Logistic人口阻滞增长模型
(完整版)Logistic人口阻滞增长模型
Logistic 人口阻滞增长模型一、模型的准备阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r 。
则它应是减函数。
于是有：0)0(,)(x x x x r dtdx== （1）对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 )0,0()(>>-=s r sxr x r （2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得mx rs =，于是（2）式为)1()(mx x r x r -= （3）将（3）代入方程（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm （4）解方程（4）可得：rtm me x xx t x --+=)1(1)(0（5）二、模型的建立我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1总人口 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 总人口 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 122.389 123.626 124.761 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 总人口 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.7561、将1954年看成初始时刻即0=t ，则1955为1=t ，以次类推，以2005年为51=t 作为终时刻。
(完整版)数学建模logistic人口增长模型
Logistic 人口发展模型一、题目描述建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。
分析那个时间段数据预测的效果好?并结合中国实情分析原因。
表1 各年份全国总人口数（单位：千万）二、建立模型阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r 。
则它应是减函数。
于是有：0)0(,)(x x x x r dt dx== （1）对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 )0,0()(>>-=s r sxr x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量mx ，当mx x =时人口不再增长，即增长率)(=m x r ，代入（2）式得m x rs =，于是（2）式为)1()(mx x r x r -= （3）将（3）代入方程（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm （4）解得：rt mme x x x t x --+=)1(1)(0（5）三、模型求解用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005;x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1);r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和rx0=61.5;f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0)解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5得到1954-2005实际人口与理论值的结果：根据《国家人口发展战略研究报告》我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。
阻滞模型资料
- 当前位置：代数与分析专题研究>>专题五>>学习内容>>logistic 模型（阻滞增长模型）§5 logistic 模型（阻滞增长模型）前面我们主要讨论的是一阶线性差分方程模型，本章将通过几个具体的实际问题，例如人口问题、传染病问题等，介绍一阶非线性差分方程模型。
进一步体会数学建模的思想。
这些模型是解决日常生活和生产实践中最基本的模型。
由于有了计算机技术，使得非线性方程理论和应用得到了飞跃的发展。
1人口模型1.1马尔萨斯人口模型情景描述人口问题是人类一个很重要的研究课题。
对人口数量的估计和发展趋势的预测是各国制定一系列相关政策的基础。
建立模型 1模型假设英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，做了一个基本假设：人口的相对增长率是常数。
在这个基本假设下，于1798年提出了著名的人口指数增长模型。
2模型建立 设xn 表示第n 年的人口数量，因为人口的相对增长率是常数，记此常数为，则有：＝，即：xn+1 =（1+）xn 。
设k=1+,我们通常把：xn+1 =kxn 称作人口指数增长模型。
模型分析用上述人口模型计算出来的结果，与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据相吻合。
但是由于指数增长很快，当人们用19世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时，发现存在相当大的差异。
1.2 模型修正―logistic模型情景描述用上述模型计算出来的人口数据和实际人口数据有差异，其主要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。
如果当人口较少时（相对于资源而言），人口的相对增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量时，相对增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少了。
模型修正为了使人口预报特别是长期预报更符合实际情况，我们需要修正一下指数增长模型。
建立模型1 模型假设在实际环境中，人口数{xn}会有一个最大值，假设最大值为M。
基于改进的Logistic阻滞增长模型的人口预测研究
x
r(
x)=r 1xm
即建立 Log
i
s
t
i
c阻滞增长模型为:
x
dx
=rx 1xm
dt
(
7)
(
8)
滞作用。随着 x 的增 大,关 于 人 口 数 量 的 固 有 增 长
趋势越大,同时自然 资 源 与 环 境 条 件 的 阻 滞 作 用 越
明显,二者共同作用于人口增长。
得:
应用分离变量法求解 Log
2.
1 向后差分线性最小二乘参数估计
根据国家统计局 官 网 统 计 数 据,取 1953—2020
2024 年第 2 期
均相对误差 De
l
t
a=0.
016,拟合效果较好。Log
i
s
t
i
c
阻滞增长模型的向后差分线性最小二乘参数估计如
图 1 所示,预测 2030 年人口总数为 148969 万人。
基于向后差分的 线 性 最 小 二 乘 估 计 对 Log
年份
年末总
人口/万
年份
年末总
人口/万
年份
年末总
人口/万
年份
年末总
人口/万
1953 58796 1970 82992 1987 109300 2004 129988
1954 60266 1971 85229 1988 111026 2005 130756
1955 61465 1972 87177 1989 112704 2006 131448
人口预计将达到 145353 万人。根据中国人口预测数据,建议政府在未来的经济和能源规划中,加快推
进能源结构转型,促进经济可持续发展。
最新人口指数增长模型和logistic模型教学文案
根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型和Logistic 模型中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。
表1 美国人口统计数据指数增长模型：rt e x t x 0)(=Logistic 模型：()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭解：模型一:指数增长模型。
Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：}2120010120()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x ey x t a r a x =+=⇒=+⇒=====程序：t=1790:10:1980;x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ];y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t); plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214 x0= 1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = 1.2480e-016， 输入：t=2010;x0 = 1.2480e-016; x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529。
即在此模型下到2010年人口大约为598.3529 610⨯。
Malthus模型和Logistic模型
Malthus 模型和Logistic 模型随着社会的发展，人口问题与经济、资源、环境、社会的冲突日益成为制约国家发展的瓶颈，了解了人口增长函数，也就掌握了人口的发展动态和发展规律，这对国家的发展有重要意义。
1798年．英国人口学家和政治经济学家马尔萨斯以两个假设为前提：第一，食物为人类生存所必须；第二，人的性本能几乎无法限制，提出了闻名于世的人口指数增长模型，即Malthus 人口模型：人口总数为)(t p ,人口的出生率为b ，死亡率为d 。
任取时段【t ,t +dt 】，在此时段中的出生人数为b )(t p dt ，死亡人数为d )(t p dt 。
假设出生数及死亡数与)(t p 及dt 均成正比，而且以矩形取代了曲边梯形的面积。
在时段【t ,t +dt 】中，人口增加量为)(dt t p +-)(t p ≈d )(t p ，它应等于此时段中的出生人数与死亡人数之差，即d )(t p =b )(t p dt －d )(t p dt =a )(t p dt ,其中a =b －d 称为人口的净增长率。
于是)(t p 满足微分方程dtt dp )(=a )(t p . (1) 若已知初始时刻t =t 0时的人口总数为p 0，那么)(t p 还满足初始条件t =t 0时，)(t p =p 0. (2)可以求得微分方程(1)满足初始条件(2)的解为（设a 是常数）)(t p =p 0e )0(t t a -, (3)即人口总数按指数增长。
模型参数的意义和作用：t 0为初始时刻（初始年度），p 0为初始年度t 0的人口总数，a 为每年的人口净增长率，b 为人口出生率，d为人口死亡率。
Malthus人口模型所说的人口并不一定限于人，可以是认可一个生物群体，只要满足类似的性质即可。
现在讨论模型的应用和正确性。
例如，根据统计数据知在1961年全世界人口为30.6亿，1951年-1961年十年每年人口净增长率约为0.02。
人口增长的Logistic模型分析及其应用
人口增长的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型分析及其应用本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r，用Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。
关键词：人口Logistic模型迭代人口增长问题相关研究最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。
这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。
记t时刻的人口总数为x(t)。
初始时刻t=0时的人口为x0。
人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。
那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。
于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。
在r>0时，人口将按指数规律增长。
但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。
然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。
历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。
原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。
基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。
这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。
最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。
由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。
xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。
因此就有，这个模型就是Logistic 模型。
为表达方便，Logistic方程常被改写成：由于Logistic模型综合考虑了环境等因素对人口增长产生的影响，因此是一种被广泛应用的比较好的模型。
人口增长模型
一、 人口增长模型： 1. 问题下表列出了中国1982—1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0），…人口自然增长率14%，以36亿作为我国的人口容纳量，是建立一个较好的数学模型并给出相从图中我们可以看到人口数在1982—1998年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图像和我们学过指数函数的图像有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型，但是指数模型有个不妥之处就是没有考虑社会因素的，即资源的有限性，也就是人口不可能无限制的增长，所以有必要改进模型，这里我们假设人口增长率随人口增加而呈线性递减，从而建立起比较优越阻滞增长模型 模型一：指数增长模型（马尔萨斯模型）1.假设：人口增长率r 是常数.2.建立模型：记时刻t=0时人口数为0X ,时刻t 的人口为X （t ）,由于量大，X （t ）可以视为连续、可微函数，t 到t+t ∆时间段人口的增量为：)()()(t rX tt X t t X =∆-∆+于是X （t ）满足微分方程：)1()0(0⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==X X rX dt dx3.模型求解：解得微分方程（1）得： X （t ）=0X )(0t t r e- （2）表明：t ∞−→−时，t X )0.(>∞−→−r . 4.模型的参数估计要用模型2对人口进行预报，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1通过Matlab 拟合： 程序：x=[1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 19971998]';X=[ones(17,1),x]Y=[101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); %回归分析b,bint,stats%输出这些值rcoplot(r,rint);%画出残差及其置信区间z=b(1)+b(2)*x;plot(x,Y,'k+',x,z,'r')，%预测及作图运行结果：b =1.0e+006 *-2.84470.0015bint =1.0e+006 *-2.9381 -2.75130.0014 0.0015stats =1.0e+005 *0.0000 0.0455 0 1.9800图1各数据点及回归方程的图形 即回归模型为：y=-2844700+1500x从上图可用看出拟和得效果比较好。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Logistic 人口阻滞增长模型
一、模型的准备
阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r 。
则它应是减函数。
于是有：
0)0(,)(x x x x r dt
dx
== （1）
对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 )
0,0()(>>-=s r sx
r x r （2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增长，即
增长率0)(=m x r ，代入（2）式得m
x r
s =，于是（2）式为
)1()(m
x x
r x r -=???????????? ?（3）
将（3）代入方程（1）得：
⎪⎩⎪⎨⎧=-=0
)0()
1(x x x x rx dt dx
m
???? ??? ???（4）
解方程（4）可得：
rt
m m
e x x
x t x --+=
)1(1)(0
（5）
二、模型的建立
我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1
1、将1954年看成初始时刻即0=t ，则1955为1=t ，以次类推，以2005年为51=t 作为终时刻。
用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab 编程得到相关的参数-0.0336,180.9871 ==r x m ，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：
由可决系数来看拟合的效果比较理想。
所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：
t
e t x 0336.0.0)12
.609871.180(19871
.180)(--+= （6）
根据曲线（6）我们可以对2010年（56=t ）、2020年（66=t ）、及2033年（79=t ） 进行预测得（单位：千万）：
结果分析：从所给信息可知从1951年至1958年为我国第一次出生人口高峰，形成了中国人口规模“由缓到快”的增长基础；因此这段时期人口波动较大，可能影响模型结果的准确性。
1959、1960、1961年为三年自然灾害时期，这段时期人口的增长受到很大影响，1962年处于这种影响的滞后期，人口的增长也受到很大影响。
总的来说1951-1962年的人口增长的随机误差不是服从正态分布，
程序： 结果：
2、 将1963年看成初始时刻即0=t ，以2005年为32=t 作为终时刻。
运用Matlab 编程得到相关的参数0.0484 ,151.4513 ==r x m ，可以算出可决系数9994.02=R 得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：
t
e t x 0484.0)11
.694513.151(14513
.151)(--+=
（7）
根据曲线（7）我们可以对2010年（47=t ）、2020年（57=t ）、及2033年（70=t ） 进行预测得（单位：千万）：
结果分析：1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。
总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；1980-2005年这一时间段，虽然人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布，因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。
程序： 结果：
3、从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。
因此我们进一步选择1980年作为初始年份2005年作为终时刻进行拟合。
运用Matlab 编程得到相关的参数0.0477 ,153.5351 ==r x m ，可以算出可决系数9987.02=R 得到中国各年份人
口变化趋势的第三条拟合曲线：
?????????????????????????t
e t x 0477.0)1705
.985351.153(15351
.153)(--+=
???????????????（8）
根据曲线（7）我们可以对2010年（30=t ）、2020年（40=t ）、及2033年（53=t ） 进行预测得（单位：千万）：147.0172 )53(,141.8440 )40(,135.5357 )30(===x x x
结果分析：这一时期，国家虽然对人口大增长进行了干预，但国家的计划生育的政策是基本稳定的，在此其间没有其他大的干扰，所以人口增长的随机误差应服从正态分布。
所以结果应是比较可信的。
程序： 结果：
分别根据拟合曲线⑹⑺⑻对各年份中国总人口进行预测得到结果如表2：
由上表可以看出：用拟合曲线（6）预测得到的数据比较大，在2024年总人口就已
经超过了151.9662千万，而且一直以比较快的速度增长到2048年达到了166.7683千万。
用拟合曲线（7）预测得到的数据偏小，到2048年人口只有148.558千万。
相比较而言用拟合曲线（8）预测的数据比较接近《国家人口发展战略研究报告》中的预测。