三角函数图象的平移和伸缩(后面有高考题练习)
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换一、单选题(共8道，每道12分)1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( )A.πB.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换7.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换8.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。
三角函数图像平移与伸缩练习
三角函数图像平移与伸缩题组练习1．(2020·福建质检)将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称 答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错；它的周期为2π，B 错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错；它的对称中心是点⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 对． 2．要得到函数y ＝cos2x 的图像，只需把函数y ＝sin2x 的图像( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案 A解析 由于y ＝sin2x ＝cos(π2－2x )＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π4)]，因此只需把函数y ＝sin2x 的图像向左平移π4个单位长度，就可以得到y ＝cos2x 的图像． 3．若把函数y ＝f (x )的图像沿x 轴向左平移π4个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图像，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin(2x －π4)＋1B ．y ＝sin(2x －π2)＋1C ．y ＝sin(12x ＋π4)－1D ．y ＝sin(12x ＋π2)－1答案 B解析 将y ＝sin x 的图像上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到y ＝sin2x 的图像，再将所得图像向上平移1个单位，得到y ＝sin2x ＋1的图像，再把函数y ＝sin2x ＋1的图像向右平移π4个单位，得到y ＝sin2(x －π4)＋1的图像，即函数f (x )的图像，所以f (x )＝sin2(x －π4)＋1＝sin(2x －π2)＋1，故选B.4．函数y ＝cos(4x ＋π3)图像的两条相邻对称轴间的距离为( )A.π8B.π4C.π2 D ．π答案 B解析 函数y ＝cos(4x ＋π3)图像的两条相邻对称轴间的距离为半个周期，即T 2＝2π42＝π4.5．将函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图像解析式是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin4xD ．f (x )＝cos4x答案 A解析 y ＝sin(2x ＋π4)→y ＝sin(x ＋π4)→y ＝sin(x －π4＋π4)＝sin x .6．(2019·山东理)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后，得到的图像的解析式是y ＝sin(2x ＋π4＋φ)，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.7.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2)的图像如右图所示，则当t＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5 AC ．5 3 AD ．10 A答案 A解析 由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴ω＝2πT＝100π.∴T ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5 A ，故选A.8．(2019·福建质检)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)(－π2<θ<π2)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P (0，32)，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π6 答案 B解析 因为函数f (x )的图像过点P ，所以θ＝π3，所以f (x )＝sin(2x ＋π3)．又函数f (x )的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝sin[2(x －φ)＋π3]的图像，所以sin(π3－2φ)＝32，所以φ可以为5π6，故选B.9．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在一个周期内的图像如图所示，要得到函数y ＝sin(12x ＋π12)的图像，则需将函数y ＝sin ωx 的图像向________平移________个单位长度．答案 左，π6解析 由图像知函数y ＝sin ωx 的周期为T ＝3π－(－π)＝4π， ∴ω＝2πT ＝12，故y ＝sin 12x .又y ＝sin(x 2＋π12)＝sin 12(x ＋π6)，∴将函数y ＝sin 12x 的图像向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝sin(x 2＋π12)的图像．10．(2019·重庆文)若将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案22解析 将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图像，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 11．若y ＝A sin(ωx ＋θ)(A >0，ω>0，|θ|<π2)的图像如图所示，则y ＝________.答案 2sin(2x ＋π6)解析 由题图知周期T ＝1112π－(－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2，且A ＝2.∴y ＝2sin(2x ＋θ)．把x ＝0，y ＝1代入上式得2sin θ＝1， 即sin θ＝12.又|θ|<π2，∴θ＝π6.即y ＝2sin(2x ＋π6)．12．(2018·新课标全国Ⅱ文)若函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin(2x ＋π3)的图像重合，则φ＝________.答案5π6解析 将y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位后得到y ＝cos[2(x －π2)＋φ]的图像，化简得y ＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y ＝sin(2x ＋φ－π2)．由题意可知φ－π2＝π3＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，结合－π≤φ<π知φ＝5π6.13.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.答案 3解析 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可知： T 2＝(－π3)－(－23π)＝π3，∴T ＝23π. ∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.14．若函数y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图像恰好关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值是________．答案5π12解析 y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得y ＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．因其中一条对称轴方程为x ＝π6，则2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．因为φ>0，所以φ的最小值为5π12.15．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图像关于点(π4，0)对称；②图像关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数，所有正确结论的编号为________．答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图像关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin(2x ＋π3)．当x ＝π3时，f (π3)＝0，∴函数图像关于点(π3，0)对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．16．(2019·江西景德镇测试)已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)＋a 的最大值为2.(1)求实数a 的值及f (x )的最小正周期； (2)在坐标纸上作出f (x )在[0，π]上的图像．答案 (1)a ＝－1，T ＝π (2)略解析 (1)f (x )＝4cos x (sin x cos π6＋cos x sin π6)＋a＝3sin2x ＋cos2x ＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1，最大值为3＋a ＝2，∴a ＝－1.T ＝2π2＝π.(2)列表如下：画图如下：17.(2019·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示．(1)试确定函数f (x )的解析式； (2)若f (α2π)＝13，求cos(2π3－α)的值．答案 (1)f (x )＝2sin(πx ＋π6) (2)－1718解析 (1)由图像知，f (x )max ＝A ＝2，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T 4＝56－13＝12，所以T ＝2，∴ω＝2πT ＝2π2＝π，故函数f (x )＝2sin(πx ＋φ)． 又∵f (13)＝2sin(π3＋φ)＝2，∴sin(π3＋φ)＝1.∵|φ|<π2，即－π2<φ<π2，∴－π6<π3＋φ<5π6.故π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，∴f (x )＝2sin(πx ＋π6)．(2)∵f (α2π)＝13，即2sin(π·α2π＋π6)＝2sin(α2＋π6)＝13，∴sin(α2＋π6)＝16.∴cos(π3－α2)＝cos[π2－(π6＋α2)]＝sin(π6＋α2)＝16.∴cos(2π3－α)＝cos[2(π3－α2)]＝2cos 2(π3－α2)－1＝2×(16)2－1＝－1718.。
(完整版)三角函数的平移伸缩变换练习题
三角函数的平移伸缩变换题型一：已知开始和结果，求平移量ϕω【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度 （C ） 向上平行移动3π个单位长度 （D ） 向下平行移动3π个单位长度【】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度【】要得到函数cos y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ ）（A ）．向右平移π6个单位 （B ）．向右平移π3个单位 （C ）．向左平移π3个单位 （D ）．向左平移π6个单位【】要得到函数(21)y cos x ＝＋的图象，只要将函数2y cos x ＝的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位【】要得到sin(2)3y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象 （ ）（A ）向左平移3π个单位 （B ）向右平移3π个单位 （C ）向左平移6π个单位 （D ）向右平移6π个单位【】.将函数sin 2y x =的图象作平移变换，得到函数sin(2)6y x π=-的图象，则这个平移变换可以是 （ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【】为了得到函数4sin(3)()4y x x R π=+∈的图象，只需把函数4sin()()4y x x R π=+∈的图象上所有点（ ）A 、横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B 、横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C 、纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D 、纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．【2015山东】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【】为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位【】要得到cos(2)4y x π=-的图像，只需将sin 2y x =的图像（ ）A 向左平移8π个单位B 向右平移8π个单位C 向左平移4π个单位D 向右平移4π个单位【】已知函数()sin 4πf x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()R 0x ω∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度题型二：已知开始，平移量，求结果【】. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-【】函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） （A ）sin(2),3y x x R π=-∈ （B ）sin(),26x y x R π=+∈（C ）sin(2),3y x x R π=+∈ （D ）2sin(2),3y x x R π=+∈【】函数3sin(2)3y x π=+的图象，可由y sinx =的图象经过下述哪种变换而得到 ( )（A ）向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（B ）向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（C ）向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31倍（D ）向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标缩小到原来的31倍【】.将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 . 【】. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ .【】把函数sin(2)4y x π=+的图像向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的12，所得函数的解析式为（ ）。
高考数学三角函数图像平移变换！高考必考内容！3种题型讲解！
⾼考数学三⾓函数图像平移变换！⾼考必考内容！3种题型讲解！题型⼀：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变
换
1．三⾓函数图象变换的思路
先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三⾓函数图象的平移变换问题，其平移变
换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其⾃变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系
数提取后再确定平移的单位长度和⽅向．
题型⼆：由图象求y＝A sin(ωx＋φ)的解析
式
求函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的⽅法
(1)求A，b先确定函数的最⼤值M和最⼩值m，则A＝(M－m)/2，b＝(M＋m)/2
(2)求ω先确定函数的周期T，则可得ω＝T/2π
(3)求φ
代⼊法．把图象上的⼀个已知点代⼊(此时A，ω，b已知)或代⼊图象与直线y＝b的交点求解(此
时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
题型三：y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质
函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与性质是命题的热点，多将图象变换、解析式求法与性质综合⼀起
考查，属中低档题.
常见的命题⾓度有：
(1)图象变换与性质的综合；
(2)解析式的求法与性质的综合；。
三角函数图象求解析式及平移练习题
1. 图像的平移（1）y sin x y sin( x ) （2）y sin x y sin x （3）y sin x y sin x b （4）y sin x y A s in x 4. 图像平移的两种方法（1）先平移后伸缩y sin x y sin( x )y sin( x ) y A sin( x )y sin( x ) b（2）先伸缩后平移y sin x y sin xy sin( x ) y A sin( x )y sin( x ) b练习1下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )（A）sin( )y x （B）cos(2 )y x6 6（C）y cos(4x ) （D）sin(2 )y x3 62．已知函数y sin x 0, 的部分图象如右2上图所示，则（）A. 1,B.6 1,61C. 2,D.6 2,62.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是A. y sin xB. y sin 2x6 6C. y cos 4xD. cos 2y x364、函数y A sin x 的一个周期内的图象如下图，求y 的解析式。
（其中 A 0, 0, ）5.已知函数y A sin( x )（A 0，0，| | ）的一段图象如图所示，求函数的解析式；6、要得到函数)y 3sin(2 x 的图象，只需将函数y 3 s in 2x 的图象（）4（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位 4 4 （C）向左平移个单位（D）向右平移个单位8 8 7、将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+ ) 的图象6（A) 向右平移个单位(B) 向左平移个单位 6 62（C）向右平移个单位（D）向左平移个单位18 188．将函数y sin x 的图象上每点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再把所得图象向左平移个单位，得到的函数解析式为（）6xA y sin 2x sin 2 D yB y xC y sin s i nB y xC y sin s i n6 3 2 6 x2 1 29、把函数y cosx 的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移个单位长度，得到新的函数图象，那么这个新函数的解4 析式为x（A）y （B）y （C）y sin 2x（D）y sin 2x cos 2x cos4 2 43.为了得到函数y sin(2x )的图象，可以将函数y cos 2x 的图象（）6个单位长度(B) 向右平移(A) 向右平移个单位长度6 3个单位长度(D)向左平移(C)向左平移个单位长度6 34.为得到函数πy x 的图像，只需将函数y sin 2x 的图像（）cos 23A ．向左平移5π个长度单位B．向右平移125π个长度单位12C．向左平移5π个长度单位D．向右平移65π个长度单位65.将函数y f (x) 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将整个图形沿x 轴正向平移，得到的新曲线与函数y 3sin x的图象重合，则f ( x) 3 （）xA. 3sin(2 x )B. 3sin( )3 2 3 C.23sin(2 x ) D.3x 23sin( )2 36.为了得到函数y sin( 2x ) 的图象,可以将函数y cos 2x的图象( )63个单位长度B．向右平移A．向右平移个单位长度6 3个单位长度D．向左平移C．向左平移个单位长度6 37.若将函数y tan x 0 的图像向右平移4 6个单位长度后，与函数y tan x 的图像重合，则的最小值为( )6A．16B.14C.13D.128.设函数 f (x) cos x( ＞0) ，将y f (x) 的图像向右平移个单位长度后，所得的图像3 与原图像重合，则的最小值等于( )（A ）13 （B）3 （C）6 （D）9三角函数图像与性质练习题一．选择题（每小题５分，共100 分）6.将函数y sin x( 0) 的图象按向量 a ,0 平移，平6移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )A. y sin( x )B. y sin( x )6 6C. y sin(2 x )D. y sin(2 x )3 3x7.为得到函数y sin( ), x R2 的图像，只需把函数y 2 sin x, x R 的图像上所有的点( )3 6A. 向左平移6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）B.向右平移6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）C.向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）D.向右平移68.函数 f (x) 2sin x( 0) 在区间,上的最小值是2，则的最小值等于( )3 44A.2 3 B.3 2C.2D.39. 函数 y ＝sin(2x+)的图象由函数 y=sin2x 的图象经过平移而得到， 这一平移过程可以是 ( ) 3A. 向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移66 121210. 要得到函数 y= s in(2x- )6的图像，只需将函数 y= c os 2x 的图像 ( )个单位B.向右平移A. 向右平移个单位63个单位D. 向左平移C. 向左平移个单位63 7. 若函数 f (x)sin ( x ) 的图象如图，则和 的取值是 ()yA.1，B.1，3 31C.1 2， 6D.1 2， x 6O29. 函数π y sin 2x 在区间3π ，π的简图是 ( )233y y 1123 xO1O 62361Ａ． Ｂ．y y11xO 2631x26 O13xＣ．Ｄ．10.函数y sin(2 x ) cos(2 x ) 的最小正周期和最大值分别为( )6 3A. ,1B. , 2C. 2 ,1D. 2 , 211.已知函数 f (x) sin( x )( 0) 的最小正周期为，则该函数的图象( )35A. 关于点( ,0)3 对称 B.关于直线x对称4C.关于点( ,0)4 对称 D.关于直线x对称311.函数y sin( x )( x R, 0,0 2 ) 的部分图象如图，则( )A. , ,2 43 6B.C. D., ,4 4 45 412.要得到函数y sin x 的图象，只需将函数y cos x 的图象( )A. 向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位13.设函数 f x sin x 0,0 .若将 f x 的图象沿x 轴向右平移2 16个单位长度，得到的图象经过坐标原点;若将 f x 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵1坐标不变）, 得到的图象经过点,16. 则( )A. ,B.6 2 , C.334,8D. 适合条件的, 不存在14.设函数 f (x) sin( x ) 1(0)的导数f (x) 的最大值为3,则f(x)的图象的一条对称轴的6 方程是( )A. xB.9 xC.6xD.3x212.已知函数y A s in( x ) m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直2 线x是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（）3（A）y 4sin(4 x ) （B）2sin(2 ) 2y x6 3（C）y 2sin(4 x ) 2 （D）2sin(4 ) 2y x3 6π9 函数y＝3sin(2 x＋3 )的图象，可由y＝sin x 的图象经过下述哪种变换而得到6( )（A）向右平移π3 个单位，横坐标缩小到原来的12 倍，纵坐标扩大到原来的3 倍（B）向左平移π3个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标扩大到原来的 3 倍（C）向右平移π6个单位，横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标缩小到原来的13倍（D）向左平移π6个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标缩小到原来的13倍10 、函数)y s i n(x 在下列哪个区间为增函数. （）43 3（A）][ , （B）[ ,0] （C）[ , ] （D）[ , ]4 4 4 4 2 27、y sin x 的曲线最高点为2, 2 ，离它最近的一个最低点是10, 2 ，则它的解析式xA．f x 2 sin B． 2 sinf x x8 4 8 4xC．f x 2 sin D． 2 sinf x x8 4 8 4如果函数y A s in( x )（A＞0，＞0，0＜＜2 ) 的最小值为－2，周期为23，并且经过点（0，－ 2 ），求此函数的解析式.7。
2023备考-三角函数专题高频考点《三角函数的平移与伸缩》原卷版
2023备考-三角函数专题高频考点《三角函数的平移与伸缩》（原卷版）三角函数的图象及其变换由函数sin y x =的图象通过变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角”变化多少．真题回顾1.（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．122．（2021·全国（理））把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（ ）A ．7sin 212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭练习挑战1.将函数π()2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法错误的是( ) A.函数()g x 的最小正周期是πB.函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称C.函数()g x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减D.函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭内的最大值是12.如图是函数sin()()y A x x ωϕ=+∈R 在区间π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，为了得到这个函数的图像，需将sin ()y x x =∈R 的图像上所有点( )A.向左平移π3个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B.向左平移π3个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C.向右平移π6个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D.向右平移π6个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变3．要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需要将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度4.为得到函数)32cos(π+=x y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像（ ）． A ．向左平移125π个单位 B ． 向右平移125π个单位 C ．向左平移65π个单位 D ． 向右平移65π个单位5. 已知)2sin()(π+=x x f ，)2cos()(π-=x x g ，则)(x f 的图像（ ）． A ．与)(x g 图像相同B ．与)(x g 图像关于y 轴对称C ．是由)(x g 的图像向左平移2π个单位得到 D ．是由)(x g 的图像向右平移2π个单位得到6. 已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭：，则下面结正确的是（ ）. A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C7．已知函数)0)(2sin(21cos cos sin 2sin 21)(2πϕϕπϕϕ<<+-+=x x x f ，其图像过点)21,6(π．（1）求ϕ的值（2）将)(x f 图像上各点的横坐标缩短为原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图像，求函数)(x g 在]4,0[π上的最大值和最小值。
三角函数的图像和变换以及经典习题和答案
3.4函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换【知识网络】1．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；２．函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换） 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226x y π=+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．（１）32； 14π；26x π+；6π （2）函数2sin(2)3y x π=-的对称中心是 ；对称轴方程是；单调增区间是 ． （２）(,0),26k k Z ππ+∈；5,212k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点 （ ）（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移4π个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）（A ）x cos （B ）x cos 2 （C ）x sin （D ）x sin 2 （５）B 提示: 212sin cos 2y x x =-=的图象关于x 轴对称的曲线是cos 2y x =-,向左平移4π得cos 2()sin 24y x x π=-+=2sin cos x x =［例2］已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3x π=为其一条对称轴。
三角函数的平移与伸缩变换
三角函数的平移与伸缩变换1、为了得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需把函数)62sin(π+=x y 的图象向____平移_____个单位长度.2、设,0>ω函数2)3sin(++=πωx y 的图象向右平移34π个单位后与原图象重合则ω的最小值是__________.3、将函数x y sin =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式是_____________.4、将函数x x x f cos sin 3)(-=的图象向左平移m 个单位（m>0），若得到图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是_____________.5、把函数)2||,0)(sin(πϑωϑω<>+=x y 的图象向左平移3π个单位长度，所得曲线的一部分图象如图所示，则（ ） A. 6,1πϑω== B. 6,1πϑω-==C. 6,2πϑω== D. 6,2πϑω-==6、已知函数)0,0(2cos )(2>>+=ϖωA x A x f 的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，求.________)20()6()4()2(=+⋅⋅⋅+++f f f f7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=ϑω在区间)65,6(ππ-上的图象，只要将（1）x y sin =的图象经过怎样的变换？ （2）x y 2cos =的图象经过怎样的变换？ 8、把x y sin =作何变换可得.1)63sin(8-+=πx y17π12π3xy o1-15π6-π6y x o9、把1)42sin(3+-=πx y 作何变换可得到.sin x y =10、把2)2143sin(21++=x y 作何变换可得到.1)351sin(23++=πx y11、将2)542sin(2++=πx y 做下列变换：（1）向右平移2π个单位长度；（2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变； （3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；（4）沿y 轴正方向平移1个单位，最后得到的函数._________)(==x f y 12、把)(x f y =作如下变换：（1）横坐标伸长为原来的1.5倍，纵坐标不变； （2）向左平移3π个单位长度；（3）纵坐标变为原来的53，横坐标不变；（4）沿y 轴负方向平移2个单位，最后得到函数),423sin(43π+=x y 求).(x f y =13、将)48sin(4ππ+-=x y 作何变换可以得到.sin x y =14、对于)536sin(3x y -=π作何变换可以得到.sin x y =15、把)342cos(3π+=x y 作如下变换：（1）向右平移2π个单位长度；（2）纵坐标不变，横坐标变为原来的31；（3）横坐标不变，纵坐标变为原来的43；（4）向上平移1.5个单位长度，则所得函数解析式为________.16、将x x y cos sin 1+=作何变换可得到.cos sin 2x x y -=17、将x x x y cos sin 3sin 2+=作何变换可得到.sin x y =18、将函数x y sin =的图象向左平移)20(πψψ<≤个单位后，得到函数)6sin(π-=x y 的图象，则._____=ψ19、为了得到函数103lg +=x y 的图象，只需把函数x y lg =的图象作何变换？。
三角函数图象的平移和伸缩(后面有高考题练习)
三角函数图象的平移和伸缩函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．sin y x =2sin 214y x =++ ⎪⎝⎭解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象．说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的横坐标缩小到原1π⎛⎫π⎛⎫x+）﹣sin2x+、向左平移个单位个单位个单位个单位按向量A 、B 、C 、D 、3、将函数的图象按向量平移，得到y=f （x ）的图象，则f （x ）=（ ）A 、B 、C 、D 、sin （2x ）+34、把函数y=（cos3x﹣sin3x）的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x的图象，这个变化可以是（）A、沿x轴方向向右平移B、沿x轴方向向左平移C、沿x轴方向向右平移D、沿x轴方向向左平移5、为了得到函数y=的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A、向右平移个单位长度B、向右平移个单位长度倍（纵坐标不变），然后个单位，则所得到图象对应的函数解析式为（、、、。
高中数学平移伸缩变换例题
高中数学平移伸缩变换例题
高中数学平移伸缩变换例题指的是涉及平移和伸缩变换的数学问题，通常出现在高中数学课程中。
平移和伸缩是两种基本的几何变换，平移是将图形在平面内沿某一方向移动一定的距离，而伸缩则是改变图形的大小但不改变其形状。
下面提供三道涉及平移和伸缩变换的例题：
1.题目：将函数 y = sin(x) 的图像上所有点向右平移π/6 个单位长度，再把
所得图像上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 ___．
2.题目：把函数y = 3sin(2x + π/4) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2
倍（纵坐标不变），再向右平移π/6 个单位长度，所得函数图象的一个对称中心为 ( )
A.(5π/6, 0)
B.(π/6, 0)
C.(π/12, 0)
D. (π/3, 0)
3.题目：函数 f(x) = 3sin(2x - π/3) 的图像为 C，下列结论中正确的是 ___．
①函数 f(x) 的最小正周期为π；
②函数 f(x) 在区间 (-π/12, 5π/12) 内是增函数；
③由函数 f(x) 的图像向右平移π/3 个单位长度可以得到函数 g(x) = 3sin2x 的图像；
④由已知图像可作出的 y = 3sin(x - π/3) 的一个图像是：先作 y = 3sinx 的图像，然后将所得图像上所有点向左平移π/3 个单位长度．
这些例题涉及了平移和伸缩变换的基本概念和性质，通过解决这些问题，学生可以加深对平移和伸缩变换的理解，提高解决相关问题的能力。
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三角函数图象的平移和伸缩
函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与函数sin y x =的图象之间可以通过变化A k ωϕ，，，来相互转化．A ω，影响图象的形状，k ϕ，影响图象与x 轴交点的位置．由A 引起的变换称振幅变换，由ω引起的变换称周期变换，它们都是伸缩变换；由ϕ引起的变换称相位变换，由k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．
既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩
sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)
平移个单位长度
得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω
−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)
1
到原来的纵坐标不变 得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)
为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ϕ=++的图象． 先伸缩后平移
sin y x =的图象(1)(01)
A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)
得sin y A x =的图象(01)(1)
1
()
ωωω
<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象
(0)(0)
ϕϕϕω
><−−−−−−−→向左或向右平移
个单位
得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)
k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度
得sin()y A x k ωϕ=++的图象． 例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象．
解：（方法一）①把sin y x =的图象沿x 轴向左平移π4个单位长度，得πsin 4y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的
图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的12，得πsin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；③将所得图象的
纵坐标伸长到原来的2倍，得π2sin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象；④最后把所得图象沿y 轴向上平移
1个单位长度得到π2sin 214y x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象．
（方法二）①把sin y x =的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得2sin y x =的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的
1
2
，得2sin 2y x =的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移
π8个单位长度得π2sin 28y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；④最后把图象沿y 轴向上平移1个单位长度得到
π2sin 214y x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象．
说明：无论哪种变换都是针对字母x 而言的．由sin 2y x =的图象向左平移π
8
个单位长度得到的函数图象的解析式是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭而不是πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把πsin 4y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的
图象的横坐标缩小到原来的
12，得到的函数图象的解析式是πsin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭而不是
πsin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
对于复杂的变换，可引进参数求解．
例2 将sin 2y x =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象．
分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数．
解：ππsin 2cos 2cos 222y x x x ⎛⎫⎛
⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
在πcos 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中以x a -代x ，有ππcos 2()cos 2222y x a x a ⎡⎤⎛
⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭．
根据题意，有ππ22224x a x --=-，得π
8
a =-．
所以将sin 2y x =的图象向左平移π8个单位长度可得到函数πcos 24y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象．
练习
1、要得到函数y=2cos （x+）sin （
﹣x ）﹣1的图象，只需将函数
y=sin2x+
cos2x 的图象（ ）
A 、向左平移个单位
B 、向右平移个单位
C 、向右平移
个单位 D 、向左平移
个单位
2、将函数y=3sin （2x+θ）的图象F 1按向量平移得到图象F 2，
若图象F 2关于直线对称，则θ的一个可能取值是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
3、将函数的图象按向量平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）
A、B、
C、D、sin（2x）+3
4、把函数y=（cos3x﹣sin3x）的图象适当变化就可以得到y=﹣sin3x的图象，这个变化可以是（）
A、沿x轴方向向右平移
B、沿x轴方向向左平移
C、沿x轴方向向右平移
D、沿x轴方向向左平移
5、为了得到函数y=的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）
A、向右平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度
D、向左平移个单位长度
6、把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得到图象对应的函数解析式为（）A、B、
C、D、
1、D
2、A
3、D．
4、D．
5、A．
6、D。