第章_傅里叶变换和系统的频谱分析
傅里叶变换与频谱分析
傅里叶变换与频谱分析傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它是基于法国数学家傅里叶的研究成果而得名的。
频谱分析是利用傅里叶变换将信号分解为不同频率成分的过程。
通过傅里叶变换和频谱分析，我们可以理解信号的频域特性，以及从频域的角度对信号进行处理和解释。
傅里叶变换的基本原理是将一个周期为T的连续函数f(t)分解为一组基函数的线性组合。
这组基函数是正弦和余弦函数，它们的频率是f(t)中的频率成分。
在数学表达上，傅里叶变换是通过将一个信号f(t)与一个复指数函数e^(jωt)相乘，再对整个信号进行积分来实现的。
傅里叶变换公式如下所示：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)是信号f(t)在频率ω处的振幅和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以将一个时域信号从时间域转换到频率域。
在频率域中，我们可以分析信号的频率特性，包括信号的频率成分以及它们在整个信号中所占的比例。
这些信息对于了解信号的谐波分量、周期性、滤波等操作非常重要。
频谱分析是基于傅里叶变换得到的频域信息进行的。
它可以将一个信号在频谱上进行可视化，以便我们更好地理解信号的频域特性。
频谱分析通常呈现为频谱图，横轴表示频率，纵轴表示振幅或功率。
在频谱图中，我们可以观察到信号的频率成分，它们以峰值的形式显示在不同的频率点上。
峰值的强度代表了该频率在信号中的强度或重要性。
通过观察频谱图，我们可以推断信号的频率含量、周期性、峰值频率等信息。
除了用于频域分析的信号处理外，傅里叶变换还在其他领域有广泛应用，例如图像处理、通信等。
在图像处理中，我们可以将图像转换为频域，通过分析图像的频谱特性来实现图像增强、压缩等操作。
在通信领域，傅里叶变换在调制、解调、滤波等过程中被广泛使用。
在实际应用中，由于傅里叶变换涉及到复杂的数学操作和积分运算，计算复杂度较高。
因此，为了提高计算效率，人们发展出了快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法通过巧妙地利用信号的对称性质，将傅里叶变换的计算量从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。
信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析
4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)
t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1
通信原理第四章word版
第四章.连续时间信号与系统频域分析一.周期信号的频谱分析1. 简谐振荡信号是线性时不变系统的本征信号：()()()()()j tj t j tj y t eh t eh d ee h d ωωτωωτττττ∞∞---∞-∞=*==⋅⎰⎰简谐振荡信号傅里叶变换：()()j H j e h d ωτωττ∞--∞=⎰点 测 法： ()()j t y t e H j ωω=⋅ 2.傅里叶级数和傅里叶变换3.荻里赫勒（Dirichlet ）条件（只要满足这个条件信号就可以用傅里叶级数展开）○1()f t 绝对可积，即00()t T t f t dt +<∞⎰○2()f t 的极大值和极小值的数目应有限 ○3()f t 如有间断点，间断点的数目应有限4.周期信号的傅里叶级数5.波形对称性与谐波特性的关系6.周期矩形脉冲信号7.线性时不变系统对周期信号的响应一般周期信号：()jn tnn F ef t ∞Ω=-∞=∑系统的输出 ：()()jn tnn F H jn t e y t ∞Ω=-∞Ω=∑ 二.非周期信号的傅里叶变换（备注）二.非周期信号的傅里叶变换1.连续傅里叶变换性质2.常用傅里叶变换对四.无失真传输1.输入信号()f t 与输出信号()f y t 的关系 时域： ()()f d y t kf t t =-频域：()()dj t f Y ke F ωωω-=2.无失真传输系统函数()H ω ()()()d f j t Y H ke F ωωωω-==无失真传输满足的两个条件：○1幅频特性：()H k ω= （k 为非零常数） 在整个频率范围内为非零常数 ○2相频特性：ϕ()d t ωω=- （ 0d t > ）在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线3. 信号的滤波：通过系统后 ○1产生“预定”失真○2改变一个信号所含频率分量大小 ○3全部滤除某些频率分量 4.理想低通滤波器不存在理由：单位冲击响应信号()t δ是在0t =时刻加入滤波器 的，而输出在0t <时刻就有了，违反了因果律5.连续时间系统实现的准则时 域 特 性 ： ()()()h t h t u t =（因果条件） 频 域 特 性 ： 2()H d ωω∞-∞<∞⎰佩利-维纳准则（必要条件）：22()1H d ωωω∞-∞<∞+⎰五.滤波。
华南师范大学837信号与系统2020年考研专业课初试大纲
（3）掌握冲激信号和阶跃信号的物理意义以及性质。 第 2 章 连续系统的时域分析 （1）了解从物理模型建立连续时间系强迫响 应等概念； （3）掌握系统的冲激响应概念； （4）掌握卷积积分的概念及其性质； （5）掌握零输入响应和零状态响应的概念及其求解方法。 第 3 章 离散系统的时域分析 （1）掌握离散时间系统的差分方程描述； （2）掌握离散系统的单位样值（序列）响应； （3）掌握卷积和的概念及计算； （4）掌握离散系统零输人响应和零状态响应的求解方法。 第 4 章 傅里叶变换和系统的频域分析 （1）掌握周期信号的傅里叶级数展开； （2）掌握信号频谱的概念及其特性；了解实信号频谱的特点； （3）掌握傅里叶变换、常用傅里叶变换对及傅里叶基本性质；
（4）掌握系统对信号响应的频域分析方法； （5）掌握系统的频域传输函数的概念； （6）掌握理想低通滤波器特性，了解系统延时、失真、因果等概念；
（7）掌握线性系统的不失真传输条件； （8）掌握连续信号的理想取样模型及取样定理。 第 5 章 连续系统的 s 域分析 （1）掌握单边拉普拉斯变换的定义和常用变换对； （2）掌握单边拉普拉斯变换的性质； （3）掌握拉普拉斯逆变换的计算方法（部分分式分解法）； （4）掌握连续系统的拉普拉斯变换分析方法； （5）掌握连续系统的框图描述。 第 6 章 离散系统的 z 域分析 （1）掌握 z 变换的定义、收敛域及常用变换对。 第 7 章 系统函数 （1）掌握系统函数的系统函数的定义、物理意义、零极点的概念及 系统函数和时域、频域响应之间的关系； （2）掌握系统因果性和稳定性概念以及系统是稳定系统的充分必要 条件。
第章_傅里叶变换和系统的频谱分析
2019/7/26
3
第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0
t2 t1
i2
(t
)dt
Ki
(i j)
——常数
则称此函数集为正交函数集，这n
个
i
(t
)
构成一个n维
正交信号空间。
任意一个代表信号的函数 f(t)，在区间
(t ,t ) 内可以用 12
组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。
n
f (t) c (t) ii
i 1
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
1822年法国数学家傅里叶（1768－1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出 并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的 原理。
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.2 傅里叶级数
1829年， Dirichlet给出了补充，只有当周期信号 f (t) 满足Dirichlet条件时，才能展开为傅立叶级数。 (电子技术中的周期信号大都满足条件。)
t0
cos
mt
cos
nt
d
t
T
2
,
mn0
T , m n 0
Sin 0=0 不包含在 三角函数
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
光的傅里叶变换和频谱分析
光的傅里叶变换和频谱分析光的傅里叶变换和频谱分析是光学中非常重要的概念和工具。
通过对光的傅里叶变换，我们可以将光信号分解为不同的频率成分，进而实现频谱分析。
这项技术在光学通信、光谱分析以及图像处理等领域有着广泛的应用。
光的傅里叶变换是一种数学工具，它将时域的光信号转换为频域的频谱分布。
光信号可以视为由不同频率的波动组成，而傅里叶变换则能够将这些频率成分提取出来。
傅里叶变换的原理是基于复数表示的，通过对光信号进行复数的傅里叶变换，可以得到频谱图像。
在实际应用中，光的傅里叶变换通常使用光学器件来实现，如光栅和透镜等。
光栅是一种具有周期性结构的光学元件，它可以将光信号分解成不同频率的光束。
透镜则可以将不同频率的光束重新聚焦到不同的位置上，这样就得到了频谱分布图像。
通过光的傅里叶变换，我们可以对光信号进行频谱分析。
频谱分析是一种研究信号频率特性的方法，它可以揭示光信号中隐含的信息。
例如，在光学通信中，我们可以通过频谱分析来确定光信号的带宽和中心频率，从而实现高速数据传输。
在光谱分析中，我们可以利用光的频谱分布来鉴别材料的成分，检测光的衰减和吸收等。
除了傅里叶变换外，还有其他的频谱分析方法。
例如，在光学通信中，一种常用的方法是小波变换。
小波变换是一种多尺度分析方法，它可以提供更为精细的频谱分辨率。
通过小波变换，我们可以获得光信号的局部频率特性，更好地理解光信号的行为。
光的傅里叶变换和频谱分析在光学领域的应用非常广泛。
在光学通信中，它可以帮助我们设计高性能的调制解调器和光纤传输系统。
在光谱分析中，它可以用于材料的表征和成像。
在光学显微镜中，我们可以利用频谱分析来实现高分辨率成像。
总的来说，光的傅里叶变换和频谱分析是光学中重要的工具。
通过对光信号进行傅里叶变换，我们可以将光信号分解为不同的频率成分，实现频谱分析。
这项技术在光学通信、光谱分析和图像处理等领域有着广泛的应用。
未来，随着光学技术的不断发展，光的傅里叶变换和频谱分析将为我们带来更多的机遇和挑战。
信号与系统知识要点
《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。
（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。
2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。
例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。
正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。
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sin mt sin nt d t
0 T 2
, ,
mn mn
0
Sin 0=0 不包含在 三角函数
集中!
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
三角函数集是一种完备正交函数集
周期函数f (t)(连续函数，可能为实数或复数，周期为T )
信号的分量和信号的分解
完备---有两层意思：
1.如果 (t) 在区间内与i (t) 正交，则 (t) 必属
于这个正交集。
2.若 (t) 与 i (t)正交，但i (t) 中不包含 (t) ，
则此集不完备。
f (t) C (t) ii i 1
即：
函数f(t)在区间(t1,t2)内可展开成完备正交函数空间中的无穷级数。
19
f (t)
9%
t
0
n 1 n3 n9
第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
吉伯斯现象产生原因
时间信号的跳变破坏了信号的收敛性，使得在
间断点处傅里叶级数出现非一致收敛。
1 .2
1
0 .8
N=5 0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 .2
-2
-1 .5
-1
-0 .5
n an
bn
An
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An
a2 n
bn2
, n 1, 2,
an An cosn，0 0 bn An sinn，b0 0
n
14
arctan
bn an
第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
例：将下图所示方波信号 f(t) 展开为傅里叶级数
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0
(i j)
t2 t1
i2
(t
)dt
Ki
——常数
nt ,t
(t0 ,t
0 T )
a0 直流分量 2
a1
cos
t
b 1
sin
t
称为基波分量
an cos nt bn sin nt 称为n次谐波分量 ,n 1
f (t)和 a0 an cos nt bn sin nt 的周期均为T
2
n 1
所以，在其它区间内，它们也相等。
f (t)= a0 an cos nt bn sin nt , t (, )
信号的分量和信号的分解
均方误差
2 (t) 1
t2 t1
t2 t1
[
f
(t )
n
Cii (t)]2 dt
r 1
1( t2 t1
t2 t1
f 2 (t)dt
n
C
2 j
K
j
)
j 1
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
Ci
t2 t1
f (t)i (t) d t
t2 t1
i
2
(t
)
d
f (t) cos nt d t
T
T
2 f (t) cos nt d t
0
b 2 nT
T
2 T
f (t) sin nt d t
2
0
An
a2 n
bn2
an
n
arctan
bn an
m
，m为整数
偶函数信号的傅里叶级数展开式中只含有直流 项与余弦项。
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
解：a 2 nT
T
2 T
f (t) cos ntdt
2
2
T
0 T
2
(1)
cos
nt
d
t
2 T
T
2 (1) cos nt d t
0
2 T
1 sin nt
n
0 T / 2
2 T
1 sin nt
n
T /2 0
0
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
信号的分量和信号的分解
完备正交函数集 （定义2）
如果在正交函数集 (t), (t),
不存在函数 (t )， 1
2
t2
满足等式
t1
(t) (t)dt i
0
则此函数集称为完备正交函数集。
其中
0
t2
t1
2 (t)dt
,n (t) 外,
i为任意整数
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
t
c1
A vx vx vx
Ci ——代表函数 f (t) 和 i (t) 间的相似程度或相关程度
若令 n 趋于无限大， 2(t)的极限等于零 lim 2 (t ) 0 n
则此正交函数集称为完备正交函数集。（定义1）
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
复变函数的正交特性
如果在区间
(t1,
t 2
)
内，复变函数集
满足
i (t ) i 1,2,, n
t2
t1
i
(t
) i
(t
)dt
km
t2
t1
i
(t
)
j
(t
)dt
0
i j
则称 (t ) 为正交函数集。
2
1, cos t, cos 2t, cos nt , , T
特点：
sin t, sin 2t, sin nt, 均为周期信号
t0 T
t0
cos
mt
sin
nt
d
t
0
m, n为任意公整共数周期为T 2
0 , m n
t0 T
t0
cos
mt
cos
nt
d
t
T
2
,
mn0
T , m n 0
t 0T
f (t) 为偶谐函数(半波重叠信号)
f(t)
f (t)
f
t
T 2
t
T/2
T/2
a1 a3 a5 b1 b3 b5 0
偶谐信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量和直流分量，而无奇次谐波分量。
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
0
0 .5
1
1 .5
2
1 .2
N=50 1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
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-0 .2
1 .2
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 .2
-2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
1 .2
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
200
-0 .2
N=15 N=500
第四章 傅里叶变换和系统频域分析
T 2
, t2
T 2
,
Kj
T 2
时，
本例中： 2
1 T
T
2 T
2
f 2 (t)dt
n j 1
cj2
T 2
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1
T
T
2 T
dt
2
n j 1
cj2
T 2
1
1 2
n
cj2
j 1
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
例所：示正，弦求交其流傅信里号叶级E数si展n(开形0t)式经。全波或半波整流后的波形分别如图
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
f (t) 为奇函数
2
a nT
T
2 T
f (t) cos nt d t
0
2 奇对称信号的傅里叶级数展开式中只含有正弦项。
2T
4T
b nT
2 T
2
f (t) sin nt d t
T
2 f (t) sin nt d t
0
An
a2 n
bn2
bn
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
所以，所示信号的傅里叶展开式为：
f
(t)
4
sin
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
1 sin nt n
思考：取多少次谐波才能有效表示这个信号？？？
均方误差为
2 1
t t
2
1
t2 t1