数学的基础研究
数学基础研究的前沿和设计方法

数学基础研究的前沿和设计方法数学是一门哲学性质极强的学科,其内在逻辑和抽象性质对人类认识和思维方式有着深远的影响。
数学的基础研究是数学发展的源头,其前沿和设计方法对于推动数学发展和应用具有重要的意义。
本文将从数学基础研究前沿和设计方法两个方面进行探讨。
一、数学基础研究的前沿1. 群论和拓扑学:群论是数学的一大分支,通过研究群的结构和性质来推进数学基础理论的发展。
近年来,群论和拓扑学的研究逐渐相互交织,构建了更为深入的数学理论。
例如,群的同调代数和拓扑空间的同调代数之间存在密切的关系,这种关系使得拓扑学的发展成为了群论的重要组成部分。
2. 算术几何:算术几何是数学基础研究中的一个极其重要的领域,试图将代数几何的理论和算术的性质更为密切地结合起来。
其中,代数数论和椭圆曲线理论是该领域的两个主要分支。
正在发展中的數學领域“整数分解”,是实践中使用了代数数论和椭圆曲线理论的機制,可以有效推动密码学、網絡安全等重要学科的研究。
3. 微分几何和偏微分方程:微分几何和偏微分方程是数学基础研究中的两个重要分支。
微分几何的发展已经推动了许多其他领域的研究,比如数学物理和数学生物学等。
偏微分方程是自然科学和工程科学中的一个重要工具,通过建立数学模型来研究各种自然现象。
最近的发展使得该领域能够更好地处理复杂现象,例如涡旋和紊流的建模、气体的运动和燃烧现象等。
二、数学基础研究的设计方法1. 抽象理论:抽象理论是数学基础研究中重要的一个设计方法,通过一定程度的抽象化,能够帮助我们更好地解决一些基础问题。
例如,通过刻画群的一般性质,我们可以推导出许多不同的关键结果。
抽象理论的设计方法是对问题进行深入分析,找到本质特征,尽可能提高问题的推广性和解决效率。
2. 计算机辅助方法:在现代数学基础研究中,计算机辅助方法已经成为了一个非常重要的资源。
数学家们可以利用计算机进行实验,针对某些特殊的例子进行分析和理解。
例如,在代数几何和数论中,计算机辅助算法已经被广泛应用,能够大幅提高研究的精度和速度。
数学基础(研究整个数学的理论基础及其相关问题的学科)

现状
现状
数学上,数学基础一词有时候用于数学的特定领域,例如数理逻辑,公理化集合论,证明论,模型论,和递 归论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:在什么终极基础上命题可以称为真?占统治地位的数学范式 是基于公理化集合论和形式逻辑的。事实上,所有的数学定理都可以用集合论的定理表述。数学命题的真实性在 这个观点下,不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。
在数学基础的研究中,鲁宾孙,P.J.科恩自称为形式主义者(希尔伯特本人不认为自己是形式主义者),他 们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统,“无穷集”,“无穷整体”等在客观上是不存在的。希尔 伯特的设想虽然没有实现,但却创立了证明论,又促进了递归论的发展,因此对数学基础的研究有很大的贡献。
古代由于科学技术发展水平的限制,无需专门研究数学基础,这种情况一直持续到牛顿、莱布尼兹创立微积 分的时代。非欧几何的出现使人们意识到必须为数学建立不依赖于直观的基础,必须研究数学的可靠性,特别是 无矛盾性,无公度线段的存在及集合论的悖论说明人们不能只依靠直观,而必须为数学建立严格的逻辑基础,解 决数学的哲学基础问题。因此数学基础是包括哲学方法论和逻辑等诸方面问题的学科,数学基础现已形成数学的 重要分支之一。
他们反对在无穷集合中使用排中律。他们不承认实无穷体,认为无穷是潜在的,只不过是无限增长的可能性。 可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用。但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂。失去了数学的美,因 而不被大多数数学家接受。
形式主义
希尔伯特以D.希尔伯特为代表,可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点。希尔伯特主张捍卫排中律, 他认为要避免数学中的悖论,只要使数学形式化和证明标准化。为了使形式化后的数学系统不包含矛盾,他创立 了证明论(元数学)。他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性。1931年K.哥德尔证明了不完全性定理,表明 希尔伯特方案不能成功。后来许多人对希尔伯特方案加以改进。W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾 性。
高等数学基础理论与应用研究

高等数学基础理论与应用研究高等数学是一门研究数学基本概念、理论和方法的学科,它在许多领域中具有广泛的应用,如物理学、工程学、经济学等。
本文将重点研究高等数学的基础理论和应用,探讨其在实际问题解决中的重要性和价值。
一、高等数学基础理论研究1. 极限与连续极限理论是高等数学中的核心概念,它研究函数在自变量趋近某一值时的趋势。
通过研究极限的性质和计算方法,我们可以更好地理解函数的变化规律。
连续函数是极限的一个重要应用,它具有无间断性,在实际问题中起着重要的作用。
2. 微分与积分微分与积分是高等数学中的另外两个重要概念,它们是函数研究的基本工具。
微分研究函数局部的变化情况,积分则研究函数整体的某种特征。
微积分的理论与方法可以应用于许多实际问题的求解,如物理学中的运动学问题、经济学中的边际效应计算等。
3. 级数与无穷级数级数是由一系列数项按照一定规律相加而得到的数列总和,它在高等数学中具有重要地位。
级数的理论研究可以帮助我们理解无穷概念,并应用于各种实际场景,如物理学中的波动理论、经济学中的利润与成本估算等。
二、高等数学应用研究1. 物理学中的应用高等数学是物理学的重要工具之一。
在力学、电磁学、光学等领域中,数学方法被广泛应用于问题的建模、分析和求解。
例如,利用微分方程描述物体的运动状态,应用积分计算物体所受的外力和位移等。
2. 工程学中的应用高等数学在工程学中具有广泛的应用。
在土木工程、电子工程、材料工程等领域中,高等数学方法被用于解决各种复杂问题。
比如,利用微分方程建立结构的稳定性分析模型,应用级数求解电路中的信号波动等。
3. 经济学中的应用高等数学在经济学中也扮演着重要角色。
经济学研究中经常涉及到函数的最优化问题,利用微分学和积分学的方法可以求解最大化或最小化的目标函数。
此外,利用概率论和统计学方法可以对市场行为、经济波动等进行建模和预测。
4. 计算机科学中的应用高等数学在计算机科学中扮演着重要的角色。
数学学科的基础与重要性

数学学科的基础与重要性数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和关系的学科,它作为一门学科对人类的发展具有深远的影响。
数学学科不仅是其他科学领域的基础,也是人类智力与创造力的重要标志。
本文将探讨数学学科的基础与重要性。
一、数学学科的基础数学作为一门学科,具有稳固的基础。
数学的基础主要包括以下几个方面。
1. 数字与计算:数字是数学的基本要素,所有的数学运算都离不开数字。
计算是数学的基础运算,它不仅有助于培养人们的逻辑思维能力,还能够帮助人们更好地理解和应用数学知识。
2. 数论与代数:数论是研究整数性质的数学分支,代数则是研究数与符号运算的学科。
数论和代数是数学学科中的两个重要分支,它们不仅构成了数学的基础,还为其他数学分支提供了理论支持。
3. 几何与拓扑学:几何研究空间与图形的属性和关系,拓扑学则是研究空间变形的学科。
几何和拓扑学是数学中的另外两个重要分支,它们为数学提供了空间思维的基础。
上述几个方面构成了数学学科的基础,它们相互依存、相互支持,构成了数学学科体系的框架。
二、数学学科的重要性数学学科在人类社会的发展中扮演着重要的角色。
数学学科的重要性主要体现在以下几个方面。
1. 培养逻辑思维能力:数学的学习需要进行严密的逻辑推理和思维能力的训练。
通过学习数学,人们能够培养出良好的逻辑思维能力,提高解决问题的能力,这对个人的思维能力和创造力的发展具有重要意义。
2. 促进科学技术的发展:数学作为科学研究的基石,对其他科学领域的发展具有重要影响。
物理学、化学、经济学等多个学科都以数学为基础,数学的发展推动了科学技术的进步。
3. 提升实际问题的解决能力:数学不仅有助于培养抽象思维,还能够帮助解决实际问题。
通过数学的学习,人们可以学会运用数学模型和方法来分析和解决各种实际问题,提高实际问题解决的能力。
4. 培养创新能力:数学的学习需要学生进行独立思考和创新,培养了学生的探究精神和创新能力。
数学的发展本身也离不开数学家们的创新思维和贡献。
经济学研究必备的数学基础

经济学研究必备的数学基础首先,微积分是经济学研究的基础。
微积分是研究变化和运动的数学工具,经济学中的许多概念都与变化和运动有关。
例如,经济学家研究市场需求和供给曲线的交点,来确定最优价格和数量的组合。
微积分可以帮助经济学家求解这些曲线的斜率和极值,从而得出相关结论。
另外,微积分还可以用来解析地研究经济学中的边际效应和边际成本等概念。
其次,线性代数也是经济学研究的重要数学基础。
线性代数是研究向量、线性方程组和线性变换的数学分支,经济学中许多问题可以通过线性模型来描述。
例如,经济学家常常用线性回归模型来分析两个或多个变量之间的关系。
线性代数可以帮助经济学家理解回归模型的参数估计和相关性分析,从而得出经济学上的结论。
另外,概率论与统计学也是经济学研究的必备数学基础。
概率论是研究随机事件的概率和分布的数学学科,而统计学是根据样本数据来推断总体特征的学科。
在经济学研究中,经济学家经常需要依靠数据来进行实证分析和定量分析。
概率论与统计学可以帮助经济学家理解经济现象的抽样变异性、数据的可靠性以及推断总体特征的方法。
例如,经济学家可以使用经济数据进行假设检验,从而推断出其中一种经济政策对经济增长的效果。
此外,还有其他一些数学工具也对经济学研究有帮助。
比如优化理论、差分方程和博弈论等。
优化理论可以帮助经济学家寻找最优决策方案,差分方程可以用来描述动态经济模型,博弈论可以用来分析决策者之间的相互作用和策略选择。
总结起来,经济学研究必备的数学基础包括微积分、线性代数和概率论与统计学。
这些数学工具可以帮助经济学家进行经济现象的分析和解释,从而得出相关的经济学结论。
除此之外,优化理论、差分方程和博弈论等数学工具也有助于经济学研究的深入和拓展。
因此,对于想要从事经济学研究的人来说,掌握这些数学基础知识是必不可少的。
对数学基础问题研究的认识与思考

( I ) 在包 含 了 自然 数 的 任 一 形 式 系 统 中 , 一 定 有这样的命 题 , 它是真 的, 但不 能被证 明. ( 假设 系
M a t h e m a t i c s ) 论文中就有了萌芽. 罗素与怀特黑德合 著的巨作《 数学原理》 ( P r i n c i p i a m a t h e m a t i c ) ( 现藏 于大不列颠博物馆) 则是逻辑主义的代表作. 逻 辑 主义学 派 的学者 们 试 图 “ 化 数 学 为逻 辑 ” , 在 逻辑 的基 础 上建 立 整个 数 学 , 他们 坚 信 数 学 是 由 纯 演绎 推理 组 成 的学 科. 比如 他 们认 为 自然 数 是 客 观存在 的, 而人要认识这种存在 , 只要从一般的逻辑 出发就可以了. “ 数学 就是逻辑 ” , 全 部数学可 以由 逻辑推 导出来——数学 概念可 以借 逻辑概念 来定 义, 数学定理可 以由逻辑公理按逻辑规则推 出. 至于 逻辑的展开, 则是依靠公理化方法进行 , 即从一些不 定义的逻辑概念和不加证明的逻辑公理 出发 , 通过 符号演算 的形式来建 立整个逻辑体 系. ” 逻辑 主 义数学家们 的工作证 明了数学可 以以集 合论 为基 础, 由此 引发 了公理 化集 合论 的蓬 勃发 展. 但是 逻辑 主义数学家们 的工作 由于“ 无穷公理 ” 这一关过不 去而趋 于停滞. 虽然逻辑 主义数学家们的工作遗憾
为 了给 数 学建 立 一 个 良好 的基 础 , 很 多数 学 家 绞尽 脑 汁从 多个 视 角 进 行 尝 试 , 确也 获 得 了诸 多 的
形 式 主义 又称公 理化 学 派 , 大数学家 H i l b e r t 正 是形 式 主义 的代 表人 物. 为解决 数 学 危机 , Hi b e r t 提 出了 自己的方案 , 史称“ 希尔伯特纲领” . 他 主张用
数学中的数论基础研究

数学中的数论基础研究数学是自然科学中的一门基础学科,它研究的是数、量、结构和变化等基本概念和它们之间的相互关系。
数学的研究范围非常广泛,其中数论是数学的一个分支,主要研究整数及其性质。
数论的研究有着极为重要的意义,它不仅是数学中的重要学科,而且与其他学科如密码学、算法设计、计算机科学等有着密切的联系。
本文将介绍数学中的数论基础研究。
一、质数与素数质数指只能被1和本身整除的整数。
例如2、3、5、7、11、13等都是质数。
素数与质数的概念很相似,但稍有不同。
素数是指只有两个正因数(即1和本身)的正整数。
可见,素数也是质数。
主要的区别是素数只有两个正因数,而质数还不一定是素数。
例如6就是质数,但不是素数,因为6可以被2和3整除。
在数论中,素数是十分重要的概念。
其中最重要的定理是欧几里德证明的欧几里得定理:“大于2的整数都可以表示成两个素数相乘的形式。
”二、求余定理大名鼎鼎的“求余定理”在中学数学中就已经出现,它在数论中也是十分重要的一个概念。
所谓求余定理,就是指在任意两个整数的相乘中,将这两个整数除以一个较小的数得到的余数是一样的。
例如,当我们对3取余时:4 * 7 = 2828 ÷ 3 = 9,余数为15 * 7 = 3535 ÷ 3 = 11,余数为26 *7 = 4242 ÷ 3 = 14,余数为0我们可以发现,4和5都比较接近,它们与7的乘积分别与3的商的余数是一样的,而6与7的乘积与3的商的余数为0。
这种性质在数论中非常重要,并且也有广泛的应用。
三、同余同余是指整数a、b、m满足a-b可被m整除的关系,可以用符号a ≡ b(mod m)表示。
例如,2 ≡ 5(mod 3),表示2和5在模3意义下同余。
在数论中,同余是一个十分重要的概念,它使我们可以证明一些整数和的性质,例如鸽巢原理、费马小定理及其应用等。
四、费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理,它是指:如果p是一个质数,a是任何整数,那么ap-a被p整除。
数学简介简短

数学简介简短数学作为一门自然科学,是研究数量、结构、变化以及空间等概念和规律的学科。
它是人类思维的产物,涵盖了广泛的领域,从基础概念到复杂的推理和解决问题的方法。
数学在人类文明发展中扮演着重要的角色,它不仅有助于我们理解世界的本质,还能够用于解决各种实际问题。
下面简要介绍数学的几个主要分支和应用领域。
1. 基础数学基础数学是数学的基础,包括算术、几何、代数和逻辑等领域。
算术是研究数的性质和运算规则,几何研究空间的形状和属性,代数研究数和符号的关系,逻辑研究推理和证明的规则。
这些基础概念和工具是进行更高级数学研究的基础。
2. 微积分微积分是研究变化和极限的数学分支。
它包括求导和积分两个重要概念,可以用来描述和解决各种变化的问题,如速度、加速度和曲线的斜率等。
微积分在自然科学、工程学和经济学等领域具有广泛的应用。
3. 概率和统计概率和统计是研究随机现象和数据分析的数学分支。
概率研究事件发生的可能性,统计研究收集和分析数据的方法。
概率和统计广泛应用于金融、医学、社会科学等领域,可以帮助我们做出合理的决策和预测。
4. 线性代数线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支。
它应用于多个领域,如物理学、计算机图形学和密码学等。
线性代数的概念和方法有助于我们理解和解决与向量、矩阵和线性方程组相关的问题。
5. 数论数论是研究整数性质和数学结构的分支。
它关注数字之间的关系和性质,如质数、因子分解和数列等。
数论在密码学和编码理论等领域具有重要的应用。
除了以上几个主要分支外,数学还涉及其他领域,如拓扑学、数学逻辑和离散数学等。
它们各自研究不同的概念和结构,并在实际中具有广泛的应用。
总之,数学是一门既具有理论研究又具有实际应用的学科。
它帮助我们解决问题、推理和预测,对于推动科学技术的发展和丰富人类文明起着重要的作用。
无论是自然科学、工程学还是社会科学,数学都是不可或缺的一部分。
通过不断深入学习和研究数学,我们能够更好地理解和改善这个世界。
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数学的基础研究一、基本概述数学基础(Foundation of Mathematics)是研究整个数学的理论基础及其相关问题的一个专门学科,即研究数学的基础,回答“数学是什么?”,“数学的基础是什么?”,“数学是否和谐?”等等一些数学上的根本问题的学科。
对于数学基础的关注和研究,可追溯至古代。
但在较长的历史阶段中,只限于对单科数学分支基础的讨论.至于作为整个数学理论基础的探索,尤其是“数学基础”作为一门专门学科的形成和诞生,乃是20世纪初的事.当时也是由于多种因素和研究活动的汇合,尤其是在作为整个经典数学之理论基础的集合论中出现悖论之后,才把数学基础问题的研究推向高潮,并进一步促进了数学哲学的发展,直至最终成为20世纪数学领域中深入的研究活动之一。
数学的基础研究的由来要追溯到数学的三次危机,正是三次数学危机的产物,使得数学的基础一步一步的浮出水面,虽然至今也无法给数学的基础下一个确切的定义,但不可否认的是在三次数学危机中产生了一系列重要的数学定义以及数学公理、定理,无疑都推动了数学的发展。
在数学研究的历史中,形成了诸多流派,其中有代表性的有三大流派,具体内容文章中会具体说明,每一个流派都有其代表性的成绩,这也使得数学的基础内容更加丰富,研究数学的基础,能让我们感知数学历史发展的魅力,形成数学严密的逻辑思维能力,可以说数学知识是牵一发而动全身,数学的基础研究在数学研究的历史中地位极其重要。
二、三次数学危机1、第一次数学危机第一次是公元前5世纪毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现不可共度线段:正方形的一边与其对角线不可公度,即发现不是有理数。
这次危机导致无理数及几何公理系统的建立——欧几里得几何原本诞生。
尽管原本还不是严格的公理系统,但它充分表明直观、经验不可全信,几千年来对几何学的研究,特别是后来对非欧几何的研究促使几何学走向严格的公理化。
严格公理化的几何就是几何基础也是数学基础的一部分。
在第一次数学危机中产生了亚里士多德的古典逻辑、欧式几何学《几何原本》以及非欧几何,这些重要的数学理论和著作都为数学的研究作出了巨大的贡献。
2、第二次数学危机⑴17世纪后半期I.牛顿和G.W.莱布尼兹创立了微积分学,但他们对无穷小的解释很难令人满意,英国主教G.贝克莱抨击当时的微积分,指出它在逻辑上有明显的问题,这便是第二次数学危机。
这次危机的出现使数学家们意识到不为微积分建立牢固的基础,只进行运算是不行的。
19世纪A.L柯西、K.魏尔斯特拉斯等创立了极限论,以极限为基础建立微积分学。
A.鲁宾孙于1960年创立了非标准分析,把实数域扩充到包含无穷小和无穷大的超实数域,圆满解决了“无穷小的矛盾”问题。
与此同时,传统逻辑发展为数理逻辑。
数理逻辑是数学基础的重要内容。
⑵芝诺悖论:第一个悖论是说运动不存在,理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路,而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去,它必须通过无限多个点,这在有限长时间之内是无法办到的。
第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。
因为乌龟在他前面时,他必须首先到达乌龟的起点,然后用第一个悖论的逻辑,乌龟者在他的前面。
这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
第三个悖论是说“飞矢不动”,因为在某一时间间隔,飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上,因而是静止的。
第四个悖论是游行队伍悖论,内容大体相似。
这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。
当然他们无法解决这些矛盾。
⑶微积分的产生:到了十六、十七世纪,除了求曲线长度和曲线所包围的面积等类问题外,还产生了许多新问题,如求速度、求切线,以及求极大、极小值等问题。
经过许多人多年的努力,终于在十七世纪晚期,形成了无穷小演算——微积分这门学科,这也就是数学分析的开端。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。
他们的功绩主要在于:①.把各种问题的解法统一成一种方法,微分法和积分法;②.有明确的计算微分法的步骤;③.微分法和积分法互为逆运算。
3、第三次数学危机数学上的第三次危机一般认为始于1902年B.A.W.罗素发现的悖论,后人称这个悖论为罗素悖论:以S表示所有不以自身为元素的集合的全体。
按照集合论的概括原则(构成集合的原则),S应该是一个集合。
问S是否是S的一个元素?如果S∈S,则按照S的定义应有S不属于S;如果S不属于S,则按S的定义又应有S∈S。
无论哪种情况都导致矛盾。
罗素悖论动摇了集合论,也动摇了当时的数学基础。
因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念:集合,元素,属于和概括原则,它的构成十分清楚明白。
这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾,因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。
这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。
数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。
罗素悖论表明不能无条件承认概括原则,然而概括原则的改变将使集合论大为改观,因此对整个数学的影响是巨大的。
19世纪,数学的各个分支都得到了迅速的发展,亟待建立一种能以统括各个数学分支的理论基础。
这时康托尔系统地总结了长期以来数学的认识与实践,缔造了一门崭新的数学学科,即集合论。
由于集合论的思想方法渗透到各个数学分支,同时从集合论的基本概念和思想规定出发,能导出整个经典数学,因此,大家公认集合论可以作为整个经典数学诸分支学科的共同的理论基础。
4、三次数学危机对于自我的启示在这三次数学危机中,我看到数学与哲学——无论是个人的哲学还是时代的哲学之间存在着千丝万缕的联系。
正如哲学上说的:“世界观决定方法论。
”——一个人对一件事的看法决定他处理这件事的方法。
如希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线不能用当时的任何一个数表示出来,希伯索斯勇于提出问题并认定这个问题是当时数学上的一个缺漏,希望能在众人的讨论中得到解决,但他的观点被认为是“荒谬”和违反常识的事,他遭到别人的打压,甚至最终被投入海中淹死。
这个悲剧很大一个程度取决于当时人们的数的认识还不够全面和深入,于是去处决那些“离经叛道”的“异类”。
同时,也可以看到每一次数学危机都是一次传统和新锐的斗争。
先觉者不断挑战这旧日的权威,顽固派不断想要扼杀新生的火焰,但星星之火早已有了燎原之势,烧尽腐朽落后的东西,随大江的海浪一波一波滚滚向前。
所以,我们应该培养开拓创新、钻研探究、不畏权威、追求真理的精神,在自己从事的领域上开创一片新的天地。
三次数学危机也是三次数学革命,发现问题,提出问题之后就需要解决问题。
人们经过多年不懈的讨论和研究,攻克了一个又一个的难关,数学危机给数学发展带来的动力,不断促进着数学理论基础的完善和成熟。
三、数学基础研究的三大学派1、逻辑主义学派以罗素和A.N怀特海为代表。
他们认为所有数学概念都归结为自然数算术的概念,而算术概念可借助逻辑由定义给出。
他们试图建立一个包括所有数学的逻辑公理系统,并由此推出全部数学。
逻辑主义认为数学是逻辑的延伸,在罗素的公理系统中不得不引用了非逻辑的选择公理和无穷公理。
如果没有这两条公理就无法推导出全部算术,更不用说全部数学。
当然,罗素的公理系统充分发展了数理逻辑的公理体系,并且在此基础上展示了丰富的数学内容,对数理逻辑和数学基础的研究起了极大的推动作用,贡献是很大的。
在《数学的原理》及《数学原理》中,罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题,它可以分析为三部分内容:1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表达或表示的语言。
简单来讲,即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。
2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译,则它就是逻辑真理。
3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题,就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。
2、形式主义学派以 D.希尔伯特为代表,可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点。
希尔伯特主张捍卫排中律,他认为要避免数学中的悖论,只要使数学形式化和证明标准化。
为了使形式化后的数学系统不包含矛盾,他创立了证明论(元数学)。
他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性。
元数学是一种将数学作为人类意识和文化客体的科学思维或知识。
更进一步来说,元数学是一种用来研究数学和数学哲学的数学。
,元数学的主题之一就是:分析某些数学要素是否在任意的数学系统中都是可证实或者证伪的。
希尔伯特计划的主要思想就是:奠定一门数学的基础,应该严格的、数学的证明这门数学的协调性(即无矛盾性或一致性、相容性);希尔伯特计划的数学内容就是数理逻辑中的证明论。
希尔伯特计划,将各门数学形式化,构成形式系统,然后用一种初等方法证明各个形式系统的相容性,即无矛盾性,从而导出全部数学的无矛盾性。
希尔伯特与贝尔奈斯合著的两卷《数学基础》是希尔伯特计划的代表作。
希尔伯特建议两条最基本的原则:1、形式主义原则:所有符号完全看做没有意义的内容,即使将符号、公式或证明的任何有意的意义或可能的解释也不管,而只是把它们看作纯粹的形式对象,研究它们的结构性质;2、有限主义原则:即总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公式是否一个证明。
应用数学方法于这样一个形式理论,避免涉及无穷的推断,这就排除了康托尔集合论的方法。
这个思想是只应用靠得住的方法,因为要证明数学或其一部分无矛盾的方法是大家公认可靠的,整个数学才有牢固的基础。
1931年K.哥德尔证明了不完全性定理,表明希尔伯特方案不能成功。
后来许多人对希尔伯特方案加以改进。
W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾性。
在数学基础的研究中,鲁宾孙,P.J.科恩自称为形式主义者(希尔伯特本人不认为自己是形式主义者),他们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统,“无穷集”,“无穷整体”等在客观上是不存在的。
希尔伯特的设想虽然没有实现,但却创立了证明论,又促进了递归论的发展,因此对数学基础的研究有很大的贡献。
3、直觉主义学派又称构造主义。
它的代表人物是L.E.J.布劳威尔。
直觉主义者认为数学产生于直觉,论证只能用构造方法,他们认为自然数是数学的基础。
当证明一个数学命题正确时,必须给出它的构造方法,否则就是毫无意义的,直觉主义认为古典逻辑是从有穷集合及其子集抽象出来的,把它应用于无穷数学就必然引起矛盾。
他们反对在无穷集合中使用排中律。
他们不承认实无穷体,认为无穷是潜在的,只不过是无限增长的可能性。
可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用。
但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂。
失去了数学的美,因而不被大多数数学家接受。
直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来;如果数学对象纯粹是精神上的构造还有什么其它法则可以用作真实性的检验呢(如同直觉主义者会争论的一样)?这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。
例如,说A 或B, 对于一个直觉主义者,是宣称A或B可以证明。