多元函数极值问题的答案详解
多元函数的极值与最值例题极其解析
多元函数的极值与最值1.求函数z=x3+y3−3xy的极值。
步骤：1)先求驻点(另偏导数等于0，联立)2)再求ABCA=f xx(x0, y0)B=f xy(x0, y0)C=f yy(x0, y0)3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值，且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o);(2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值;(3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论.=3x2−3y=0解：∂z∂x∂z=3y2−3x=0∂y联立得驻点为(0,0),(1,1)A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导)B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导)C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导)在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处无极值。
在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (1, 1) =x3+y3−3xy=−12.求函数f(x, y)=x2+(y−1)2的极值。
解：f x’=2x=0F y’=2y-2=0联立得驻点为(0,1)A=f xx(x0, y0) =2B=f xy(x0, y0) =0C=f yy(x0, y0) =2在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (0, 1) = 03.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？解：另长宽高分别为x, y, z故xyz=a, z=axyS=xy+2(x axy +y axy)=xy+2(ay+ax)S x’=y+2(−ax2)=0S y ’= x+2(−ay2)=0解得当X=Y=Z=3√2a的时候用料最少。
多元函数求极值
多元函数求极值摘要：本文总结了多元函数求极限的各类方法，以及证明多元函数极限不存在的取各种花式路劲的例题。
一、多元函数极限的定义存在的问题：有两种定义方式分别以聚点/去心领域去定义重极限，不同的定义方式可能导致结果不同例1.1：求极限: \lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} .解：法I(聚点定义).\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{xy}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\l im_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}或者利用等价无穷小.\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\frac{1}{2}xy}{xy}=\frac{ 1}{2}法II(去心领域定义).由于函数 f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy} 在原点的领域内的坐标轴上处处无定义, 因此\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}\text{不存在}用 \varepsilon-\delta 定义证明的例题选解例1.2：用 \varepsilon-\delta 定义证明: \lim_{x\to0\atopy\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0解：因为当 (x,y)\neq(0,0) 时\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}\right，=，y，\cdot\frac{，xy，}{x^2+y^2}\leqslant，y，\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\\从而，对 \forall \varepsilon>0 , 取 \delta=\varepsilon , 则当 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时,\left，\frac{xy^2}{x^2+y^2}-0\right，<\varepsilon \\所以 \lim_{x\to0\atop y\to0}\frac{xy^2}{x^2+y^2}=0 .例1.3：求证:\lim_{{x\to0}\atop{y\to0}}(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}=0证明： \forall \,\varepsilon>0 , 要使得\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant\varepsilon\\即 \left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right， =\biggl，x^2+y^2\biggl，\cdot\biggl，\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\biggl，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\ 只要\sqrt{x^2+y^2}<\sqrt{\varepsilon} , 取\delta=\sqrt{\varepsilon} , 则当0<\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2}<\delta 时, 有\left，(x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}-0\right，\leqslant x^2+y^2\leqslant\varepsilon\\原结论成立．二、多元函数求极限的方法直接代入：先代入看看是不是未定式！如果不是那就是答案略有理化：略有界函数x无穷小量=0略两个重要极限：略夹逼准则：多是夹为0。
多元函数极值问题的答案详解
x x0 y y0
方法 2：对
f x, y y
x x0 y y0
的理解.
①先求
f x, y ，再将点 x0 , y0 代入，这个方法不能帮助解题； y
②求
f x, y 是将 x 看做常数，所以先将 x x0 代入 f x, y 得 f x0 , y ，则 y
0
充分条件 2：设 则点 多 元 函 数 极值
0
x , f x 是曲线 y f x 的拐点.
驻点 一 元 函 数 极值 多 元 函 数 极值
一元函数可能极值点 一元函数可能拐点 多元函数可能极值点
一元函数驻点或不可导点 一元函数二阶导为 0 点或二阶导不存在点 多元函数驻点或不可偏导点
2
1 无条件极值 多元函数的极值 2 条件最值 3 闭区域最值
2-1
1 定义 2 必要条件 多元函数极值 3 充分条件 4 驻点
2-1-1 定义 一元函 数极值
一元函 数拐点
多元函 数极值
必要条件 一元函数 极值 一元函数 拐点 多元函数 极值 设点
x , f x 为曲线 y f x 的拐点，且 f x 存在，则 f x =0
x x 2 重点 （2015 数二） 已知函数 f x, y 满足 f xy x, y =2 y 1 e , f x x, 0 = x 1 e , f 0, y y 2 y ，
求 f x, y 的极值.
……
……
重点（2008 数二）求函数 u 小值.
注：方程①②关于 x,y 具有轮换对称 性，作减法后不止 x y 能求解.
多元函数的极值
x yz xy z x y z定理1 (必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000=′=′y x f y x f yx 取得极值,取得极值取得极值且在该点取得极值,则有),(),(00y x y x f z 在点=存在),(),(00y x y x f z 在点因=在),(0y x f z =0x x =故在),(0y x f z =0y y =zox y对于三元函数，若M 0是f (x , y , z )的驻点，f (x , y , z )在M 0处所有的二阶偏导数连续，则当矩阵在M 0处为正定阵时( )，M 0为极小值点，为负定阵时( )，M 0为极大值点.类似的，可以将以上结论推广到三元以上的函数.H=xx xy xz xyyy yz xz yz zz f f f f f f f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦112233H 0,H 0,H 0>>>112233H 0,H 0,H 0<><αcos 24x αcos 22x −)sin (cos 222−+ααx =x A αsin 24αsin 4x −0cos sin 2=+ααx =αA 解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin ≠α0≠x ααααsin cos sin 2sin 2422x x x A +−=)0,120:(2πα<<<<x D 0cos 212=+−αx x 0)sin (cos cos 2cos 2422=−+−ααααx x (cm)8,603===x D πα作业P121 4, 6, 7, 13。
多元函数的极值与最优化问题
与 m0 , M 0的大小，则最大者为最 大值M，
最小者为最小值m .
例6 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来 做成一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能 使断面面积最大. 解 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积 1 ( 24 2 x 2 x cos α 为 ) x sin α 2 2 2 24 x sin α 2 x sin α x cos α sin α
z x y, z y x ,
z x ( 0, 0 ) 0 z ( 0, 0 ) 0 y
(0,0)是 z xy 的驻点. 但当 xy 0时，z ( x , y ) z(0,0) 0 当 xy 0时，z( x , y ) z(0,0) 0 (0,0)不是 z xy 的极值点.
2 2) 当 AC B 0 时,
不是极值.
3) 当 AC B 2 0 时, 不能确定 , 需另行讨论.Βιβλιοθήκη 有0 00
f ( x0 , y0 )
A 0, 极小值
A 0, 极大值
是极值
非极值 不定(需用其他方法确定 )
A f x x ( x0 , y0 ) , B f x y ( x0 , y0 ) , C f y y ( x0 , y0 ) ( AC B 2 )
2 z f ( x , y ) x y(4 x y ) 求二元函数 例7 在直线 x y 6 ， x 轴和 y 轴所围成的闭 区域 D 上的 最大值与最小值.
解 如图,
z x
y
1º先求函数在 D 内的驻点， o
y
x y6
D
o
x
解方程组
(完整word版)多元函数的极值及其求法
第十一讲二元函数的极值要求：理解多元函数极值的观点，会用充足条件判断二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。
问题提出：在实质问题中，常常会碰到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相近似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有亲密的关系，所以以二元函数为例，来议论多元函数的极值问题．一．二元函数的极值定义设函数z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 的某个邻域内有定义，关于该邻域内的所有( x, y) (x 0 , y0 ) ，假如总有 f (x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处有极大值；假如总有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ) ，则称函数z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 有极小值．函数的极大值，极小值统称为极值，使函数获得极值的点称为极值点．例 1．函数z xy 在点(0,0) 处不获得极值，由于在点(0,0) 处的函数值为零，而在点(0,0) 的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点．例 2．函数z 3x2 4 y 2在点 (0,0) 处有极小值．由于对任何 ( x, y) 有 f (x, y) f (0,0) 0 ．从几何上看，点( 0,0,0) 是张口向上的椭圆抛物面z 3x 2 4 y2的极点，曲面在点(0,0,0) 处有切平面z0 ，进而获得函数获得极值的必需条件．定理1（必需条件）设函数z f ( x, y) 在点(x0 , y0 ) 拥有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必定为零，即 f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ．几何解说若函数z f ( x, y) 在点(x0 , y0 ) 获得极值z0，那么函数所表示的曲面在点(x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )是平行于 xoy 坐标面的平面z z0．近似地有三元及三元以上函数的极值观点，对三元函数也有获得极值的必需条件为f x ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0 ， f z ( x0 , y0 , z0 ) 0说明上边的定理固然没有完整解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的门路，即f x ( x0 , y0 ) 0( x n , y n ) ，那么极值点必包只需解方程组，求得解 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )f y (x0 , y0 ) 0含在此中，这些点称为函数z f ( x, y) 的驻点．注意 1．驻点不必定是极值点，如z xy 在(0,0)点．如何鉴别驻点是不是极值点呢？下边定理回答了这个问题．定理 2（充足条件）设函数 z f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ，令 f xx (x0 , y0 ) A ， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy (x0 , y0 ) C ，则（ 1）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 获得极值，且当 A 0 时，有极大值 f ( x0 , y0 ) ，当 A 0 时，有极小值 f ( x0 , y0 ) ；（ 2）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 没有极值；（ 3）当AC B 2 0 时，函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 可能有极值，也可能没有极值，还要另作议论．求函数 z f ( x, y) 极值的步骤：（1）解方程组 f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y ( x0 , y0 ) 0 ，求得一确实数解，即可求得全部驻点( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )( x n , y n ) ；（2）关于每一个驻点( x , y )(i 1,2,L n) ，求出二阶偏导数的值A,B, C；i i（3）确立AC B2 的符号，按定理 2 的结论判断 f ( x i , y i ) 是不是极值，是极大值仍是极小值；（4）观察函数 f ( x, y) 能否有导数不存在的点，如有加以鉴别能否为极值点．例 3．观察解由于z x 2 y2能否有极值．z x，z y在x0, y0 处导数不存在，可是对所x x2y 2y x 2y2有的 (x, y) (0,0) ，均有 f ( x, y) f (0,0) 0 ，所以函数在( 0,0) 点获得极大值．注意 2．极值点也不必定是驻点，若对可导函数而言，如何？例 4．求函数f ( x, y) x3 y3 3x 2 3y2 9x 的极值．解先解方程组f x 3x 2 6x 9 03,0), ( 3,2) ，f y 3y2 6 y 0，求得驻点为 (1,0), (1,2), (再求出二阶偏导函数fxx 6x 6 ， f xy， f yy 6 y 6 ．在点 (1,0) 处， AC B 2 12 6 72 0 ，又 A 0 ，所以函数在点(1,0) 处有极小值为f (1,0) 5 ；在点 (1,2) 处， AC B2 72 0 ，所以 f (1,2) 不是极值；在点 ( 3,0) 处， AC B2 72 0 ，所以 f ( 3,0) 不是极值；在点 ( 3,2) 处， AC B2 72 0，又A 0，所以函数在点( 3,2) 处有极大值为f ( 3,2) 31．二．函数的最大值与最小值求最值方法：⑴将函数 f ( x, y) 在地区D内的所有极值点求出；⑵求出 f ( x, y) 在D界限上的最值；即分别求一元函数 f ( x, 1 (x)) ， f ( x, 2 ( x))的最值；⑶ 将这些点的函数值求出，而且相互比较，定出函数的最值．实质问题求最值依据问题的性质，知道函数 f ( x, y) 的最值必定在地区 D 的内部获得，而函数在 D 内只有一个驻点，那么能够必定该驻点处的函数值就是函数 f ( x, y) 在D上的最值．例 4．求把一个正数 a 分红三个正数之和，并使它们的乘积为最大．解设 x, y 分别为前两个正数，第三个正数为 a x y ，问题为求函数u xy(a x y) 在地区D ：x， y 0 ，x y a内的最大值．0由于u y(a x y) xy y(a 2x y) ，ux(a 2 y x) ，x y解方程组a 2x y 0 a， ya．a 2y x，得 x30 3由实质问题可知，函数必在 D 内获得最大值，而在地区 D 内部只有独一的驻点，则函数必在该点处获得最大值，即把a 分红三等份，乘积 ( a) 3 最大．z a x y ，则 3 此外还可得出，若令u xyz( a)3 ( x y z ) 33 3 即3xyz x y z．3三个数的几何均匀值不大于算术均匀值．三．条件极值，拉格朗日乘数法引例求函数 zx 2y 2 的极值．该问题就是求函数在它定义域内的极值，前方求过在(0,0) 获得极小值；若求函数 zx 2 y 2 在条件 xy 1下极值，这时自变量遇到拘束，不可以在整个函数定义域上求极值，而只好在定义域的一部分x y1 的直线上求极值，前者只需求变量在定义域内变化， 而没有其余附带条件称为 无条件极值 ，后者自变量遇到条件的拘束， 称为 条件极值 ．如何求条件极值？有时可把条件极值化为无条件极值， 如上例从条件中解出 y 1 x ，代 入 z x 2 y 2 中 ， 得 zx 2 (1 x)2 2x 2 2x 1 成 为 一 元 函 数 极 值 问 题 ， 令z x 4 x 21 1 1 10 ，得 x，求出极值为 z(, )2 ．22 2可是在好多情况下， 将条件极值化为无条件极值其实不这样简单， 我们还有一种直接追求条件极值的方法， 可不用先把问题化为无条件极值的问题， 这就是下边介绍的拉格朗日乘数法．利用一元函数获得极值的必需条件．求函数 zf ( x, y) 在条件( x, y) 0下获得极值的必需条件．若函数 zf ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 获得所求的极值，那么第一有(x 0, y 0 )0 ．假设在 ( x 0 , y 0 ) 的某一邻域内函数 z f ( x, y) 与均有连续的一阶偏导数， 且 y ( x 0 , y 0 )0 ．有隐函数存在定理可知，方程(x, y) 0 确立一个单值可导且拥有连续导数的函数y (x) ，将其代入函数 zf ( x, y) 中，获得一个变量的函数z f (x,( x))于是函数 zf ( x, y) 在 ( x 0 , y 0 ) 获得所求的极值， 也就是相当于一元函数 z f (x, ( x)) 在x x 0 获得极值．由一元函数获得极值的必需条件知道dz f x (x 0 , y 0 ) f y (x 0 , y 0 ) dy0 ，dx x x 0dx x x 0而方程(x, y) 0 所确立的隐函数的导数为dyx( x 0, y 0 )．dx x x 0y ( x 0 , y 0 )将上式代入 f( x , y ) f (x , y )dy0 中，得x 0 0 y0 0dx x xf x ( x 0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 ) x(x 0, y 0)0 ，y (x 0 , y 0 )所以函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0 下获得极值的必需条件为 f x ( x 0 , y 0 )f y ( x 0 , y 0 ) x(x 0, y 0)y (x 0 , y 0 )．(x 0 , y 0 ) 0为了计算方便起见，我们令f y ( x 0 , y 0 )，y (x 0 , y 0 )则上述必需条件变成f x ( x 0 , y 0 )x ( x 0 , y 0 ) 0 f y ( x 0 , y 0 )y ( x 0 , y 0 )0 ，( x 0 , y 0 ) 0简单看出，上式中的前两式的左正直是函数F ( x, y) f ( x, y)(x, y)的两个一阶偏导数在(x 0 , y 0 ) 的值，此中是一个待定常数．拉格朗日乘数法求函数 zf ( x, y) 在条件 (x, y) 0 下的可能的极值点．⑴ 组成协助函数F (x, y) f (x, y)(x, y) ，（为常数）⑵求函数 F 对x，对 y 的偏导数，并使之为零，解方程组f x ( x, y)x ( x, y)0f y ( x, y)y ( x, y)0(x, y)0得 x, y,，此中x, y就是函数在条件(x, y)0 下的可能极值点的坐标；⑶ 如何确立所求点能否为极值点？在实质问题中常常可依据实质问题自己的性质来判断．拉格朗日乘数法推行求函数 u f ( x, y, z,t ) 在条件(x, y, z, t) 0 ，(x, y, z, t) 0 下的可能的极值点．组成协助函数F (x, y, z, t ) f ( x, y, z, t) 1 ( x, y, z,t ) 2 ( x, y, z,t )此中1 , 2为常数，求函数 F 对 x, y, z 的偏导数，并使之为零，解方程组f x 1 x 2 x f y 1 y 2 y f z 1 z 2 z f t 1 t 2 t0 0 0 0(x, y, z,t )0( x, y, z, t)0得 x, y, z 就是函数u f (x, y, z, t) 在条件( x, y, z,t) 0 ，( x, y, z,t )0 下的极值点．注意：一般解方程组是经过前几个偏导数的方程找出x, y, z 之间的关系，而后再将其代入到条件中，即能够求出可能的极值点．例 6. 求表面积为 a 2而体积为最大的长方体的体积．解设长方体的三棱长分别为x, y, z ，则问题是在条件(x, y, z) 2xy 2yz 2xz a 20下，求函数 v xyz (x0, y 0, z0) 的最大值．组成协助函数 F (x, y, z) xyz(2xy 2 yz 2xz a 2 ) ，求函数 F 对 x, y, z 偏导数，使其为0 ，获得方程组yz 2 ( y z) 0 (1)xz 2 (x z) 0 (2)xy 2 ( x y) 0 (3)2xy 2yz 2xz a2 0 (4)由 (2) ，得x x z ，由(3) ，得y x y ，(1) y y z ( 2) z x z即有，x( y z) y( x z), x y ， y(x z) z( x y), y z ，可得 x y z ，将其代入方程2xy 2 yz 2xz a2 0 中，得x y z6a ．6这是独一可能的极值点，由于由问题自己可知最大值必定存在，所以最大值就是在这可能的极值点处获得，即在表面积为a2的长方体中，以棱长为6a 的正方体的体积为最大，6最大概积为 v 6 a3．36例 7．试在球面x2 y2 z2 4 上求出与点 (3,1, 1) 距离近来和最远的点．解设 M (x, y, z) 为球面上随意一点，则到点(3,1, 1) 距离为d (x 3)2 ( y 1)2 (z 1)2可是，假如考虑d2，则应与d有同样的最大值点和最小值点，为了简化运算，故取f (x, y, z) d 2 ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 1)2，又由于点 M ( x, y, z) 在球面上，附带条件为( x, y, z) x2 y2 z2 4 0 ．组成协助函数 F (x, y, z) ( x 3)2 ( y 1)2 ( z 1)2 (x2 y2 z2 4) ．求函数 F 对 x, y, z 偏导数，使其为0 ，获得方程组2(x 3) 2 x 0 (1)2( y 1) 2 y 0 (2)2(z 1) 2 z 0 (3)x2 y2 z2 4 (4)以前三个方程中能够看出x, y, z 均不等于零（不然方程两头不等），以作为过渡，把这三个方程联系起来，有x 3y 1 z 1 3 1 1xyz 或xy，z故 x 3z, yz ，将其代入 x 2 y 2 z 24 中，得( 3z)2( z)2 z 2 4 ，2，再代入到 x 3z, yz 中，即可得求出 z11x m6， y m2，1111进而得两点 (62 26 22,,) ， (,,) ，11 1111 1111 11比较表达式看出第一个点对应的值较大，第二个点对应的值较小，所以近来点为( 6 , 2 ,2) ，最远点为 (6 , 2,2)．11 11 11111111。
§7多元函数Taylor公式和极值问题练习参考解答
887§7 多元函数Taylor 公式和极值问题练习参考解答1. 下列函数极值（1） )2(),(22y y x e y x f x ++=； （2） )4)(6(),(22y y x x y x f −−=； （3） )0(333>−−=a y x axy z ； （4）2. 都很小时，将超越函数当z y x , ,z y x z y x z y x f cos cos cos )cos(,,(−++=）.,y x,的多项式近似表示z解 二阶偏导数），有展成马克劳林公式（到将函数),,(z y x f）），，（0,0,0()0,0,0()0,0,0(000),,('z y x f z f y f x f z y x f ′+′+′+= []0,0,0( )0,0,0(2)0,0,0(2)0,0,0(20,0,0()0,0,0(0,0,0(''21222=′′+′′+′′+′′+′′++）））！f f zx f yz f xy f z f y f x zx yz xy zz yy xx []()[]()0cos cos cos )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0cos cos sin )sin()0,0,0( 0,0,00,0,0=+++−=′=′=′=+++−=′z y x z y x f f f z y x z y x f xxz y x ）同样[]())(),,( 10,0,0( 1)0,0,0( 1cos sin sin )cos()0,0,0( 0)0,0,0( 00,0,0( 0,0,0zx yz xy z y x f f f z y x z y x f f f zx yz xyzz yy ++−=−=′′−=′′−=−++−=′′=′′=′′于是，）同样，）同样，即 )(cos cos cos cos(zx yz xy z y x z y x ++−=−++） 3. 求函数x y x y x y x f 933),(2233−++−=的极值。
高等数学《多元函数的极值》
1 4
0,
所以z f (1,1) 2为极小值；
z2 6,
当z2
6 时， A
1 4
0,
所以z f (1,1) 6为极大值.
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y) y)
0 0
,
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
6 x0 y0z0
a2
y02 b2
z02 c2
1下的最小值,
即求u
x0
y0
z0
在条件
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1下的最大值,
令
G( x0 ,
y0 , z0 )
x0
y0 z0
(
x02 a2
y02 b2
z02 c2
1)
Gx0 0,
由
x02 a2
讨论．
例4 求f (x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
[解] fx (x, y) 3x2 6x 9 0, 解得 x 1 或 x 3,
fy (x, y) 3 y2 6 y 0,
y0或 y2
得到驻点为 (1, 0), (1, 2), (3, 0), (3, 2).
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ), 说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广：如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条件为
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注：方程①②关于 x,y 具有轮换对称 性，作减法后不止 x y 能求解.
（重点） （2013 数二）求曲线 x xy y 1 x 0, y 0 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离
3 3
注：目标函数 x 2 y 2 与等效目标函数 x 2 y 2 的最值点是相同的，而等效目标函数 所以将拉格朗日乘数法中的目标函数 x 2 y 2 换成等 x 2 y 2 求导结果更简单， 效目标函数 x 2 y 2 .
最大方向导数.
注：方向导数是数一考点，数二数三只需关注方程求解
f f 注： 二元函数在任意一点 x, y 的最大方向导数是 而本题的点 x, y ， x y
2
2
来自于曲线 C 上，满足曲线 C 的方程；曲线 C 的方程即条件函数
0 0
0
充分条件 一 元 函 数 极值
一 元 函 数 拐点
充分条件 1：设 领域
f x 在 x0 处连续，在 x0 的某去心领域内二阶可导，并且在 x x0 的左、右
f x 异号，则点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的拐点. f x 在 x0 , x0 二阶可导，若 f x0 =0 ，且 f x0 0 ，
x 2 y 2 z 2 在约束条件 z x 2 y 2 和 x y z 4 下的最大和最
注：1）观察方程①②；将方程①②中 x 换成 y，y 换成 x，得到了两个新的方程
2 y 2 y 0 ；新方程与原方程一样，我们称方程①②关于 x,y 具有 2 x 2 x 0
x x0 y y0来自方法 2：对f x, y y
x x0 y y0
的理解.
①先求
f x, y ，再将点 x0 , y0 代入，这个方法不能帮助解题； y
②求
f x, y 是将 x 看做常数，所以先将 x x0 代入 f x, y 得 f x0 , y ，则 y
= df x0 , y dy
，对应本题，
f x, y y
x x0 y y0
y y0
df x0 , y dy
y y0
0
重点（2013 数一）求函数
x3 x y f x, y y e 的极值. 3
注：二元显函数求无条件极值
重点（2007 数一）求函数 f x, y x 2 y x y 在区域 D
2 2 2 2
x, y x
2
y 2 4, y 0 上的最大值和
最小值
注：在 D 内部求可能 最值点，则方程的解 不在 D 内部的，舍去 即可
注：可将点 2, 0 , 0, 2 , 0, 0 四个点看 做端点， 若是 “可能最值点” 未包含， 不妨计算一下，以免漏点.
0
充分条件 2：设 则点 多 元 函 数 极值
0
x , f x 是曲线 y f x 的拐点.
驻点 一 元 函 数 极值 多 元 函 数 极值
一元函数可能极值点 一元函数可能拐点 多元函数可能极值点
一元函数驻点或不可导点 一元函数二阶导为 0 点或二阶导不存在点 多元函数驻点或不可偏导点
一般求解流程 无条 件极 值
第1步：写出定义域； 第2步：求出驻点及不可导点； 第3步：用“充分定理”判别； 第4步：代入极值点，得出极值.
条件 最值
第1步：写出定义域； 第2步：运用拉格朗日乘数法或者转化为无条件极值求可能最值点； 第3步：比较端点、可能极值点的函数值大小，得到最值.
第 1 步：在 D 区域内部对目标函数，按求无条件极值的方法，求可能最值点； 第 2 步：在 D 边界上对目标函数，按求条件最值的方法，求可能最值点； 第 3 步：比较所有可能最值点及端点（如果有的话）的值，得到最值
闭区 域最 值
重点（2003 数三）设可微函数 f x, y 在点 x0 , y0 取得极小值，则下列结论正确的是 （A） f x0 , y 在 y y0 处的导数等于 0 （C） f x0 , y 在 y y0 处的导数小于 0 （B） f x0 , y 在 y y0 处的导数大于 0 （D） f x0 , y 在 y y0 处的导数不存在
注：“方框内的式子”，将驻点代入之后均为零，是摆设！
2 对于 1, 3
A e
1 3
，B
e
1 3
，C
e
1 3
AC B 2 0
2 1, 不是极值点 3
重点（ 2004 数一）设
z z x, y 是由 x 2 6 xy 10 y 2 2 yz z 2 18 0 确定的函数，求
的 2 x, 2 y 看作 的系数.
重点（2005 数二）已知函数 z f x, y 的全微分 dz 2 xdx 2 ydy ，并且 f 1,1 2 .求 f x, y 在椭圆 域 D x, y x
2
y2 1 上的最大值和最小值. 4
z z , 中的 x y
z 看作自变量，此时的 z 是 z x, y 的缩写，可以对 x, y 求导.
3）“方框内的式子”，将驻点代入之后均为零，是摆设！
对于
9, 3 点
1 1 5 ， B ，C 2 6 3
f 9, 3 3 是极大值点
A
AC B 2 0 且 A 0
轮换对称性. 2）关于 x,y 具有轮换对称性的方程，一定存在一个解 x y ，但是不能 说 x y 求得的解是唯一解.所以由方程①②直接推出 x y 可能漏解. 3）具有轮换对称性的方程如何处理？作减法！
注：答题时可以直接写出方程组的解，不必写求解过程.
2 2 重点（2015 数一）已知函数 f x, y x y xy ，曲线 C： x y xy =3 ，求 f x, y 在曲线 C 上的
重点（2010 数三）求函数 u
xy 2 yz 在约束条件 x 2 y 2 z 2 10 下的最大值和最小值.
注：1）高斯消元法，目的是求出 x,y,z，所以一般是消 , ； 2） 消 , 的过程， 类似
x1 3 x2 1 消 x1 的过程 ① 2-② ， 可将 2 x, 2 y 中 2 x x 0 1 2
z z x, y 的极值点和极值.
注：二元隐函数求无条件极值
注：三个方程解三个未知数，偏导数为 0 只引出 2 个方程，第 3 个方程是原方程.
注：1）“求一阶偏导时的公式法” ，把 x, y, z 都看作自变量； 2）为求二阶偏导，需要对一阶偏导求导，这一步是全新的一步，已经与“求 一阶偏导时的公式法”没有关系了，不要受公式法的影响，将
注： 方程①②关于 x,y 具有轮换对称性. ①②作减法后， 其中 2 3 x y 0 时， 十分不好求解，事实上此时无解；若是考试时遇见此类十分不容易求解的情 形，建议只考虑 x y 这组解.
注：这里曲线有两个端点！
注： 2 3 x y 0 时的求解过程
（了解） （2014 数二）设函数 u x, y 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足
2u 2u 2u 0 及 2 + 2 0 ，则 xy x y
（A） u x, y 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得 （B） u x, y 的最大值和最小值都在 D 的内部取得 （C） u x, y 的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得 （D） u x, y 的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得
方法 1:二元函数极值的定义: 1）如图，在 x0 , y0 处取极值，是在 x0 , y0 的周围都有 f x, y f x0 , y0 或 f x, y f x0 , y0 ； 2） x0 , y0 的周围是个区域，包含曲线 M 0Ty （它的方程是 f x0 , y ）在点 x0 , y0 附近的点，所以对于曲 线 M 0Ty 来说，仍会在 x0 , y0 处取极值； 3） f x, y 可微，所以偏导
f x, y f x, y 存在； , x y
f x, y y =0 ，而
df x0 , y dy f x, y y =0
4） f x0 , y 是一元函数，由极值的必要条件知 当然如果蒙猜也该是（A）
x x0 y y0
y y0
注：1） D 区域上求最值，只 要 D 区域含边界， 即称作闭区域 最值问题; 2） 闭区域最值点可能在 D 内部 或边界上取得 3）无条件极值，只需求出可能 最值点， 一般无须判别是否是极 值点（除了 2014 数二第 6 题）
注：条件极值两种方法： 1 ）将条件函数代入目标函数， 用掉条件，转化为无条件极值； 2）用拉格朗日乘数法; 3）抛物线的最值点取自：对称 轴点和端点
x x 2 重点 （2015 数二） 已知函数 f x, y 满足 f xy x, y =2 y 1 e , f x x, 0 = x 1 e , f 0, y y 2 y ，
求 f x, y 的极值.
……
……
重点（2008 数二）求函数 u 小值.
2
1 无条件极值 多元函数的极值 2 条件最值 3 闭区域最值
2-1
1 定义 2 必要条件 多元函数极值 3 充分条件 4 驻点