文科立体几何知识点、方法总结高三复习

立体几何知识点一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。

mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。

αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l O A l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

(一) 异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。

转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：=θcos (二) 线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，P A O ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。

(2)范围：]90,0[︒︒当︒=0θ时，α⊂l 或α//l 当︒=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。

θc ba步骤2：解三角形，求出线面角。

(三) 二面角及其平面角(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。

(2)范围：]180,0[︒︒ (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。

步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。

方法二：截面法。

步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。

步骤2：解三角形，求出二面角。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

步骤一：计算121212cos n n n n n n ⋅<⋅>=⋅步骤二：判断θ与12n n <⋅>的关系，可能相等或者互补。

四．距离问题。

1．点面距。

方法一：几何法。

步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。

步骤2：计算线段PO 的长度。

(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)2．线面距、面面距均可转化为点面距。

3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。

m如图，m 和n 为两条异面直线，α⊂n 且α//m ，则异面直线m 和n 之间的距离可转化为直线m 与平面α之间的距离。

方法二：直接计算公垂线段的长度。

方法三：公式法。

如图，AD 是异面直线m 和n 的公垂线段，'//m m ，则异面直线m 和n 之间的距离为：θcos 2222ab b a c d ±--=1A高考题典例考点1 点到平面的距离例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1C C 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A B D ；（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A B D 的距离．解答过程（Ⅰ）取B C 中点O ，连结A O ．A B C△为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABCA B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，A O ∴⊥平面11BC CB ．连结1B O ，在正方形11BBC C 中，OD ，分别为1B C C C，的中点， 1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A B D ．（Ⅱ）设1A B 与1A B 交于点G ，在平面1A B D 中，作1G F A D⊥于F，连结A F，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A B D ．1AF A D∴⊥， A F G ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得5AF =，又112A G A B ==sin 45AG AFGAF∴===∠．所以二面角1A A D B --的大小为arcsin4．（Ⅲ）1A BD △中，111A BD BDA D AB S ===∴=△1BC DS =△．在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B．设点C 到平面1A B D 的距离为d ．由11A BC DC A BD V V --=，得11133B C D A B D S S d=△△，12A BDd S ∴==△．∴点C 到平面1A B D2．考点2 异面直线的距离ABC D1A1C1BO F例2 已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离.解答过程： 如图所示，取BD 的中点F ，连结EF ，SF ，CF ，EF ∴为BCD ∆的中位线，EF ∴∥CD CD ∴,∥面SEF ,CD∴到平面SEF 的距离即为两异面直线间的距离.又 线面之间的距离可转化为线CD 上一点C 到平面SEF的距离，设其为h ，由题意知，24=BC ,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、BD 的中点，2,2,621,62=====∴SC DF CD EF CD 33222621312131=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴-SC DF EF V CEF S在Rt SCE ∆中，3222=+=CE SC SE 在Rt SCF ∆中，30224422=++=+=CFSCSF又3,6=∴=∆SEF S EF 由于h S V V S E F CE F S S E F C ⋅⋅==∆--31，即332331=⋅⋅h ，解得332=h故CD 与SE 间的距离为332.考点3 直线到平面的距离例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：解析一BD ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥ ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A ,又⊂11D B 平面11D GB ∴平面1111D GB ACCA ⊥，两个平面的交线是G O 1,BACDOGH 1A 11D1B 1O作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中，222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O .又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O .即BD 到平面11D GB 的距离等于362.解析二 BD ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则，由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V ,,36264==∴h即BD 到平面11D GB 的距离等于362.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4 异面直线所成的角 例4如图，在R t AO B △中，π6O A B∠=，斜边4A B =．R t A O C △可以通过R t AO B △以直线A O 为轴旋转得到，且二面角B A O C --的直二面角．D 是A B 的中点． （I ）求证：平面C O D ⊥平面AO B ；（II ）求异面直线A O 与C D 所成角的大小． 解答过程：（I ）由题意，C O A O ⊥，B O A O ⊥，B OC ∴∠是二面角B A O C --是直二面角，C O B O ∴⊥，又AO BO O = ，C O ∴⊥平面AO B ，又C O ⊂平面C O D ．∴平面C O D ⊥平面AO B ．（II ）作D E O B ⊥，垂足为E ，连结C E （如图），则D E A O ∥，BC D E∴∠是异面直线A O 与C D 所成的角．在R t C O E △中，2C O BO ==，112O EB O ==，CE ∴==又12D EA O ==∴在R t C D E △中，tan 3C E CD ED E===．∴异面直线A O 与C D所成角的大小为arctan 3小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π. 考点5 直线和平面所成的角例5. 四棱锥S A B C D -中，底面A B C D 为平行四边形，侧面SB C⊥底面A B C D ．已知45ABC = ∠，2A B =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA B C⊥；（Ⅱ）求直线S D 与平面SA B 所成角的大小．解答过程：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结A O ，由侧面S B C ⊥底面AB ，得SO ⊥底面A BCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC = ∠，故A O B △为等腰直角三角形，A OB O ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA B C ⊥，依题设A D B C ∥， 故SA A D ⊥，由AD BC ==，SA =AO =得 1SO =，SD =． S AB △的面积112S AB =连结D B ，得D A B △的面积21sin 13522S A B A D ==设D 到平面SA B 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =，解得h =设S D 与平面SA B 所成角为α，则sin 11h SDα===所以，直线S D 与平面S B C所成的我为arcsin11小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平DBCASOD BCAS面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点6 二面角例6．如图，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，C A C B =，45BAP ∠= ，直线C A 和平面α所成的角为30．（I ）证明BC PQ ⊥（II ）求二面角B A C P --的大小．过程指引：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结O B ． 因为αβ⊥，PQ αβ= ，所以C O α⊥， 又因为C A C B =，所以O A O B =．而45BAO ∠= ，所以45ABO ∠= ，90AOB ∠= ， 从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥，所以PQ ⊥平面O BC ．因为B C ⊂平面O BC ，故PQ BC ⊥． （II ）由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ= ，B O α⊂，所以BO β⊥．过点O 作O H AC ⊥于点H ，连结B H ，由三垂线定理知，B H A C ⊥．故B H O ∠是二面角B A C P --的平面角．由（I ）知，C O α⊥，所以C A O ∠是C A 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2A C =，则AO =sin 302O H AO == ．在R t O AB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以B O A ==，于是在R t B O H △中，t a n 22BO BH O O H∠===．故二面角B A C P --的大小为arctan 2． 小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.ABC Qαβ P AB C Qαβ POH考点7 利用空间向量求空间距离和角例7． 如图，已知1111ABC D A B C D -是棱长为3的正方体， 点E 在1A A 上，点F 在1C C 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面； （2）若点G 在B C 上，23B G =，点M 在1B B 上，G M B F ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；（3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ． 过程指引：（1）如图，在1DD 上取点N ，使1D N =，连结E N ，C N ，则1A E D N ==，12C F N D ==．因为A E D N ∥，1N D C F ∥，所以四边形A D N E ，1CFD N 都为平行四边形．从而E N A D ∥，1FD C N ∥．又因为A D B C ∥，所以E N B C ∥，故四边形B C N E 是平行四边形，由此推知C N B E ∥，从而1FD BE ∥．因此，1E B F D ，，，四点共面． （2）如图，G M B F ⊥，又B M B C ⊥，所以B G M C F B =∠∠，tan tan BM BG BG M BG C FB == ∠∠23132B C B G C F ==⨯= ．因为A E B M ∥，所以ABM E 为平行四边形，从而A B E M ∥． 又AB ⊥平面11BCC B ，所以EM ⊥平面11BCC B ．（3）如图，连结E H ．因为M H B F ⊥，EM BF ⊥，所以BF ⊥平面EM H ，得EH B F ⊥．于是EH M∠是所求的二面角的平面角，即E H M θ=∠．因为M B H C F B =∠∠，所以sin sin M H B M M B H B M C F B == ∠∠1BM ===，tan E M M Hθ==CBG HMDEF1B1A1D1CCBAG HMDEF1B1A1D1CN。