多元函数极值问题的答案详解

= df x0 , y dy
，对应本题，
f x, y y
x x0 y y0
y y0
df x0 , y dy
y y0
0
重点（2013 数一）求函数
x3 x y f x, y y e 的极值. 3
注：二元显函数求无条件极值
注： 方程①②关于 x,y 具有轮换对称性. ①②作减法后， 其中 2 3 x y 0 时， 十分不好求解，事实上此时无解；若是考试时遇见此类十分不容易求解的情 形，建议只考虑 x y 这组解.
注：这里曲线有两个端点！
注： 2 3 x y 0 时的求解过程
x 2 y 2 z 2 在约束条件 z x 2 y 2 和 x y z 4 下的最大和最
注：1）观察方程①②；将方程①②中 x 换成 y，y 换成 x，得到了两个新的方程
2 y 2 y 0 ；新方程与原方程一样，我们称方程①②关于 x,y 具有 2 x 2 x 0
x x0 y y0
方法 2：对
f x, y y
x x0 y y0
的理解.
①先求
f x, y ，再将点 x0 , y0 代入，这个方法不能帮助解题； y
②求
f x, y 是将 x 看做常数，所以先将 x x0 代入 f x, y 得 f x0 , y ，则 y
方法 1:二元函数极值的定义: 1）如图，在 x0 , y0 处取极值，是在 x0 , y0 的周围都有 f x, y f x0 , y0 或 f x, y f x0 , y0 ； 2） x0 , y0 的周围是个区域，包含曲线 M 0Ty （它的方程是 f x0 , y ）在点 x0 , y0 附近的点，所以对于曲 线 M 0Ty 来说，仍会在 x0 , y0 处取极值； 3） f x, y 可微，所以偏导
最大方向导数.
注：方向导数是数一考点，数二数三只需关注方程求解
f f 注： 二元函数在任意一点 x, y 的最大方向导数是 而本题的点 x, y ， x y
2
2
来自于曲线 C 上，满足曲线 C 的方程；曲线 C 的方程即条件函数
0
充分条件 2：设 则点 多 元 函 数 极值
0
x , f x 是曲线 y f x 的拐点.
驻点 一 元 函 数 极值 多 元 函 数 极值
一元函数可能极值点 一元函数可能拐点 多元函数可能极值点
一元函数驻点或不可导点 一元函数二阶导为 0 点或二阶导不存在点 多元函数驻点或不可偏导点
z z x, y 的极值点和极值.
注：二元隐函数求无条件极值
注：三个方程解三个未知数，偏导数为 0 只引出 2 个方程，第 3 个方程是原方程.
注：1）“求一阶偏导时的公式法” ，把 x, y, z 都看作自变量； 2）为求二阶偏导，需要对一阶偏导求导，这一步是全新的一步，已经与“求 一阶偏导时的公式法”没有关系了，不要受公式法的影响，将
0 0
0
充分条件 一 元 函 数 极值
百度文库
一 元 函 数 拐点
充分条件 1：设 领域
f x 在 x0 处连续，在 x0 的某去心领域内二阶可导，并且在 x x0 的左、右
f x 异号，则点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的拐点. f x 在 x0 , x0 二阶可导，若 f x0 =0 ，且 f x0 0 ，
一般求解流程 无条 件极 值
第1步：写出定义域； 第2步：求出驻点及不可导点； 第3步：用“充分定理”判别； 第4步：代入极值点，得出极值.
条件 最值
第1步：写出定义域； 第2步：运用拉格朗日乘数法或者转化为无条件极值求可能最值点； 第3步：比较端点、可能极值点的函数值大小，得到最值.
注：“方框内的式子”，将驻点代入之后均为零，是摆设！
2 对于 1, 3
A e

1 3
，B
e

1 3
，C
e

1 3
AC B 2 0
2 1, 不是极值点 3
重点（ 2004 数一）设
z z x, y 是由 x 2 6 xy 10 y 2 2 yz z 2 18 0 确定的函数，求
注：方程①②关于 x,y 具有轮换对称 性，作减法后不止 x y 能求解.
（重点） （2013 数二）求曲线 x xy y 1 x 0, y 0 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离
3 3
注：目标函数 x 2 y 2 与等效目标函数 x 2 y 2 的最值点是相同的，而等效目标函数 所以将拉格朗日乘数法中的目标函数 x 2 y 2 换成等 x 2 y 2 求导结果更简单， 效目标函数 x 2 y 2 .
重点（2007 数一）求函数 f x, y x 2 y x y 在区域 D
2 2 2 2
x, y x
2
y 2 4, y 0 上的最大值和

最小值
注：在 D 内部求可能 最值点，则方程的解 不在 D 内部的，舍去 即可
注：可将点 2, 0 , 0, 2 , 0, 0 四个点看 做端点， 若是 “可能最值点” 未包含， 不妨计算一下，以免漏点.
z z , 中的 x y
z 看作自变量，此时的 z 是 z x, y 的缩写，可以对 x, y 求导.
3）“方框内的式子”，将驻点代入之后均为零，是摆设！
对于
9, 3 点
1 1 5 ， B ，C 2 6 3
f 9, 3 3 是极大值点
A
AC B 2 0 且 A 0
重点（2010 数三）求函数 u
xy 2 yz 在约束条件 x 2 y 2 z 2 10 下的最大值和最小值.
注：1）高斯消元法，目的是求出 x,y,z，所以一般是消 , ； 2） 消 , 的过程， 类似
x1 3 x2 1 消 x1 的过程 ① 2-② ， 可将 2 x, 2 y 中 2 x x 0 1 2
x x 2 重点 （2015 数二） 已知函数 f x, y 满足 f xy x, y =2 y 1 e , f x x, 0 = x 1 e , f 0, y y 2 y ，
求 f x, y 的极值.
……
……
重点（2008 数二）求函数 u 小值.
轮换对称性. 2）关于 x,y 具有轮换对称性的方程，一定存在一个解 x y ，但是不能 说 x y 求得的解是唯一解.所以由方程①②直接推出 x y 可能漏解. 3）具有轮换对称性的方程如何处理？作减法！
注：答题时可以直接写出方程组的解，不必写求解过程.
2 2 重点（2015 数一）已知函数 f x, y x y xy ，曲线 C： x y xy =3 ，求 f x, y 在曲线 C 上的
2
1 无条件极值 多元函数的极值 2 条件最值 3 闭区域最值
2-1
1 定义 2 必要条件 多元函数极值 3 充分条件 4 驻点
2-1-1 定义 一元函 数极值
一元函 数拐点
多元函 数极值
必要条件 一元函数 极值 一元函数 拐点 多元函数 极值 设点
x , f x 为曲线 y f x 的拐点，且 f x 存在，则 f x =0
的 2 x, 2 y 看作 的系数.
重点（2005 数二）已知函数 z f x, y 的全微分 dz 2 xdx 2 ydy ，并且 f 1,1 2 .求 f x, y 在椭圆 域 D x, y x
2

y2 1 上的最大值和最小值. 4
f x, y f x, y 存在； , x y
f x, y y =0 ，而
df x0 , y dy f x, y y =0
4） f x0 , y 是一元函数，由极值的必要条件知 当然如果蒙猜也该是（A）
x x0 y y0
y y0
注：1） D 区域上求最值，只 要 D 区域含边界， 即称作闭区域 最值问题; 2） 闭区域最值点可能在 D 内部 或边界上取得 3）无条件极值，只需求出可能 最值点， 一般无须判别是否是极 值点（除了 2014 数二第 6 题）
注：条件极值两种方法： 1 ）将条件函数代入目标函数， 用掉条件，转化为无条件极值； 2）用拉格朗日乘数法; 3）抛物线的最值点取自：对称 轴点和端点
（了解） （2014 数二）设函数 u x, y 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足
2u 2u 2u 0 及 2 + 2 0 ，则 xy x y
（A） u x, y 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 （B） u x, y 的最大值和最小值都在 D 的内部取得 （C） u x, y 的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得 （D） u x, y 的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得
第 1 步：在 D 区域内部对目标函数，按求无条件极值的方法，求可能最值点； 第 2 步：在 D 边界上对目标函数，按求条件最值的方法，求可能最值点； 第 3 步：比较所有可能最值点及端点（如果有的话）的值，得到最值
闭区 域最 值
重点（2003 数三）设可微函数 f x, y 在点 x0 , y0 取得极小值，则下列结论正确的是 （A） f x0 , y 在 y y0 处的导数等于 0 （C） f x0 , y 在 y y0 处的导数小于 0 （B） f x0 , y 在 y y0 处的导数大于 0 （D） f x0 , y 在 y y0 处的导数不存在