2018卓越学案高考文科数学新课标一轮复习课件：第4章 三角函数与解三角形 第5讲 精品
(2)∵x∈π4，34π，∴34π≤2x＋π4≤74π， ∴－1≤sin2x＋π4≤ 22， ∴－ 2≤f(x)≤1， ∴当x∈π4，34π时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－ 2.
三角函数的对称性与奇偶性
(1)[中心对称]如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点
43π，0对称，那么|φ|的最小值为( A )
第四章 三角函数与解三角函数
第5讲 三角函数的图象与性质
考纲展示
第四章 三角函数与解三角函数
考情呈现
1.能画出y＝sin x，y＝cos x， 1.考查频数：5年5考
y＝tan x的图象，了解三角函 2．考查题型：选择题、填
数的周期性
空题、解答题
2．理解正弦函数、余弦函数 3．试题难度：易、中
在[0，2π]上的性质(如单调 4．高频考点：三角函数的
A．2
B．2π
(A)
C．4
D．4π
解析： T＝ππ＝2. 2
5．(必修5 P46A组T4改编)下列不等式成立的是( D )
A．sin 2 017°>sin 201°
B．cos 2 017°<cos 201°
C．sin 2 017°>tan 2 017° D．cos 2 017°<sin 2 017°
(2)三角函数值域的不同求法： ①利用sin x和cos x的值域直接求； ②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值 域； ③把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域； ④利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值 域．
1．函数y＝ cos x－ 23的定义域为( C )
x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2t－12
2＋32，∴当t＝12时，函数取得最大值32.
3．(2015·高考北京卷)已知函数f(x)＝sin x－2 3sin2x2. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间0，23π上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin x＋ 3cos x－ 3 ＝2sinx＋π3－ 3， 所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为0≤x≤23π，所以π3≤x＋π3≤π. 当x＋π3＝π，即x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以f(x)在区间0，23π上的最小值为f23π＝－ 3.
性、最大值和最小值、图象 图象与性质的应用
与x轴的交点等)，理解正切 5．考查能力：以三角函数
函数在－π2，π2内的单调性
的解析式或图象为载体，考 查图象的识别与性质的应用
正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x
图象
y＝tan x
函数 y＝sin x
定义域
R
值域 __[－__1_，__1_]_
_2_k_π_＋__π_2_，_
__[2_k_π__，____
递减 区间
2kπ＋32π
__2_k_π_＋__π_]__
无
_________
(k∈Z)
(k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
对称中 (kπ，0)(k∈Z)
心
kπ＋π2，0 (k∈Z)
k2π，0(k∈Z)
对称轴 x＝kπ＋π2(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
所示)．
∴定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，.
k∈Z
法三：sin
x－cos
x＝
2
sin
x－π4
≥0，将x－
π 4
视为一个整
体，由正弦函数y＝sin
x的图象和性质可知2kπ≤x－
π 4
≤π＋
2kπ，k∈Z，
解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z. 所以定义域为
x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.
3．(必修4
P40练习T3(2)改编)函数y＝2－cos
x 3
(x∈R)的最大值
和最小正周期分别是( C )
A．ymax＝2，T＝3π C．ymax＝3，T＝6π
B．ymax＝1，T＝6π D．ymax＝3，T＝3π
解析：最大值ymax＝2－(－1)＝3，T＝21π＝6π，故选C. 3
4．(必修4 P44例6改编)函数y＝tanπ2x＋π3的最小正周期是
1．(必修4 P40练习T1改编)在[0，2π]上，满足sin x>0，且cos
x<0的区间是( B )
A.0，π2
B．π2，π
C.π，32π
D．32π，2π
解析：法一：由 sin x>0，得 x∈(0，π)， 由 cos x<0 得 x∈π2，32π. ∴满足条件的区间是0，π∩π2，32π＝π2，π，故选 B. 法二：画出 y＝sin x 与 y＝cos x 的图象(图略)，即选 B.
法四：sin x－cos x＝ 2sinx－π4≥0， ∵角的终边在第Ⅰ、Ⅱ象限的正弦值为正，在x轴上的正弦 值为0， ∴2kπ≤x－π4≤2kπ＋π， 即π4＋2kπ≤x≤54π＋2kπ，k∈Z， ∴定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.
(2)①因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x ＋cos 2x＝ 2sin2x＋π4＋1， 所以函数f(x)的最小正周期为T＝22π＝π. ②由①的计算结果知，f(x)＝ 2sin2x＋π4＋1.
周期性
2π
奇偶性 奇函数
y＝cos x
R
[－1，1] _2_π__
偶函数
y＝tan x x|x≠kπ＋π2，
k∈Z R
__π___ 奇函数os x
y＝tan x
2kπ－π2，2kπ ＋π2(k∈Z)
[2kπ－π， kπ－π2， kπ＋π2
2kπ] (k∈Z)
(k∈Z)
三角函数的单调性与周期性
求函数y＝sinπ3＋4x＋cos4x－π6的周期、单调区间及 最大、最小值． [解] ∵π3＋4x＋π6－4x＝π2， ∴cos4x－π6＝cosπ6－4x＝cosπ2－π3＋4x＝sinπ3＋4x. ∴y＝2sin4x＋π3，周期T＝24π＝π2.
当－π2＋2kπ≤4x＋π3≤π2＋2kπ(k∈Z)时，函数单调递增， ∴函数的单调递增区间为－52π4＋k2π，2π4＋k2π，(k∈Z)． 当π2＋2kπ≤4x＋π3≤32π＋2kπ(k∈Z)时，函数单调递减， ∴函数的单调递减区间为2π4＋k2π，72π4＋k2π，(k∈Z)． 当x＝2π4＋k2π(k∈Z)时，ymax＝2； 当x＝－52π4＋k2π(k∈Z)时，ymin＝－2.
错；
y＝cos x在(180°，360°)上是增函数， ∴cos 217°>cos 201°，B错； 又sin 217°>sin 225°＝cos 225°>cos 217°， D正确，故选D.
三角函数的定义域与值域
(1)[三角函数的定义域]求函数y＝ sin x－cos x 的定义 域． (2)[三角函数的值域](2015·高考安徽卷)已知函数f(x)＝(sin x ＋cos x)2＋cos 2x. ①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
(2)f(x)＝2sinx＋π3，y＝f(x＋φ) ＝2sinx＋π3＋φ图象关于x＝0对称， 即f(x＋φ)为偶函数． ∴π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋π6，k∈Z，
ωx(ω＞0)，x∈R.若函数 f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且 π
函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ω 对称，则 ω 的值为__2__．
[解析] (1)由题意得3cos2×43π＋φ ＝3cos23π＋φ＋2π ＝3cos23π＋φ＝0，∴23π＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，
∴φ＝kπ－π6，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为π6.
A.π6
B．π4
C．π3
D．π2
(2)[奇偶性]已知 f(x)＝sin x＋ 3cos x(x∈R)，函数 y＝f(x＋
φ)|φ|≤π2的图象关于直线 x＝0 对称，则 φ 的值为( D)
π A.2
B．π3
C．π4
D．π6
(3)[轴对称](2015·高考天津卷)已知函数 f(x)＝sin ωx＋cos
(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝ Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需 把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即 可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的 某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调 区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的 单调区间，从而利用它们之间的关系即可求解，另外，若是 选择题利用特殊值验证排除更为简捷．
1．已知ω>0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则 ω的取值范围是( A )
A.12，54
B．12，34
C.0，12
D．(0，2]
解析：由π2<x<π得π2ω＋π4<ωx＋π4<πω＋π4，由题意知 π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2，32π， ∴ππ2ωω＋＋ππ44≥≤π322π，，∴12≤ω≤54，故选A.
[解] (1)法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在 同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如 图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x的值为π4或54π，所以原函 数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.
法二：
利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分
2．(必修4 P32例1改编)由y＝sin x，x∈[0，2π]的图象怎样得 出y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图象( B ) A．先将y＝sin x的图象向上平移1个单位后，再关于x轴对 称 B．先将y＝sin x的图象关于x轴对称后，再向上平移1个单位 C．先将y＝sin x的图象关于x轴对称后，再向下平移1个单 位 D．先将y＝sin x的图象向左平移π个单位后，再向上平移1 个单位 解析：∵y＝sin x与y＝－sin x关于x轴对称，故选B.
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2018届高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.7解三角形课件文北师大版
1 3
解 (1)在△ABC 中,c=√3,sin A=√6sin C,
������ 由正弦定理sin������
(2)由 cos
������ = sin������,得 a=√6· c=√6 × √3=3√2. 1 2 π 2A=1-2sin2A=-3得,sin2A=3,由 0<A<2,得
sin A= 3 ,
4.7
解三角形
1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
正弦定理
a
余弦定理 =
c ������������������ C
内容
△ABC 外接圆的半径) (1)a=2Rsin A,b= b 2 +c 2 -a 2 cos A= ; 2Rsin B,c=2Rsin C; 2bc 常见 (2)sin A= a ,sin B= b ,sin C= c ; a 2 +c 2-b 2 cos B= ; 2R 2R 2R 2ac 变形 a 2 +b 2 -c 2 (3)a∶b∶c=sin A∶ cos C= 2ab sin B∶ sin C
3.(2016 全国乙卷,文 4)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 a=√5,c=2,cos A= ,则 b=( A.√2 B.√3
2 3
) C.2 D.3
关闭
由余弦定理得 a2=b2+c2-2bc cos A, 2 即 5=b2+4- 4b× ,即 3b2- 8b- 3=0, 又 b>0,解得 b=3,故选 D. D
解析
π
关闭
答案
1.在一个三角形中,边和角共有6个量,已知三个量(其中至少有一 边)就可解三角形. 2.判断三角形形状的两种思路:一是化边为角;二是化角为边,并 用正弦定理(余弦定理)实施边、角转换. 2 +������2 -������2 ������ <0 ,可知角C为钝 3.在△ABC中,当a2+b2<c2时,由 cos C= 2������������ 角,则△ABC为钝角三角形.反之,若△ABC为钝角三角形,则角C不 一定是钝角.
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课件：第四章 三角函数与解三角形4-5
三角函数的定义域与值域
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z).
(1)[教材习题改编]函数 y＝Asin x＋1(A>0)的最大值是 3，则
－1 它的最小值是________ ．
解析：依题意，得 A＋1＝3，所以 A＝2，所以函数 y＝ 2sin x＋1 的最小值为 1－2＝－1.
(2)[教材习题改编]不等式 2cos x>1 的解集为
1－t2 ∴原函数变为 y＝t＋ ，t∈[－1， 2 ]． 2 12 1 1 即 y＝－ t ＋t＋ ＝－ (t－1)2＋1. 2 2 2 ∴当 t＝1 时，ymax＝1； 当 t＝－1 时，ymin＝－1. 故函数的最大值与最小值的和为 0.
[题点发散 3] sin
若将本例(2)中的函数换为“y＝sin x(cos x－
π π π 3π ∵0≤x≤4，∴4≤2x＋4≤ 4 ， 2－1 π π π ∴当 2x＋4＝2，即 x＝8时，ymax＝ 2 . π π π 3π π 当 2x＋4＝4 或 2x＋4＝ 4 ，即 x＝0 或 x＝4 时，ymin＝0. 2－1 故函数的最大值与最小值的和为 2 .
1 sin x>2， 2sin x－1>0， 即 1－2cos x≥0， cos x≤1. 2 π 5π 解得 2kπ＋ ≤x<2kπ＋ ，k∈Z. 3 6
π 5π 即函数的定义域为2kπ＋3，2kπ＋ 6 ，k∈Z.
(2) 函数
2－ 3 ． ________
x， 因为
π 3π ， x∈ ，所以－ 4 4
π 3π ， x∈ 4 ，则函数 4
2 2 ≤t ≤ ， 2 2
2 所以当 t＝cos x＝－ 时， 2
2018届高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数课件文
C.第三象限 D.第四象限
答案 D 由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限,也可
能与y轴的非正半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或
第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.
5.已知圆的一条弦的长等于半径长,则这条弦所对的圆心角的大小为 弧度.
答案
3
解析 ∵弦长等于半径长, ∴该弦与两半径构成的三角形为正三角形.
的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧
角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式
|α|= l (l表示弧长,r表示半径长)
r
1°= 1 8π
rad;1
0
rad=⑦
° 1 8 0
π
l=⑧ |α|r
S=⑨
1 2
1
lr =⑩2 |α|r2
3.任意角的三角函数
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)第一象限角必是锐角. (×) (2)不相等的角终边一定不相同. (×) (3)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种 度量单位. (√) (4)α为第一象限角,则sin α+cos α>1. (√)
确.
3.已知角α的终边过点P(-1,2),则sin α= ( )
A. 5
B. 2 5 C.- 5 D.- 2 5
5
5
5
5
答案 B |OP|= (=1)(2O为22坐标5 原点),所以sin α= = . 2 2 5
55
4.若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定落在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
1.与角 9 的终边相同的角可表示为 ( )
2018卓越学案高考文科数学新课标一轮复习课件：第4章 三角函数与解三角形 第4讲 精品
2sθin2θ2 θ＝1－sincoθs
cos 2 2sin 2 cos 2
θ＝1－－－35 45＝－3.
asin x＋bcos x的变形应用
(1)[利用
asin
x＋bcos
x
变形求值]cos130°－ Nhomakorabeain1 170°
＝( D )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
(2)[利用 asin x＋bcos x 变形研究函数性质](2015·高考天津卷)
第四章 三角函数与解三角函数
第4讲 简单的三角恒等变换
第四章 三角函数与解三角函数
考纲展示
考情呈现
1.考查频数：5年5考
能运用两角和与 2．考查题型：选择题、填空题
差的正弦、余 3．试题难度：易、中
弦、正切公式进 4．高频考点：利用同角三角函数的
行简单的恒等变 基本关系公式、诱导公式、两角和
换(包括导出的积 与差的正弦、余弦、正切公式进行
2．三角恒等变换与三角形的综合 在解三角形时使用三角恒等变换，主要利用正弦定理、余弦 定理把边的关系化成角的关系，再用三角恒等变换化简求 解．
3．三角恒等变换与向量的综合 一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合 简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，把向量 关系化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等 变换以及三角函数、解三角形等知识的运用．
①＋②得sin αcos β＝25，
①－②得cos αsin β＝－15，
则scions
αcos αsin
ββ＝ttaann
αβ＝－2.
5．(必修 4 P146A 组 T6(3)(4)改编)已知 cos 2θ＝45，则 sin4θ＋cos4θ 41
18版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.6正弦定理、余弦定理课件理
1 π 5π 因为 sin B＝2且 B∈(0，π)，所以 B＝6或 B＝ 6 .
π π 2π 又 C＝6，B＋C<π，所以 B＝6，A＝π－B－C＝ 3 .
a b 又 a＝ 3，由正弦定理得sin A＝sin B，即 3 b 2π＝1，解得 b＝1. sin 3 2
cos A (2)(2016· 四川)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 a cos B sin C ＋ b ＝ c .
§4.6 正弦定理、余弦定理
内容索引
基础知识 题型分类
自主学习 深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.正弦定理、余弦定理 在△ABC 中，若角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， R 为△ABC 外接 圆半径，则 定理 正弦定理
b c a sin A＝ sin B ＝ sin C ＝2R
①证明：sin Asin B＝sin C； 证明
6 ②若 b ＋c －a ＝5bc，求 tan B. 解答 6 2 2 2 由已知，b ＋c －a ＝5bc， b2＋c2－a2 3 根据余弦定理，有 cos A＝ 2bc ＝5.
2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝bsin A 一解
bsin A<a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝1 a· ha(ha表示边a上的高)； 2 1 1 acsin B bcsin A 1 (2)S＝ absin C＝ 2 ＝2 ； 2
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课件：第四章 三角函数与解三角形4-3
2
2 (sin α ＋ cos α ) (3)1＋sin 2α＝_______________，
(sin α－cos α) 1－sin 2α＝_________________ ，
2
sin α± cos α ＝ ___________
π 2sinα± . 4
1 ________. 2
π 3 解析：因为 cos α＝－ ，α∈2，π ， 5
4 所以 sin α＝ ， 5 所以
π sinα＋3 ＝sin
π π αcos ＋cos αsin 3 3
4 1 3 4－3 3 3 ＝ × ＋－5× ＝ . 5 2 2 10
π 2sinx＋4 ≤
1 3 (2)化简： sin x－ cos 2 2
π sinx－ 3 x＝____________.
π 1 3 π π 解析： sin x－ cos x＝cos sin x－sin cos x＝sinx－ . 3 2 2 3 3
[典题 1] 则 β＝( C ) π A. 4 π C. 3
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin αcos α sin 2α＝________________ ；
1－2sin2α ； cos2α－sin2α ＝____________ 2cos2α－1 ＝____________ cos 2α＝____________
tan 2α＝
2tan α 2 . 1－tan α
1 1 (2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝ ，tan β＝－ ，则 2 7 2α－β 的值是( C ) π A．－ 4 3π C．－ 4 π B. 4 3π D. 4
2 (sin α ＋ cos α ) (3)1＋sin 2α＝_______________，
(sin α－cos α) 1－sin 2α＝_________________ ，
2
sin α± cos α ＝ ___________
π 2sinα± . 4
1 ________. 2
π 3 解析：因为 cos α＝－ ，α∈2，π ， 5
4 所以 sin α＝ ， 5 所以
π sinα＋3 ＝sin
π π αcos ＋cos αsin 3 3
4 1 3 4－3 3 3 ＝ × ＋－5× ＝ . 5 2 2 10
π 2sinx＋4 ≤
1 3 (2)化简： sin x－ cos 2 2
π sinx－ 3 x＝____________.
π 1 3 π π 解析： sin x－ cos x＝cos sin x－sin cos x＝sinx－ . 3 2 2 3 3
[典题 1] 则 β＝( C ) π A. 4 π C. 3
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin αcos α sin 2α＝________________ ；
1－2sin2α ； cos2α－sin2α ＝____________ 2cos2α－1 ＝____________ cos 2α＝____________
tan 2α＝
2tan α 2 . 1－tan α
1 1 (2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝ ，tan β＝－ ，则 2 7 2α－β 的值是( C ) π A．－ 4 3π C．－ 4 π B. 4 3π D. 4
高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第一课时 余弦定理和正弦定理
,
= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2
a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;
2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,
2
即 cos A-cos A+=0,
sin B=2× = ,
2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,
2
2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+
综上,b= ,c=
+
.
或 c=
-
(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×
=
=
.
- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.
解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=
2sin Acos A=2×
(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形
2018卓越学案高考文科数学新课标一轮复习课件：第4章 三角函数与解三角形 阅读与欣赏 精品
12，AB＝1，BC＝ 2，则 AC＝( B )
A．5
B． 5
C．2
D．1
[解析] 如图，当AC为最长边时，作AB边上的高CD，∵AB ＝1， 由S＝12AB·CD＝12，知CD＝1， ∴BD＝ CB2－CD2＝1， 即AD＝2，∴AC＝ AD2＋CD2＝ 5. 此时△ABC为钝角三角形，符合题 意； 当BC为最长边时，作BC边上的高AE(图略)， 同理可得AC＝1， 此时，AC2＋AB2＝BC2，△ABC为等腰直角三角形，不符合 题意，故选B.
AC＝ CH2＋AH2＝ 由(1)知 AB＝2AC，
22－x2＋1－x2，
∴ 2＋x2＋1－x2＝2
22－x2＋1－x2
解得 x＝ 42，∴AC＝
22－
422＋1－
422＝1.
如果你去试一试，有关三角形的问题多数都可用作高法转化 与化归到直角三角形中求解．作高法简捷明快，堪称求解三 角形的高速路．
如图(2)，
图(2) 当△ABC 为锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据三 角函数的定义：CD＝asin B，CD＝bsin A， 所以 asin B＝bsin A， 得到sina A＝sinb B.
同理，在△ABC 中，sinb B＝sinc C. 那么当△ABC 是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗？ 从上面的讨论和探究，我们得到下面的定理． 正弦定理(law of sines)：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等，即sina A＝sinb B＝sinc C.
3＋1 2.
法四：作高法．
如图，作 BC 边上的高 AD，
∵B＝30°，AB＝2，
∴AD＝2sin 30°＝1，
BD＝2cos 30°＝ 3，
2018卓越学案高考文科数学新课标一轮复习课件：第4章 三角函数与解三角形 第3讲 精品
＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
3．(必修4
P135练习T2改编)已知sin(α－kπ)＝
3 5
(k∈Z)，则cos
2α的值为( A )
A.275
B．－275
C.1265
D．－1265
解析：由 sin(α－kπ)＝35(k∈Z)得 sin α＝±35.
∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×±352＝1－1285＝275.故选 A.
4＋3 3 2解．析已：知taαn∈2α0＝，1π2－2，tatantanαn2αα＝＝112－2，×12则122s＝in432.α＋π3＝___1_0____． ∵α∈0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0， ∴2α∈0，π2，∴sin 2α＝45，cos 2α＝35， ∴sin2α＋π3＝sin 2α·cosπ3＋cos 2α·sinπ3＝45×12＋35× 23＝ 4＋3 3
因为β为锐角，所以cos β＋sin β≠0，所以cos α＝sin α，
所以tan α＝1.∴α＝π4，故选C.
3．已知sin α＝ 55，sin(α－β)＝－ 1100，α，β均为锐角，则
角β等于( C )
5π A.12
B．π3
C．π4
D．π6
解析：∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－ 1100，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝ 55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝ 55×31010－25 5×－ 1100＝ 22.
10 .
两角和与差公式的逆向应用
(2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°·sin 10°
2018卓越学案高考文科数学新课标一轮复习课件：第4章 三角函数与解三角形 第1讲 精品
∴cos θ＝xr＝1123.
4．(必修4
P15练习T3改编)下列结果及其表示正确的有
_____①__④_____(填上所有正确的序号)．
①sin 90°＋cos 90°＝1；②cos π＋tan π＝1；③sin 270°＋tan
2π＝1；④cos 0°＋tan 0°＝1.
解析：sin 90°＋cos 90°＝1＋0＝1；cos π＋tan π＝－1＋0＝ －1；sin 270°＋tan 2π＝－1＋0＝－1；cos 0°＋tan 0°＝1＋0 ＝1.所以正确的是①④.
[解] (1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝103π(cm)． (2)由已知得，l＋2R＝20， 所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2 ＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25， 此时l＝10(cm)，α＝2 rad.
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：
N＝ x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z ＝{…，－45°，0°，45°， 90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N，故选B.
法二：由于M中，x＝
k 2
·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k
＋1)，2k＋1是奇数；
而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是
，则 12θ·r2＝4， 解得
rθ＝＝4，12 或rθ＝＝1，8 (舍去)．∴扇形的圆心角为12 .
3．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则弦
AB的长为( A )
A．2sin 1
B．2cos 1
C．sin 1
D．cos 1
解析：设圆的半径为 r cm，弧长为 l cm， 则12l＋lr＝2r1＝，4，解得rl＝＝21.， ∴圆心角 α＝rl＝2. 如图，过 O 作 OH⊥AB 于 H，则∠AOH＝1 rad. ∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB＝2sin 1(cm)．