高考数学压轴题的来源
高考数学压轴题的设计理念与解题策略
感到恶心的不等式呢？这需要命题的智慧与方法．通常是采用“穿马甲”的方式对它
进行改造和包装．首先考虑到把两个分母弄复杂，比如，令 x ab ，y a2 ab ，就
有
a2
1 ab
a2
1
ab
4
（其中
a
b
0
）．
但参加过竞赛培训的学生一眼可以看出两个分式的分母之和为a2 ，就容易用熟知
的公式 1 1 4 （ m 0, n 0 ）， m n mn
得到
a2
1 ab
a2
1
ab
a2
ab
4 (a2
ab)
a2
4 a2
，这就不会有较大的难
度，并且让参加过竞赛培训的学生“占便宜”．
因此，有必要对第二个分式的分母继续“穿马甲”，就是把 a2
1 ab
a2
1
ab
4
变成 a2 1 1 4 （其中 a b 0 ）． ab a(a b)
至此，这道高考题就基本编成了，剩下的工作是完善及设计选择支．案例 1 的测
确； ③易知，数域至少含有 0 和 1 这两个数，从而有
11 2, 2 1 3, 3 1 4, , k 1 k 1, ,
因此所有的正整数都在“数域”之中，所以数域必为无限集，故③正确；
④在数域 a b 2 a,b Q 中，把 2 换成任意一个质数后所得的数集仍为数域，又
因为质数有无穷多个，故④正确； 故填③④．
3 1 3． n
1 n (n 1)
又由
(1
1 2
)(1
1 22
)(1
1 23
)
135 64
2
．
所以当
高考数学复习资料问答：什么是压轴题
2019高考数学复习资料问答：什么是压轴题2019高考数学复习资料问答：什么是压轴题【】高考复习的重点一是要掌握所有的知识点，二就是要大量的做题，查字典数学网的编辑就为各位考生带来了2019高考数学复习资料问答：什么是压轴题那么，什么是压轴题呢？“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
一般指在试卷最后面出现的大题目。
这类题目一般分数多，难度大，考验综合能力强，在考试中能够拉开学生成绩的题目，也是很多学生和老师的重点钻研项目。
为什么这类题目叫做压轴题呢？单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
压轴，指一场折子戏演出的倒数第二个剧目。
由于紧压大轴而得名。
演压轴戏一般都是戏班挂头牌的主要演员。
据上海辞书出版社出版的《辞海》(缩印本1989年版)称：压轴是戏曲术语。
指一台折子戏演出中的倒数第二个剧目。
一道数列高考压轴题的背景与解析
列 ． 目的 是 引 导 学 生 通 过 对 具 体 形 象 的 特 例 认 识 和 学 习新 的 概 念 ， 体 会Ｅ 数 列的 特 点 ， 并 从 中探 索 和 发 现 一
般 规律．
例题 若数列Ａ ： ０ ， ， …， ％（ ｎ ≥２ ） 满足 Ｉ ａ ｋ ＋ 厂 ａ ｋ Ｉ ＝ １
所 以Ａ 首项为 １ ２ ， 公差为 １ 的等差数列．
所 以ａ ￣ｏ ＝ １ ２ ＋ （ ２ ０ ０ ０ — １ ） ｘ ｌ ＝ ２ ０ １ １ ．
充分性证法１ ：
Ｅ 数列Ａ ； 如果不存在 ， 说 明理 由． 本试题背景来源于概率 中的随机游动． 例 如 ：设 ， 邑， …， 一 是独立 的伯努 力随机 变量序 列 ， 满足Ｐ （ ＝ １ ） ＝
以及创 造性 地解 决 问题 的能力 ，考查数 学语 言 的识别 和正确 表述 的能力． 考查学 生 的推 理论证 能力 和抽 象概 括能力 ， 考查 学生 的数 学素养 ， 考 查学 生继 续学 习 的潜
能．
能做 到推陈 出新 ， “ 亮点 ” 层 出不穷 ， 充分 体现 了开放性 、
综上 ， 结论得证．
说明： 欲 证 明Ａ 是 递增数 列 ， 只 需 证 明ａ ｋ ＋ ｌ 一 ＞ ０（ ＝
步 的位 置 （ 每 步一 个 单 位 ） ， 这 时ａ ／ ＋ 。 ＝ ＋ 靠， 即如 果 质点
Ｚ
１ ， ２ ， …， １ ９ ９ ９ ） ， 由于 Ｉ ａ ｋ ＋ 厂 ａ ｋ ｌ ＝ １ ， 于是 只需证 明ａ ｋ ＋ 广ａ ｋ ＝ ｌ ，
（ ｋ ＝ ｌ ， ２ ， …， １ ９ ９ ９ ） ．
（ ２ ） 若ａ ＝ １ ２ ， ｎ ＝ ２ ０ ０ ０ ， 证明： Ｅ 数 列Ａ 提 递增数 列 的充
2013年陕西高考理科数学压轴题
圆锥曲线的定点、定值问题
结论一：设 AB 是曲线 E : mx 2 + ny 2 = 1的弦,且 P( x0 , y0 ) 是弦 AB 的中点,则 k AB ⋅ k OP = −
b2 ； a2
(3)如图 3,有 k PA ⋅ k PB = −
第 2 页 共 9 页
b2 . a2
结论七：设抛物线 E 的方程为 y 2 = 2 px ( p > 0) ,则有以下结论: (1)若弦 AB 过抛物线 E 的焦点 F ,则
1 1 2 + = ； | AF | | BF | p
2
(2)若弦 AB 过抛物线 E 的焦点 F ,则 y A ⋅ yB = − p , x A ⋅ x B =
x2 y2 a2 + = 1 ( a > b > 0) ,则定点 Q 为 ( , 0) ； a2 b2 m x2 y 2 a2 − = 1 ( a > 0, b > 0) ,则定点 Q 为 ( , 0) . a2 b2 m
��� � ��� �
(3)若圆锥曲线 E 为
结论五： 设 过定点 Q .
AB 是圆锥曲线 E 的弦,且圆锥曲线 E 上异于 A, B 的点 P( x0 , y0 ) 满足 PA ⋅ PB = 0 ,则直线 AB
−1
2.设函数 f ( x ) = ax 2 +
2 . e +1
x
(1)当 a = 0 时,求证:曲线 y = f ( x) 关于点 ( 0,1) 对称； (2)若函数 (3)当 a =
2023年 新高考1卷 数学压轴题
2023年新高考数学试卷1卷作为高考数学考试的压轴题，备受广大学生的关注和重视。
作为数学试卷的压轴题，它不仅考查学生的数学基础知识和解题能力，而且也反映了当今社会对数学素养的要求。
下面我们将就2023年新高考数学试卷1卷的压轴题进行分析和讨论。
一、试题设计背景和意图1.试题设计背景2023年新高考数学试卷1卷的压轴题设计背景主要体现在以下几个方面：（1）符合新高考改革方向：新高考改革旨在培养学生的创新思维和解决问题的能力，压轴题的设计应当符合新课标和新高考改革的方向，注重考查学生的综合运用能力。
（2）体现社会需求和未来发展趋势：数学作为一门基础学科，与社会和经济发展息息相关，压轴题的设计应当体现社会对数学素养的要求，引导学生关注未来发展趋势。
（3）突出重点，有针对性：压轴题的设计需要突出重点，注重对学生学习过程中的关键知识点和能力要求进行考查，有针对性地引导学生备考。
2.试题设计意图2023年新高考数学试卷1卷的压轴题的设计意图主要体现在以下几个方面：（1）激发学生学习兴趣：通过设计具有一定难度和挑战性的压轴题，激发学生学习数学的兴趣，提高学生对数学学习的积极性。
（2）培养学生解决问题的能力：试题设计旨在培养学生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力，引导学生在解题过程中灵活运用数学知识。
（3）考查学生的创新能力：试题设计注重考查学生的创新思维和创造性解决问题的能力，引导学生在数学学习中发展创新意识。
二、试题分析2023年新高考数学试卷1卷的压轴题设计符合新高考改革的要求，注重考查学生的综合运用能力和创新意识。
试题内容涉及数学的各个领域，涵盖了基础知识和拓展知识，具有一定的难度和挑战性。
试题分析如下：1. 第一大题：选择题第一大题为选择题，共有10道小题，涉及代数、几何、概率统计等知识点。
设计此部分旨在考查学生基础知识的掌握情况和逻辑推理能力，题目设置既有一定难度，又贴近实际生活，体现数学在解决实际问题中的应用。
高考数学压轴题背景溯源分析及其备考教学研究
!高考数学压轴题背景溯源分析及其备考教学研究#山东省烟台第三中学!杨新萍新课标背景下!数学高考试卷压轴题命题的视角愈发多元!其难易程度以及能力考查位于中等与高等之间!整合了竞赛类数学题目中典型知识点)问题)数学思想!而竞赛数学为高等数学的基础!其在高考试卷压轴题中的渗透是高中数学课改的最新尝试!以加大能力考查力度!对学生智力以及综合能力展开更精准的衡量!从而更好地发挥高考的选拔功能!因此!在高中阶段!溯源高考数学压轴题背景!是把控高考数学热点与方向的重要手段!本文基于此!从知识背景与方法背景两个层面展开高考数学压轴题溯源!并提出针对性备考教学设计方法!以为高中生数学复习提供有益参考!!高考数学压轴题背景溯源!1!知识背景目前高考数学压轴题的难度以及考查的主要内容介于中等与高等数学之间!与竞赛数学在思想)方法方面存在诸多融合之处!其中两者知识点的重合部分有'代数方程)三角函数)平面几何)初等数论等!而高考作为一次选拔性考试!其命题过程中始终遵循以能力意志为基础的原则-且课程标准提倡尊重学生个性差异!从不同角度学习数学!而在高考命题中也充分体现这一特点!压轴题的出现则是加深试卷整体深度!对学生思维品质与综合能力展开更高标准的考查!其中借鉴了诸多竞赛数学题目)思想)理念!因此!从知识背景溯源应考虑高考命题与竞赛数学结合后题型)考点的创新!以函数问题为例'高考试题 %#((%年广东卷&设函数-%"&在%&K !$K &上满足-%#&"&%-%#$"&!-%'&"&%%'$"&!且在闭区间5(!'6上!只有-%!&%-%$&%(!问题'%!&试判断函数#%-%"&的奇偶性-%#&试求方程-%"&%(在闭区间5&#((%!#((%6上的根的个数!并证明结论!竞赛试题 %!3&"年第二节美国数学邀请赛&函数-定义在实数域上!且满足如下条件'对任何实数"!-%#$"&%-%#&"&!-%'$"&%-%'&"&!如果"%(是-%"&%(的一个根!那么-%"&%(在区间&!(((&"&!(((中至少应有几个根$两个题目的条件以及问题都具有相似性!高考试题仅在试题的问题上以及已知条件中做了简单改动!考查学生对函数单调性)周期性等知识点的掌握!主要测试学生的运算能力与思维能力!!1"方法背景除了考查知识点)命题思想等知识层面与竞赛数学试题的关联!在数学方法上也存在直接的联系!例如!对极端原理的考查!通过已知条件对研究对象极端情况的约束!研究数学题目中的某种极端性质!用于解题的思想)方法及研究都被称作极端原理!利用该原理解决数学问题过程中!重点应放在全面讨论问题的极端情况上!如果已知条件发现矛盾或特殊性质!极端情况往往隐藏其中!这是竞赛数学中频繁出现的数学问题解决方法!如最小)最大原理!最短)最长原理等都是竞赛数学的高频考点!而在高考中极端原理题目也经常出现!如'高考试题 %#((%年辽宁卷&已知#%-%"&是定义在*上的单调函数!实数"!5"#!&5!!!%"!$&"#!$&!'%"#$&"!!$&!若-%"!&(-%"#&$-%!&(-%'&!则%!!&!4!&$(J !&%()!($&$!!?!&+!"高考数学压轴题备考教学设计方法高考为一场选拔性考试!其侧重基础知识考查兼能力测试!因此!在试卷的命题上其多以基础数学知识)基础数学思想)基础数学技能为主!主要考查的能力有空间想象能力)运算能力)思维能力等!在保持命题方向基本不变的情况下!借鉴竞赛数学的基础问题提高试卷难度!从更多元的视角考查学生能力!因此!在备考环节可广泛借鉴数学竞赛试题的思想与方法!#"#(##年$月上半月备考指南复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.!具体策略如下'"1!借鉴法即将竞赛数学中的基础思想)命题直接移植到备考习题当中'或摘取竞赛数学试题当中的某些设问方法)已知条件)结论片段运用到备考习题设计当中!以上述高考试题!为例!其仅对竞赛试题的已知条件与设问方法做出了简单的调整!更多直接借鉴其条件与结论!但从借鉴问题的具体过程来看!虽然条件做出了改变!但是方法基本不变!而这种大范围借鉴的情况并不多见!小范围借鉴案例颇多!高考试题 %#((&年江西卷&如图!所示!正三棱锥="678的三条侧棱=6)=7)=8两两垂直!且长度均为#!<)3)L分别为67)68)<3的中点!过<3作平面与侧棱=6)=7)=8或其延长线分别交于6!)7!)8!!已知=6!%$#!求证7!8!1平面=6L!求二面角="6!7!"8!的大小!图!图#竞赛试题 %!33%年全国联赛&如图#所示!设=为正三棱锥+"678的底面正@678的中心!过点=的动平面与三条侧棱或其延长线的交点分别是C)A)>!求'!+C$!+A$!+>是定值!(%(为侧棱长&!两道试题在条件上具有相同性!高考试题将设问转变!但仍为相同问题的两种不同表述方式!且所给图形仍然具有一致性!"1"改造法简单理解借鉴法多为直接移用竞赛原试题!容易引发对考试公平性的争议!因此!高考数学压轴题也利用改造法!更改竞赛试题原来的面貌!以竞赛试题为骨架或模型!经过加工与改编使试题重新回到备考试题当中!采用改造法由高考不得不面对的诸多现实问题决定!如新课改背景下!要求高考进行试题创新!不得使用陈题!为确保题目的新颖性!改造法成本最低)效果最佳-且竞赛试题是经由数学专家)学者苦心设计的!其集中反馈出数学研究兴趣!目前常用的改造方法如下'%!&数据变换!高考试题 %#((%年江西卷&已知数列,(1的各项都是正数!且((%!!(0$!%!#(0%"&(0&!0--!证明(0$(0$!$#!0---求解数列,(01的通项公式(0!竞赛试题 %!3&%年加拿大数学奥林匹克竞赛&设!$"!$#!对于0%!!#!$!00!定义"0$!%!$"0&!#"#0!求证对于0+$!有"0&槡#$#&0!%#&化繁为简!高考试题 %#((&年全国卷!&如图$所示!环形花坛被分成四块!有"种花供本次选种!要求每块里种一种花!且相邻两种种类不同!问'共多少种种法$竞赛试题 %#((!年全国高中数学联合竞赛&在正六边形的6)7)8);)<)3六个区域种植观察植物!如图"所示!要求每块种一种植物!相邻两块植物种类不同!现有"种植物可供选择!栽种方案有多少种$图$图""1#渗透法即选择竞赛试题中的定理进行加工)改造!渗透原题目的思想!使试题焕然一新!高考试题 %!330年全国卷&已知(!)!5为实数!函数-%"&%("#$)"$5!G%"&%("$)!当&!&"&!时!-%"&&!!求'%!&5&!-%#&当&!&"&!时!G%"&&#-%$&(,(!当&!&"&!时!G%"&的最大值为#!求-%"&!竞赛试题 %美国第六届普特南竞赛&设()))5-*!-%"&%("#$)"$5!当"&!时!-%"&&!!证明当"&!时!#("$)&"!通过对高考数学压轴题的溯源!了解命题人的意图)命题思维!在备考阶段可逐步渗透所涉及的数学思想)方法!使学生提前了解)适应试题思路!形成应对策略体系!参考文献*!+犹广江!立足教材$全面构思$注重导向!!!命制一道中考模拟压轴题的心路历程*,+!中学数学&下($#(!3&"(!*#+张宁!关注倍角模型$破解中考压轴题!!!等腰三角形中的两个倍角关系模型在解题中的应用*,+!中学数学&下($#(!&&!((!$$"复习备考备考指南#(##年$月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
2019年高考数学全国1卷概率统计压轴题溯源
2019年高考数学全国1卷概率统计压轴题溯源2019年高考数学刚结束，很多人都在惊呼今年数学题目难度很高。
最受人瞩目的全国1卷最后一道压轴题居然是概率统计，这在全国卷中是史无前例的。
而且此题超长，字数很多，阅读量大，场景陌生，除了考察概率统计还综合了数列的证明和求解，让人望而生畏、心生退意。
题目为：21．（12分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．官方公布的参考答案为：看到题目，我的第一时间我自己动手做了一下，感觉其实并不难，和参考答案的方法大同小异。
其实只要正确理解题目，将其转化为大家耳熟能详的离散型随机变量分布列及数列求通项问题即可。
题目中已经给出了递推公式和两个条件，只要按图索骥用大家熟悉的累加法求出等比数列通项公式，不难算出结果。
最后根据概率极小说明实验设计的正确性也是情理之中的事情。
所以本题的计算量和计算技巧都是学生很擅长的，唯一的难点就是题目有意无意的增大了阅读量，对学生造成了较大的心理负担。
可能会导致无法正确理解题意或者学生的数字计算出错等失误。
所以可以说本题的难度其实并不大，只是由于放到最后一题出乎了大家的意料，给学生造成了巨大的心理压力。
虽然概率统计压轴全国卷以前没有出现过，但是这应该是大势所趋的事情。
在以后的高中教学中，概率统计的地位一定会越来越高，因为它对生活特别有用，而且它在经济学、计算机等领域应用都非常广泛。
22年导数压轴真题解法荟萃与命题原理分析(新高考卷)
2022年导数压轴真题解法荟萃与命题原理分析（新高考版）新高考1卷压轴与同构视角下的多变量问题函数同构问题是当下的一个热门问题，2022，2020,的导数问题就可以从同构角度构造恒成立.同构问题常见于指对混合函数的恒成立或零点问题中，重在观察和变形，所以技巧性较强.当然这类指对混合函数的恒成立也可用其他方法完成，在这里学习同构，更多的是提升观察与思维能力.一．基本原理解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，则将不等式变形为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的结构，()f x 即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：①ln x x x xe e +=；②ln x x xe ex -=；③ln x x x x e e -=；④()ln ln x x x xe +=；⑤ln ln xe x x x-=.答题思路；1.直接变形：（1）积型：b b ae aln ≤⇒()ln ln a bx a e b ef x xe ⋅≤⋅⇒=（同左）；ln ln a a e e b b ⇒⋅≤⋅()ln f x x x ⇒=（同右）；⇒()ln ln ln ln a a b b +≤+⇒()ln f x x x =+（取对数）.说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.（2）商型：b b a e a ln <⇒ln ln a b e e a b <()xe f x x⇒=（同左）；ln ln a a e b e b ⇒<⇒xxx f ln )(=（同右）；⇒)ln(ln ln ln b b a a -<-⇒x x x f ln )(-=（取对数）.（3）和差型：b b a e a ln ±>±⇒ln ln a b e a e b ±>±⇒x e x f x±=)(（同左）；ln ln a a e e b b ⇒±>+⇒x x x f ln )(±=（同右）.2.先凑再变形：若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以x ，同加上x 等，再用上述方式变形.常见的有：①x ae axln >ln ax axe x x ⇒>；②[]ln 1ln()ln (1)1ln ln(1)1x xx a e a ax a a e a x e a x a->--⇒>--⇒->--ln ln(1)ln ln(1)1ln(1)x a x e x a x x e x --⇒+->-+-=+-；③ln ln ln log (ln )ln ln x x a x a a xa x e x a e x x a>⇒>⇒>二．典例分析例.（2022全国新高考1卷）已知函数()e =-xf x ax 和()lng x ax x =-有相同的最小值.（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.解析：（1）()e '=-xf x a ，()1g x a x'=-①0a 时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，即()f x 没有最小值.该类情况应舍去.②0a >时，()f x '在(),ln a -∞上小于0，在()ln ,a +∞上大于0，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，所以()f x 在ln x a =处有最小值为()ln ln f a a a a =-，所以()g x '在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上小于0，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上大于0，所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()g x 在1x a =处有最小值为11ln g a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值.所以有()1ln ln 1ln f a a a a g a a ⎛⎫=-==+⎪⎝⎭，即ln 1ln a a a a -=+因为0a >，所以上式等价于1ln 01a a a --=+，令()()1ln 01x h x x x x -=->+，则()()22101x h x x x +'=>+恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增又因为()()10h h a ==且0a >，所以1a =.（2）证明：由（1）()e =-xf x x ，()lng x x x =-，且()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()()min min 1f x g x ==.①1b <时，此时()()min min 1f x g x b ==>，显然y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有0个交点，不符合题意；②1b =时，此时()()min min 1f x g x b ===，y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；③1b >时，首先，证明y b =与曲线()y f x =有2个交点：即证明()()F x f x b =-有2个零点，()()1xF x f x e ''==-，所以()F x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，又因为()e0--=>bF b ，()010F b =-<，()e 20=->b F b b ，（令()e 2=-bt b b ，则()e 20'=->bt b ，()()1e 20>=->t b t ）所以明()()F x f x b =-在(),0-∞上存在且只存在1个零点，设为1x ，在()0,+∞上存在且只存在1个零点，设为2x .其次，证明y b =与曲线和有2个交点：即证明()()G x g x b =-有2个零点，()()11G x g x x''==-，所以()G x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又因为()ee0--=>bbG ，()010G b =-<，()2ln 20G b b b =->，（令()ln 2b b b μ=-，则()110b bμ'=->，()()11ln 20b μμ>=->）所以()()F x f x b =-在()0,1上存在且只存在1个零点，设为3x ，在()1,+∞上存在且只存在1个零点，设为4x .再次，证明存在b 使得23x x =：因为()()230F x G x ==，所以2233e ln =-=-x b x x x ，若23x x =，则2222e ln -=-x x x x ，即222e 2ln 0-+=x x x ，所以只需证明e 2ln 0-+=xx x 在()0,1上有解即可，即()e 2ln ϕ=-+xx x x 在()0,1上有零点，因为1e 3312e 30e e ϕ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()1e 20ϕ=->，所以()e 2ln ϕ=-+xx x x 在()0,1上存在零点，取一零点为0x ，令230x x x ==即可，此时取00e =-xb x 则此时存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，最后证明1402x x x +=，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列：因为()()()()()()1203040F x F x F x G x G x G x ======，所以()()()100ln F x G x F x ==，又因为()F x 在(),0-∞上单调递减，10x <，001x <<即0ln 0x <，所以10ln x x =同理，因为()()()004e ==x F x G G x ，又因为()G x 在()1,+∞上单调递增，00x >即0e1>x ，11x >，所以04e =x x ，又因为000e 2ln 0-+=xx x ，所以01400e ln 2+=+=xx x x x ，即直线y b =，与两条曲线()y f x =和()y g x =从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.三．习题演练习题1．已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为（）A．2e B．eC．24e D．21e解析：()ln x f x x = ，()()ln xx x x x e g x f e e e ===，由于()111ln 0x f x k x ==<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <，函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()21ln 0xf x x -'=>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，()()()212x f x g x f e ∴==，则21xx e =，()22221x x x g x k x e ∴===，则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，构造函数()2k h k k e =，其中0k <，则()()()222k k h k k k e k k e '=+=+.当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减.所以，()()2max 42h k h e =-=.故选：C.习题2．已知函数()e x ax f x =和ln ()x g x ax=有相同的最大值.（1）求a ；（2）证明：存在直线y =b ，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.（2）由（1）知()()()ln ,ln e x x x f x g x f x x===，由于0x >时，()0f x >，1x >时，()0>g x ，因此只有10e b <<才可能满足题意，记()e x x h x b =-，且10eb <<，由（1）得()h x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且()()110,00e h b h b =->=-<，所以存在()10,1x ∈，使得()10h x =，设2()e x x x ϕ=-，则()e 2x x x ϕ'=-，设()()m x x ϕ'=，则()e 2x m x =-'，0ln 2x <<时，()0m x '<，()m x 递减，ln 2x >时，()0m x '>，()m x 递增，所以min ()(ln 2)22ln 20m x m ==->，所以()(ln 2)0x ϕϕ''≥>，()ϕx 是增函数，0x >时，()(0)10x ϕϕ>=>，1211()e 0bb b ϕ=->，11e bb b <又1110e b b h b b ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在011,x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即此时y b =与()y f x =有两个交点，其中一个交点在()0,1内，另一个交点在()1,+∞内，同理y b =与()()ln y f x g x ==也有两个交点，其中一个交点在()0,e 内，另一个交点在()e,+∞内，若y b =与()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，则其中一个交点为两条曲线()y f x =和()y g x =的公共点，记其横坐标为2x ，令()()()222ln f x g x f x ==，则()()221,e ,ln 0,1x x ∈∈，记y b =与()(),y f x y g x ==的三个交点的横坐标从左到右依次为324,,x x x ，且满足()()()()32432241e ,x x x f x f x g x g x <<<<===，且2222ln e x xx x =，即2222e ln x x x =，又()()()()3224ln ,ln f x f x f x f x ==，且()()3224,ln 0,1,,ln 1,e x x x x ∈∈，且()f x 在()0,1和()1,e 上分别单调，所以3224ln ,ln x x x x ==，即24e x x =，所以22342,x x x x =为34,x x 的等比中项，所以从左到右的三个交点的横坐标324,,x x x 成等比数列.新高考2卷压轴与命制恒成立问题的常用方法例2．（2022新高考2卷）已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；解析：（2）设()e e 1ax x h x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax x g x ax =+-，则()()22e e ax x g x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x+<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.命题原理：（2）等价于0,1>-<x e xex ax恒成立.其实对于左端函数ax xe x g =)(，求导可得：ax e ax x g )1()('+=，于是0>a 时在),0(+∞上递增，0<a 时在),0(+∞先增后减.而右端函数1)(-=xe x h 在),0(+∞递增！同时注意到)0()0(h g =，我们分别对两个函数在0=x 处做泰勒展开：)(23322x o x a ax x xe ax+++=)(621332x o x x x e x+++=-所以，对照泰勒展开式，当0>a 时，)(),(x h x g 均递增，只要21≤a ，0,1>-<x e xe xax 一定恒成立.（这也意味着必要性探路方法可行）.当0<a 时，axxe x g =)(有最大值11)1(--=-e a a g ，此时11(1-=--a e ah ，利用指数不等式：1+≥x e x可得：1(111)1(1ag ae a e a h a -=->-≥-=--，这就表明0<a 时，0,1>-<x e xe x ax 恒成立，综上21≤a !利用导数产生数列放缩1.由不等式1ln -≤x x 可得：+∈<+<+N n nn n ,1)11ln(11.例3.（2017全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1(1)222nm ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解析：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->，令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而221111111ln(1ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<.故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<,而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2,.两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a ba ab -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：当0b a >>时211ln ln b a b a a b->-+，即111ln ln ()2b a b a a b-<+-.令,1a n b n ==+，则111ln(1)ln ()21n n n n +-<++，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++①.(,)L a b<1ln ln ln 2ln (1)a ab x x x b x ⇔-⇔⇔<->其中，接下来令t =2>11(1)n ln n >+，1(n ln n+>②.例4．已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（1）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n n a a n-+>.解析：（1）综上可知，λ的最小值时12.（2）由上述不等式①，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++，111ln(2)ln(1)()212n n n n +-+<+++，111ln(3)ln(2)(223n n n n +-+<+++…，111ln 2ln(21)(2212n n n n--<+-.将以上各不等式左右两边相加得：1122221ln 2ln (2123212n n n n n n n n-<+++++++++- ，即111211ln 22123214n n n n n n<+++++++++- ，故11211ln 212324n n n n n +++++>+++ ，即21ln 24n n a a n-+>.例5．（2022新高考2卷解析几何）已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n ++⋯+>+．1()n ln n+>，进一步求和可得：11231((...(1)12nnk k k n ln ln ln n k n==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n ++．。
高考数学试题溯源及教学启示
2.（2007年全国一）设函数f (x) ex ex （Ⅰ）证明：f (x) 的导数 f (x)≥ 2
（Ⅱ）若对所有x ≥0 都有 f (x)≥ ax ，求 a 的取值范围．
2008全国2理
设函数 f (x) sin x ． 2 cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何 x≥0 ，都有 f (x) ≤ ax ，
的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支
上的动点，则 | PF | | PA | 的最小值为_。
教材试题原型：已知点A(1,1),而且 F1 是椭圆
P x2 y 2 1 的左焦点， 是椭圆上任意一点，
95
求| PF1 | | PA | 的最小值和最大值。
选修2—1中2.2椭圆一节中习题2—2B第2题
A. 2 1 B.1 C. 2 D.2
09年全国卷6题
若a,b, c均为单位向量，且 a b 0, 则(a c) (b c)的最小值为
A. 2 B. 2 2 C. 1 D.1 2
示例2：11年辽宁理21题
已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ；
（I）讨论 f (x)的单调性；
.
，求证：cos cos cos 1
思考与感悟：
俗话说的好：“站的高，才能看 的远。”对于高考的研究不能仅局限 于高考范畴，要把眼界放的开一些。
教学启示：
5.试题下放于高等数学中的重要背景
高等背景下的初等试题，是对高中生 高层次理性思维和创新意识的有效检 测，能考查出学生进一步学习的潜质。
示例2(09年文8t）an已 知 2tan 2 ，则
sin2 sin cos 2cos2
（A） 4 （B）5 （C） 3（D） 4
高考数学函数压轴题方法归纳总结
高考数学函数压轴题方法归纳总结一、利用导数证明不等式1．已知()()21xf x ax e x =-+．（1）当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由；（2）若0x =是()f x 的极值点，证明()()2ln 11f x ax x x ≥-+++．【思路引导】（1）由题意1a =时，得()()21xf x x e x =-+，利用导数得到函数的单调性，进而可判定函数的零点个数；（2）求得函数的导数()()12xf x eax a x -'=++，由0x =是()f x 的极值点，得1a =，得到函数的解析式，令1x t -=，转化为证明1ln 2t te t t +≥++，设()()ln 20xh x ex e x x x =⋅--->， 根据导数得到()h x 的单调性和最小值，证得()0h x ≥，即可作出证明． 2．已知函数()()22xf x e ax x a R =--∈．（1）当0a =时，求()f x 的最小值； （2）当12e a <-时，证明：不等式()12ef x >-在()0,+∞上恒成立． 【思路引导】（1）()2xf x e x =-， ()2xf x e '=-，由单调区间及极值可求得最小值。
（2） 由导函数()22xf x e ax =--'，及12e a <-， ()12222102e f e a e ⎛⎫=-->---= ⎪⎝⎭， ()010f '=-<，由根的存在性定理可知存在()00,1x ∈使得()00f x '=，只需证()f x 最小值()()0020000022x x f x e ax x e x ax =--=-+>12e -，由隐零点00220x e ax --=回代，即证()12t t g t e t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12e >-。
3．已知函数()ln f x x =，()()1g x a x =-（1）当2a =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间；（2）若1x >时，关于x 的不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若数列{}n a 满足11n n a a +=+， 33a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()ln 1234...n n S ⨯⨯⨯⨯⨯<．【思路引导】（Ⅰ）求出()h x '，在定义域内，分别令()'0h x >求得x 的范围，可得函数()h x 增区间， ()'0h x <求得x 的范围，可得函数()h x 的减区间；（Ⅱ）当0a ≤时，因为1x >，所以()1ln 0a x x -->显然不成立，先证明因此1a ≥时， ()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，再证明当01a <<时不满足题意，从而可得结果；（III ）先求出等差数列的前n 项和为()12n n n S +=，结合（II ）可得ln22,ln33,ln44,,ln n n <<<⋅⋅⋅<，各式相加即可得结论．4．已知函数()sin xf x e x ax =-．（1）若1a =，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； （2）若()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）当1a ≤时，求证：对于任意的x ∈ 30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，均有()0f x ≥． 【思路引导】（1）求出()1x xf x e sinx e cosx '=+-，由()0f 的值可得切点坐标，由()'0f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）函数()f x 在[0,4π]上单调递增⇔ ()f x '在[0,4π]上恒有()0f x '≥．即sin x （4x π+）a ≥恒成立，令()sinxg x =（4x π+），只需求出()g x 的最小值即可得结果；（3）先证明当x ∈ [0,2π]时， ()()0f x g x a '=-≥，()f x 递增，有()()()min 00f x f x f ≥==成立，再讨论两种情况若0a ≤，不等式恒成立，只需分两种情况证明a ∈（0,1]时也恒成立即可． 5．已知函数()2ln f x a x =+且()f x a x ≤．（1）求实数a 的值； （2）令()()xf x g x x a=-在(),a +∞上的最小值为m ，求证： ()67f m <<．【思路引导】由题意知： 2ln a x a x +≤恒成立等价于2ln 0a at t -+≤在0t >时恒成立， 令()2ln h t a at t =-+，由于()10h =，故2ln 0a at t -+≤ ()()1h t h ⇔≤， 可证： ()h t 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减．故2a =合题意．6．已知函数()1ln xf x x ax-=+（其中0a >， e 2.7≈）． （1）当1a =时，求函数()f x 在()()1,1f 点处的切线方程; （2）若函数()f x 在区间[)2,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围; （3）求证：对于任意大于1的正整数n ，都有111ln 23n n>+++． 【思路引导】（1）()21x f x x='-， ()10f '=， ()10f =，可求得切线方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学压轴题的来源
【李锦旭】
数学高考的压轴题主要来源有以下几个方面：
1．源于课本例习题的“变题”
高考的主要目的是为高校录取新生提供依据，要在“高分区”的20%上下“拉开距离”，试题就要着重考查需要灵活、综合运用数学知识和数学思想方法才能解决的问题。
因此在每年高考题中都要安排一定数量并位居一定档次的综合性较强的题目，这些题目充分体现了高考命题的原则——“植根于教材，来源于课本，着眼于提高”。
例如：
2．某些高等数学内容或初等数学研究成果的浅化
高考数学命题的一个重要趋向是由以知识立意转向以能力立意，并同时注重对数学思想方法进行考查，由于高考是选拔性考试，要考查考生进入高校继续学习的潜力，同时高考命题者中还有一部分是来自高校的专家，因而历年的高考试题中，往往都有一定数量的以高等数学为背景的题目，这种题目一般是将高等数学中的一些与初等数学联系较为密切的定理、结论进行改造，以新定义并即时应用型的面目出现，或将高等数学的一些重要思想和典型方法初等化；每年高考过后，都有这类试题因其新颖有趣、内涵丰富而为广大师生所津津乐道。
以历史数学名题或科学家尤其是数学家研究成果为背景改造的高考题，在近些年的高考试题中出现的频率越来越高；这些题目往往因其有深厚的科学背景，能够进行引申推广，并可反复咀嚼且意味深长而一直为广大中学师生所称道，也深受高校学者教授们赞许。
如：
3．改编于历年来的高考试题、竞赛试题或自招试题
现行高考虽然不再追求对知识的覆盖面，而注重在知识交汇处命制试题,但是每年的试题都要涉及《考试说明》所列必考重点知识点的70%左右，因此构成学科骨架知识和方法体现数学思想甚至观念的重点内容总是不能回避，要改变形式重复考查，如上海、台港澳等各省市或新课改区高考题，甚至国外的大学入学试题中较新颖的题目，往往被高考命题者借鉴；另一方面，竞赛、保送、自主招生等高端考试和高考都是选拔性考试，它们可以互相促进，国内外历年竞赛题和自招保送试题中深受中学生欢迎、对中学数学教学有较好启发和导向作用的小题，也常常是高考题的来源（同时高考也为自招竞赛等提供命题源）。
例题（略）
4．借鉴国内外的新课改动态或反应生活热点而编拟的试题
高考命题，一方面要考查出能力，选拔人才；另一方面，又要体现国内外教改新成果，给中学教学指明正确的方向，因此教改和高考之间有着密切的联系。
如对应用题的考查：英美等国在二十世纪七十年代末就提出“问题解决”问题并着手实施，日本实行小课题研究,来考查中学生数学建模能力等数学应用意识和数学学科思维力；我国自1990~1993年以来不少有识之士如张奠宙、严士键、苏式冬等呼吁：应在高考中考查应用题！1993、1994年以填空形式考查，从1995年至今已经20年，都设计了解答题，且成为6个解答题中的必考题型；命制应用题的质量也越来越高，其中尤以教改新成果和生产生活中的热点问题作为命题的着眼点，受到社会各界的广泛好评.坚持考查应用题，仍是今后的方向。
再如研究性学习，在我国已作为必修内容进入中小学教材，其理念和方法，也同样在高考中得到考查。
如：
例题略
5．命题组专家自创题
这些新型试题，富有创意，渗透着命题专家的汗水，汇聚他们众多的智慧，给中学教学改革带来一股清新之气，为高校选拔英才开启了方便之门.这样的例子比比皆是，具体详见各章节实例.。