实验六机理模型与平衡原理综述
化学反应平衡与反应热力学的实验研究与模拟分析
化学反应平衡与反应热力学的实验研究与模拟分析化学反应平衡和反应热力学是化学研究中重要的两个概念。
通过实验研究和模拟分析，我们可以了解反应平衡的条件以及反应过程中的能量变化。
本文将探讨化学反应平衡和反应热力学的实验研究方法以及模拟分析的应用。
一、化学反应平衡的实验研究化学反应平衡是指反应物与生成物浓度或压力变化达到一定比例后停止变化的状态。
为了研究反应平衡，可以采用静态法和动态法两种实验方法。
1.1 静态法实验研究静态法实验研究中，我们通过调节反应物的浓度或压力，并在一定时间的反应后，测量反应物和生成物的浓度或压力，以确定反应是否达到平衡。
例如，研究酸碱反应平衡时，可以采用中和滴定法。
首先，取一定浓度的酸和碱溶液，通过滴定管逐滴加入酸或碱溶液，直至溶液的颜色或指示剂的变化指示反应达到终点。
根据酸和碱之间的摩尔比例关系，可以推算出反应的平衡常数。
1.2 动态法实验研究动态法实验研究中，我们通过控制反应物的流速，并在反应过程中连续监测反应物和生成物的浓度或压力变化，以确定反应是否达到平衡。
例如，研究气态反应平衡时，可以采用气体容器和压力传感器进行实验。
首先，在气体容器中加入适量的反应物，然后根据反应物的压力变化曲线，确定反应是否达到平衡，并通过平衡常数计算出反应物和生成物的浓度或压力。
二、反应热力学的实验研究反应热力学研究的是反应过程中的能量变化，通过实验研究可以确定反应的焓变和反应热力学常数。
2.1 燃烧热实验研究燃烧热实验研究可以通过测量反应物和生成物的温度变化，并结合反应前后物质的质量变化，计算出反应的焓变。
例如，研究燃烧反应时，可以将反应物置于热量计中，通过燃烧使其与氧气反应，并测量反应产生的热量。
根据热量和物质的质量变化，可以计算出反应的焓变。
2.2 混合热实验研究混合热实验研究可以通过测量不同物质混合后的温度变化来确定反应的焓变。
例如，研究酸碱中和反应时，可以将一定量的酸和碱溶液混合，并测量混合溶液的温度变化。
动物实验报告综述形式
一、引言动物实验作为医学研究的重要手段，在探索疾病机理、开发新药、评估治疗效果等方面发挥着重要作用。
本文将对近年来动物实验的研究进展进行综述，以期为相关领域的研究提供参考。
二、动物实验在疾病机理研究中的应用1. 癌症研究近年来，动物实验在癌症研究方面取得了显著成果。
通过建立肿瘤动物模型，研究人员揭示了肿瘤发生、发展的分子机制，为寻找新的治疗靶点提供了重要依据。
例如，研究发现，PD-1/PD-L1信号通路在肿瘤免疫逃逸中发挥关键作用，为肿瘤免疫治疗提供了新的思路。
2. 心血管疾病研究动物实验在心血管疾病研究中的应用也取得了显著进展。
通过建立心血管疾病动物模型，研究人员揭示了心血管疾病的发病机制，为心血管疾病的防治提供了理论依据。
例如，研究发现，高血压大鼠模型中，肾素-血管紧张素系统过度激活与心血管损伤密切相关，为高血压的治疗提供了新的靶点。
3. 神经系统疾病研究动物实验在神经系统疾病研究中的应用日益广泛。
通过建立神经系统疾病动物模型，研究人员揭示了神经系统疾病的发病机制，为神经系统疾病的防治提供了理论依据。
例如，阿尔茨海默病小鼠模型的研究表明，β-淀粉样蛋白的沉积与神经元损伤密切相关，为阿尔茨海默病的治疗提供了新的靶点。
三、动物实验在新药研发中的应用1. 药物筛选与评价动物实验在新药研发中具有重要作用。
通过建立疾病动物模型，研究人员可以筛选出具有潜在治疗作用的药物。
例如，以肿瘤动物模型为基础，研究人员筛选出多种具有抗肿瘤活性的化合物，为肿瘤治疗提供了新的药物候选。
2. 药物代谢动力学与药效学评价动物实验在药物代谢动力学与药效学评价中具有重要作用。
通过动物实验，研究人员可以了解药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄过程，为药物的临床应用提供参考。
例如，通过建立药物代谢动力学模型，研究人员可以预测药物在人体内的代谢过程，为药物剂型和给药途径的设计提供依据。
四、动物实验在生物医学研究中的应用1. 生物学研究动物实验在生物学研究中的应用十分广泛。
机理模型
假设 1. 2. 3 同上 假设4. 兔子在三个月 假设 兔子在三个月 后生完一对幼兔就离开 群体。 群体。 参量、 参量、变量 成兔: 老兔: 月份: 幼兔: 月份 n, 幼兔 a0(n), 成兔 a1(n), 老兔 a2(n) 平衡关系 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。 本月初的幼兔是上月成兔老兔繁殖的后代。 本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。 本月初的成兔是上月幼兔发育的结果。 本月初的老兔是上月成兔发育的结果。 本月初的老兔是上月成兔发育的结果。
关于平衡关系 1.平衡关系是数学模型的核心，建 模的关键。 2.有些平衡关系是明显的。 有些平衡关系隐藏在问题的背后 需要在化简之后逐渐明确出来。 3.有些平衡关系本身就直接构成了 模型。 有些平衡关系还需要经过数学上 的加工整理才能得到理想的模型。
三. 模型举例
买房贷款： 例1 买房贷款：银行可以向购房人提供个人住房 贷款的业务。 贷款的业务。 偿还贷款时要求借款人在借款期间内每月以相 偿还贷款时要求借款人在借款期间内每月以相 等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。 等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。 试组建计算月均还款额的数学模型。 试组建计算月均还款额的数学模型。 假设: 假设: 每月月底还款； 1. 每月月底还款； 每月还款金额相等； 2. 每月还款金额相等； 按月计算利息； 3. 按月计算利息； 到期欠款全部还清。 4. 到期欠款全部还清。
模型 a0(n+1)=a1(n)+a2(n) a1(n+1)=a0(n) a2(n+1)=a1(n) 令 a(n) = (a0(n), a1(n), a2(n))’, 则 a(n) = A a(n-1) 其中
0 A = 1 0 1 0 1 1 0 0
化学反应机理的理论模型分析
化学反应机理的理论模型分析化学反应机理的理论模型分析是化学领域中的重要研究方向之一。
通过构建适当的理论模型，可以深入理解和解释化学反应的发生机制，从而为反应运行条件的优化和新反应的设计提供理论指导，推动化学科学的发展。
一、理论模型的基本概念及分类理论模型是对化学反应机理进行描述和解释的一种数学或统计学方法。
在化学反应过程中，分子间的相互作用以及能量转化是非常复杂的。
通过建立合理的模型，可以将这些复杂的过程简化为易于理解和计算的数学形式。
根据不同的研究目的和手段，化学反应的理论模型可以分为多种类型。
其中，动力学模型是最常用的一种。
它基于粒子运动的经典力学原理，并考虑反应的速率、能量转移和过渡态结构等因素，来描述反应的整个过程。
另外，量子化学模型也是一种重要的理论模型。
它基于量子力学原理，通过计算分子的能级、振动频率和反应势能面等信息，来预测反应的速率和产物的构型。
量子化学模型适用于研究小分子反应，尤其是在超分子体系和表面催化领域具有广泛应用。
二、动力学模型在化学反应机理研究中的应用动力学模型是研究化学反应机理的重要工具。
它通过建立反应物的浓度随时间变化的微分方程，来描述反应速率和反应物浓度之间的关系。
动力学模型可以帮助我们了解反应物之间的相互作用，探索反应发生的速率规律，并从中推断反应的机理和过渡态结构。
在动力学模型的研究中，一般使用速率常数来描述反应速率。
速率常数与反应物浓度、温度和催化剂等因素密切相关。
通过测量反应速率随时间和温度的变化，并进行数据拟合和模型推导，可以确定反应的速率常数，并进一步分析反应机理。
三、量子化学模型在化学反应机理研究中的应用量子化学模型是研究化学反应机理的另一种重要手段。
它可以预测反应中分子的能级、振动频率和反应势能面等性质，从而得到反应速率和产物构型的信息。
量子化学模型需要借助计算方法和计算软件来进行模拟和计算。
在量子化学模型的研究中，常用的方法包括分子轨道理论、密度泛函理论和半经验分子轨道法等。
数学建模之机理模型建立的平衡原理
例1：池水的含盐量
池子中有一定体积的盐水，从池的一端向池中注入一定浓度的盐水，混合 的盐水将在池子的另一端流出。建模描述池中盐水的浓度变化。（类似的 有河水污染问题等）
理想化假设：为简化问题，我们假设注入的盐水迅速与池中盐水均匀混合。
建模方法：利用物质平衡原理，在 [t,tt]上，池子中的盐的改变量等于 该时间段注入和流出的盐的数量差，池子中的盐水的体积改变量等于注入 的盐水体积和流出体积的差。
x3 x2e0.8
x x e0.384E403.8
4
3
x3(t)x3xe3e0.38(r43E40e.42rE3(4t)t 32)
x4(t) x4ex4e32E4(re4Er44()tt32)
0 t 2/3 2/3 t 1
0t 2/3 2/3t 1
例3：棒球球棒的sweetspot的确定
问题：
0t2/3 2/3t1
dx4 dt
r4x4r4xE4 4x4
0t2/3 2/3t1
计算得到
x1(t)x10er1t
x2(t)x20er2t
x3(t)x30xe30e0.38(r43E40e.42rE3(4t)t 32)
0 t 2/3 2/3 t 1
x4(t)x40xe40e32E(4re4Er44()tt32)
通过量的平衡关系建立数学模型是利用机理分析建模的基本方法之一。也 常常是我们是否能够得到结构简明、刻画深刻的模型的重要方法。这样的 模型的建立的好坏取决于我们对问题的洞察能力。
机理模型的建立一方面需要我们有一定的力学和物理的知识，另一方面， 要善于分析量和量之间的内在联系如空间或时间上的衔接等。
等式两端同除以△t取极限得到
d dp t(t)V (t)pi(t)ri(t)po(t)ro(t)
平衡原理与机理模型
t
pI ( )rI ( )d
流出盐量
t t
t
p( )rO ( )d
平衡原理与机理模型
p(t t )V (t t ) p(t )V (t )
t t t
[ pI ( )rI ( ) p( )rO ( )]d
利用积分中值定理可得
p(T t )V (t t ) p(t )V (t ) [ pI (t t )rI (t t ) p(t t )rO (t t )]t
R(t , t , N ) dR dt t o(t ) r (t , N )t o(t )
t 0
平衡原理与机理模型
有N(t+t)-N(t)=r(t,N)N t+o(t). 两边除以t, 并取极限 dN r (t , N ) N dt 假设5. 群体增长恒定。（r与 t 无关） dN r(N )N dt 假设6. 个体增长独立。（r 与 N 无关）
0 t
平衡原理与机理模型 连续模型组建的微元法
在自变量的微小的区间内以简单的形式描述 有关变量之间的平衡关系, 再利用微分学的思 想进一步处理它, 得到以微分方程的形式描述 的数学模型。
平衡原理与机理模型 例3. 买房贷款：银行可以向购房人提供个人住 房贷款的业务。偿还贷款时要求借款人在借款 期间内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款 本金和利息。试组建计算月均还款额的数学模 型。 假设：1. 逐月偿还贷款； 2. 每月还款金额相等； 3. 按月计算利息； 4. 每月月底还款。
例2 池水含盐 池中有一定体积的盐水，从池的上部向池中注入 一定浓度的盐水。混合后的盐水将从池的下部流出。 建模描述池中盐水浓度的动态。 假设： 1. 盐水注入池中后迅速混合。 2. 池中盐水浓度均匀。 变量、参量： 池中盐水体积 V(t), 池中盐水浓度 p(t); 流入盐水速度 rI(t), 流入盐水浓度 pI(t); 流出盐水速度rO(t), 流出盐水浓度 p(t).
实验六曝气充氧实验
实验六 曝气充氧实验一、实验目的活性污泥法处理过程中曝气设备的作用是使空气、活性污泥和污染物三者充分混合，使活性污泥处于悬浮状态，促使氧气从气相转移到液相，从液相转移到活性污泥上，保证微生物有足够的氧对有机污染物进展氧化降解。
由于氧的供应是保证生化处理过程正常进展的主要因素之一，因而需通过实验测定氧的总传递系数KLa,评价曝气设备的供氧能力和动力效率，为合理的选择曝气设备提供理论依据。
通过本实验希望到达以下目的：1、加深理解曝气充氧机理及影响因素；2、掌握测定曝气设备的氧总传递系数和充氧能力的方法；3、了解各种测试方法和数据整理的方法。
二、实验原理所谓曝气就是人为的通过一些设备，加速向水中传递氧的一种过程。
现行通过曝气方法主要有三种，即鼓风曝气、机械曝气、鼓风机械曝气。
鼓风曝气是将由鼓风机送出的压缩空气通过管道系统送到安装在曝气池池底的空气扩散装置〔曝气器〕，然后以微小气泡的形式逸出，在上升的过程中与混合液接触、扩散，使气泡中氧转移到混合液中支。
机械曝气则是利用安装在水面的叶轮的高速转动，剧烈搅动水面，产生水跃，使液面与空气接触的外表不断更新，使空气中的氧转移到混合液中去。
曝气的机理可用假设干传质理论来加以解释，但水处理界比拟公认的是刘易斯〔Lewis 〕于怀特曼〔Whitman 〕创立的双膜理论。
双膜理论是基于在气液两相界面存在着两层膜〔气膜和液膜〕的物理模型。
它的内容是：在气液两相接触界面两侧存在着气膜和液膜，它们处于层流状态，气体分子从气相主体以分子扩散的方式经过气膜和液膜进入液相主题，氧转移的动力为气膜中的氧分压梯度和液膜中的氧的浓度梯度，传递的阻力存在于气膜和液膜中，而且主要存在于液膜中。
如下图：双膜理论模型影响氧转移的因素主要有温度、污水性质、氧分压、水的紊流成都、气液之间接触时间和面积等。
氧转移的根本方程式为 式中dtdc——液相主体中氧转移速度[mg/(l ·min)] Cs ——液膜处报和溶解氧浓度〔mg/L 〕 C ——液相主体中溶解氧浓度〔mg/L 〕 K La ——为氧总转移系数DL——氧分子在液膜中的扩散系数A——气液两相接触界面面积〔m2〕*f——液膜厚度〔m〕V——曝气液体容积〔L〕由于液膜厚度*f 及两相接触界面面积很难确定，因而用氧总转移系数KLa值代替。
化学反应机理研究与建模
化学反应机理研究与建模化学反应机理是指描述反应过程中反应物转化为产物的所有步骤和反应中间体以及它们之间的键合变化的一系列反应方程式和物质转化的描述。
机理研究和建模是化学研究的重要组成部分，在许多领域，如医药、材料科学、环境工程、能量等方面，它们对于发现新材料、开发新药、改善环境等方面都有着重要的贡献。
化学反应机理研究的目的是为了提高化学反应的效率，降低成本，控制产物性质和选择性。
而化学反应机理建模则是为了预测反应动力学特性如反应速率和反应选择性等。
机理研究和建模主要是通过一系列实验来确定反应路径并通过理论计算验证实验结果。
在机理研究中，可以通过气相色谱质谱、原子力显微镜、核磁共振、拉曼光谱、表面等离子体共振和质谱成像等多种方法来表征反应物和产物以及反应中间体之间的键合状态。
在化学反应机理研究中，机理建模是一项基本技术。
化学反应机理建模通过对反应系数以及反应路径的估算，来研究反应速率、反应选择性、产物寿命等，从而预测反应的动力学特性。
常用的化学反应机理建模方法包括：量子力学计算、统计/半经验方法、动力学/热力学方法和分子力学仿真方法等。
其中，量子力学计算可以通过分子轨道理论和密度泛函理论等计算方法来解决分子轨道结构和反应物和产物之间的键合状况等问题。
而统计/半经验方法通常通过统计分子轨道和过渡态结构来估算反应的特性。
动力学/热力学方法则将反应视为反应物之间能量流失的一个过程，并通过初始反应物的入射速度来计算反应产物的生成速率。
最后，在分子力学仿真中，可以通过对反应物和产物之间键合变化与模拟，以模拟化学反应机理的特性。
此外，化学反应机理的建模还必须考虑复杂的环境因素。
其中的不确定性往往来自实验数据的噪音和误差，以及不完整的反应机理。
因此，化学反应机理的建模要尤其考虑对使用的技术的正确应用以及是否有误差和不确定性。
为了降低不确定性和提高实验数据和理论计算的准确性，必须对不同的反应条件，例如温度、压力和催化剂进行系统的研究，以便更好地理解反应机理。
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西北农林科技大学实验报告学院名称：理学院专业年级：2013级信计1班课程：数学模型与数学建模报告日期：2015年12月15日实验六机理模型与平衡原理实验目的如果对所研究的问题了解的比较深入，知道产生现象的内在的机理，那么依据机理建模，则模型具有更好的可靠性和广泛性。
不考虑随机因素，假设每一时刻是确定的如果对系统状态的观测和描述只在离散的时间点上，则构成差分方程模型；如果考虑系统随时间连续变化，则是微分方程模型。
本节主要以这两类方程为例，介绍用MATLAB^件求解机理模型的基本方法。
一、差分方程模型1.实验题目由一对兔子开始，一年可以繁殖出多少只兔子？如果一对兔子每个月可以生一对小兔子，兔子在出生两个月后就具有繁殖能力，由一对刚出生一个月的兔子开始，一年内兔子种群数量如何变化。
求这个种群的稳定分布和固有增长率。
2.实验内容解假设(a)兔子每经过一个月底就增加一个月龄；(b)月龄大于等于2的兔子都具有繁殖能力；(c)具有繁殖能力的兔子每一个月一定生一对兔子；(d)兔子不离开群体(不考虑死亡)记第n个月初的幼兔(一月龄兔)数量为ao(n),成兔(月龄大于等于2)数量为a1(n )，则兔子总数为a(n)= a o(n ) +a(n),平衡关系为：' 本月初幼兔数量 =上月初成兔数量〔本月初成兔数量 =上月初成兔数量+上月初幼兔数量建立模型：a o(n) =a“n T)g(n) =a°(n -1) +印(n -1)a。
⑴=g(1) =0 这个一阶差分方程的矩阵表达式为a(n) = Aa(n T)其中利用迭代方法求数值解，也就是按时间步长法仿真种群增长的动态过程， 模拟幼兔和成兔占整体比例随时间的变化。
>> a=[01;1 1];x=[10]';for k=2:12 y=a*x(:,k-1); x=[x y]; endzz=repmat(sum(x),[2 1]); z=x./zz; t=1:12;>> plot(t,x(1,:),'r*',t,x(2,:),'b*'),grid; >> plot(t,z(1,:),'r*',t,z(2,:),'b*'),grid;由数值模拟结果可见，兔子数量递增，但是幼兔和成兔在种群中所占比例很快会 趋于一个极限。
由线性差分方程的定性理论可知，这个极限就是对应于差分方程 系数矩阵A 主特征值得归一化特征向量。
因为 A 是非负矩阵，由矩阵理论知，A 主特征值是正实数,是最大的特征值。
>> [v,d]=eig(a)v-0.85070.52570.52570.8507d-0.61800 1.6180>>max(max(d))ans1.6180a(n)=勺。
(n)]®(n)丿，01Q JL 畔 11 a IIFit Edit ViewInsert Fix^i D M Id opWinder Help■M□ JI•丄$ia 11 BI ■4 £i SQ -aunt iFite- Edit View Insert Toda DMklap Wirdiwr HetpimrHi>> v(:,2)/sum(v(:,2)) ans0.3820 0.6180由数值计算可知，系数矩阵模 A 最大的特征值r=1.618，生物上称之为种群的内 禀增长率，是个大于一的实数。
因此种群数量随时间递增。
相应的归一化的特征 向量的两个分量0.382和0.618正是幼兔和成兔在种群中所占比例趋近的稳定值， 生物上称之为种群的稳定分布。
从这个例子的讨论可见，数值模拟能帮我们对系统的变化有更直观的认识。
但 是只有通过计算方程组系数矩阵的特征值和特征向量，运用差分方程定性分析才 能对解得渐进性质给出确定的结论。
一、微分方程模型1. 实验题目蓝鲸的內禀增长率每年估计为5%,估计蓝鲸的最大环境载量为150000条，磷 虾是蓝鲸喜欢的一种食物。
磷虾的最大饱和种群为500吨/英亩*。
当缺少捕食者， 环境不拥挤时，磷虾种群以每年 25%的速率增长。
磷虾500吨/英亩可以提高蓝 鲸2%的年增长率，同时150000条蓝鲸将减少磷虾10%的年增长率。
（1） 组建一个蓝鲸和磷虾的动态模型，模拟两个种群随时间的变化。
假设初始 状态为蓝鲸5000条，磷虾750吨/英亩；（2） 确定蓝鲸与磷虾是否可以长期共存；（3） 假设捕捞使得蓝鲸只剩下它的平衡态的 5%，而磷虾保持平衡态的数量。
描 述一旦停止捕捞将发生什么情况。
蓝鲸恢复需要多长时间？磷虾群体将发生什么 变化？进一步，给出蓝鲸种群恢复时间对它所受伤害程度的依赖关系。
2. 实验内容解（1）假设（a ） 蓝鲸和磷虾单独存在时，两种群都依靠有限的自然资源增长，即遵循 Logistic 模型； （b ） 蓝鲸捕食磷虾，蓝鲸平均增长率的增加量正比于单位区域内磷虾数量，磷 虾平均增长率的减少量正比于蓝鲸数量记N （t ）为蓝鲸在t 时刻的种群数量（条），2（t ）为磷虾在t 时刻的种群质量 （吨/英亩），于是，依据假设，建立蓝鲸和磷虾两个种群的动态模型+ a ?1 N 1N 2其中「1=0.05和r2=0.25分别表示蓝鲸和磷虾种群的内禀增长率，^=150000（条）N 1 W%) MN , dt dN 2 dt和k2=500 (吨/英亩)分别表示蓝鲸和磷虾种群环境载量， ai2=0.02/500表示每 英亩每吨磷虾对蓝鲸平均增长率的改变， a2i=0.10/150000表示每条蓝鲸对磷虾 平均增长率的改变。
下一步，为了便于数值模拟，保持数量级的协调，把鲸鱼的单位改为以千条为 单位。
当初始状态为蓝鲸5千条、磷虾750吨/英亩时，动态模型的数值模拟MATLAB!令为>> vG=@(t,y)[0.05*y(1)*(1-y(1)/150)+(0.02/500)*y (2) *y(1);0.25* y(2) *(1-y( 2)/500)-(0.1/150)*y(1)*y(2)];>> [t,y]=ode45(vG,[0,150],[5,750]);plot(t,y(:,1),'-'),grid on,hold on >> plot(t,y(:,2),'-.'),grid on,xlabel(' 时间'),ylabel(' 种群数量');>> gtext('实线表示蓝鲸，虚线表示磷虾');由图可见，蓝鲸的数量随着时间的增加而逐渐增加， 磷虾的数量随时间的增加而逐渐减少，最后都分别趋近一个稳定值。
(2)由常微分方程理论知，方程组的常数值解为方程的平衡点，由平衡点的稳 定性确定了方程解的动态性质，即解的渐近行为。
上一问的数值结果表明，方程 组具有一个稳定的正平衡点，也就是说蓝鲸与磷虾可以长期共存。
首先求方程组的平衡点，Matlab 指令为：>> syms y1 y2>> f1=0.05*y1*(1-y1/150)+(0.02/500)*y2*y1; >> f2=0.25*y2*(1-y2/500)-(0.1/150)*y1*y2; >> [y1steady,y2steady]=solve(f1,f2);<dN 1N 10.02— 1= 0.052(1—dt 150 500 dN 2N 2 0.1= 0.252(1 - 2) + dt 500 150□ (0)=5, 2(0) = 750N 2N ,N 1N 2>> disp('平衡点是：’)；平衡点是：>> disp([vpa(y1steady,6) vpa(y2steady,6)]);[0, 0][150.0, 0][ 0, 500.0][181.034, 258.621]接着，考虑方程组在平衡点(N,N2) =(Xi,y i),i=1,2,3,4 附近的局部线性方程零解的稳定性du0.1 0.02 0.02—二(0.05 - X i +------ yju X i Vdt 150 500 500dv 0.5 0.1 、0.1一二(0.25 - y K )v y i udt 500 150 150这些线性方程组零解的稳定性由其系数矩阵的特征值确定。
利用Matlab指令求系数矩阵的特征值>> x=[0,150,0,181.034];y=[0,0,500,258.621];>> for i=1:4A=[0.05-0.1*x(i)/150+0.02*y(i)/500,0.02*x(i)/500;-0.1*y(i)/150 0.25- 0.5*y(i)/500-0.1*x(i)/150,];b=eig(A);disp([b(1) b(2)])end0.0500 0.2500-0.0500 0.1500-0.2500 0.0700-0.0948 + 0.0077i -0.0948 0.0077i得到的结果表明，在正平衡点(181.034, 258.621),相应的两个特征值的实部都 是负的。
按照微分方程定性理论可知，方程组正平衡点 (181.034, 258.621)是渐近稳定的，即从任意初值点出发，解轨线都会趋近该点。
因此，可以断言，只要 停止捕捞，蓝鲸与磷虾可以长期共存。
(3)为了确定当蓝鲸数量为平衡态数量的r%，磷虾数量为平衡态时，停止捕捞，蓝鲸恢复到平衡态需要的时间，只有通过数值模拟。
对不同的初值N1(0)=r/100X 181.034,2(0)=258.621在一个充分长的时间区间上求方程组的数值解，注意到蓝鲸数量会递增趋于平衡态，可以N1(T) > 181.034-0.001确定的时间T 近似表示 种群恢复所需的时间，得到对应的函数关系T=T(r).Matlab 指令如下：G=@(t,N)[0.05*N(1)*(1-N(1)/150)+(0.02/500)* N(2) *N(1);0.25*N(2)*(1-N(2 )/500)-(0.1/150)*N(1)* N(2)]; T=[]；for r=0.05:0.05:0.9[t,N]=ode45(G,[0,200],[181.034*r,258.621]); subplot(1,3,1),plot(t,N(:,1),'-',t,N(:,2),'-.'),xlabel(' 时间'),ylabel(' 种群数量'),grid on,holdon d=fi nd(N(:,1)>181.034-0.001,1);T=[T t(d)];end>> subplot(1,3,2),plot(0.05:0.05:0.9,T),xlabel(' 损伤程度r'),ylabel('恢复时间 T'),grid>> gtext('实线表示蓝鲸，虚线表示磷虾')由图可知，得到的函数关系 尽管ode45采用了四阶、五阶龙格-库塔法，可能是离散的时间步长太大，计算 得结果并未反映连续系统的真实规律。