 所以旋转反演轴中只有 4 是独立的对称素
旋转反演对称操作中只有4度 旋转反演对称操作是独立的 还有一些其它的组合操作， 如旋转+镜面反映，但不再给 出新的对称元素。
由于把立方体相间的四个顶点连接起来就构 成了正四面体，所以，正四面体所有对称素和 对称操作包含于立方体中。由于正四面体没有 对称中心，立方对称的三条4次轴<100>和对称 中心退化为四次旋转反演轴【6个非纯转动（转 动π/2或3π/2）加上3个纯转动（转动π）】。同 理，四条3次轴<111>和对称中心退化为三次旋 转反演轴（等价于8个纯转动），六条2次轴 <110>和对称中心退化为二次旋转反演轴（6个 非纯转动），加上不动，共24个对称操作。它 保留了立方体的12个纯旋转操作和12个非纯旋 转操作。
A 1
当变换是纯转动时，矩阵的行列式等于+1；当 是空间反演或镜面反射时等于-1. 前一种对应物 体的实际运动，另一种不能靠物体的实际运动 来实现。 3. 宏观对称操作和宏观对称元素 绕固定轴的转动(rotation about an axis)、中 心反演(inversion through a point)和镜面反映 (Reflection across a plane)是晶体中的三种基本 的点对称操作。相应的对称元素有:对称轴、对 称中心、对称面。
晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映 出来,如sc、bcc、fcc结构的立方晶体,绕晶胞的任 一基矢轴旋转π/2或π/2的整数倍的操作,都能使晶 体的外形保持不变,这就是晶体的对称性.
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作. 晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）. 这种对称性不仅表现在晶体的几何外形上,而且 反映在晶体的宏观物理性质中,称为晶体的宏观 对称性.
a12 a22 a32
a13 x a23 y a33 z
A为变换矩阵,由于点对称操作不改变两点间的 距离,所以易证A是一个正交矩阵.亦即满足
A A E
T
两点间的距离不变,即 用矩阵表示即
x 2 y 2 z 2 x2 y2 z2
写成矩阵形式，则有
x x a11 y y a21 z z a 31 a12 a22 a32 a13 x a23 y a33
x x y y z z
x 1 0 0 x y 0 1 0 y z 0 0 1 z
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos Ay 0 sin 0 sin 1 0 0 cos
cos Az sin 0
sin cos 0
0 0 1
且矩阵行列式均为：
A 1
（2）中心反演(inversion through a point) 如果,晶体有对称中心,则中心反演也是对称操 作. 对原点的反演使得 (x, y, z) → (-x, -y, -z)，即：
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
晶体中8种独立的宏观对称元素（或对称操作） 用熊夫利符号标记则为C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci， Cs，S4。 总之，晶体的所有点对称操作都可由这8种操 作或它们的组合来完成。
由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏 观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动,相应 的对称操作又称为点对称操作. 2. 对称操作的变换矩阵
从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对 晶体进行一定的几何变换,它使得晶体中的某一 / / / / 点 r ( x, y, z ) r ( x , y , z ) Ar ( x, y, z )
由于 ABAB 组成等腰梯形,
因此 m为整数
AB mAB ma,
B
a
A
a
亦即： 2a cos( ) a ma
x x y y cos z sin z y sin z cos
x x y y z z
x 1 0 0 x y 0 1 0 y z 0 0 1 z
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
(3) 镜面反映(Reflection across a plane) 一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进 行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于 这个反射面的位臵是等价的,点阵具有镜面反射 对称性.如以xy面为镜面，则(x, y, z) →(x, y, -z)。 用矩阵形式表示，则有
旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。
1次旋转反演轴就等价于对称中心i
1 i
2次旋转反演轴就等价于垂直于该轴的对称镜面m
2m
3次旋转反演轴就等价于3次纯旋转轴加上对称中心, 记为 3 3i 3 3i
1i
1 1
2m
1
3 4
5 1
2
2
6
2
6=3+m 3 3 5 1 5 1 6 2 ' 6 4 4 2 A B C D
第三节
晶体的对称性和分类
本节主要内容:
一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作
二、晶体的微观对称性和微观对称操作 三、群和晶体结构的分类
一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作
物体的性质在不同方向或位臵上有规律地重 复出现的现象称为对称性 对称性的本质是指系统中的一些要素是等 价的，它可使复杂物理现象的描述变得简单、 明了。因为对称性越高的系统，需要独立表征 的系统要素就越少，因而描述起来就越简单， 且能大大简化某些计算工作量。 我们这里要讨论的主要是晶体（晶格或点 阵)的对称性(symmetry of lattice).
2 2 2 2 2 , , , , n 1,6,4,3,2 6 4 3 2
通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称轴，简 称主轴 (但是立方晶系则以3次轴为主轴),其它为副轴. 晶体的对称操作除了旋转、中心反演和镜面反映3种基 本对称操作外，在某些晶体中还存在着等价于相继进行 两个基本对称操作(乘法)而得到的独立对称操作，称为 组合操作，从而出现新的对称元素 如果一个晶体先绕某轴旋转2π/n，再进行中心反演后， 晶体保持不变，称该轴为n次（或n度）旋转反演轴， 上述操作称为非纯旋转操作。 记为 。n 由于晶体周期性的限制，旋转反演轴也必须遵循晶体 的对称性定律 ，即： n 1, 2, 3, 4, 6
一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作
1. 概念解释 晶体的宏观对称性就是晶体外形所包围的点 阵结构的对称性. 晶体的宏观对称性来源于点阵结构的对称性， 相应的宏观对称操作是一种非平移对称操作。 晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描 述,这样以来,晶体变为无限大的空间点阵.从而,晶 体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量,晶格 能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称为 晶体的微观对称性.
0 x 1 y 0 cos z 0 sin x sin y z cos 0
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
0 1 Ax 0 cos 0 sin sin cos 0
T / T / T T T r r r r ( Ar ) ( Ar ) r A Ar
得证.
/ / / / r ( x , y , z ) Ar ( x, y, z )
T / T / r r r r
以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变, 就称这个正交变换是晶体的一个点对称操作.
x a11 a12 r y A a21 a22 z a 31 a32
a13 a23 a33
x x a11 y y a21 z z a 31
例如立方对称有三条4次轴<100>，绕每个4次轴 旋转π/2、π、3π/2都是对称操作，这样对于三 条4次轴，共有9个对称操作；还有四条3次轴 <111>（空间对角线），绕每个3次轴旋转2π/3、 4π/3都是对称操作，这样对于四条3次轴，共有 8个对称操作；再就是六条2次轴<110>（面对角 线），绕每个2次轴旋转π都是对称操作，这样 对于六条2次轴，共有6个对称操作；不动（旋 转2π）本身也是1个对称操作。所以纯旋转操作 加起来共24个，由于立方对称有对称中心，所 以纯旋转操作加上中心反演的组合操作，即非 纯旋转操作共24个，合起来48个。
6次旋转反演轴等价于3次纯旋转 轴加上垂直于该轴的对称镜面m， 记为 6 3 m
只有具有4次旋转反演轴的晶体,既 没有4次纯旋转轴,也没有对称中心 i，但包括一个与4次旋转反演轴重 合的2次轴.
D
C
A
G
G
H
B F
E H E F 所以旋转反演轴中只有 4 是独立的对称素
旋转反演对称操作中只有4度 旋转反演对称操作是独立的 还有一些其它的组合操作， 如旋转+镜面反映，但不再给 出新的对称元素。
由于把立方体相间的四个顶点连接起来就构 成了正四面体，所以，正四面体所有对称素和 对称操作包含于立方体中。由于正四面体没有 对称中心，立方对称的三条4次轴<100>和对称 中心退化为四次旋转反演轴【6个非纯转动（转 动π/2或3π/2）加上3个纯转动（转动π）】。同 理，四条3次轴<111>和对称中心退化为三次旋 转反演轴（等价于8个纯转动），六条2次轴 <110>和对称中心退化为二次旋转反演轴（6个 非纯转动），加上不动，共24个对称操作。它 保留了立方体的12个纯旋转操作和12个非纯旋 转操作。
A 1
当变换是纯转动时，矩阵的行列式等于+1；当 是空间反演或镜面反射时等于-1. 前一种对应物 体的实际运动，另一种不能靠物体的实际运动 来实现。 3. 宏观对称操作和宏观对称元素 绕固定轴的转动(rotation about an axis)、中 心反演(inversion through a point)和镜面反映 (Reflection across a plane)是晶体中的三种基本 的点对称操作。相应的对称元素有:对称轴、对 称中心、对称面。
晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映 出来,如sc、bcc、fcc结构的立方晶体,绕晶胞的任 一基矢轴旋转π/2或π/2的整数倍的操作,都能使晶 体的外形保持不变,这就是晶体的对称性.
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作. 晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）. 这种对称性不仅表现在晶体的几何外形上,而且 反映在晶体的宏观物理性质中,称为晶体的宏观 对称性.
a12 a22 a32
a13 x a23 y a33 z
A为变换矩阵,由于点对称操作不改变两点间的 距离,所以易证A是一个正交矩阵.亦即满足
A A E
T
两点间的距离不变,即 用矩阵表示即
x 2 y 2 z 2 x2 y2 z2
写成矩阵形式，则有
x x a11 y y a21 z z a 31 a12 a22 a32 a13 x a23 y a33
x x y y z z
x 1 0 0 x y 0 1 0 y z 0 0 1 z
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos Ay 0 sin 0 sin 1 0 0 cos
cos Az sin 0
sin cos 0
0 0 1
且矩阵行列式均为：
A 1
（2）中心反演(inversion through a point) 如果,晶体有对称中心,则中心反演也是对称操 作. 对原点的反演使得 (x, y, z) → (-x, -y, -z)，即：
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
晶体中8种独立的宏观对称元素（或对称操作） 用熊夫利符号标记则为C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci， Cs，S4。 总之，晶体的所有点对称操作都可由这8种操 作或它们的组合来完成。
由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏 观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动,相应 的对称操作又称为点对称操作. 2. 对称操作的变换矩阵
从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对 晶体进行一定的几何变换,它使得晶体中的某一 / / / / 点 r ( x, y, z ) r ( x , y , z ) Ar ( x, y, z )
由于 ABAB 组成等腰梯形,
因此 m为整数
AB mAB ma,
B
a
A
a
亦即： 2a cos( ) a ma