《信号与系统》第二章-第15讲
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
《信号与系统》第二章总结
它确定系统完全响应的系数：
d + r (0 ), r ' (0 ), r ' ' (0 ), r ' ' ' (0 ) L, n −1 r (0 ) dt
+ + + +
n −1
r (t ) = rh (t ) + rp (t ) = ∑ Ai eα it + rp (t )
i =1
n
冲激函数匹配法
阶跃响应
产生 阶跃响应g (t )：系统激励u (t ) 零状态响应 →
g (t )满足微分方程为 d n g (t ) d n −1 g (t ) dg (t ) C0 + C1 + L + Cn −1 + Cn g (t ) n n −1 dt dt dt d m u (t ) d m −1u (t ) du (t ) = E0 dt m + E1 dt m −1 + L + Em −1 dt + Emu (t ) (k ) g (0− ) = 0
（5）积分性： ∫
t
−∞
[ f1(τ ) ∗ f2 (τ )]dτ = f1(t) ∗ ∫−∞ f2 (τ )dτ
t
(适于多重积分）
= ∫ f1 (τ )dτ ∗ f2 (t )
−∞
t
（6）微积分性：设 f (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) 则f
(i )
(t ) = f
( j) 1
(t ) ∗ f 2
(i − j )
(t )
（7）冲激性： f (t ) ∗ δ (t ) = f (t ) f (t ) ∗ δ (t − t0 ) = f (t − t0 )
《信号与系统》第2章1
信号与系统讲稿
二. 系统模型的建立是有一定条件的：
1. 对于同一物理系统在不同条件之下，可以得到不 同形式的数学模型。（参考书中P29） 2. 对于不同的物理系统，经过抽象和近似有可能得到 形式上完全相同的数学模型。（参考书中P29）
建立数学模型
解数学模型
对解加于物理解释
三. 时域分析方法
时域分析：在分析过程中，所涉及到的函数都是时间的 函数。 （1） 经典方法：求解微分方程 （2） 卷积积分。（重点内容）
在 t = 0 时刻换开关，由于电感的电流不能跳变，所以： i( 0+ ) = i( 0 ) = 0 A
di(t ) 而i (0 ) dt
L 1 1 u ( t ) u L (t ) u L (0 ) L t 0 t 0 t 0 L
且u L (0 ) 20 u C (0 )
信号与系统讲稿
对于电阻，有信号就有可能发生跳变。 第一种情况：在没有冲激电流（或阶跃电压）强迫 作用于电容的情况下，电容两端电压uC( t )不发生跳变； 在没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感的情 况下，流过电感的电流iL( t )不发生跳变。 即： uC( 0+ ) = uC( 0 )、iL( 0+ ) = iL( 0 ) 第二种情况：在有冲激电流（或阶跃电压）强迫作 用于电容以及有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于 电感时， uC(0)和iL( 0 )发生跳变，这种情况只能借助 于对微分方程在[ 0，0+ ]内取积分或用奇异函数平衡 法来决定。 （2） 利用方程和起始条件uC( 0 )、iL( 0 )，通过奇异 函数平衡法决定初始条件。
1 i R (t ) u R (t ) 或 u R (t ) R i R (t ) R
信号与系统第二章
2 B2 14 B1 6
解得
B1
21 50
, B2
3 50
u2(t)的特解为： u2 p t 21 cos 2t 3 sin 2t
50 50
全响应u2(t)为
u2 t u 2 h t u 2 p t A1e t A2 e 6t 21 3 cos 2t sin 2t 50 50
微分方程的建立
对于电系统，当结构参数已知时，可通过基尔霍夫电流 定律KCL和基尔霍夫电压定律KVL及元部件的伏安特性VAR 来建立方程。
VAR
电阻
iR (t )
R
uR (t ) RiR (t )
uR (t )
iR (t )
uR (t ) R
电感
iL (t )
L
uL (t )
diL (t ) uL (t ) L dt
对于连续时间系统，最常用的数学模型为高阶微分方程。
连续时间系统
微分方程
如果系统为单输入、单输出LTI系统，则可用下面的高阶常 n m 微分方程来描述 i j
C r t E e t
i 0 i j 0 i
式中，e(t)为输入激励量，又称强迫量；r(t)为输出响应 变量，是待求量；n是系统的阶数。这种描述系统的方法只 关心系统的输入信号和输出信号，而对系统内部的其他信号 的变化不关心，故称为输入－输出法。
特解的形式 系统微分方程的特解rp(t)就是系统的强迫响应，它只与激励 函数的形式有关。 几种典型激励函数e(t)及其所对应的特解rp(t)如表所示。选定 特解后，将其代入原微分方程，求出特解函数式中的待定系 数，就可得出特解rp(t)。 P46 表2-2
解得
B1
21 50
, B2
3 50
u2(t)的特解为： u2 p t 21 cos 2t 3 sin 2t
50 50
全响应u2(t)为
u2 t u 2 h t u 2 p t A1e t A2 e 6t 21 3 cos 2t sin 2t 50 50
微分方程的建立
对于电系统，当结构参数已知时，可通过基尔霍夫电流 定律KCL和基尔霍夫电压定律KVL及元部件的伏安特性VAR 来建立方程。
VAR
电阻
iR (t )
R
uR (t ) RiR (t )
uR (t )
iR (t )
uR (t ) R
电感
iL (t )
L
uL (t )
diL (t ) uL (t ) L dt
对于连续时间系统，最常用的数学模型为高阶微分方程。
连续时间系统
微分方程
如果系统为单输入、单输出LTI系统，则可用下面的高阶常 n m 微分方程来描述 i j
C r t E e t
i 0 i j 0 i
式中，e(t)为输入激励量，又称强迫量；r(t)为输出响应 变量，是待求量；n是系统的阶数。这种描述系统的方法只 关心系统的输入信号和输出信号，而对系统内部的其他信号 的变化不关心，故称为输入－输出法。
特解的形式 系统微分方程的特解rp(t)就是系统的强迫响应，它只与激励 函数的形式有关。 几种典型激励函数e(t)及其所对应的特解rp(t)如表所示。选定 特解后，将其代入原微分方程，求出特解函数式中的待定系 数，就可得出特解rp(t)。 P46 表2-2
信号与系统第二章
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.0 引 言
2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法
2.0 引 言
信号与系统分析的基本任务：
在给定系统和输入的条件下，求解系统的
输出响应。
f2( ) c
f2(-)
1
2、反转：
-1
c
0
3、平移： 将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量
f2(-) c
t>0时向右平移， t<0时向左平移
f2(t-) c
-1
0
f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t
t-1
t
-1
0
0
0
2 0
1
0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
0
2
0
0
t
以上可以归纳为下列情况：
f1( )
2
f1(t) f2(t)
g(t)
0
2
0
t
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0
当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：
t-2
t 0
用图解法进行分段积分，求出g(t)
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
2.0 引 言
2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法
2.0 引 言
信号与系统分析的基本任务：
在给定系统和输入的条件下，求解系统的
输出响应。
f2( ) c
f2(-)
1
2、反转：
-1
c
0
3、平移： 将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量
f2(-) c
t>0时向右平移， t<0时向左平移
f2(t-) c
-1
0
f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t
t-1
t
-1
0
0
0
2 0
1
0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
0
2
0
0
t
以上可以归纳为下列情况：
f1( )
2
f1(t) f2(t)
g(t)
0
2
0
t
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0
当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：
t-2
t 0
用图解法进行分段积分，求出g(t)
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
《信号与系统》奥本海姆第二章
conditions ( 初始条件 ) : d y (t 0 ) , , dt d
N 1
y (t 0 )
N 1
dt
完全解:
y(t)=yh(t)+yp(t)
齐次解 特解
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当N=0时,即 ak 0, k 0 ,差分方程为：
M
a 0 y[ n ]
M
b
j0
j
x[ n j ]
y[ n ]
a
j 0
M
bj
0
x[ n j ]
h[ n]
j 0
bj a0
[n j ]
0nM
bn h[ n ] , a0
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w(n) bk x(n k ) b0 x(n) b1x(n 1) ... bM x(n M )
方框图为：
x n )) x(( n
D D
b0 1 / a 0
b1 a1
1/ a0y ( n ) y ( n) w(v n( )n ) w(n) b0
D D
D D
N k k 0
M k k 0
a y ( n k ) b x( n k )
N 1 M y(n) bk x(n k ) ak y(n k ) a0 k 0 k 1
令 w(n)
M
b x(n k )
信号与系统第2章
第二章 傅立叶变换
(5) 微分特性 如果 那么
（6）积分特性 如果 那么
如果F(0)=0
第二章 傅立叶变换
(7)卷积定理 1．时域卷积定理 如果 那么 (8)频域卷积定理 如果
那么
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？ （1）正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
n1 ) 2 n1 2
2 E sin( An T
2 E sin( An T
2
)
2
这里
2 1 T
Hale Waihona Puke n1第二章 2 E sin( An T
傅立叶变换
2
)
2
若: 2 An 0 （1） 2 （2） 2
该式表明：周期信号f(t)的傅里叶变换F(ω )是由一些冲击函数组成的， 并位于基波ω 1的整数倍处，冲击强度为f(t)的指数傅里叶级数的系数Cn 的2π 倍。
第二章 傅立叶变换
例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。
傅里叶级数为
第二章 傅立叶变换
例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换 矩形脉冲信号f(t)的 傅里叶系数为：
第二章 傅立叶变换
例1已知矩形脉冲f1(t)如图(a)所示，其相位谱如图(b)所示， 将f1(t)右移τ /2得到如图（c）所示f2(t),试画出其相位谱。
由题意可知
根据时移特性，可得f2(t)的频谱函数 为
第二章 傅立叶变换
f2(t)幅度谱没有变化，其相位谱比图(b)滞后τ ω /2、如图（d）所示。要
信号与系统——泛函分析初步
例如，在电信领域，通常考虑能量有限信号，能量有限信号的全体 构成一个内积空间，其内积为，而且这个内积空间是一个Hilbert空间。
再如，若一个能量有限信号可以分解成无穷多个分量，即其各分量 平方可和
可证明，按内积构成的内积空间，也是一个Hilbert空间。 Cauchy-Schwarz不等式：为内积空间，，有
定义（和、直和，Sum、Direct sum）：
设是的线性子空间，称为子空间的和。如果，即p个子空间彼此无 交集，则这些子空间的和称为直和，记为：。
定理：设是的线性子空间，则 （1）子空间的交也是的子空间； （2）子空间的和也是的子空间； （3）是直和 对于，可唯一表示成
，其中。
§2.3 距离空间（度量空间）
其中，为定义域，为值域。
图2-1 算子的映射作用 定义（数域，Number field）：包括0、1且对四则运算封闭 的数集。 定义（泛函，Functional）：值域是实／复数域的算子称为 泛函。 注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普 通）函数均为泛函。 定义（线性算子）：为线性空间，，若对，
Hilbert第六问题：任何物理学理论、物理定 律、实验结论，都可以从一组数学公理出发通
过演绎得到。
希尔伯特第六问题，体现了一种对于统一的追求。
泛函分析：属于基于公理的分析体系，不在于计算，
而着眼于概念演绎，更普适、更一般、更深刻地理
解、解释数学物理问题。
1. 内积空间：
定义（内积，Inner product）：设为实或复线性空间，若对 （复数域），均有一实数或复数与之对应，记为，满足：
注意2：满足三条公里的距离定义可以有多种。因此，同一个集合
与不同定义的距离结合，构成不同的度量空间。
再如，若一个能量有限信号可以分解成无穷多个分量，即其各分量 平方可和
可证明，按内积构成的内积空间，也是一个Hilbert空间。 Cauchy-Schwarz不等式：为内积空间，，有
定义（和、直和，Sum、Direct sum）：
设是的线性子空间，称为子空间的和。如果，即p个子空间彼此无 交集，则这些子空间的和称为直和，记为：。
定理：设是的线性子空间，则 （1）子空间的交也是的子空间； （2）子空间的和也是的子空间； （3）是直和 对于，可唯一表示成
，其中。
§2.3 距离空间（度量空间）
其中，为定义域，为值域。
图2-1 算子的映射作用 定义（数域，Number field）：包括0、1且对四则运算封闭 的数集。 定义（泛函，Functional）：值域是实／复数域的算子称为 泛函。 注：定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普 通）函数均为泛函。 定义（线性算子）：为线性空间，，若对，
Hilbert第六问题：任何物理学理论、物理定 律、实验结论，都可以从一组数学公理出发通
过演绎得到。
希尔伯特第六问题，体现了一种对于统一的追求。
泛函分析：属于基于公理的分析体系，不在于计算，
而着眼于概念演绎，更普适、更一般、更深刻地理
解、解释数学物理问题。
1. 内积空间：
定义（内积，Inner product）：设为实或复线性空间，若对 （复数域），均有一实数或复数与之对应，记为，满足：
注意2：满足三条公里的距离定义可以有多种。因此，同一个集合
与不同定义的距离结合，构成不同的度量空间。
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2-15-1 卷积应用例-多径失真抑制
实践中要求无失真地记录一个信号往往是非常困难的， 比如室内环境下的录音，其麦克风接收到的音频信号一 般认为主要是由三部分构成：来自声源的直达波，经过 墙壁有限次数反射的前期波和经过墙壁多次反射形成的 后期波。由于传播路径的不同，这三种声波信号到达麦 克风的先后顺序就有所不同，并且存在互相混叠的现象。
回波系统
y(t)
逆系统
x(t)
(t)
h(t)
h(t)
hi (t )
h(t) hi (t) (t)
图2-15-1 用逆系统均衡室内回波
7
第二章 连续时间信号与系统
2-15-1 卷积应用例-多径失真抑制
根据系统零状态响应的定义，针对第二个子系统 hi (t) 的输出，显然有：
x(t) y(t) hi (t) x(t) [h(t) hi (t)]
5
第二章 连续时间信号与系统
2-15-1 卷积应用例-多径失真抑制
如果信号的室内回波不止一条（多径），处理上只需要
简单迭加具有不同衰减系数和时延因子的冲激信号，就
可以根据下面的冲激响应来定义一般意义上的LTI系统
的回波模型： N h(t) k (t tk )
（2-15-4）
k 0
顺便说明一下，上述模型描述的多径回波可模拟
10
第二章 连续时间信号与系统
2-15-1 卷积应用例-多径失真抑制
到这一步，读者可能会问，虽然消除了幅度为、
时延为 td 的回波，却又引入了一个附加的、幅度为 2
且时延为 2td 的回波，这有意义吗？回答是肯定的，但应
该满足第三步的条件；
第三步，如果 1 ，虽然第二步的运算在消除第一个回
波的同时又引入了额外的回波分量，但显然这个回波分 量的强度已受到更大的衰减，尽管到目前为止还没有完 全消除它。那么怎样才能消除时延2td为 的回波呢？不妨 假设在式（2-15-7）中增加第二项，就是说2td在 处再加 一个幅度 2为 的冲激：
hi (t) (t) (t td ) 2 (t 2td )
（2-15-8）
11
第二章 连续时间信号与系统
2-15-1 卷积应用例-多径失真抑制
重复第二步的运算可得到：
h(t)hi (t) (t) 3 (t 3td ) （2-15-9）
为了找到逆系统，我们需要从式（2-15-6）中解 出 hi (t)。虽然看上去式（2-15-6）并不复杂，但解这类 卷积方程却没有通用的解析方法。这时，观察法及尝 试法就有用了。我们按照以下思路来解这个问题：
第一步，首先注意 hi (t) 中应该包含一个冲激，因为式 （2-15-6）等式的左边是一个冲激；
为系统的逆系统，用它代替式（2-15-6）种的 hi (t) ，
则有：
h(t) hi (t) [ (t) (t td )][ (t) (t td )] (t) 2 (t 2td )
显然，上式表明已经消除了幅度为 、时延为 td 的回
波，但又引入了一个幅度为 2、时延为 2td 的附加回 波。
所谓的混响效果。
当记录的信号存在回波和混响时，往往需要抑制 掉信号中的回波或混响成分，也就是说需要从 y(t) 中 恢复出 x(t)。这个问题一般而言需要用到后续章节中
将要讨论的谱分析和滤波技术，但若仅考虑单一回波， 有无简单的方法从 中y(恢t) 复 ？x(t)
6
第二章 连续时间信号与系统
2-15-1 卷积应用例-多径失真抑制
第二步，由于希望消除幅度为、时延为 td 的回波，
可以考虑给系统引入一个幅度为、时延为 td 的冲激。
因此，假设：
hi (t) (t) (t td ) （2-15-7）
9
第二章 连续时间信号与系统
2-15-1 卷积应用例-多径失真抑制
因此，假设：
hi (t) (t) (t td ) （2-15-7）
x(t) (t td ) x(t td ) （2-15-2）
因此若令 x(t) (t)，带入式（2-15-1），则可以用具
有如下冲激响应的LTI系统模拟或仿真室内回声模型：
h(t) (t) (t td ) （2-15-3）
由此可知，式（2-15-3）给出的回声模型其实就是单
位冲激响应 h(t) 与信号x(t)的卷积 y(t) h(t) x(t) 。
国家“十二五”规划教材——《信号与系统》
LOGO
§2-15
应用示例及 ThemeGallery
MATLABPo实we践rTemplate
重点 连续时间系统的工程应用 难点 MATLAB编程
内容安排
2-15-1 卷积应用例-多径失真抑制
2-15-2 混沌动力学系统的建 模与仿真时间变换
2
第二章 连续时间信号与系统
下面我们证明只要满足一个简单的条件，就可以 y(t)
从 中x恢(t)复 。设想让已录制y(好t)的 信号通过一
个我们在前面曾经介绍过的所谓的逆系统，可以用图 2-15-所示的框图描述这个运算过程，图中阴影部分表 示回波子系统与逆系统的级联，其目的是希望获得一 个冲激响应为单一冲激的总的系统。
x(t)
3
第二章 连续时间信号与系统
2-15-1 卷积应用例-多径失真抑制
如果忽略多次反射的后期波，则模拟这种回声现象的 最简单的方法是定义麦克风所接收的信号为直达波与 一个反射分量的和，可建模为：
y(t) x(t) x(t td ) （2-15-1）
其中 1是反射系数，表示声波经过反射后产生的衰减，
（2-15-5）
回顾一下 (t) 的卷积特性（即 x(t) x(t) (t)），可知
欲从式（2-15-5）中解出 hi (t)，必须满足：
(t) h(t) hi (t)
（2-15-6）
[ (t) (t td )] hi (t)
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第二章 连续时间信号与系统
2-15-1 卷积应用例-多径失真抑制
为声t波d 经反射造成的时延。当 是x一(t个) 声音信号且时
延 td 10时0m，s 人耳能够感觉到一个明显的回声；但若
很小并td 且存在多个反射，则听到的会是一个混合声用例-多径失真抑制
我们知道，任一信号 (t td )与一个时移冲激信号的 卷积只是对该信号进行了平移，即：